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6 Sucesiones

158Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

En esta unidad se introducen las sucesiones numéricas desde diversos puntos de vista. En ocasiones, como una serie de números que siguen un determinado patrón, en otras a través de figuras geométricas y a veces según una ley de formación que puede ser directa o de recurrencia. Se estudian dos casos particulares de sucesiones: las progresiones aritméticas y las geométricas. Para ambas obtendremos

tanto su término general como la suma de una cantidad finita de términos consecutivos de ellas. La unidad finaliza con la sección avanza en la que se muestra cómo se aplican las progresiones geométricas al cálculo del interés compuesto.

La formación matemática enseña a sobrepasar la realidad concreta para traducirla a una nueva lengua depurada, más abstracta, que permite vislumbrar semejanzas entre situaciones aparentemente alejadas unas de otras. Esta aproximación de situaciones, aporta al individuo un enrique-cimiento conceptual y racional. Ayuda a adquirir hábitos de razonamiento correctos. Esta unidad contribuye al descubrimiento de regularidades y patrones que se presentan en el arte, las ciencias naturales y en la vida cotidiana, de un modo geométrico y también aritmético o algebraico.

En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) A lo largo de la unidad será necesario representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades numéricas, así como verbalizar los razona-mientos que nos abocan a la construcción de la ley general que sigue una secuencia geométrica y/o numérica. De este modo se contribuye al progreso en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar patrones y pautas comunes a situaciones diversas.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Esta competencia cobra realidad y sentido cuando los elementos y razonamientos matemáticos son utilizados para enfrentarse a aquellas situaciones cotidianas que los precisan. Por ello, su desarrollo se alcanzará en la medida en que los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida cotidiana. A lo largo de la unidad se presentan problemas sobre sucesiones cuyo contexto ha sido extraído de la realidad que nos rodea, de otras ciencias y del mundo empresarial.

Competencia digital (CD)El uso de las nuevas tecnologías proporciona una alternativa que suaviza el paso del pensamiento numérico al pensamiento algebraico a través de una propuesta de aula que permita al alumnado, poner en práctica el conocimiento aritmético que posee a la vez que se familiariza con el leguaje algebraico. La utilización de GeoGebra también nos permite acompañar la deducción del resultado de la suma de infinitos términos de una progresión geométrica con una representación gráfica que permite visualizar el procedimiento.

Competencias sociales y cívicas (CSC)En la sección avanza se estudian cómo se aplican las progresiones geométricas en la determinación de los intereses que genera un determi-nado capital o que se incluyen en las cuotas de devolución de un préstamo. Esto contribuye a la adquisición de conocimientos que permiten comprender y analizar de manera crítica modelos que se presentan en la sociedad.

Competencia aprender a aprender (CAA)La unidad está planteada con una línea metodológica general que combina un enfoque heurístico con uno deductivo. Se formulan conjeturas (apoyándonos en el comportamiento de casos particulares), que se intentan refutar mediante contraejemplos concretos, que nos permitan rechazarlas o nos dan la clave para justificarlas y posteriormente demostrarlas. Este método favorece la adquisición de unos conceptos que se irán conformando paulatinamente, mediante ensayos, refutaciones y demostraciones.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Desde esta unidad se contribuye al desarrollo de habilidades para desenvolverse adecuadamente, con autonomía e iniciativa personal, en diversos ámbitos de la vida y para interpretar el mundo que nos rodea. Muestra de ello son las actividades de la sección Matemáticas vivas.

Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)El reconocimiento de la presencia de patrones o regularidades en esculturas, pinturas y construcciones arquitectónicas contribuye a apreciar y disfrutar de diversas manifestaciones artísticas desde una nueva óptica.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

SUCESIONES6

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6Sucesiones

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Descubrir pautas y regularidades en las sucesiones numéricas.❚❚ Obtener e interpretar los términos generales de una sucesión.❚❚ Reconocer si una sucesión es una progresión aritmética o geométrica.❚❚ Aplicar las fórmulas del término general de las progresiones aritméticas y geométricas y la suma de los n primeros términos de la progresión. ❚❚ Elaborar estrategias propias en la resolución de problemas relacionados con sucesiones y progresiones numéricas.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando sucesiones.

Atención a la diversidadPara atender las diversas necesidades que presenta el grupo el docente podrá diseñar una organización flexible de los contenidos de la unidad con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación con distintos niveles de dificultad.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas mediante sucesiones. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimien-tos estudiados sobre las sucesiones, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de sucesiones pueden acceder a las lecciones 1349, 1165 y 1173 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Sucesiones 1. Encontrar regularidades en secuencias numéricas y geométricas.

2. Obtener e interpretar en el contexto de la resolución de problemas los términos generales representativos de una sucesión.

1.1. Obtiene términos de una sucesión conocido su término general o su ley de recurrencia.1.2. Encuentra el término general de sucesiones de las que se conocen los primeros términos.2.1. Emplea las sucesiones para describir patrones numéricos y geométricos, así como para la resolución de problemas.

1, 3, 5, 7 66-69, 76 2, 4, 6 70, 718, 9 39, 72-75Matemáticas vivas 1

CLCMCTCSCCAACSIEECCEC

Progresiones aritméticas

3. Calcular el término general o un término determinado de una progresión aritmética.

4. Reconocer las progresiones aritméticas tomando conciencia de las situaciones problemáticas a las que se pueden aplicar.

3.1. Identifica aquellas sucesiones que son progresiones aritméticas y calcula su diferencia y su término general.3.2. Interpola aritméticamente n términos entre dos números dados.4.1. Reconoce la presencia de las progresiones aritméticas en contextos reales y se sirve de ellas para la resolución de problemas.

10-12, 14, 1517-21, 24, 2577-80, 82, 84-8722, 23, 83

13, 16, 81Matemáticas vivas 2, 3 CM1, CM2

CLCMCTCDCSCCAACSIEE

Suma de una progresión aritmética

5. Calcular la suma de los primeros términos de una progresión aritmética.

5.1. Aplica la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.5.2 Resuelve problemas en los que interviene la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.

26-36 88-90 37, 38 91-95

CLCMCTCSCCAACSIEE

Progresiones geométricas

6. Calcular el término general de una progresión geométrica conocidos dos de sus términos.

7. Reconocer las progresiones geométricas tomando conciencia de las situaciones problemáticas a las que se pueden aplicar.

6.1. Identifica aquellas sucesiones que son progresiones geométricas, y calcula su razón y su término general.

6.2. Interpola geométricamente n términos entre dos números dados.7.1 Reconoce la presencia de las progresiones geométricas en contextos reales y se sirve de ellas para la resolución de problemas.

40-42, 45, 46 50-53, 96-99 102, 103, 105 107, 108, 11654-56, 106

43, 44, 47-4957, 104 Trabajo cooperativo

CLCMCTCDCSCCAACSIEE

Suma de una progresión geométrica

8. Calcular la suma de los primeros términos de una progresión geométrica y de todos cuando el valor absoluto de la razón es menor que uno.

8.1. Deduce y aplica la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y de todos cuando es posible.8.2 Resuelve problemas en los que interviene la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y de todos si es posible.

58-62, 64 100, 101109-114 63, 65, 115

CLCMCTCDCSCCAACSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Progresiones aritméticas

4. Progresiones geométricas

¿Qué tienes que saber? • Sucesiones • Progresiones aritméticas • Progresiones geométricas

Matemáticas vivasLogística • Estudio del suministro de agua y

contratos utilizando sucesiones

AvanzaInterés compuesto

Cálculo mentalEstrategia para sumar los cubos de los primeros números naturales

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidadIdeas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Johann Carl Friedrich Gauss

1. Sucesiones

Vídeo. Progresiones aritméticas

Vídeo. Progresiones geométricas

GeoGebra. Suma de una progresión geométrica

3. Suma de una progresión aritmética

5. Suma de una progresión geométrica

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.esLecciones 1349, 1165 y 1173 de la web www.mismates.es

Practica+

Comprende y resuelve problemas

6 Sucesiones

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Uno para todos de Pere Pujolàs

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO160

161

6Sucesiones


Sugerencias didácticas

Las sucesiones de números reales están presentes no sólo en la matemática, sino en todas las ciencias aplicadas. Es motivador para quienes las estudian por primera vez cono-cer cómo participan de nuestro día a día: en el cálculo de los intereses que nos piden los bancos por sus préstamos, en la determinación de las tasas de crecimiento de poblaciones animales o en el cálculo de la distribución de las hojas de ciertas plantas. Entre ellas desempeñan un papel relevante las progresiones aritméticas y las geométricas, a cuyo estu-dio se dedica, esencialmente, esta unidad. Todo lo anterior se explica fácilmente. Sin embargo no es tan sencillo, y por ello requiere especial cuidado, introducir, aunque sea in-formalmente, la noción de recurrencia. Para ello, resulta de gran utilidad presentar muchos ejemplos, en los que se muestren leyes de recurrencia que involucren dos o más términos de la sucesión.

