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Estructuras Genricas:

Realimentaciones Negativas de Primer Orden

Producido para el

System Dynamics in Education Project

MIT System Dynamics Group

Bajo la supervisin del Dr. Jay W. Forrester

Sloan School of Management

Massachusetts Institute of Technology

Autora: Stephanie Albin

September 5, 1996

Traduccin: Juan Martn Garca

juan.martin2@upcnet.es

2000

Editato

Ing. Eduardo Gonzlez Mendvil, ITESM Tecnolgico de Monterrey Mxico

Copyright 1996 Massachusetts Institute of Technology

Autorizada la reproduccin para fines educativos no comerciales.

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Indice

1. INTRODUCCION 5

2. DISMINUCIN EXPONENCIAL 6

2.1 EJEMPLO 1: DISMINUCIN DE LA RADIOACTIVIDAD 72.2 EJEMPLO 2: SISTEMA DE POBLACION CON MUERTES 82.3 EJEMPLO 3: SISTEMA REDUCCION DEL TAMAO DE UNA EMPRESA 8

3. LA ESTRUCTURA GENERICA 10

3.1 DIAGRAMA DEL MODELO 103.2 ECUACIONES DEL MODELO 103.3 COMPORTAMIENTO DEL MODELO 13

4. COMPORTAMIENTOS PROVOCADOS POR LA ESTRUCTURA GENERICA 14

4.1 CAMBIANDO EL VALOR INICIAL DEL NIVEL 144.2 CAMBIANDO EL VALOR DE LA TASA DE REDUCCION 154.3 CAMBIANDO EL VALOR DEL OBJETIVO 17

5. RESUMEN DE LAS CARACTERISTICAS MAS IMPORTANTES 18

6. USO DE LAS CONCLUSIONES OBTENIDAS DE LA ESTRUCTURA GENERICA 20

6.1 EJERCICIO 1: DISMINUCIN DE LA RADIOACTIVIDAD 206.2 EJERCICIO 2: ENVOS DE PAQUETES 216.3 EJERCICIO 3: REDUCCIN DEL TAMAO DE UNA EMPRESA 21

7 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 22

7.1 SOLUCIN A 6.1: DISMINUCIN DE LA RADIOACTIVIDAD 227.2 SOLUCIN A 6.2: ENVOS DE PAQUETES 237.3 SOLUCIN A 6.3: REDUCCIN DEL TAMAO DE UNA EMPRESA 23

8 APENDICE 24

SECCIN 2.1: DOCUMENTACIN DEL MODELO DE RADIOACTIVIDAD 24SECCIN 2.2: DOCUMENTACIN DEL MODELO DE POBLACION CON MUERTES 24SECCIN 2.3: DOCUMENTACIN DEL MODELO DEL TAMAO DE EMPRESA 25

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1. Introduccin

Las estructuras genricas son estructuras relativamente simples que aparecen en

diferentes situaciones. En este trabajo, el modelo de la disminucin de la radioactividad y el

de la poblacin nos muestran como comparten la misma estructura bsica. La existencia de

una misma estructura en diferentes sistemas nos da una idea de la importancia de su estudio

en la dinmica de sistemas.

Las Guas de Aprendizaje contienen una serie de trabajos sobre las estructuras

genricas. Estos trabajos utilizan las estructuras genricas para mostrar la clara relacin

entre la estructura y el comportamiento de un sistema. Nuestra comprensin de la estructura

de los sistemas que nos rodean puede complementar nuestra intuicin, y mejorar nuestra

capacidad para comprender su comportamiento.

El conocimiento sobre una estructura genrica en un sistema se puede utilizar para

comprender el comportamiento de otros sistemas que contienen la misma estructura. El

conocimiento de las estructuras genricas y de los comportamientos que provocan se puede

aplicar al estudio de los sistemas que se abordan por primera vez.

