Ministerio de Educación y JusticiaUniversidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional San Rafael

Cátedra: Probabilidad y Estadística Profesor: Lic. Oscar Raúl Zapata JTP: Lic. Andrea Roldán

ATP: Ing. Valeria CorderoTaller N º 6

Estimación Ciclo Lectivo: 2014

Ejercicio Nº 1

Algunas publicaciones médicas, aseguran que la vitamina c, puede resultar de utilidad en la disminución del

colesterol en sangre. Para corroborar esta afirmación, un investigador, observó el nivel de colesterol en 50

pacientes (todos ellos con niveles mayores a los normales) y durante un mes los sometió a una dosis diaria de

500 mg. de vitamina c.

Al finalizar el tratamiento, volvió a medir los niveles de colesterol, registrando la disminución observada en

cada uno de ellos. De este registro obtuvo un promedio de 64,3mg por 100 ml. Con una desviación estándar

de 18,9 mg. por 100 ml. Desea ahora estimar el valor de la media poblacional por medio de un intervalo con

una confianza del 95%.

Primero, Identificamos la variable en estudio y los parámetros involucrados.

X = Colesterol en sangre (mg/100ml) En este caso se debe suponer que X N ¿) y el parámetro que desea

estimarse es μ ;

Del enunciado del problema, obtenemos:

X = 64.3 mg/100ml

S= 18.9 mg /100ml

n= 50 pacientes

El problema define una confiabilidad de 95%:

Para 1-α = 0,95 →Z α2

=1,96

Podemos estimar el intervalo de confianza utilizando la distribución normal y S en vez de σ porque n≥30:

P [x-Z∝2

S

√n ; x+Z ∝2

S

√n]= 1-α[64.3 mg/100ml – (1,96 *

18,9mg /100ml√50

) < μ<¿ 64.3 mg/100ml + (1,96 * 18,9mg /100ml

√50)] = 0,95

[59,06 mg/100ml < μ < 69,54 mg/100 ml.]=0,95

Con un nivel de confiabilidad del 95%, se estima que la media poblacional del colesterol en sangre estará

contenida en el intervalo de (59,06 mg/100ml; 69,54 mg/100 ml.)

Ejercicio Nº 2

La sección pruebas de una fábrica automotriz decide estudiar el consumo de nafta en un modelo experimental

de autos. Para ello realiza la experiencia de recorrer 100 Km. 30 veces, registrando de cada prueba, el

consumo de combustible. Siendo la X= 10,8 litros y la desviación estándar 1,4 litros. Estimar el intervalo que

contenga la media real, con una confianza del 99%.

Taller Nº 7 1

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Primero, Identificamos la variable en estudio y los parámetros involucrados.

X = Consumo de nafta (Litros) En este caso se debe suponer que X N ¿) y el parámetro que desea

estimarse es μ ;

Del enunciado del problema, obtenemos:

X = 10.8 l

S= 1.4 l

n= 30

El problema define una confiabilidad de 99%:

Para 1-α = 0,99 →Z α2

=2,576

Podemos estimar el intervalo de confianza utilizando la distribución normal y S en vez de σ porque n≥30:

P [x-Z∝2

S

√n ; x+Z ∝2

S

√n]= 1-∝[10,8 l – (2,576 *

1,4 l

√30) < μ<¿ 10,8 l + (2,576 *

1,4 l

√30)] = 0,99

[10,14 l < μ < 11,45 l.]=0,99

Con un nivel de confiabilidad del 99%, se estima que la media de consumo de nafta de toda la población del

modelo experimental de autos, estará contenida en el intervalo de (10,14 l; 11,45 l.)

Ejercicio Nº 3

Un fabricante de cemento, desea que el concreto que se prepare con su producto posea una resistencia de

compresión, relativamente estable. Para averiguarlo, toma una muestra de 10 observaciones, obteniendo una

varianza de 105 kg. por cm2.

Con este dato proporcionado por la muestra, desea estimar el intervalo que contenga a la varianza de la

resistencia. (Determinar la confianza)

Primero, Identificamos la variable en estudio y los parámetros involucrados.

X = Resistencia de compresión estable (Kg/cm2) En este caso el parámetro que desea estimarse es

σ 2, paraeste casoutilizamos la distribución X2 (Chi o Ji cuadrado) con n-1 grados de libertad.

Del enunciado del problema, obtenemos:

S2= 105 Kg/cm2

n= 10

ν=10−1=9(grados de libertad)

El problema no define una confiabilidad, debemos elegirla: en este caso elegí confiabilidad de 95%:

Para 1-α = 0,95 →X10−12 ;1−∝

2=2,70

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→X10−12 ;

∝2=19,023

Nota: recuerden que la distribución X2 (Chi o Ji cuadrado) es asimétrica

Podemos estimar entonces el intervalo de confianza utilizando la distribución Chi cuadrado.

P [X10−12 ;∝2≤

(n−1)S2

σ2 ≤ X10−12 ;1−∝

2] =1-∝

P [ (n−1)S2X10−12 ;

∝2

≤σ 2 ≤ (n−1) S2

X10−12 ;1−∝

2

]=1-∝ [9∗105Kg /cm2

19,023≤σ2 ≤ 9∗105Kg /cm 2

2,70] = 0,95

[49,74 Kg/cm2 ≤ σ 2 ≤ 350 Kg/cm2]=0,95

Con un nivel de confiabilidad del 95%, se estima que la varianza poblacional de la resistencia de compresión

del concreto estará contenida en el intervalo de (49,74 Kg/cm2; 350 Kg/cm2)

Ejercicio Nº 4

Un investigador desea estimar el rendimiento promedio de grasa que contiene la leche producida por cierta

raza de vacas, en un período de tiempo determinado. Para ello extrae una muestra de 10 vacas lecheras,

obteniendo: X = 36,4 Kg. y varianza = 264,04 Kg.2

Estimar para un nivel de confianza del 95%, el intervalo que contenga a la media poblacional.