Contenido WEB. JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recur-so TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se dedica a la figura de Gauss aportando algunos datos biográficos sobre él y su obra. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que mues-tren un interés especial.

99

6 SUCESIONES

Las ramas de ciertas especies de árboles y las hojas de algunas plantas se disponen de forma natural siguiendo un patrón en espiral que permite que su exposición a la luz solar sea máxima. De este modo realizan la fotosíntesis de una forma más eficaz. La cantidad de ramas o de hojas en cada etapa de la espiral viene dada por una colección de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Esta sucesión de números recibe el nombre de sucesión de Fibonacci, ya que fue este matemático italiano el que descubrió la presencia en la naturaleza de este fenómeno. Se trata de un conjunto de números generado por un patrón determinado: cada valor es la suma de los dos anteriores.

Las ramas de ciertas especies de árboles y las hojas de algunas plantas se disponen de forma natural siguiendo un patrón en espiral que permite que su exposición a la luz solar sea máxima. De este modo realizan la fotosíntesis de una forma más eficaz. La cantidad de ramas o de hojas en cada etapa de la espiral viene dada por una colección de números:

Esta sucesión de números recibe el nombre de sucesión de Fibonacci, ya que fue este matemático italiano el que descubrió la presencia en la naturaleza de este fenómeno. Se trata de un conjunto de números generado por un patrón determinado: cada valor es la suma de los dos anteriores.

IDEAS PREVIAS

❚ Propiedades de las

potencias.

❚ Operaciones con

polinomios.

❚ Valor numérico de una

expresión algebraica.

❚ Resolución de ecuaciones

y sistemas de

ecuaciones.

REPASA LO QUE SABES

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático, astrónomo y físico alemán, considerado el príncipe de los matemáticos, es una de las figuras más importantes de la historia de la ciencia. Afirmaba que las matemáticas son la reina de las ciencias, y la aritmética, la reina de las matemáticas.

Matemáticas en el día a día ][

1. Calcula las potencias.

a) −3( )2 3−2 −3( )−2

b) −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

−1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

2. ¿Cuál es el valor numérico para x = 3 de estas expresiones?

a) x2 − 4x + 2 b) x

x + 1 c)

x2 + 3

x −5

3. Resuelve:

a) 14 = 5 + 3x b) 4x2 − 4x + 1 = 0 c) x + 3y = 9

x + 5y = 13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

mac3e19

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Calcula las potencias.

a) −3( )2 3−2 −3( )−2

b) −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

−1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

a) 9 1

9

1

9

b) 1

16 16 16

2. ¿Cuál es el valor numérico para x = 3 de estas expresiones?

a) x2 − 4x + 2 b) x

x + 1 c)

x2 + 3

x −5

a) −1 b) 3

4 b) −6

3. Resuelve:

a) 14 = 5 + 3x b) 4x2 − 4x + 1 = 0 c) x + 3 y = 9

x + 5 y = 13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = 3 b) x =1

2 c) x = 3, y = 2

6 Sucesiones


1. Sucesiones

101

6Actividades6 Sucesiones

100

Escribe los nueve primeros términos de estas sucesiones y halla su término general.

a) 2, 4, 6, 8,… c) 1, −1, 1, −1,…

b) 1, 4, 9, 16,… d) 1, 8, 27, 64,…

Los tres primeros términos de una sucesión son: 1

3,

2

4,

3

5a) Halla los términos cuarto, quinto y sexto.

b) Calcula el término 50 de esta sucesión.

c) ¿Cuál es su término general?

Copia en tu cuaderno las siguientes sucesiones y completa los términos que faltan.

a) 2, 3, 5, §, 11, §, 17, 19, §,… b) 2, 5, 10, §, 26, 37, §, 65, §,…

Encuentra el término general de estas sucesiones.

a) 1; 0,1; 0,01; 0,001;… b) 1, −2, 4, −8,…

Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones.

a) an = 3n + 5 c) an = 3n2 − 2

b) an = n2 − n d) an = 2n − 1

¿Son iguales todos los términos de las sucesiones cuyos términos generales son

an = −2( )n y bn = −2n? Razona tu respuesta.

Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.

a) a1 = 1, a2 = 1, an = 2an−1 − an−2 d) a1 = 3, a2 = 2, an = an−1 ⋅ an−2

b) a1 = 1, a2 = 1, an =an−1 + an−2

2 e) a1 = 1, a2 = 2, an =

an−1

2an−2

c) a1 = 0, an = 2an−1 f) a1 = 2, an = an−1( )2

1

2

3

4

5

6

7

Determina si existe algún término en la sucesión que tiene por término general an = n2 − 11n + 30 que valga 6. ¿Hay más de uno?

8

1. SUCESIONESAlmudena ha colocado unas piedras formando montones y, al contarlas, ha obtenido los primeros números triangulares. ¿Cuál es el siguiente?

Nos fijamos en el número de piedras de cada montón:

11

21 + 2 = 3

33 + 3 = 6

46 + 4 = 10

510 + 5 = 15

615 + 6 = 21

Deducimos que el siguiente, el que ocupa el séptimo lugar, es: 21 + 7 = 28

Así, podemos continuar calculando la sucesión de los números triangulares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…

Una sucesión es un conjunto ordenado de números reales. Cada uno de sus elementos se llama término y se escribe:

a1, a2, a3, a4,…, an,…

a1 es el primer término, a2 es el segundo término, y así sucesivamente.

Si queremos calcular el término 50, no resulta práctico el proceso anterior, pero podemos fijarnos en otra relación existente entre los términos y su posición:

a1 a2 a3 a4 a5 a6

1⋅2

2= 1

2 ⋅3

2= 3

3 ⋅ 4

2= 6

4 ⋅5

2= 10

5 ⋅6

2= 15

6 ⋅7

2= 21

Para obtener un término cualquiera, deducimos que: an =n ⋅ (n + 1)

2Entonces: a50 =

50 ⋅ (50 + 1)

2= 1275

El término general, an, de una sucesión es la expresión algebraica que corresponde a un término cualquiera de la misma y que permite calcularlo a partir del lugar que ocupa.

Hay sucesiones para las que no es posible encontrar un término general, por ejemplo la sucesión de los números primos.

La sucesión de Fibonacci no tiene una expresión sencilla para su término general, pero podemos obtener cada término a partir de los anteriores. Decimos que es una sucesión recurrente.

a1 a2 a3 a4 a5 a6

1 1 2 = 1 + 1a3 = a1 + a2

3 = 1 + 2a4 = a2 + a3

5 = 2 + 3a5 = a3 + a4

8 = 3 + 5a6 = a4 + a5

Para obtener un término cualquiera: a1 = 1, a2 = 1, an = an−2 + an−1

Una ley de recurrencia es una expresión algebraica que relaciona cada término de una sucesión recurrente con los anteriores y permite calcularlo.

Presta atención

a1 se lee a sub-uno,

a2, a sub-dos…,

y an se lee a sub-ene.

El subíndice de cada término indica su lugar en la sucesión.

DESAFÍOEn la figura aparecen los primeros términos de la sucesión de los números pentagonales.

a) Halla el valor del cuarto término.

b) Calcula el término general de la sucesión.

Para ello, ten en cuenta que el número pentagonal enésimo es la suma del número triangular enésimo y el doble del número triangular anterior.

9

} ¿Cuáles son los términos que valen 9 en la sucesión cuyo término general es an = n2 − n + 3?

Solución

Debemos averiguar para qué números naturales, n, se cumple que:

n2 − n + 3 = 9 → n2 − n − 6 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado: n =1± 1+ 24

2→

n1 = 3

n2 = −2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Como n2 no es un número natural, la única solución válida es n1: a3 = 9

EJERCICIO RESUELTO

Aprenderás a… ● Identificar una sucesión y expresarla algebraicamente, cuando sea posible, mediante su término general o por una ley de recurrencia.