El comportamiento de un sistema es a menudo ms evidente que su estructura

interna. Es una prctica frecuente el clasificar los sistemas segn sus comportamientos. Sin

embargo, es incorrecto creer que los sistemas son capaces de mostrar slo sus

comportamientos ms visibles, y es necesario una visin ms profunda para percibir otros

posibles comportamientos que pueden presentar. El estudio de las estructuras genricas nos

ha de mostrar el rango de comportamientos de cada estructura en particular. En cada caso

hay que identificar que parte de la estructura provoca el comportamiento observado.

En este trabajo se muestra una estructura genrica de realimentacin, lineal y

negativa de primer orden. Existen muchos ejemplos de sistemas que contienen esta misma

estructura genrica que se muestra aqu. Se puede encontrar esta estructura en otros muchos

modelos. Los ejercicios al final de este trabajo le proporcionan una ocasin de aplicar los

conocimientos adquiridos a otros sistemas diferentes.

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2. Disminucin Exponencial

La disminucin exponencial es uno de los comportamientos que se observan con

frecuencia en los bucles negativos. La Figura 1 contiene la caracterstica curva de

disminucin exponencial. Una caracterstica importante de la disminucin exponencial es su

comportamiento asinttico.1 La asntota hacia la que tiende el valor del nivel es el

objetivo del nivel. El objetivo es igual a cero en el caso de la Figura 1. Otra importante

caracterstica de la disminucin exponencial que se mantiene constante siempre el Plazo de

reduccin a la mitad. Este plazo es el tiempo que el sistema necesita para que la variable se

reduzca a la mitad. La siguiente formula nos aproxima a su valor conociendo la Constante

de tiempo.

Plazo de reduccin a la mitad = 0.7 * Constante de tiempo

Recuerde, la Constante de Tiempo es el plazo en el cual el valor inicial alcanza el objetivo.

La Figura 1 nos muestra este concepto. La Constante de Tiempo es 3 porque la lnea

tangente desde el valor inicial del nivel corta el eje temporal en el perodo igual a 3.

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00

Periodo

0.00

500.00

1000.00

1: NIVEL

1

1

11

Plazo de reduccin a la mitad

Objetivo ( = 0)

Constante de Tiempo

Figura 1. Curva de Disminucin Exponencial

1 La curva que tiene un comportamiento asinttico se aproxima gradualmente a un valor determinado(asntota) a lo largo del tiempo. La pendiente de la curva se aproxima a la curva.

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Un bucle negativo simple est formado por un nivel, un flujo que sale del nivel, y un

objetivo. El flujo es proporcional a la diferencia entre el nivel y el objetivo. Tambin

podemos referirnos a un bucle negativo como un bucle que se dirige o persigue un objetivo.

Por ejemplo, un elemento radioactivo posee un bucle negativo en su estructura y nos

muestra una disminucin exponencial. Otro sistema con disminucin exponencial lo hallamos

en una poblacin sin nacimientos ni otras entradas, y una tasa de mortalidad proporcional a

la poblacin. Estos dos sistemas tienen en comn la misma estructura y muestran unos

comportamientos similares. Otro sistema que tambin muestra una disminucin exponencial

es el proceso de reduccin del tamao de la plantilla de una empresa hasta lograr su objetivo

explcito. Estos tres sistemas contienen un bucle negativo en su estructura con un objetivo

(en algunos casos este objetivo es igual a cero), y nos muestran el caracterstico

comportamiento de disminucin exponencial.

Ahora estudiaremos con mas detalle estos tres sistemas que hemos comentado.

2.1 Ejemplo1: Disminucin de la Radioactividad

La Figura 2 nos muestra la disminucin de la radioactividad. El nivel muestra la

cantidad de un material radioactivo y el flujo de disminucin la transformacin del

material radioactivo en otro que ya no lo es. La tasa de disminucin es la parte del material

radioactivo que disminuye cada periodo de tiempo, y es propio para cada tipo de material.

Aceptando que es un sistema cerrado y que no hay nuevas adiciones de material, todo el

material inicial se transformar al final en un material no radioactivo. El objetivo implcito de

todo el sistema es cero.

