CICLO 2012-I Mdulo: 2Unidad: 1 Semana: 1

MATEMATICA II

Lic. Jos M. DE LA CRUZ UCAAN

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

ORIENTACIONES

Utilizar las funciones como modelos para expresar y resolver situaciones problemticas realistas.

CONTENIDOS TEMTICOS

Funciones:Tipos

Algebra de Funciones

Funcin Constante Est determinada por: (i) Regla de correspondencia: y = f(x) = c (donde c es una constante) (ii) Dom f = R (dominio de f es igual a los reales) (iii) Rang f = {c} (rango de f es igual a una constante c) (iv) Graf f = {(x, y) / y = c, c R} (grafica de f es igual al par ordenado (x,y) tal que y=c y c es una constante cualquiera de los reales)

Funcin Lineal Est determinada por: (i) Regla de correspondencia: y = f(x) = mx + b, donde: m y b pertenecen a los reales (ii) Dom f = R (dominio de f es igual a los reales) (iii) Ran f = R (rango de f es igual a los reales) (iv) Graf f = {(x, y) / y = mx + b, x R} (la grafica de f es igual al par ordenado (x,y) tal que y= mx + b, x pertenece a los reales)

NOTA m representa la pendiente de la recta lineal, y se obtiene tal como aparece en el grafico. Se determinan dos puntos de la recta: (x1,y1) y (x2, y2) y luego se halla m aplicando la formula:

Funcin Raz Cuadrada Est determinada por: (i) Regla de correspondencia; y = f(x) =

x (donde y es igual a la raz cuadrada de x)

(ii) Dom f = R U {0} (dominio de f es igual a los reales positivos unidos con el cero) (iii) Ran f = [0, g> pues y =

x 0 (rango de f es igual al intervalo que va desdecero hasta el infinito)

(iv) Graf f = {(x, y) / y =

x , x 0} (la grafica de f es igual al par ordenado (x,y)

tal que y es igual a la raz cuadrad de x, x mayor o igual que cero)

Tabulando:

Forma prctica de graficar la funcin raz cuadrada Una manera de establecer un criterio general para graficar la funcin raz cuadrada podemos observar lo siguientes casos: 1) Cuando la regla de correspondencia es:

y!

x

se cumple que:

Dom ! ?0, g Rang ! ?0, g Y luego que tabulemos la grafica tiene la siguiente forma:

2) Cuando la regla de correspondencia es:

y ! x se cumple que: Dom ! ?0, g Rang ! g,0AY luego que tabulemos la grafica tiene la siguiente forma:

3) Cuando la regla de correspondencia es:

y! x

se cumple que:

Dom ! g,0A Rang ! ?0, g Y luego que tabulemos la grafica tiene la siguiente forma:

4) Cuando la regla de correspondencia es:

y! x

se cumple que:

Dom ! g,0A Rang ! g,0A

Y luego que tabulemos la grafica tiene la siguiente forma:

Como se puede observar hemos establecido un criterio para graficar las funcin raz cuadrada con vrtice en el punto (0,0)

Ejemplo 1 Hallar el dominio y rango y la grafica de Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x-3=0 entonces: x=3 El vrtice ser (3,0) El dominio: Se obtiene haciendo:

x 3 u 0 Entonces x u 3Lo que significa que: Dom= El rango: Como sabemos la raz cuadrada es siempre positiva, entonces Rang= ? , g 0 grafica

?3, g

Ejemplo 2 Hallar el dominio, el rango y la grafica de Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x+2=0

entonces: x=-2 El vrtice ser (-2,0)

El dominio: Se obtiene haciendo: x 2 u 0 Entonces x u 2

Lo que significa que: Dom= ? 2, g

El rango: Como sabemos la raz cuadrada es siempre positiva, pero como nuestro problema tiene un signo negativo adelante entonces el rango ser: Rang= g,0A

Funcin Cuadrtica Funcin cuadrtica cannica. Est formada por: (i) Regla de correspondencia y = f(x) = x2 , (ii) Dom f = R. (dominio de f es igual a los reales) (iii) Ran f = [0, g> pues y = x2 >= 0 (rango de f es igual al intervalo que va desde cero hasta el infinito) (iv) Graf f = {(x, y) / y = x2, x R} (la grafica de f es igual al par ordenado (x,y) tal que y es igual al cuadrado de x, x es cualquier valor real) Tabulando:

Su grfica es una parbola simtrica con un eje paralelo al eje y que pasa por el vrtice (0,0).

Forma prctica de graficar la funcin cuadrtica Amigo participante a manera de establecer un criterio general para graficar la funcin cuadrtica podemos observar lo siguientes casos: 1) Cuando la regla de correspondencia es:

y ! x 2 se cumple que:

Dom ! R Rang ! ?0, g

Y luego que tabulemos la grafica tiene la siguiente forma:

2) Cuando la regla de correspondencia es:

y ! x 2 se cumple que: Dom ! R Rang ! g,0AY luego que tabulemos la grafica tiene la siguiente forma:

Como observamos hemos establecido un criterio para graficar las funcin cuadrtica con vrtice en el punto (0,0) As mismo, cuando la grfica de la funcin cuadrtica se traslada lo primero que tenemos que hacer es ubicar el vrtice y luego desde el vrtice graficamos empleando uno de los dos casos que se ajuste al problema. Ejemplo 1 Hallar el dominio y rango y la grafica de y ! ( x 4)2

Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x-4=0 entonces: x=4 El vrtice ser (4,0) El dominio: Como dice la definicin es: Dom=R