● Obtener un término cualquiera de una sucesión, conocido su término general.

● Hallar un término cualquiera de una sucesión, conocidos los primeros y su ley de recurrencia.

Soluciones de las actividades1 Escribe los nueve primeros términos de estas sucesiones y halla su término general.

a) 2, 4, 6, 8,… c) 1, −1, 1, −1,…

b) 1, 4, 9, 16,… d) 1, 8, 27, 64,…

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. El término general es: an = 2n

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. El término general es: an = n2

c) 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1. El término general es: an = −1( )n+1

d) 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. El término general es: an = n3

2 Los tres primeros términos de una sucesión son: 1

3,

2

4,

3

5a) Halla los términos cuarto, quinto y sexto.

b) Calcula el término 50 de esta sucesión.

c) ¿Cuál es su término general?

a) 4

6,

5

7,

6

8=

3

4 b)

50

52=

25

26 c) an =

n

n + 2


En cursos previos los alumnos han realizado ejercicios con-sistentes en completar series de números. Así que, se pue-den introducir las definiciones formales de sucesión o tér-mino general empezando por alguna sencilla como: 1, 3, 5, 7,…, después alguna más complicada: 1, 4, 7, 10,…, y luego se puede pasar a otras: 2, 5, 10, 17, 26,…

La necesidad de encontrar el término general se pone de manifiesto en cuanto se empieza a trabajar con las sucesio-nes y se quiere calcular el término 50.

Es conveniente indicar que no todas las sucesiones tienen un término general sencillo y que algunas no cuentan con él.

163

6Sucesiones


3 Copia en tu cuaderno las siguientes sucesiones y completa los términos que faltan.

a) 2, 3, 5, §, 11, §, 17, 19, §,… b) 2, 5, 10, §, 26, 37, §, 65, §,…

a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,… b) 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82,…4 Encuentra el término general de estas sucesiones.

a) 1; 0,1; 0,01; 0,001;… b) 1, −2, 4, −8,…

a) an = 101 − n b) an = −2( )n−1

5 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones.

a) an = 3n + 5 c) an = 3n2 − 2

b) an = n2 − n d) an = 2n − 1

a) 8, 11, 14, 17, 20 c) 1, 10, 25, 46, 73

b) 0, 2, 6, 12, 20 d) 1, 3, 7, 15, 31

6 ¿Son iguales todos los términos de las sucesiones cuyos términos generales son an = −2( )n y bn = −2n? Razona tu res-puesta.

No, porque los términos de la primera tienen signos distintos según se trate de un término par o impar, pero los de la segunda son todos negativos.

7 Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.

a) a1 = 1, a2 = 1, an = 2an − 1 − an − 2 d) a1 = 3, a2 = 2, an = an − 1 ⋅ an − 2

b) a1 = 1, a2 = 1, an =an−1 + an−2

2 e) a1 = 1, a2 = 2, an =

an−1

2an−2

c) a1 = 0, an = 2an−1 f) a1 = 2, an = an−1( )2

a) 1, 1, 1, 1, 1 d) 3, 2, 6, 12, 72

b) 1, 1, 1, 1, 1 e) 1, 2, 1, 1

4,1

8c) 0, 1, 2, 4, 16 f) 2, 4, 16, 256, 65 536

8 Determina si existe algún término en la sucesión que tiene por término general an = n2 − 11n + 30 que valga 6. ¿Hay más de uno?

n2 − 11n + 30 = 6 → n2 − 11n + 24 = 0 → n =11± 5

2→

n1 = 8

n2 = 3

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Hay dos términos que valen 6, el tercero y el octavo.

Desafío9 En la figura aparecen los primeros términos de la sucesión de los núme-

ros pentagonales.

a) Halla el valor del cuarto término.

b) Calcula el término general de la sucesión.

Para ello, ten en cuenta que el número pentagonal enésimo es la suma del número triangular enésimo y el doble del número triangular ante-rior.

a) 22

b) pn = tn + 2tn−1 =n ⋅ (n + 1)

2+ 2

(n−1) ⋅ n

2=n2 + n + 2n2 − 2n

2=

3n2 − n

2

6 Sucesiones


2. Progresiones aritméticas

103


102

} Si el quinto término de una progresión aritmética es 10, y el décimo vale 45, ¿cuál es el término que ocupa la posición 50?

Solución

Para hallar a50 vamos a calcular la diferencia de la progresión y a1.

EJERCICIO RESUELTO

Indica si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en caso afirmativo, halla la diferencia y calcula el término general.

a) 2, 7, 12, 17, 22,… d) 12, 9, 6, 3, 0,…

b) 1, 2, 4, 8, 16,… e) 4, −1, −6, −11, −16,…

c) 1,5

3,

7

3, 3,

11

3,… f) 1,

1

2,

3

2, 2,

7

2,…

Escribe los diez primeros términos de las sucesiones que se indican y, si son progresiones aritméticas, determina su término general.

a) Los números naturales.

b) Los números enteros mayores que 4.

c) Los números pares positivos.

d) Las potencias de 3 a partir del 1.

e) Los múltiplos positivos de 5.

Calcula el término general de la progresión aritmética que tiene por diferencia d = 3 y cuyo primer término vale 5. Halla a15.

El primer piso de un edificio se encuentra a 8,2 m de altura, y la distancia entre dos pisos consecutivos es de 3,6 m. ¿A qué altura está el décimo piso?

Halla el término a30 de la progresión aritmética cuyos dos primeros términos son 1 y 6.

Calcula la diferencia de una progresión aritmética si su primer término es 3 y el quinto vale 19. Determina el término general.

Fernando se propone entrenar todos los días para una carrera solidaria que se celebrará el 18 de septiembre. Si el día 1 de dicho mes corrió durante 12 min y cada día entrena 2 min más que el anterior, ¿cuánto tiempo entrenará el día previo a la carrera?

Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética cuya diferencia es 5 si su octavo término es 47.

10

11

12

13

14

15

16

17

¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el cuarto término es 21 y el undécimo vale 56?

Calcula el término general de una progresión aritmética si el segundo término es 18 y el séptimo vale −12.

¿Qué lugar ocupa un término que vale −33 en una progresión aritmética cuyo primer término es −3 si su diferencia es −5?

Averigua cuál es el término a11 de una progresión aritmética si los términos cuarto y séptimo se diferencian en 18 unidades y a1 = 4.

18

19

20

21

2. PROGRESIONES ARITMÉTICASPedro está construyendo una escalera sencilla de madera.

Ha situado el primer peldaño a 22 cm de los extremos que se apoyan en el suelo.

Si coloca cada uno de los siguientes peldaños a 20 cm del anterior, ¿cuánto medirá la escalera cuando termine de poner 5 peldaños?

Podemos expresar la longitud de la escalera, según el número de peldaños colocados, con los términos de una sucesión:

a1 = 22

a2 = 22 + 20 = 42 a4 = 62 + 20 = 82

a3 = 42 + 20 = 62 a5 = 82 + 20 = 102

La escalera medirá 102 cm, es decir, 1,02 m. Este es el valor del quinto término de la sucesión que forman estos números. Observa que cada uno se obtiene sumando 20 al anterior, se trata de una progresión aritmética.

Una vez que Pedro ha terminado, la escalera mide 2,62 m. ¿Cuántos peldaños tiene?

Debemos averiguar cuál es el término de la progresión que vale 262. Para ello, observamos la relación existente entre los términos:

a1 a1 a1 = 22a2 = a1 + d a2 = a1 + d a2 = 22 + 1 ⋅ 20 = 42a3 = a2 + d a3 = a1 + d + d = a1 + 2d a3 = 22 + 2 ⋅ 20 = 62a4 = a3 + d a4 = a1 + 2d + d = a1 + 3d a4 = 22 + 3 ⋅ 20 = 82a5 = a4 + d a5 = a1 + 3d + d = a1 + 4d a5 = 22 + 4 ⋅ 20 = 102

Así, para calcular un término cualquiera podemos utilizar la expresión:

an = a1 + (n − 1)d

Así: 262 = 22 + (n − 1) ⋅ 20 → 240 = (n − 1) ⋅ 20 → 12 = n − 1 → n = 13Luego, la escalera tiene 13 peldaños.