El flujo de disminucin = material radioactivo* tasa de disminucin.

Mat erial radioac tivo

Fluj o d e disminucin

Rat io de didisminucin

Figura 2. Disminucin de la Radioactividad

8 D-4475-1

2.2 Ejemplo 2: Sistema de Poblacin con muertes

La Figura 3 es un modelo de una poblacin de mulas. La poblacin de mulas es el

nivel y el flujo de muertes recoge su disminucin. Las muertes son la cantidad de mulas

que muere cada ao. El objetivo implcito del sistema es una poblacin de cero mulas. Con

ningn nacimiento en el sistema, al final, todas las mulas morirn.

Muertes = poblacin de mulas * tasa de mortalidad.

Poblacin de mulas

mue rt es

Tasa d e mor talidad

Figura 3. Sistema de Poblacin con muertes

Los Ejemplos 1 y 2 comparten la misma estructura interna de un nivel con un flujo

que es proporcional al nivel. Ambos tienen un objetivo implcito de cero, lo cual provoca

una disminucin exponencial.

2.3 Ejemplo 3: Sistema de Reduccin del tamao de una empresa

El tercer ejemplo muestra en la Figura 4 una estructura de realimentacin negativa en

la que el nivel es el nmero de empleados de una empresa y el flujo es la cantidad de

despedidos. En lugar de tener un objetivo implcito de cero como en los ejemplos 1 y 2, el

objetivo de la empresa es la cantidad de empleados deseados. La diferencia es la resta

entre el nivel real y el objetivo, y es slo el nmero de empleados que la empresa an debe

de despedir para alcanzar el objetivo.

La diferencia = nmero de empleados empleados deseados.

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e mplea dos

desp idos

Plazo de ajust ed ifer encia

E mplea dos desea dos

Figura 4. Sistema de Reduccin del tamao de una empresa

La cantidad de despidos hace disminuir el nmero de empleados. Los despidos es

el nmero de personas que dejan la empresa por unidad de tiempo, el cual es el mismo que la

diferencia dividido entre el plazo de ajuste. Por ello, los despidos son igual a la diferencia

dividida por el plazo de ajuste.

Despidos = diferencia / plazo de ajuste.

En la ecuacin del flujo, existe una divisin por el plazo de ajuste, el cual es la

constante de tiempo del sistema. Dividir por el plazo de ajuste es anlogo a multiplicar por

una tasa de disminucin como veamos en los ejemplos 1 y 2. En la ecuacin del flujo,

multiplicar la diferencia por una tasa de disminucin es idntico a dividir por la constante de

tiempo.

El Ejemplo 3 tiene la misma estructura bsica que los ejemplos 1 y 2. Es tambin

posible modelar los ejemplos 1 y 2 de esta forma. Existen casos especficos en los que el

objetivo es cero. Si el nmero de empleados deseado fuese cero, entonces la diferencia sera

simplemente el nmero de empleados que quedan. El nuevo flujo sera:

despidos = diferencia/ plazo de ajustedespidos = (empleados empleados deseados) / plazo de ajustedespidos = (empleados 0)/plazo de ajustedespidos = empleados/plazo de ajuste

Esta ltima ecuacin contiene la misma estructura genrica de los ejemplos 1 y 2.

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3. La Estructura Genrica

Ahora vamos a estudiar la estructura genrica de realimentacin negativa de los 3

ejemplos. Primero presentaremos un patrn de la estructura genrica. Los 3 ejemplos

pueden ser modelados utilizando la misma estructura genrica. Luego examinaremos las

ecuaciones del modelo para ambos casos utilizando un factor de disminucin o una

constante de tiempo -. Por ltimo, comentaremos los comportamientos caractersticos del

modelo.

