Secciones Cónicas:

LA ELIPSE

La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol, el cual se encuentra en uno de los focos. Si el semieje mayor de la elipse mide 1,485x108 km, y la excentricidad de la misma es aproximadamente igual a 1/60, se puede calcular la máxima y la mínima distancia de la Tierra al Sol.

ST

3

La elipseEs el conjunto de puntos (x; y) del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos) es una constante.

Eje focal

CentroFocos

Vértices

d1 + d2 = constante

d1

d2

El segmento F1F2 que tiene por extremos a los focos F1 y F2 se llama línea focal o segmento focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2c. Por lo que, la distancia del centro C de la elipse a cada uno de los focos es igual a c.

Los puntos de intersección de la elipse con la línea recta que pasa por los focos, se llaman vértices de la elipse, y se les denota como V1 y V2.

El segmento V1V2 que tiene por extremos a los vértices V1 y V2 se llama eje mayor o eje focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2a.

La cuerda B1B2 perpendicular al eje focal por el centro C de la elipse, se llama eje menor o eje no focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2b.

Segmentos y puntos notables de una elipse

F1 F2

V1 V2

B2

B1

C

P

Q

Cada cuerda PQ perpendicular al eje focal por alguno de los focos de una elipse, se llama lado recto de la elipse.

El eje focal V1V2 tiene una longitud igual a 2a, y la distancia del centro a cada vértice es a; porque:

F1 F2

V1 V2

B2

B1

C

a a 1 2 2 2 2FV FV a

Además: 1 2 1 2 2 2 2 2 22FV FF FV CF FV

Sustituyendo F1V2 en la primera relación, se tiene:

1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2VV CV CF FV CF FV

2 2 22 2 2CF FV a

Pero:

Entonces: 1 2 2 2 2 22 yVV a CV CF FV a

F1 C

B2

a

c

b

Además, por el teorema de Pitágoras se sigue que:

2 2 2c a b

Por ser V2 punto de la elipse, se tiene que:

F1 F2

V1 V2

B2

B1

C

a a

aa

El centro C equidista de los extremos B1 y B2 del eje menor de la elipse, porque:

1 1 1 2 2 1 2 2BF BF a B F B F

Entonces la hipotenusa B2F1 y el cateto F1C del triángulo rectángulo B2CF1 son respectivamente congruentes con la hipotenusa B1F1 y el cateto F1C del triángulo rectángulo B1CF1 . Por lo que:

1 1 2 1BCF B CF

De donde: 1 2BC B C b

Además por pasar por el centro, las cuerdas B1B2 y V1V2 son diámetros de la elipse. Y por ser la hipotenusa mayor que cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo, se sigue que

1 2 1 22 2VV a b BB

Por lo que a V1V2 también se le llama diámetro mayor y a B1B2 también se le llama diámetro menor de la elipse.

Por ser la recta B1B2 mediatriz del segmento focal F1F2, y por ser B1 y B2 puntos de la elipse, se tiene que:

7

Ecuación canónica de la elipseLas elipses están centradas en el origen con focosen el eje x (a) y eje y (b)

y

x

(0, b)

(0, -b)

(-c, 0)(-a, 0) (c, 0) (a, 0)

ab

c

Semieje mayor: a

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

bx

ay

y

x

Sem

ieje

may

or: a

(0, a)

(0, -a)

(b, 0)(-b, 0)

ac

b

(0, -c)

(0, c)

8

Ecuación canónica de la elipseLas elipses están centradas en el origen con focosen el eje x (a) y eje y (b)

y

x

(0, b)

(0, -b)

(-c, 0)(-a, 0) (c, 0) (a, 0)

ab

c

Semieje mayor: a

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

bx

ay

y

x

Sem

ieje

may

or: a

(0, a)

(0, -a)

(b, 0)(-b, 0)

ac

b

(0, -c)

(0, c)

9

Elipses con centro (0; 0)

Ecuación estándar

Eje focal

Focos

Vértices

Semieje mayor

Semieje menor

Relación pitagórica

Eje x

(c; 0)