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, excepto el primero, se obtiene sumándole al anterior un mismo número, llamado diferencia, d.

El término general de las progresiones aritméticas es: an = a1 + (n − 1)d

Decimos que n números están en progresión aritmética si son términos consecutivos de una progresión aritmética.

Lenguaje matemático

Aprenderás a… ● Reconocer una progresión aritmética e identificar su diferencia.

● Calcular el término general de una progresión aritmética.

● Interpolar términos aritméticos.

Presta atención

Una progresión aritmética es una sucesión recurrente, porque:

an = an−1 + d

DESAFÍO¿Cuántos cuadrados azules y cuántos naranjas tiene el término a75 de la sucesión de la figura?

25

} Interpola cuatro términos aritméticos entre los números −1 y 9.

Solución

Interpolar aritméticamente cuatro términos entre los números −1 y 9 equivale a hallar los términos a2, a3, a4 y a5 de una progresión aritmética, sabiendo que:

a1 = −1 y a6 = 9

Como a6 = a1 + 5d:

9 = −1 + 5d → 5d = 10 → d = 2

Entonces: a2 = −1 + 2 = 1

a3 = 1 + 2 = 3

a4 = 3 + 2 = 5

a5 = 5 + 2 = 7

EJERCICIO RESUELTO

Interpola cuatro términos aritméticos entre:

a) 5 y 25 c) −2 y 28

b) −40 y −60 d) −3

2 y

7

2

Interpola cinco términos aritméticos entre:

a) 5 y 31 5 b) 2

32 y

7

32

¿Cuánto miden los lados de un triángulo rectángulo si sus longitudes están en progresión aritmética con diferencia 3 cm?

22

23

24

mac3e20

Soluciones de las actividades10 Indica si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en caso afirmativo, halla la diferencia y calcula el término

general.

a) 2, 7, 12, 17, 22,… c) 1,5

3,

7

3, 3,

11

3,... e) 4, −1, −6, −11, −16,…

b) 1, 2, 4, 8, 16,… d) 12, 9, 6, 3, 0,… f) 1,1

2,

3

2, 2,

7

2,...

a) Es una progresión aritmética: d = 5 y an = 2 + 5(n − 1) = 5n − 3

b) No es una progresión aritmética.

c) Es una progresión aritmética: d = 2

3 y an = 1+

2

3⋅ (n−1) =

2n + 1

3d) Es una progresión aritmética: d = −3 y an = 12 − 3(n − 1) = −3n + 15

e) Es una progresión aritmética: d = −5 y an = 4 − 5(n − 1) = −5n + 9

f) No es una progresión aritmética.


Las progresiones aritméticas son un tipo sencillo de suce-siones que aparecen cuando los términos se relacionan por una diferencia constante. Esta propiedad de las progresio-nes nos permite obtener una expresión de su término ge-neral de forma sencilla.

Además de poder calcular cualquier término de la sucesión, la expresión del término general de una progresión aritmé-tica también nos permite interpolar n términos aritméticos entre dos dados.

Vídeo. PROGRESIONES ARITMÉTICAS

En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio en el que se bus-ca el término que ocupa una posición determinada mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.

Pueden reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como recurso para que los alumnos lo repasen.

165

6Sucesiones


11 Escribe los diez primeros términos de las sucesiones que se indican y, si son progresiones aritméticas, determina su térmi-no general.

a) Los números naturales.

b) Los números enteros mayores que 4.

c) Los números pares positivos.

d) Las potencias de 3 a partir del 1.

e) Los múltiplos positivos de 5.

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Es una progresión aritmética: an = n

b) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Es una progresión aritmética: an = n + 4

c) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Es una progresión aritmética: an = 2n

d) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6 561, 19 683. No es progresión aritmética.

e) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Es una progresión aritmética: an = 5n12 Calcula el término general de la progresión aritmética que tiene por diferencia d = 3 y cuyo primer término vale 5. Halla

a15.

an = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2

a15 = 4713 El primer piso de un edificio se encuentra a 8,2 m de altura, y la distancia entre dos pisos consecutivos es de 3,6 m. ¿A

qué altura está el décimo piso?

an = 8,2 + 3,6(n − 1) = 3,6n + 4,6 → a10 = 40,6 m14 Halla el término a30 de la progresión aritmética cuyos dos primeros términos son 1 y 6.

d = 6 − 1 = 5 → a30 = 1 + 29 ⋅ 5 = 14615 Calcula la diferencia de una progresión aritmética si su primer término es 3 y el quinto vale 19. Determina el término

general.

19 = 3 + 4d → d = 4

an = 3 + 4(n − 1) = 4n − 1 16 Fernando se propone entrenar todos los días para una carrera solidaria que se celebrará el 18 de septiembre. Si el día 1

de dicho mes corrió durante 12 min y cada día entrena 2 min más que el anterior, ¿cuánto tiempo entrenará el día previo a la carrera?

a17 = 12 + 16 ⋅ 2 = 44 min 17 Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética cuya diferencia es 5 si su octavo término es 47.

47 = a1 + 7 ⋅ 5 → a1 = 12

an = 12 + 5(n − 1) = 5n + 7 18 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el cuarto término es 21 y el undécimo vale 56?

a1 + 13d = 21

a1 + 10d = 56

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ 7d = 35 → d = 5

19 Calcula el término general de una progresión aritmética si el segundo término es 18 y el séptimo vale −12.

a1 + 6d = 18

a1 + 6d = −12

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ 5d = −30 → d = −6 → a1 − 6 = 18 → a1 = 24 → an = 24− 6(n−1) = −6n + 30

20 ¿Qué lugar ocupa un término que vale −33 en una progresión aritmética cuyo primer término es −3 si su diferencia es −5?

−33 = −3 − 5(n − 1) → −30 = − 5(n − 1) → 6 = n − 1 → n = 7

El término −33 ocupa el séptimo lugar.

6 Sucesiones


21 Averigua cuál es el término a11 de una progresión aritmética si los términos cuarto y séptimo se diferencian en 18 unidades y a1 = 4.

a4 = a1 + 3d

a7 = a1 + 6d

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a7 − a4 = 3d = 18 → d = 6

a11 = 4 + 10 ⋅ 6 = 64 22 Interpola cuatro términos aritméticos entre:

a) 5 y 25 b) −40 y −60 c) −2 y 28 d) 32

y 72

a) 25 = 5 + 5d → d = 4 → 5, 9, 13, 17, 21, 25

b) −60 = −40 + 5d → d = −4 → −40, −44, −48, −52, −56, −60

c) 28 = −2 + 5d → d = 6 → −2, 4, 10, 16, 22, 28

d) 72=

3

2+ 5d → d =

2

5→

3

2,19

10,23

10,27

10,31

10,7

223 Interpola cinco términos aritméticos entre:

a) 5 y 31 5 b) 2

32 y

7

32

a) 31 5 = 5 + 6d → d = 5 5 → 5 ,6 5 ,11 5 ,16 5 ,21 5 ,26 5 ,31 5

b) 7

32 =

2

32 + 6d → d =

5

182 →

2

32,

17

182,

11

92,

3

22,

16

92,

37

182,

7

32

24 ¿Cuánto miden los lados de un triángulo rectángulo si sus longitudes están en progresión aritmética con diferencia 3 cm?

Sean a la longitud del cateto menor, a + 3 la del cateto mayor y, a + 6 la de la hipotenusa.

Aplicando el teorema de Pitágoras: (a + 6)2 = a2 + (a + 3)2 → a2 + 12a + 36 = 2a2 + 6a + 9 → a2 − 6a − 27 = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones: 9 y − 3, pero como las longitudes de los lados han de ser números positivos, la única válida es: a = 9

Así, los lados del triángulo miden 9 cm, 12 cm y 15 cm.

Desafío25 ¿Cuántos cuadrados azules y cuántos naranjas tiene el término a75 de la sucesión de la figura?

La sucesión xn de cuadrados naranjas la de los cuadrados de los números naturales: x1 = 1, x2 = 4, x3 = 9

Por tanto: xn = n2 → x75 = 752 = 5 625 cuadrados

Para determinar el término general de la sucesión de los cuadrados azules restamos el de los cuadrados naranjas al núme-ro total de cuadrados: yn = (n + 2)2 − xn = (n + 2)2 − n2 = 4n + 4

Entonces: y75 = 4 ⋅ 75 + 4 = 304 cuadrados

167

6Sucesiones


3. Suma de una progresión aritmética

105


104

Halla la suma de los 20 primeros términos de estas progresiones aritméticas:

a) 3, 9, 15, 21, 27,… c) 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25…

b) 8, 5, 2, −1, −4,… d) −13, −17, −21, −25, −29,…

Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética que tiene por diferencia 6 si su primer término es 3.