3.1 Diagrama del Modelo

nivel

flu j o

Fact o r d edisminucin .difer encia

Obj et ivo del n ivel

Figura 5. Modelo Genrico

La Figura 5 nos muestra la estructura genrica de una realimentacin negativa. Esta

estructura genrica puede servir en los ejemplos 1, 2 y 3 as como en sistemas similares..

3.2 Ecuaciones del Modelo

La ecuaciones de la estructura general son:

nivel(t) = nivel(t dt) + ( flujo) * dt

DOCUMENTO: Es el nivel del sistema. Corresponde a la cantidad de compuesto

radioactivo, la poblacin de mulas, o el nmero de empleados de una empresa en los

ejemplos anteriores respectivamente.

UNIDADES: unidades

FLUJO:

flujo = diferencia * factor de disminucin

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DOCUMENTO: El Factor de disminucin y el valor de la diferencia definen el flujo que

sale del nivel. Corresponde a la tasa de disminucin, la tasa de mortalidad y el porcentaje de

despidos en los ejemplos anteriores.

UNIDADES: unidades/tiempo

diferencia = nivel objetivo del nivel

DOCUMENTO: La diferencia se calcula como la resta entre el nivel y el objetivo del nivel.

En los ejemplos de la radioactividad y la poblacin, es igual a la diferencia entre el nivel y el

objetivo implcito que es cero, o sea, el valor del nivel en cada perodo. La diferencia

tambin se corresponde con el exceso de plantilla en cada momento en el tercer ejemplo.

UNIDADES: unidades

Factor de disminucin = una constante

DOCUMENTO: El factor de disminucin es una fraccin de la diferencia (que es igual al

nivel cuando el objetivo es cero) que se cierra en cada periodo de tiempo. El factor de

disminucin corresponde tambin a la tasa de mortalidad en el ejemplo anterior.

UNIDADES: 1/tiempo

Objetivo del nivel = una constante

DOCUMENTO: Es el objetivo del nivel. El objetivo es igual a cero en los sistemas del

material radioactivo y la poblacin, y es igual al nmero de empleados deseados en el

ejemplo 3.

UNIDADES: unidades

Nota: Si tenemos una constante de tiempo en lugar de una tasa de disminucin, las

ecuaciones para el flujo y la constante de tiempo deben ser:

flujo = diferencia/constante de tiempo

UNIDADES: unidades/tiempo

constante de tiempo = una constante

12 D-4475-1

DOCUMENTO: Esta es la constante de tiempo. Representa el tiempo de ajuste para el

nivel.

UNIDADES: tiempo

De la comparacin de las dos posibles ecuaciones para el flujo, podemos observar que el

multiplicador de la ecuacin del flujo es2

Multiplicador en la ecuacin del flujo = factor de disminucin = (1 / Constante de Tiempo)

2 Hay una explicacin detallada de las constantes de tiempo en el trabajo Beginner Modeling ExercisesSection 3: Mental Simulations of Negative Feedback by Helen Zhu. (D-4536)

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3.3 Comportamiento del Modelo

El aspecto ms caracterstico de la disminucin exponencial es su constante de

tiempo, que es el perodo necesario para que la diferencia entre el nivel y el objetivo se

reduzca a la mitad. Dado que el factor de reduccin es constante en 0.2, el Plazo de

reduccin a la mitad es constante en el modelo. En la Figura 6, por ejemplo, el nivel inicial

es 100 y el objetivo es 50, la diferencia es pues 50. Se necesitan unos 3,5 aos para que la

diferencia se reduzca a la mitad (nivel =75), y otros 3,5 aos para que la diferencia

disminuya otra mitad de 12,5 (nivel=62,5).

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00Tiempo

0.00

50.00

100.00

1: NIVEL 2: OBJETIVO PARA EL NIVEL

1

1

112 2 2 2

Figura 6. Resultados de la Simulacin

14 D-4475-1

4. Comportamientos producidos por la estructura

genrica

El comportamiento producido por esta estructura puede variar, en funcin de los valores

de tres parmetros: el valor inicial del nivel, el objetivo, y el factor de disminucin.