Primero, Identificamos la variable en estudio y los parámetros involucrados.

X = Rendimiento promedio de grasa (Kg.) En este caso se debe suponer que X N ¿) y el parámetro que

desea estimarse es μ ;

Del enunciado del problema, obtenemos:

X = 36,4Kg.

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S2= 264, 04 Kg2 →S=¿16,249 Kg.

n= 10 vacas

El problema define una confiabilidad de 95%, considerando en este caso que n≤30, y la varianza poblacional

es desconocida, utilizamos distribución t, para n-1 grados de libertad.

Para 1-α = 0,95 →t α2

=2,26

Podemos estimar el intervalo de confianza utilizando la distribución normal y S en vez de σ porque n≥30:

P [t n−1; ∝2 ≤ (x−μ)S√n

≤ tn−1 ;1−∝2

] =1-∝P [x−t n−1;

∝2

S

√n≤μ ≤ x+ tn−1 ;1−∝

2] =1-∝

P [36,4 Kg.−2,26 16,249√10

≤μ ≤36,4Kg .+2,26 16,249√10

] =1-∝

[24,787 Kg ≤ μ≤ 48,012 Kg]=0,95

Con un nivel de confiabilidad del 95%, se estima que el rendimiento medio de grasa poblacional estará

contenida en el intervalo comprendido entre (24,787 Kg; 48,012 Kg.)

Ejercicio Nº 5

En una muestra de 10 mediciones de diámetro de una esfera, se encuentra que la media es igual a 438

milímetros y la desviación estándar es 0.06 mm. Encontrar los límites de confianza de la media poblacional,

para: 95 y 99 %.

Para un nivel de confiabilidad del 95%, se estima que el diámetro medio de la población de esferas estará contenida en el intervalo comprendido entre (437,957mm.; 438,006mm.)

Para un nivel de confiabilidad del 99%, se estima que el diámetro medio de la población de esferas estará contenida en el intervalo comprendido entre (437,938mm.; 438,061mm.)

Ejercicio Nº 6

En una encuesta 1200 adolescentes expresaron su opinión respecto a lo que consideran como principales

problemas de la juventud en la actualidad.

Los planteos fueron los siguientes:

Relación y comunicación con los padres 37%

Desempleo 30%

Adicción a drogas 17%

Alcoholismo 16%

a- Suponiendo que la muestra fue seleccionada aleatoriamente, estimar los intervalos poblacionales que

contengan las proporciones reales para cada problemática con una confianza de 95 ó 99 %. Comentar los

resultados obtenidos.

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Para un nivel de confiabilidad de 99%:

p=0,37 (0,369; 0,371)

p=0,30 (0,299; 0,300)

p=0,17 (0,169; 0,170)

p=0,16 (0,159; 0,161)

b- Establecer relaciones entre la precisión de los intervalos obtenidos y los niveles de confianza.

Cuando aumenta el nivel de confianza, disminuye la precisión de los intervalos.

Ejercicio Nº 7

Se ha comprobado que la concentración promedio de zinc que se saca del agua de un río a partir de una

muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2,6 gramos por mililitro. Encontrar los intervalos de

confianza para 95% y 99%, para la concentración media de zinc en el río, suponiendo que la desviación típica

de la población es 0,3.

Para un nivel de confiabilidad del 95%, se estima que la concentración promedio de zinc en la totalidad de agua estará contenida en el intervalo comprendido entre (2,502 g/l; 2,698 g/l)

Para un nivel de confiabilidad del 99%, se estima que la concentración promedio de zinc en la totalidad de agua estará contenida en el intervalo comprendido entre (2,471 g/l; 2,728 g/l)

Ejercicio Nº 8

Determinar un intervalo de confianza con una confiabilidad de α= 0,05 para la probabilidad de que un recién

nacido sea niño, si en una muestra de tamaño 123 se han contabilizado 67 niños.

p̂=67/123

P ( p̂=¿ niño) = 1-∝ =0,95

P= (0,046; 0,633)

Ejercicio Nº 9

El encargado del departamento de producción de una fábrica recibe un lote de 2000 piezas necesarias para el

montaje de un artículo. El fabricante de las piezas asegura que en este lote no hay más de 100 piezas

defectuosas.

a) ¿Cuántas piezas hay que examinar para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que se cometa en

la estimación de la proporción de piezas defectuosas no sea mayor que 0,05?

p̂=100 /2000

P ( p̂=¿ defectuosas) = 1-∝ =0,95

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n≅73 piezas

b) Si se toma una muestra de 100 piezas elegidas al azar y se encuentran 4 defectuosas, determinar un

intervalo de confianza para la proporción de defectuosas al nivel del 95%.

p̂=4 /100

(0,002; 0,078)= 0,95

Ejercicio Nº 10

Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo se distribuye en forma

normal y se conoce que la media poblacional es de 71 Kg. con una varianza de 49 Kg2. ¿Cuál es la

probabilidad que el peso de 4 individuos supere los 300Kg?

P (Z > 1,143) = 0,1265

Taller Nº 7 6