En la progresión aritmética de diferencia 3 y a1 = 4, ¿cuántos términos consecutivos, partiendo desde a1, son necesarios para que su suma valga 209?

¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética cuyo primer término es 9 si la suma de los 16 primeros términos vale 384?

Halla el primer término de una progresión aritmética que tiene por diferencia 5, sabiendo que la suma de los 13 primeros términos es 481. Halla, también, su término general.

Determina cuántos términos consecutivos de la progresión aritmética cuyo primer término vale 6 y que tiene por diferencia −3 suman −306.

La suma de n números naturales consecutivos es 1 085. ¿Cuántos términos se han sumado si el primero es 14?

26

27

28

29

30

31

32

Determina la suma de los 15 primeros múltiplos positivos de 6.

Halla el valor de la suma de los 120 primeros números naturales cuya última cifra sea el número 7.

Calcula la suma de los 22 primeros números pares mayores que 17.

¿Cuál es el valor de la suma de todos los múltiplos de 59 comprendidos entre 1 000 y 2 000?

Eduardo comienza el día 1 de mayo a estudiar en la biblioteca durante una hora. Decide incrementar el tiempo de estudio 5 min cada día.

a) ¿Cuánto durará su estudio el día 15 de mayo?

b) ¿Cuánto tiempo habrá dedicado a estudiar durante todo el mes?

¿Cuál es la profundidad de un pozo que ha costado 14 000 € si por la perforación del primer metro cobraron 200 €, y por cada uno de los restantes, 600 € más que el anterior?

33

34

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36

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38

3. SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICACuando el matemático Gauss tenía 10 años, su maestro propuso como ejercicio a sus alumnos calcular la suma de los 100 primeros números naturales.

S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100

Gauss observó que:

1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 … 50 + 51 = 101

Así, se dio cuenta de que el resultado es la suma de las 50 parejas de números que valen 101, es decir: 50 ⋅ 101 = 5 050

Por lo tanto, para hallar la suma de los 100 primeros números naturales, podemos proceder de esta forma:

S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100

S100 = 100 + 99 + 98 + 97 + … + 4 + 3 + 2 + 1

2S100 = 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101 + 101

2S100 = 101 ⋅ 100 → 2S100 = 10 100 → S100 = 5 050

En cualquier progresión aritmética se verifica que la suma de términos equidistantes al primero y al último coincide con la suma de estos:

a2 + an−1 = a1 + d + an − d = a1 + an

a3 + an−2 = a1 + 2d + an − 2d = a1 + an

ak + 1 + an−k = a1 + kd + an − kd = a1 + an

Así, si llamamos Sn a la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an − 2 + an−1 + an

Sn = an + an−1 + an−2 + … + a3 + a2 + a1

2Sn = a1 + an( ) + a1 + an( ) + a1 + an( ) +…+ a1 + an( ) + a1 + an( ) + a1 + an( )

2Sn = a1 + an( ) ⋅ n → Sn =a1 + an( ) ⋅ n

2

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

Sn =a1 + an( ) ⋅n

2

Aprenderás a… ● Calcular la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.

} ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 1, −1,… es necesario sumar para que el resultado sea −140?

Solución

Calculamos la diferencia de la progresión: d = 1 − 3 = −1 − 1 = −2

La expresión del término general

nos permite calcular un término cualquiera: an = a1 + (n − 1)d = 3 + (n − 1) ⋅ (−2) = 3 − 2n + 2 = 5 − 2n

Así, la suma del primer y el último término es: a1 + an = 3 + 5 − 2n = 8 − 2n

Entonces: Sn =a1 + an( ) ⋅ n

2→ −140 =

8− 2n( ) ⋅ n

2

Simplificamos: −280 = 8n − 2n2 → 2n2 − 8n − 280 = 0 → n2 − 4n − 140 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado: n =4 ± 16 + 560

2=

4 ± 24

2→

n1 = 14

n2 = −10

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Como −10 no es un número natural, la única solución válida es 14, es decir, es necesario sumar los 14 primeros términos.

EJERCICIO RESUELTO

} ¿Cuál es la suma de los 40 primeros múltiplos positivos de 5?

Solución

Los múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20,…) forman una progresión aritmética cuya diferencia es 5.

Conocemos el primer término de la progresión: a1 = 5

Podemos calcular: a40 = 5 + 39 ⋅ 5 = 200

Así, la suma de los 40 primeros términos es:

S40 =a1 + a40( ) ⋅ 40

2=

(5 + 200) ⋅ 40

2= 205 ⋅20 = 4100

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOEncuentra cuatro números en progresión aritmética que sumen 22 y cuyos cuadrados sumen 166.39


En este epígrafe los alumnos deben aprender a calcular la suma de términos consecutivos de una progresión aritmé-tica.

La anécdota sobre la forma en la que Gauss calculó rápida-mente la suma de los 100 primeros números naturales pue-de ayudar a los alumnos a comprender la fórmula para una

progresión aritmética cualquiera. Es conveniente recalcar que los términos equidistantes de una progresión aritmética suman lo mismo.

En los ejercicios resueltos se plantea cómo hallar el número de términos que debe considerarse para obtener una cierta suma.

Soluciones de las actividades26 Halla la suma de los 20 primeros términos de estas progresiones aritméticas:

a) 3, 9, 15, 21, 27,… c) 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25…

b) 8, 5, 2, −1, −4,… d) −13, −17, −21, −25, −29,…

a) a20 = 3 + 19 ⋅6 = 117 → S20 =a1 + a20( ) ⋅20

2=

3+117( ) ⋅20

2= 1 200

b) a20 = 8 + 19 ⋅ (−3) = −49 → S20 =a1 + a20( ) ⋅20

2=

8− 49( ) ⋅20

2= −410

c) a20 = 1,25 + 19 ⋅0,5 = 10,75 → S20 =a1 + a20( ) ⋅20

2=

1,25 + 10,75( ) ⋅20

2= 120

d) a20 = −13 + 19 ⋅ (−4) = −89 → S20 =a1 + a20( ) ⋅20

2=−13− 89( ) ⋅20

2= −1 020

6 Sucesiones


27 Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética que tiene por diferencia 6 si su primer término es 3.

a12 = 3 + 11⋅6 = 69 → S12 =a1 + a12( ) ⋅12

2=

3 + 69( ) ⋅12

2= 432

28 En la progresión aritmética de diferencia 3 y a1 = 4, ¿cuántos términos consecutivos, partiendo desde a1, son necesarios para que su suma valga 209?

a1 + an( ) ⋅ n2

= 209 →4 + 4 + 3(n−1)( ) ⋅ n

2= 209 → 3n + 5( ) ⋅ n = 418 → 3n2 + 5n− 418 = 0 →

n1 = 11

n2 = −38

3

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 11, es decir, es necesario sumar 11 términos para obtener esta suma.

29 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética cuyo primer término es 9 si la suma de los 16 primeros términos vale 384?

a1 + a16( ) ⋅16

2= 384 → 9 + 9 + 15d( ) ⋅8 = 384 → 18 + 15d = 48 → 15d = 30 → d = 2

30 Halla el primer término de una progresión aritmética que tiene por diferencia 5, sabiendo que la suma de los 13 primeros términos es 481. Halla, también, su término general.

a1 + a13( ) ⋅13

2= 481→ a1 + a1 + 12 ⋅5( ) ⋅13 = 962 → 2a1 + 60 = 74 → 2a1 = 14 → a1 = 7

an = 7 + 5(n−1) = 5n + 2

31 Determina cuántos términos consecutivos de la progresión aritmética cuyo primer término vale 6 y que tiene por diferen-cia −3 suman −306.

a1 + an( ) ⋅ n2

= −306 →6 + 6− 3(n−1)( ) ⋅ n

2= −306 → −3n + 15( ) ⋅ n = −612 → 3n2 −15n− 612 = 0

n2 −5n− 204 = 0 →n1 = 17

n2 = −12

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 17, es decir, hay que sumar 17 términos consecutivos.