4.1 Cambios en el valor inicial del nivel

Esta parte muestra el efecto de cambiar el valor inicial del nivel. En nuestro modelo

genrico, el nivel tiene valores iniciales de 8000, -4000, 0, 4000, y 8000 para las

simulaciones de la 1 a la 5 respectivamente. El objetivo es siempre igual a cero. El factor de

disminucin es 0,2.

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

Tiempo

-8000.00

0.00

8000.00

1: NIVEL 2: NIVEL 3: NIVEL 4: NIVEL 5: NIVEL

1

1

11

2

22 23 3 3 3

4

44 4

5

55 5

Figura 7. Simulacin para diferentes valores iniciales del nivel

La Figura 7 muestra que el nivel siempre se dirige asintticamente a su objetivo (en

este caso igual a cero) sea cual sea el valor inicial. En 5 veces el Plazo de reduccin a la

mitad todos los niveles se hallan en el 97% del camino hacia el valor cero.

Podemos ver claramente que un bucle de realimentacin negativo crea un

comportamiento dirigido a un objetivo. El nivel tratar siempre de forma asinttica de

dirigirse a su valor de equilibrio estable. La estructura genrica de una realimentacin de

D-4475-1 15

primer orden puede mostrar tres tipos de comportamiento: disminucin asinttica

(exponencial) hacia un equilibrio, comportamiento estable en equilibrio, o un crecimiento

asinttico hacia un valor de equilibrio.

4.2 Cambios en el valor del Factor de disminucin

Cambios en el valor del Factor de disminucin aceleran o retrasan la disminucin

exponencial de un sistema. Para estudiar sus efectos modificaremos el Factor de disminucin

mientras que mantenemos constante el valor inicial del nivel en 8000 y el objetivo en cero.

El Factor de disminucin tendr valores de 0, 0,1, 0,2, 0,3, y 0,4 para las simulaciones 1 a

5 respectivamente. En la Figura 8 se muestra la variacin del nivel debida al cambio del

Factor de disminucin.

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

Tiempo

0.00

4000.00

8000.00

1: NIVEL 2: NIVEL 3: NVEL 4: NIVEL 5: NIVEL1 1 1 1

2

2

2

2

3

3

33

4

44 4

5

5 5 5

Figura 8. Simulacin para diferentes valores del Factor de disminucin.

Observe que cuando el factor de disminucin es igual a cero, el valor inicial del nivel

no cambia. Esto se debe a que el flujo es igual al factor de disminucin por el valor del nivel.

Por otra parte, cuanto mayor sea el factor de disminucin, con ms rapidez el nivel se

aproximar a su equilibrio. Un mayor valor del factor de disminucin acelerar el proceso de

la disminucin exponencial. Un examen de la ecuacin del Plazo de reduccin a la mitad

16 D-4475-1

para diferentes valores de la constante de tiempo3 puede permitir comprobar

cuantitativamente esta aceleracin. Un factor de disminucin de 0,1 se corresponde con un

Plazo de reduccin a la mitad de 7 unidades de tiempo. A un factor de 0,4 le corresponde un

Plazo de slo 1,75 unidades de tiempo. (Nota: Para un valor inicial negativo del nivel, el

efecto del factor de disminucin en el crecimiento asinttico es similar. En este caso, el nivel

crece asintticamente. Y a mayor factor de disminucin, mayor es el crecimiento del nivel).

3 Plazo de reduccin a la mitad = 0,7 * constante de tiempo = 0,7/factor de disminucin. Para ms detallesver: Zhu, Helen. Beginner Modeling Exercises 3: Mental Simulations of Negative Feedback (D-4536).January 1996, MIT System Dynamics in Education Project

D-4475-1 17

4.3 Cambios en el valor del objetivo del nivel.

Los cambios en el objetivo del nivel provocan unos comportamientos interesantes.