El rango: Como dice la definicin es: Rang= La grafica: Vemos que este ejemplo se ajusta al caso 1) de vrtice (4,0) luego:

Ejemplo 2 Hallar el dominio y rango y la grafica de Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x+1=0 El dominio: Como dice la definicin es: Dom=R El rango: Como dice la definicin debera ser: ?0, g pero como existe un signo negativo delante entonces el rango es: Rang= g,0A entonces: x=-1 El vrtice ser (-1,0)

y ! ( x 1) 2

La grafica: Vemos que este ejemplo se ajusta al caso 2) de vrtice (-1,0) luego:

Funcin cuadrtica polinomial. Esta formado por: (i) Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx +c, donde a { 0, a, b, c pertenecen a los Reales. (ii) Dom f = R. (dominio de f es igual a los reales) (iii) El rango se determina completando cuadrados. (iv) Su grfica es una parbola simtrica con un eje paralelo al eje y que pasa por el vrtice.

b 4ac b 2 V ! , 2 2a 4a

La parbola se abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.

Ejemplo 1 Hallar el dominio, rango y la grafica de y ! ( x 2) 2 3 Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x-2=0 entonces: x=2

Cuando x=2 entonces y=3. El vrtice ser (2,3) El dominio: Como dice la definicin es: Dom=R El rango: El rango partira desde el vrtice hacia arriba, es decir: Rang=

?3, g

La grafica: Vemos que este ejemplo se ajusta al caso 1) de vrtice (2,3) luego:

Ejemplo 2 Hallar el dominio, rango y la grafica de Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x+1=0 entonces: x=-1

y ! ( x 1) 2 2

Cuando x=-1 entonces y=2. El vrtice ser (-1,2) El dominio: Como dice la definicin el : Dom=R El rango: Como existe un signo negativo delante de la variable x entonces el rango partira desde el vrtice hacia abajo, es decir: Rang= g,2A

La grafica: Vemos que este ejemplo se ajusta al caso 2) de vrtice (-1,2) luego:

Ejemplo 3 Hallar el dominio, rango y la grafica de Solucin Dando forma completamos cuadrados:

y ! x 2 6 x 10

y ! ( x 2 6 x 32 ) 32 10 Entonces : y ! ( x 3) 2 9 10 Finalmente : y ! ( x 3) 2 1Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x+3=0 entonces: x=-3

Cuando x=-3 entonces y=1. El vrtice ser (-3,1) El dominio: Como dice la definicin es: Dom=R

El rango: El rango partira desde el vrtice hacia arriba, es decir: Rang=

? , g 1

La grafica: Vemos que este ejemplo se ajusta al caso 1) de vrtice (-3,1) luego:

Ejercicio: Sea la funcin cuadrtica f(x+1) = x2, el valor de f(a) es?

Funcin valor absoluto (i) Regla de correspondencia Significa que: l x l =x (el valor absoluto de un numero real x es igual a x, cuando x sea mayor o igual a cero) l x l = -x (el valor absoluto de un numero real x es igual a -x, cuando x sea menor que cero o negativo) (ii) Dominio (iii) Rango Df = R (dominio de f es igual a los reales) Rf = [ 0, + g> (el rango de f es igual al intervalo que va desde cero hasta el infinito positivo)

x, x u 0 f(x) = l x l, donde l x l = x, x 0

(iv) Grfica

Forma prctica de graficar la funcin Valor absoluto Amigo participante a manera de establecer un criterio general para graficar la funcin valor absoluto podemos observar lo siguientes casos: 1) Cuando la regla de correspondencia es:

y ! x se cumple que:

Dom ! R Rang ! ?0, g

Y luego que tabulemos la grafica tiene la siguiente forma:

2) Cuando la regla de correspondencia es:

y ! x se cumple que:

Dom ! R Rang ! g,0A

Y luego que tabulemos la grafica tiene la siguiente forma:

Como observa amable participante hemos establecido un criterio para graficar las funcin valor absoluto al igual como lo hicimos con la funcin cuadrtica y la funcin raz cuadrada, con vrtice en el punto (0,0) As mismo, cuando la grfica de la funcin valor absoluto se traslada lo primero que tenemos que hacer es ubicar el vrtice y luego desde el vrtice graficamos empleando uno de los dos casos que se ajuste al problema.

Ejemplo 1 Hallar el dominio y rango y la grafica de Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x+3=0 El dominio: Como dice la definicin es: Dom=R El rango: Como dice la definicin es: Rang= 0, g entonces: x=-3 El vrtice ser (-3,0)

y ! x3

?

La grafica: Vemos que este ejemplo se ajusta al caso 1) de vrtice (-3,0) luego:

Ejemplo 2 Hallar el dominio y rango y la grafica de y ! x 2 Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x-2=0 El dominio: Como dice la definicin el: Dom=R El rango: Como dice la definicin debera ser: ?0, g pero como existe un signo negativo delante entonces el rango es: Rang = entonces: x=2 El vrtice ser (2,0)

g,0A

La grafica: Vemos que este ejemplo se ajusta al caso 2) de vrtice (2,0) luego:

Ejemplo 3 Hallar el dominio, rango y la grafica de y ! x 3 2 Solucin Hallando el vrtice: Este se obtiene haciendo: x-3=0 entonces: x=3

Cuando x=3 entonces y=2. El vrtice ser (3,2) El dominio: Como dice la definicin es: Dom=R El rango: El rango partira desde el vrtice hacia arriba, es decir: Rang= 2, g

?

La grafica: Vemos que este ejemplo se ajusta al caso 1) de vrtice (3,2) luego:

GRACIAS