32 La suma de n números naturales consecutivos es 1 085. ¿Cuántos términos se han sumado si el primero es 14?

a1 + an( ) ⋅ n2

= 1085 →14 + 14 + n−1( ) ⋅ n

2= 1085 → n + 27( ) ⋅ n = 2170 → n2 + 27n− 2170 = 0 →

n1 = 35

n2 = −62

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 35, es decir, se han sumado 35 números naturales.

33 Determina la suma de los 15 primeros múltiplos positivos de 6.

a15 = 6+14 ⋅6 = 90

S15 =a1 + a15( ) ⋅15

2=

6 + 90( ) ⋅15

2= 720

34 Halla el valor de la suma de los 120 primeros números naturales cuya última cifra sea el número 7.

a120 = 7 + 119 ⋅10 = 1197

S120 =a1 + a120( ) ⋅120

2=

7 + 1197( ) ⋅120

2= 72240

169

6Sucesiones


35 Calcula la suma de los 22 primeros números pares mayores que 17.

a22 = 18 + 21⋅2 = 60

S22 =a1 + a22( ) ⋅22

2=

18 + 60( ) ⋅22

2= 858

36 ¿Cuál es el valor de la suma de todos los múltiplos de 59 comprendidos entre 1 000 y 2 000?

a1 = 59 ⋅17 = 1003

an = 59 ⋅33 = 1947

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ 1947 = 1003 + 59(n−1) → 59(n−1) = 944 → n−1 = 16 → n = 17

S17 =1003 + 1947( ) ⋅17

2= 25075

37 Eduardo comienza el día 1 de mayo a estudiar en la biblioteca durante una hora. Decide incrementar el tiempo de estudio 5 min cada día.

a) ¿Cuánto durará su estudio el día 15 de mayo?

b) ¿Cuánto tiempo habrá dedicado a estudiar durante todo el mes?

a) a15 = 60 + 14 ⋅ 5 = 130 min = 2 h y 10 min

b) a31 = 60 + 30 ⋅ 5 = 210 min = 3 h y 30 min

S31 =a1 + a31( ) ⋅31

2=

60 + 210( ) ⋅31

2= 4185 min = 2 d 21 h y 45 min

38 ¿Cuál es la profundidad de un pozo que ha costado 14 000 € si por la perforación del primer metro cobraron 200 €, y por cada uno de los restantes, 600 € más que el anterior?

a1 + an( ) ⋅ n2

= 14 000 → 200 + 200 + 600(n−1)( ) ⋅ n = 28000 → 600n− 200( ) ⋅ n = 28000

600n2 − 200n− 28000 = 0 → 3n2 − n−140 = 0 →n1 = 7

n2 = −20

3

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es: n = 7

El pozo tiene una profundidad de 7 m.

Desafío39 Encuentra cuatro números en progresión aritmética que sumen 22 y cuyos cuadrados sumen 166.

Sean a el primero de los cuatro números y d la diferencia de la progresión aritmética, entonces:

a + (a+ d ) + (a + 2d ) + (a + 3d ) = 22

a2 + (a+ d )2 + (a + 2d )2 + (a + 3d )2 = 166

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ 4a + 6d = 22

4a2 + 12ad + 14d2 = 166

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ 2a + 3d = 11

2a2 + 6ad + 7d2 = 83

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

a =11− 3d

2→

121− 66d + 9d2

2+ 3d (11− 3d ) + 7d2 = 83 → 5d2 = 45 → d = ±3

❚❚ Si d = 3 entonces a = 1 y los números buscados son: 1, 4, 7 y 10

❚❚ Si d = −3 entonces a = 10 y los números buscados son los mismos.

6 Sucesiones


4. Progresiones geométricas

107


106

Indica si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y, en caso afirmativo, halla la razón y calcula el término general.

a) 3, 6, 12, 24, 48,… d) 12, 9, 6, 3, 0,…

b) 1, 2, 4, 8, 16,… e) 5, −10, 20, −40, 80,…

c) 9, 3,1,1

3,

1

9,… f) 1,

1

2,

3

2, 2,

7

2,…

Si el primer término de una progresión geométrica es a1 = 7 y la razón es r = 3, halla:

a) a4 c) a11

b) a7 d) an

Calcula el término general de la progresión

geométrica de razón r =1

4, cuyo primer término

vale 7. Halla a5.

Eva envía una copia de una carta a dos de sus parientes y les pide que cada uno de ellos envíe, a su vez, una copia a otros dos parientes, y así sucesivamente. ¿Cuántos parientes habrán recibido copia de la carta en el quinto envío?

En el árbol genealógico de una persona, ¿cuántos tatarabuelos hay?

Halla el octavo término de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos son 1 y 2.

Calcula la razón de una progresión geométrica si su tercer término es 31 y el quinto vale 1 519. Determina el término general.

Una pelota de goma cae desde una altura de 40 m, rebota contra el suelo y asciende hasta alcanzar dos quintos de la altura anterior. Vuelve a caer y a rebotar de la misma forma sucesivamente. Determina la altura desde la que cae tras el octavo bote.

Se retira la mitad del contenido de un vaso lleno de café y se reemplaza por leche. A continuación, se retira la mitad de esta mezcla y se vuelve a rellenar con leche.

a) ¿Qué proporción de leche contiene el vaso tras efectuar 5 veces esta operación?

b) Halla el término general.

40

41

42

43

44

45

46

47

48

Una tableta cuesta 199 € y cada año que pasa pierde un 20 % de su valor. Escribe la progresión geométrica que indica los precios de la tableta en los años sucesivos.

¿Qué lugar ocupa el término que vale 2 187 en la progresión 3, 9, 27, 81,…?

Calcula la razón de una progresión geométrica si a4 = 6 y a7 = 750.

¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 si el cuarto vale 324? Halla a2.

En una progresión geométrica, el tercer término es 12 y el sexto vale 96. Averigua cuál es el décimo término y calcula el término general de la progresión.

49

50

51

52

53

Interpola cuatro términos geométricos entre:

a) −6 y 192 b) 80 y 0,0008

Interpola seis términos geométricos entre:

a) 80 y 0,625 c) 3 2 y 48

b) 8 y1

16 d)

24

5y −600 5

¿Cuántos términos geométricos se pueden interpolar entre 3 y 384 si la razón de la progresión es igual a 2?

54

55

56

4. PROGRESIONES GEOMÉTRICASSara deja caer una pelota desde una altura de un edificio de 200 m.

La pelota rebota contra el suelo y alcanza una altura de 100 m.

Vuelve a caer desde ahí y rebotar hasta la mitad de la altura alcanzada en el bote anterior, y así sucesivamente.

¿A qué altura llegará la pelota tras el quinto rebote?

Podemos expresar la altura que alcanza la pelota, según el número de botes, con los términos de una sucesión:

a1 = 100

a2 = 100 ⋅ 1

2 = 50 a4 = 25 ⋅ 1

2 = 12,5

a3 = 50 ⋅ 1

2 = 25 a5 = 12,5 ⋅ 1

2 = 6,25

Después del quinto bote, la pelota alcanzará 6,25 m de altura. Este es el valor del quinto término de la sucesión que forman estos números. Como cada uno se obtiene

multiplicando por 1

2 al anterior, decimos que es una progresión geométrica.

Podemos observar la relación que existe entre los términos de una progresión geométrica de forma análoga a como vimos en las progresiones aritméticas:

a1 a1 a2 = a1 ⋅ r a2 = a1 ⋅ ra3 = a2 ⋅ r a3 = a1 ⋅ r ⋅ r = a1 ⋅ r

2

a4 = a3 ⋅ r a4 = a1 ⋅ r2 ⋅ r = a1 ⋅ r

3

a5 = a4 ⋅ r a5 = a1 ⋅ r3 ⋅ r = a1 ⋅ r

4

Para calcular un término cualquiera de la progresión, podemos utilizar la expresión:

an = a1 ⋅ rn−1

Una progresión geométrica es una sucesión cuyos términos, excepto el primero, se obtienen multiplicando el anterior por un mismo número, llamado razón, r.

El término general de las progresiones geométricas es: an = a1 ⋅ rn−1

Aprenderás a… ● Reconocer una progresión geométrica e identificar su razón.

● Calcular el término general de una progresión geométrica.

● Interpolar términos geométricos.