Volvemos a tomar el nivel inicial de 8000 y el factor de disminucin igual a 0,2. Los valores

del objetivo son 8000, 6000, 4000, 2000, y 0 para las simulaciones de 1 a la 5. La Figura 9

nos muestra la simulacin para diferentes valores del objetivo. A pesar de que el stock nunca

alcanza completamente el objetivo, despus de 5 ves el Plazo de reduccin a la mitad el

nivel alcanza el 97% del valor del objetivo. Todas las simulaciones se hacen con el mismo

Plazo de reduccin a la mitad, y logran este mismo porcentaje al mismo tiempo.

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

Tiempo

0.00

4000.00

8000.00

1: NIVEL 2: NIVEL 3: NIVEL 4: NIVEL 5: NIVEL1 1 1 1

2

22 2

3

3

33

4

4

44

5

5

55

Figura 9. Simulacin para diferentes valores del objetivo del nivel

18 D-4475-1

5. Resumen de las caractersticas ms importantes

Estructura:

El bucle de realimentacin es negativo si tenemos un flujo de salida en el modelo y el

factor de disminucin es positivo (o el factor de disminucin es negativo y el flujo es de

entrada al nivel en el modelo).4

Comportamiento:

La Figura 10 contiene un resumen de los comportamientos que los bucles de

realimentacin negativos nos pueden mostrar. Aunque estos bucles son muy conocidos por

su disminucin exponencial, tambin muestran otros comportamientos.

Un bucle de primer orden puede mostrarnos tres tipos de comportamientos:

descenso asinttico hacia el equilibrio, contante en el equilibrio, y crecimiento asinttico

hacia el equilibrio. Los tres tipos de comportamientos dirigen el nivel hacia el objetivo.

El comportamiento del nivel est en

letra itlica para cada combinacin de

valores de los parmetros.Nivel

(suponga objetivo = 0)

Negativo Cero Positivo

Factor de

Cero Equilibrio en

su valor

negativo

Equilibrio en

cero

Equilibrio en

su valor

positivo.

DisminucinPositivo

Crecimiento

asinttico

hacia el

equilibrio

Equilibrio en

cero.

Disminucin

asinttica

hacia el

equilibrio.

4 Aunque STELLA considera que los flujos de salida son negativos en la ecuacin del nivel, nosotrosutilizamos como positivo el factor de disminucin. No obstante, los bucles de realimentacin negativosnecesitan un factor de disminucin positivo para estos flujos.

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Figura 10. Resumen del comportamiento de un bucle de realimentacin negativo

20 D-4475-1

En resumen, el crecimiento y la disminucin asintticos requieren un valor inicial

diferente de cero y tener un Factor de disminucin constante. El ritmo al que se produce la

disminucin se incrementa con el valor de la Tasa de Disminucin. Si el nivel o el Factor de

Disminucin es cero, el flujo de salida tambin es cero y existe equilibrio.

Repase la Figura 10 y los grficos de simulacin incluidos en este trabajo. Cuando

est seguro de que ha comprendido bien el comportamiento de estos sistemas, puede pasar a

hacer los ejercicios de la siguiente seccin.

6. Uso de los conocimientos adquiridos de la estructura

genrica

Hemos visto algunos ejemplos de diferentes sistemas, tanto con objetivos implcitos

como explcitos con la misma estructura bsica. Ahora aplicaremos nuestros conocimientos

de las estructuras genricas y su comportamiento para estudiar otros sistemas.

Para hacer los ejercicios, usted no necesita simular los modelos en el ordenador, ya

que ha de poder hacerlo solo sobre papel. No obstante, despus de responder a las

cuestiones, le animo a que experimente con los modelos en el ordenador.

6.1 Ejercicio 1: Disminucin de la Radioactividad

En la seccin 2.1 estudiamos la estructura simple de la disminucin de la

radioactividad. El Carbono-14 se transforma en un elemento estable, el Nitrgeno, con una

vida media de 5.700 aos.

1. Utilizando esta informacin, escriba el diagrama de flujos de la disminucin del nivel del

Carbono-14.

