Resolución de Ecuaciones -...
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Autor: Jéssica Navarro Aguirre Resolución de Ecuaciones Se propondrá una técnica del cómo resolver ecuaciones, especialmente las cuadráticas, basándose en la suma de áreas de rectángulos. Para la ayuda de este trabajo, se recopiló información del libro “Análisis by its History”, el cual presenta la propuesta de Mohammed ben Musa Al-Khowârizmî, y las representaciones geométricas de ésta. Proposición de Mohammed ben Musa Al-Khowârizmî: ...for instance, “a square and twenty-one in numbers are equal to ten root of the same square” That is to say, what must be the amount of a square, which, when twenty-one dirhems are added to it, becomes equal to the equivalent of ten roots of that square? Solution: Halve the number of the roots; the moiety is five. Multiply this by itself; the product is twenty-five. Subtract from this the twenty-one which are connected with the square; the remainder is four. Extract its root; it is two. Subract this from the moiety of the roots, which is five; the remainder is three. This is the root of the square which you required, and the square is nine. Or you may add the root to the moiety of the roots; the sum is seven; this is the root of the square which you sought for, and the square itself is forty-nine. (Rosen 1831, pag 11). En las distintas proposiciones de Mohammed ben Musa Al-Khowârizmî, expuestas en su libro, vienen seis casos para la resolución de ecuaciones (donde b y c son números positivos), los cuales son: 1. bx x 2 2. c x 2
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Autor: Jéssica Navarro Aguirre
Resolución de Ecuaciones
Se propondrá una técnica del cómo resolver ecuaciones, especialmente las cuadráticas,
basándose en la suma de áreas de rectángulos.
Para la ayuda de este trabajo, se recopiló información del libro “Análisis by its History”,
el cual presenta la propuesta de Mohammed ben Musa Al-Khowârizmî, y las
representaciones geométricas de ésta.
Proposición de Mohammed ben Musa Al-Khowârizmî:
...for instance, “a square and twenty-one in numbers are equal to ten root of the same
square” That is to say, what must be the amount of a square, which, when twenty-one dirhems
are added to it, becomes equal to the equivalent of ten roots of that square? Solution: Halve
the number of the roots; the moiety is five. Multiply this by itself; the product is twenty-five.
Subtract from this the twenty-one which are connected with the square; the remainder is four.
Extract its root; it is two. Subract this from the moiety of the roots, which is five; the
remainder is three. This is the root of the square which you required, and the square is nine.
Or you may add the root to the moiety of the roots; the sum is seven; this is the root of the
square which you sought for, and the square itself is forty-nine. (Rosen 1831, pag 11).
En las distintas proposiciones de Mohammed ben Musa Al-Khowârizmî, expuestas en
su libro, vienen seis casos para la resolución de ecuaciones (donde b y c son números
positivos), los cuales son:
1. bxx 2
2. cx 2
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3. 𝑏𝑥 = 𝑐
4. bxcx 2
5. cbxx 2
6. cbxx 2
Primer caso
Este caso consiste en lo siguiente:
bxx 2
1. Dibujar un cuadrado de lado x .
2. El área del cuadrado es 2x .
3. Se sabe además que el área del cuadrado es bx , por lo que xb .
A los estudiantes se les puede presentar un ejemplo como el siguiente, para que lo
razonen y hagan por si solos conclusiones del cómo podrían resolver la ecuación presentada.
Ejemplo: Basándose en la siguiente figura, halle el posible valor de la variable x ,
sabiendo que el área del cuadrado es 16 y que xx 42 .
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Después de que se les haya dejado analizar el caso, y observen que es un problema
meramente de lógica, entonces habrán encontrado o al menos especulado el razonamiento
del ejercicio; es decir, visto que x debe de ser 4 para que el área del cuadrado tenga como
resultado 16. Y es ahí que se habrá cumplido uno de los objetivos de éste problema.
Fundándose en el programa nuevo del ministerio, los estudiantes deberán resolver por si
mismos los ejercicios. Por supuesto, si en algún momento requieren de la ayuda del profesor,
éste podrá intervenir cuando lo encuentre necesario.
Segundo caso
Este caso consiste en lo siguiente:
cx 2
1. Dibujar un cuadrado de lado x .
2. El área del cuadrado es 2x .
3. Se sabe además que el área del cuadrado es c , así que se quiere encontrar un número x tal
que dicho número por sí mismo sea c.
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Al igual que en el primer caso, se presentará un ejemplo que ayude a explicar como se
puede usar el segundo caso.
Ejemplo: Hallar el posible valor de la variable x , sabiendo que 252 x .
En este caso se darán herramientas diferentes a las anteriores. A los estudiantes se les
muestra la siguiente figura, en donde se les indica el valor numérico del área, que en este
caso es 25.
Sabiendo los estudiantes que el área de un cuadrado se determina con la fórmula
2xxx , entonces se supondrá que rápidamente el estudiantado determinará para este caso
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en particular que el valor de x debe de ser 5.
Tercer caso
Este caso consiste en lo siguiente:
cbx
1. Dibujar un rectángulo con medidas b y x .
2. El área del rectángulo es bx .
3. Además, el área del rectángulo es c .
Se debe encontrar un valor para x tal que multiplicado por b sea c .
Para la solución de ecuaciones lineales existen dos opciones, la que los egipcios
expusieron por muchos años y ésta que es por medio de la resolución de áreas.
Para criterio de resolución, se podría usar la que viene planteada en la parte de anexos,
que es mucho más sencilla que ésta. Sin embargo es opcional para el lector. Al final las dos
opciones son útiles para la introducción de un tema como el de ecuaciones lineales.
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A continuación se verá el caso que describe rápidamente como hallar la solución de
ecuaciones cuadráticas usando el método de completación de cuadrados.