(a; 0)

a

b

12

2

2

2

by

ax

222 cba

Eje y

(0; c)

(0; a)

a

b

12

2

2

2

bx

ay

222 cba

ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO

Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje x , y si el centro de la elipse es el punto C(h,k) ; entonces se tiene el diagrama que sigue:

,C h k

,P x y

y

x0

1 ,F h c k 2 ,F h c k ,C h kk

hh c h c

Por lo que:

1 2 2PF PF a

2 2 2 22x h c y k x h c y k a

y ,u x h v y k Considerando se tiene que:

2 22 2 2u c v u c v a

De donde: 2 2

2 21

u v

a b

2 2

2 21

x h y k

a b

Por tanto la ecuación de la elipse que tiene eje focal paralelo al eje x con centro en el punto , es: ,C h k

Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una elipse horizontal con centro en Nótese que si entonces la forma canónica corresponde a una circunferencia.

, .C h k ,a b

Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje y, y si el centro de la elipse es el punto entonces se tiene el diagrama que sigue:

, ;C h k

Por lo que:

0

1 ,F h k c

2 ,F h k c

h

k

y

x

,P x y

C

1 2 2PF PF a

2 2 2 22x h y k c x h y k c a

y ,u x h v y k Considerando se tiene que:

2 22 2 2u v c u v c a

De donde: 2 2

2 21

v u

a b

2 2

2 21

y k x h

a b

Por tanto la ecuación de la hipérbola que tiene eje focal paralelo al eje y con centro en el punto , es: ,C h k

Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una elipse vertical con centro en C(h , k) con eje mayor Vertical

La excentricidad de la elipse

La forma de ver que tan alargada está una elipse, es mediante su excentricidad (e), la cual se define como el cociente de la longitud del segmento focal (2c) entre la longitud del eje focal (2a). O sea:

2

2

c ce

a a

Dado que entonces Por tanto: 0 ,c a 0 .1e

1. Si el valor de c es muy próximo al valor de a, entonces el valor de e es muy próximo al valor 1; en cuyo caso la elipse se alrga.

2. Si el valor de e es muy próximo al valor 0, entonces el valor de c es muy próximo al valor 0; de donde el valor es muy próximo al valor 0, por lo que el valor de a es muy próximo al valor de b; o sea la elipse se aproxima a una circunferencia cuando e se aproxima a 0.

2 2 2a b c

225925

.122 yx

elipseladeelelmentosloshallaryGraficar

1259

22

yx

a

ce 5

4e

Al dividir todo entre 225 se tiene:

b2 = 9, b = 3c2 = a2 – b2 entonces c2 = 25 – 9c = 4 Por lo tanto:Focos: (0 , 4) y (0 , -4)Vértices: (0 , 5) y (0 , -5)Longitud del eje mayor 2a = 10 unidadesLongitud del eje menor 2b = 6Excentricidad

12

2

2

2

b

y

a

x

32b

13236

22

yx

2. Los focos de una elipse son (2 , 0) y (-2 , 0), Los vértices son (-6 , 0) y (6 , 0). DeterminarLa ecuación canónica Los focos de la elipse son de la forma (c , 0) y (-c , 0),y los vérices (a , 0) y (-a , 0), donde a = 6, c = 2Por lo tanto, su centro es (0 , 0) y su ecuación es deLa forma :

b2 = a2 – c2 b2 = 36 – 4

Por tanto la ecuación es

2 224 cc

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

)2,21()2,21( FyF

3. Representa gráficamente y determina las Coordenadas de los focos, de los vértices de la elipse:

Se reúnen las X y se reúnen la Y, se traslada la constante al otro miembro de la igualdad, luego se completan los trinomios cuadrados, así:

Al factorizar los trinomios y reducir semejantes queda así:

a = 2 , b =

Esta es una ecuación de la forma

Por lo tanto los elementos son:Centro (h , k) es C(1 , -2)Vértices (h+a , k) y (h-a , k) V(3 , -2) y V(-1 -2)Focos (h+c , k) y (h-c , k)

FIN