2. Cual es el valor para la constante de tiempo? Cual es la tasa de disminucin?

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6.2 Ejercicio 2: Envos de Paquetes

A continuacin estudiaremos un sistema simple con una realimentacin negativa.

Pa quet es pen dien tes de ent re ga

Fluj o d e ent re gas

Plazo m edio de en tre ga

Figura 11. Entregas de Paquetes

Jay atiende a un servicio de entregas. El plazo medio de entrega es de 2 das. Una

empresa de ordenadores, Nanosoft, le ha llevado 500 paquetes para entregar

inmediatamente. A mayor nmero de paquetes que Jay tiene pendientes de entregar, mayor

es la presin para que haga las entregas.

1. Cul es la constante de tiempo y el Plazo de reduccin a la mitad? Indique las unidades.

Cules son las unidades del flujo de entregas?

2. Cul es el objetivo de el nivel del sistema?

3. Cunto tiempo se necesitar para entregar el 50% de los paquetes? y el 75% de los

paquetes?

6.3 Ejercicio 3: Reduccin del tamao de una empresa

Nanosoft ha estado perdiendo dinero debido a la competencia de su rival Picosoft.

Los directivos de Nanosoft deciden que hay que disminuir el nmero de empleados desde los

20.000 actuales a 12.000. As Nanosoft puede ahorrar gastos y mantener los niveles de

produccin. El plazo disponible para esta reduccin es de 7 aos. (Por ello se necesitarn 5

veces el Plazo de reduccin a la mitad para alcanzar el 97% del objetivo lo cual es

aceptable para considerar logrado el objetivo- el Plazo de reduccin a la mitad es de 1,4

aos y la constante de tiempo es 2 aos).

22 D-4475-1

E mplea dos

Despidos

Plazo de ajust eDist ancia al ob jet ivo

Obj et ivo de Num e ro de E mplea dos

Figura 12. Reduccin del tamao de una empresa

1. Cul es el plazo de ajuste? Cul es el Plazo de reduccin a la mitad? Indique las

unidades.

2. De aqu a 3 aos, cul ser el nmero de empleados de Nanosoft?

3. Nanosoft decide que desea tener exactamente 16.000 empleados dentro de 4 aos.

Cmo puede Nanosoft conseguir este resultado modificando el plazo de ajuste,

mientras que mantiene el objetivo en 12.000?.

7 Soluciones a los ejercicios

7.1 Solucin a 6.1: Disminucin de la Radioactividad

1.

Car bono14

Nit rogeno

Ratio d e disminucin

Const ant e de t ie mpo

D-4475-1 23

Tenemos una cantidad de Carbono-14 , que no recibe nuevas entradas y tiene una flujo de

salida para su descomposicin. El Carbono-14 se descompone en Nitrgeno, por ello el flujo

de salida del nivel de Carbono es el mismo que el de entrada del nivel de Nitrgeno.

3. La Vida media del Carbono-14 es 5.700 aos.

La constante de tiempo es ? Vida media/ 0,7 ? 5.700/0,7 ? 8.142,86 aosEl ratio de disminucin = 1/constante de tiempo = 1/8.142,86 ? 0,000123

(NOTA para modeladores avanzados: El motivo por el que podemos modelar el sistema de

esta forma se debe a que las unidades de medida de los niveles son tomos. El nmero de

tomos en el sistema se mantiene. Quince tomos de Carbono 14 se transforman en 15

tomos de Nitrgeno. Si hubisemos trabajado con gramos como unidades de medida el

sistema no habra sido vlido. La masa no se conserva debido a que el Carbono-14 pierde

una partcula beta (masa) a la atmsfera la cual sale del sistema que nosotros modelamos).