Presta atención

Una progresión geométrica es una sucesión recurrente, porque:

an = an−1 ⋅ r

} Si el segundo término de una progresión geométrica es 21 y el sexto vale 1 701, ¿cuál es el término que ocupa la posición 20?

Solución

A partir de los términos a2 y a6 calculamos la razón de la progresión y a1.

EJERCICIO RESUELTO

} Interpola dos términos geométricos entre los

números −1 y −1

8.

Solución

Interpolar geométricamente dos términos entre los

números −1 y −1

8 es hallar los términos a2 y a3 de una

progresión geométrica sabiendo que:

a1 = −1 y a4 = −1

8

Como a4 = a1 ⋅ r3:

−1

8= −1⋅ r3 → r3 =

1

8→ r =

1

83 =

1

2

Entonces: a2 = −1⋅1

2= −

1

2

a3 = −1

2⋅1

2= −

1

4

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOAverigua para qué valores de x están en progresión geométrica los siguientes números.

x + 3 6x + 3 20x + 5

57

Lenguaje matemáticoDecimos que n números están en progresión geométrica si son términos consecutivos de una progresión geométrica.

mac3e21

Soluciones de las actividades40 Indica si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y, en caso afirmativo, halla la razón y calcula el término

general.

a) 3, 6, 12, 24, 48,… d) 12, 9, 6, 3, 0,…

b) 1, 2, 4, 8, 16,… e) 5, −10, 20, −40, 80,…

c) 9, 3, 1,1

3,

1

9,... f) 1,

1

2,

3

2, 2,

7

2,...

a) Es una progresión geométrica: r = 2 y an = 3 ⋅ 2n−1

b) Es una progresión geométrica: r = 2 y an = 2n−1


Se puede proponer a los alumnos que utilicen la calculado-ra para que hallen las potencias sucesivas de números ma-yores que 1 y que comprueben lo rápido que crecen. Análo-gamente se puede comprobar cómo decrecen las potencias de números menores que 1. De esta forma, podemos intro-ducir a los alumnos al comportamiento de las progresiones geométricas según la razón sea mayor o menor que 1.

Las progresiones geométricas son otro tipo de progresio-nes que aparecen cuando los términos se relacionan por una razón constante. Esta propiedad de las progresiones geométricas nos permite obtener una expresión de su tér-mino general de forma sencilla.

Además de poder calcular cualquier término de la progre-sión, la expresión del término general también nos permite interpolar n términos geométricos entre dos dados.

Vídeo. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio en el que se bus-ca el término que ocupa una posición determinada mediante la resolución de un sistema de ecuaciones no lineales, empleando el método de sustitución, que simplifica los cálculos.

Pueden reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como recurso para que los alumnos lo repasen.

171

6Sucesiones


c) Es una progresión aritmética: r = 1

3 y an = 9 ⋅

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

= 33−n

d) No es una progresión geométrica.

e) Es una progresión geométrica.: r = −2 y an = 5 ⋅ (−2)n−1

f) No es una progresión geométrica.41 Si el primer término de una progresión geométrica es a1 = 7 y la razón es r = 3, halla:

a) a4 b) a7 c) a11 d) an

a) 189 b) 5 103 c) 413 343 d) an = 7 ⋅ 3n−1

42 Calcula el término general de la progresión geométrica de razón r = 1

4, cuyo primer término vale 7. Halla a5.

an = 7 ⋅1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

a5 = 7 ⋅1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

=7

256

43 Eva envía una copia de una carta a dos de sus parientes y les pide que cada uno de ellos envíe, a su vez, una copia a otros dos parientes, y así sucesivamente. ¿Cuántos parientes habrán recibido copia de la carta en el quinto envío?

a5 = 2 ⋅ 24 = 32 parientes44 En el árbol genealógico de una persona, ¿cuántos tatarabuelos hay?

a4 = 2 ⋅ 23 = 16 tatarabuelos45 Halla el octavo término de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos son 1 y 2.

r =2

1= 2 → a8 = 1⋅27 = 128

46 Calcula la razón de una progresión geométrica si su tercer término es 31 y el quinto vale 1 519. Determina el término general.

a1 ⋅ r2 = 31

a1 ⋅ r4 = 1519

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 =

31

r2→

31

r2⋅ r4 = 1519 → r2 = 49 → r = ±7

❚❚ Si r = 7 → a1 =31

49→ an =

31

49⋅7n−3

❚❚ Si r = −7 → a1 =31

49→ an =

31

49⋅ (−7)n−3

47 Una pelota de goma cae desde una altura de 40 m, rebota contra el suelo y asciende hasta alcanzar dos quintos de la altura anterior. Vuelve a caer y a rebotar de la misma forma sucesivamente. Determina la altura desde la que cae tras el octavo bote.

a1 =2

5⋅ 40 = 16 m

a8 = 16 ⋅2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

7

= 0,026 m

48 Se retira la mitad del contenido de un vaso lleno de café y se reemplaza por leche. A continuación, se retira la mitad de esta mezcla y se vuelve a rellenar con leche.

a) ¿Qué proporción de leche contiene el vaso tras efectuar 5 veces esta operación?

b) Halla el término general.

a) a5 = 1−1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

=31

32 b) an = 1−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n

6 Sucesiones


49 Una tableta cuesta 199 € y cada año que pasa pierde un 20 % de su valor. Escribe la progresión geométrica que indica los precios de la tableta en los años sucesivos.

an = 199 ⋅ 0,8n−1 50 ¿Qué lugar ocupa el término que vale 2 187 en la progresión 3, 9, 27, 81,…?

2 187 = 3 ⋅ 3n − 1 → 37 = 3n → n = 751 Calcula la razón de una progresión geométrica si a4 = 6 y a7 = 750.

a1 ⋅ r3 = 6

a1 ⋅ r6 = 750

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 =

6

r3→

6

r3⋅ r6 = 750 → r3 = 125 → r = 5

52 ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 si el cuarto vale 324? Halla a2.

324 = 12r3 → 27 = r3 → r = 3

a2 = 12 ⋅ 3 = 3653 En una progresión geométrica, el tercer término es 12 y el sexto vale 96. Averigua cuál es el décimo término y calcula el

término general de la progresión.

a1 ⋅ r2 = 12

a1 ⋅ r5 = 96

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 =

12

r2→

12

r2⋅ r5 = 96 → r3 = 8 → r = 2 → a1 = 3

a10 = 3 ⋅ 29 = 1 536

an = 3 ⋅ 2n − 1

54 Interpola cuatro términos geométricos entre:

a) −6 y 192 b) 80 y 0,0008

a) 192 = (−6)r5 → r5 = −32 → r = −2 → −6, 12, −24, 48, −96, 192

b) 0,0008 = 80r5 → r5 = 0,00001 → r = 0,1 → 80, 8; 0,8; 0,08; 0,008; 0,0008 55 Interpola seis términos geométricos entre:

a) 80 y 0,625 b) 8 y 1

16 c) 3 2 y 48 d)

24

5 y − 600 5

a) 0,625 = 80r7 → r7 = 1

128 → r =

1

2 = 0,5 → 80, 40, 20, 10, 5; 2,5, 1,25; 0,625

b) 1

16 = 8r7 → r7 =

1

128 → r =

1

2 → 8, 4, 2, 1,

1

2,1

4,1

8,

1

16

c) 48 = 3 2 r7 → r7 = 16

2= 27/2 → r = 2 →3 2 , 6, 6 2 , 12, 12 2 , 24, 24 2 , 48

d) −600 5 =24

5r7 → r7 = −125 5 = −57/2 → r = − 5 →

24

5,−

24

55 ,24,−24 5 ,120,−120 5 ,600,−600 5

56 ¿Cuántos términos geométricos se pueden interpolar entre 3 y 384 si la razón de la progresión es igual a 2?

384 = 3 ⋅ 2n−1 → 2n−1 = 128 = 27 → n − 1 = 7 → n = 8

Si 3 es el primer término y 384 es el octavo entonces se pueden interpolar 6 términos.

Desafío57 Averigua para qué valores de x están en progresión geométrica los siguientes números.

x + 3 6x + 3 20x + 5

6 x + 3

x + 3=

20 x + 5

6 x + 3→ 36 x2 + 36 x + 9 = 20 x2 + 65 x + 15 → 16 x2 − 29 x − 6 = 0 →

x1 = 2

x2 = −3

16

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

173

6Sucesiones


5. Suma de una progresión geométrica

109


108

Halla la suma de los 10 primeros términos de estas progresiones geométricas:

a) 32, 16, 8, 4,… c) 64, 16, 4, 1,…

b) 54, −18, 6, −2,… d) 2; −3; 4,5; −6,75;…

Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión geométrica cuya razón es 2,5 si su primer término es 3.