Este caso en especial no se desarrollará como metodología para los estudiantes, ya que
es complicado de ver a simple vista que es lo que se desea hacer para hallar soluciones. Es
por esto, que solamente se describirá como algo teórico y se desarrollará en el quinto caso
mediante áreas, pero solamente con rectángulos, así obteniendo como resultado la fórmula
del método de inspección para este caso en particular.
Cuarto caso
bxcx 2
1. Dibujar un cuadrado de lado x .
2. Agregar un rectángulo de área c , con una de sus longitudes x , a uno de los lados.
3. Por la ecuación, el rectángulo resultante tiene dimensiones b y x .
4. Partir el rectángulo por 2
b .
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5. Trasladar el rectángulo sombreado a la parte superior del rectángulo de dimensiones x y
2b .
El área de la región sombreada más el área del rectángulo inferior es de c , porque
corresponda al área del rectángulo original. Así se tiene que:
22
22
bx
bc .
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Entonces con este método de completación de cuadrados también se puede hallar la
solución de ecuaciones cuadráticas presentada anteriormente. Sin embargo se trabajará con
el siguiente método que es más fácil para los estudiantes de implementar.
Quinto caso
Método de inspección
a) bxcx 2
Igual que en el desarrollo anterior se tiene que:
Es decir, se debe cumplir que xbxc , lo que es lo mismo, encontrar dos números
que multiplicados den c ; pero además dichos números cumplen una condición más, y es que
la suma de ellos bxbx . Se puede observar que ambos números son solución de la
ecuación (pues si se hace xbu , entonces xxbbub ).
Ejemplo: Hallar el valor de la variable x , basándose en la siguiente figura y sabiendo
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que xx 7122 .
El método de inspección también es conocido como el método del “bateo”, ya que a
veces se convierte en un pequeño juego de azar. De hecho algunos profesores a nivel nacional
le dicen así después de definir correctamente el nombre.
Se conoce así porque la mayoría de personas que lo aplican deben de averiguar la
solución al tanteo, de hecho en este método de áreas de rectángulos también se aplica ésta
regla.
Tomando el ejercicio dado como ejemplo, note que obliga a hallar dos números que
multiplicados den el área del rectángulo que es 12 y que además la suma de estos dos de 7,
el cual corresponde al largo del rectángulo.
Si los estudiantes analizan este caso, concluirán que el valor de la variable x debe de ser
3, pues si se basan en los datos de la figura, y sustituyen a x por 3, entonces se cumplirán las
dos reglas antes expuestas.
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b) cbxx 2
En este caso se tiene que cbxx , es decir, se deben encontrar dos números que
multiplicados den c y restados den bbxx . En este caso, la solución positiva es el
mayor de ellos, en tanto que el menor de los números es una solución negativa.
Por ejemplo, de la ecuación:
24102 xx
dos números que multiplicados den 24 y restados den 10 son 12 y 2. Así, las soluciones de
la ecuación son 12x y 2x .
Y ya para finalizar, se presentará el último caso, el cual sí estará resuelto con el método
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de completación de cuadrados.
Al-Khowârizmî creó el método de completación de cuadrados, el cual al igual que los
anteriores fue plasmado de una manera “geométrica”, de ahí su nombre, y es que este caso
en particular utiliza procedimientos muy acorde a lo que se quiso decir con el título de éste.
Observe como se resuelven ecuaciones cuadráticas utilizando este procedimiento.
Sexto caso
cbxx 2
En este caso se tiene la ecuación 02 cbxx . Recordemos que si 1x y 2x son las
soluciones de la ecuación, entonces cxx 21 y bxx 21 , de donde solamente se tiene
una solución positiva. Dicha solución se puede obtener mediante los siguientes pasos:
1. Dibujar un cuadrado de lado x .
2. Dibujar rectángulos de dimensiones x y 2
b en dos lados adyacentes del cuadrado.
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3. Se tiene que:
cbxxb
xb
xx 22
22,
por lo que el área total del cuadrado de lado 2
bx es 4
bc , es decir:
42
22b
cb
x
Ejemplo: Utilizando la información que contienen las siguientes figuras, halle el valor
de la variable x , sabiendo que 24102 xx .
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Figura 1 Figura 2
En este caso el profesor deberá medir la capacidad de razonamiento que tienen sus
estudiantes, pues es probable que tenga que intervenir en la resolución del ejercicio, ya que
los procedimientos a seguir conllevan más análisis y conocimientos previos como las
potencias.
Sin embargo es importante dejar a los estudiantes razonar por cuenta propia, pues cuando
un estudiante se “ensucia las manos” tratando de resolver algún ejercicio, le es más fácil ver
la respuesta cuando le brindan ayuda.
Solución:
Guiándose con las figuras, los estudiantes tendrán que darse cuenta en algún momento
que están hallando áreas de rectángulos. Además convendrá que éstos relacionen los datos
de las figura 1 con los datos de la figura 2, pues cuando esto suceda, los estudiantes deberán
concluir esta ecuación: 492524)5()5)(5( 2 xxx .
La ecuación 4952x señala el área del cuadrado principal, y es en este punto de la
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operación que el estudiante deberá captar que el valor de x debe de ser 2 ; por esto la
importancia del manejo de potencias, pues es cuando el estudiante entenderá que si que 2x
entonces 4972522 , donde 49 el área total del cuadrado principal.
Después, para comprobar si los resultados están correctos, se les pide que sumen las
áreas de los distintos rectángulos que se formaron dentro del cuadrado principal, es decir:
2425222
.
Al finalizar la comprobación, se le explica a los jóvenes con más detalle los diferentes
pasos que se tomaron para llegar a este resultado.