7.2 Solucin a 6.2: Entregas de Paquetes

1. La constante de tiempo es = 2 das. El Plazo de reduccin a la mitad ? 0,7 x constantede tiempo ? (2)(0,7) ? 1,4 dasLas unidades para el flujo de entregas son paquetes/da

2. El objetivo implcito del sistema es cero.

3. Para entregar el 50% (1 Plazo de reduccin a la mitad), Jay necesita 1,4 das. Para que el

75% (2 Plazos) de los paquetes sean enviados, Jay necesitar 2,8 das.

7.3 Solucin a 6.3: Reduccin del tamao de una empresa

1. La constante de tiempo es = 2 aos, la cual es igual al tiempo de ajuste. El factor de

disminucin es = 1/constante de tiempo = 0,5.

El Plazo de reduccin a la mitad es ? 0,7 x constante de tiempo = (0,7)(2) = 1,4 aos.2. En 3 aos tendremos 2 veces el Plazo de reduccin a la mitad. En dos Plazos cerraremos

el 75% aproximadamente de la diferencia inicial. 75% de 8.000 es 6.000, por ello (20.000

6.000 ) 14.000 empleados an trabajan en Nanosoft.

24 D-4475-1

3. En 4 aos, Nanosoft quiere despedir a 4.000 empleados. Esto es el 50% de la diferencia

y necesitar 1 Plazo de reduccin a la mitad. Si 1 Plazo de reduccin a la mitad = 4 aos, el

plazo de ajuste ? Plazo de reduccin a la mitad/ 0,7 ? 4/0,7 = 5,7 aos. Nanosoft deberapues aumentar el plazo de ajuste a 5,7 aos.

8 Apendice

Documentacin del Modelo de las Secciones 2.1 a 2.3

Seccin 2.1: Documentacin del Modelo de la Disminucin de la

Radioactividad

Material radioactivo(t) = material(t dt) + ( flujo de disminucin) * dt

INIT compuesto radioactivo = constante

DOCUMENTO: Este es la cantidad de material radioactivo existente.

UNIDADES: tomos

FLUJO DE SALIDA:

Flujo de disminucin = material radioactivo * fraccin de desintegracin

DOCUMENTO: Es la cantidad de compuesto radioactivo que se transforma en un

compuesto estable por ao.

UNIDADES: tomos/ao

Tasa de disminucin = constante

DOCUMENTO: Esta es la tasa de disminucin de un sistema de realimentacin negativa.

UNIDADES: 1/tiempo

Seccin 2.2: Documentacin del Modelo de Poblacin con muertes

Poblacin de mulas(t) = Poblacin de mulas(t dt) + ( ratio de fallecimientos) * dt

INIT poblacin de mulas = constante

D-4475-1 25

DOCUMENTO: Esta es la cantidad de mulas vivas en el sistema

UNIDADES: mulas

FLUJOS DE SALIDA:

muertes = poblacin de mulas * tasa de mortalidad

DOCUMENTO: Esta es la cantidad de mulas que mueren cada ao.

UNIDADES: mulas/ao

Tasa de mortalidad = constante

DOCUMENTO: Esta es la tasa de disminucin del sistema con realimentacin negativa.

UNIDADES: 1/ao

Seccin 2.3: Documentacin de la Reduccin del tamao de una empresa

Empleados(t) = Empleados(t dt) + ( despidos) * dt

INIT numero de empleados = una constante

DOCUMENTO: Este es el nmero de empleados que trabajan en la empresa

UNIDADES: empleados

FLUJOS DE SALIDA:

despidos = distancia al objetivo/plazo de ajuste

DOCUMENTO: Es el nmero de empleados que son despedidos por semana

UNIDADES: empleados/semana

Plazo de ajuste = constante

DOCUMENTO: Esta es la constante de tiempo del sistema.

UNIDADES: semana

Empleados deseados = constante

DOCUMENTO: Este es el objetivo para el sistema con realimentacin negativa.

26 D-4475-1

UNIDADES: empleados

Diferencia = empleados empleados deseados

DOCUMENTO: Esta es la diferencia entre realidad y objetivo del sistema de realimentacin

negativo.

UNIDADES: empleados