Halla la suma de las 8 primeras potencias de 2 mayores que 1.

58

59

60

5. SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICACuenta una leyenda que el inventor del ajedrez mostró su juego a un príncipe de la India, y este quedó tan impresionado que quiso premiarlo y le dijo: Pídeme lo que quieras, que te será concedido.

El inventor formuló su petición: Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64.

El príncipe quedó sorprendido cuando se le comunicó que el trigo sembrado en su reino no era suficiente para entregarle el trigo que había solicitado.

Y es que el inventor del ajedrez había pedido nada menos que:

S64 = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 9 223 372 036 854 775 808

Para calcular el número de granos de trigo, hallamos la suma de los 64 primeros términos de una progresión geométrica cuya razón es r = 2.

S64 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 262 + 263

1 Multiplicamos por la razón:

2 Restamos:

3 Obtenemos:

2S64 = −1+ 2 + 22 + 23 +…+ 263 + 264

− S64 = −1+ 2 + 22 + 23 +…+ 263( )S64 = −1+ 0 + 02 + 02 +…+ 063 + 264

Entonces: S64 = 264 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 granos de trigo

Si llamamos Sn a la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica:

r ⋅ Sn = − a1 − a2 + a3 + a4 + … + an + an ⋅ r

− Sn = − a1 − a2 − a3 − a4 − … − an

(r − 1)Sn = − a1 + 0 + 0 + 0 + … + 0 + an ⋅ r

( r −1)Sn = an ⋅ r − a1 → Sn =an ⋅ r − a1

r −1Sn =

a1 ⋅ rn−1 ⋅ r − a1

r −1=a1 ⋅ r

n −1( )

r −1

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

Sn =an ⋅ r − a1

r −1=a1 r n −1( )

r −1

Observa esta progresión geométrica: 1,1

2,

1

4,

1

8,…

Su razón es 1

2, y los términos decrecen aproximándose a 0. En este caso podemos

calcular la suma de todos los términos de la progresión, ya que el valor de 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n

se aproxima a 0 a medida que aumenta el valor de n.

S = 1+1

2+

1

4+

1

8+ ... =

1⋅ (−1)

1

2−1

=−1

−1

2

= 2

Si la razón de una progresión geométrica cumple que −1 < r < 1, entonces las potencias de r son prácticamente nulas cuando n es muy grande. Así:

S =a1 ⋅ (−1)

r −1=

a1

1− r

Si la razón de una progresión geométrica cumple que −1 < r < 1, la suma de todos sus términos es:

S =a1

1− r

Aprenderás a… ● Calcular la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.

● Hallar la suma de una progresión geométrica si | r | < 1.

} La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica vale 11 718. Si el primero y último son 3 y 9 375, respectivamente, ¿cuántos términos se han sumado?

SoluciónLa suma de los n primeros términos es: 11 718 =

9 375 ⋅ r − 3

r −1

Resolvemos la ecuación para hallar la razón de la progresión:

11 718(r − 1) = 9 375r − 3 → 11 718r − 11 718 = 9 375r − 3 → r = 5

Así, el último término es: 9 375 = 3 ⋅ 5n−1 → 5n−1 = 3 125

Para calcular n, expresamos 3 125 como potencia de 5:

5n−1 = 55 → n − 1 = 5 → n = 6

Luego, se han sumado 6 términos de la progresión.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOObserva estos cuadrados. Teniendo en cuenta que cada uno de ellos se ha obtenido uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, responde a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es el término general de la sucesión formada por las áreas de los cuadrados?

b) ¿Y la suma de los 5, 10 y 15 primeros términos de la sucesión?

c) Si se repitiese el proceso para obtener los cuadrados indefinidamente, ¿cuál sería el valor de la suma?

65

1

1

¿Cuántos términos consecutivos se han sumado de una progresión geométrica para obtener 22 960 si el primero es 7, y el último, 15 309?

¿Cuál es la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica cuyo

primer término es 18, si el último vale 2

27?

Los padres de Felipe deciden guardar 1 € el día en que su hijo cumple su primer año. A partir de entonces tienen previsto duplicar la cantidad que van a ahorrar para el niño en cada uno de sus cumpleaños. ¿Cuánto dinero habrán reunido el día en que Felipe cumpla 15 años?

Calcula el término general y la suma de todos los términos siendo:

a) a1 = 6 y r = 1

3 c) a1 = 3 y r = −

1

5b) a1 = 4 y r = 0,25 d) a1 = 10 y r = −0,1

61

62

63

64

mac3e22

Soluciones de las actividades58 Halla la suma de los 10 primeros términos de estas progresiones geométricas:

a) 32, 16, 8, 4,… b) 54, −18, 6, −2,… c) 64, 16, 4, 1,… d) 2, −3, 4,5; −6,75,…

a) S10 =

1

16⋅1

2− 32

1

2−1

=−

1023

32

−1

2

=1023

16 c) S10 =

1

4 096⋅

1

4− 64

1

4−1

=

−65535

16384

−3

4

=349525

4 096

b) S10 =−

2

729⋅ −

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−54

−1

3−1

=−

118096

2187

−4

3

=29524

729 d) S10 =

−19683

256⋅ −

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 2

−3

2−1

=

58025

512

−5

2

= −11605

256


En este epígrafe los alumnos aprenderán a calcular la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

La anécdota sobre el inventor del ajedrez puede ayudar a los alumnos a comprender la fórmula para una progresión geométrica cualquiera. Es conveniente recalcar que al multi-plicar cada término de la progresión por la razón se obtiene el siguiente, y por eso la suma se reduce a la diferencia del último término por la razón menos el primero. Por último, se explica que los términos de una progresión geométrica cuya razón, en valor absoluto, es menor que 1, decrecen tan deprisa que se pueden sumar infinitos de ellos.

GeoGebra. SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

En este recurso aparece la representación gráfica de la suma de los términos de la progresión geométrica cuyo primer término es

1 y de razón 1

2. Pulsando sobre los botones del reproductor o

ejecutando la reproducción automática, se puede observar como los cuadriláteros rellenan los dos cuadrados iniciales.

Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación de la suma de infinitos términos de una progresión geométrica o para proponer a los alumnos que deduzcan el resultado sin realizar cálculos.

6 Sucesiones


59 Calcula la suma de los 12 primeros términos de una progresión geométrica cuya razón es 2,5 si su primer término es 3.

a12 = 3 ⋅2,511 → S12 =3 ⋅2,511 ⋅2,5− 3

2,5−1= 119207,29

60 Halla la suma de las 8 primeras potencias de 2 mayores que 1.

a8 = 2 ⋅27 = 256 → S8 =256 ⋅2− 2

2−1= 510

61 ¿Cuántos términos consecutivos se han sumado de una progresión geométrica para obtener 22 960 si el primero es 7, y el último, 15 309?

22960 =15309 ⋅ r −7

r −1→ 22960 r − 22960 = 15309r −7 → 7651r = 22953 → r = 3

15309 = 7 ⋅3n−1 → 3n−1 = 2187 → 3n−1 = 37 → n = 8 Se han sumado 8 términos. 62 ¿Cuál es la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 18, si el último vale

2

27?

2

27= 18 ⋅ r5 → r5 =

1

243→ r =

1

3→ S6 =

2

27⋅1

3−18

1

3−1

=−

1456

81

−2

3

=728

27

63 Los padres de Felipe deciden guardar 1 € el día en que su hijo cumple su primer año. A partir de entonces tienen previsto duplicar la cantidad que van a ahorrar para el niño en cada uno de sus cumpleaños. ¿Cuánto dinero habrán reunido el día en que Felipe cumpla 15 años?

a15 = 1⋅214 = 16384 → S15 =16384 ⋅2−1

2−1= 32767 €

64 Calcula el término general y la suma de todos los términos siendo:

a) a1 = 6 y r = 13

b) a1 = 4 y r = 0,25 c) a1 = 3 y r = −15

d) a1 = 10 y r = −0,1

a) an = 6 ⋅1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

→ S =6

1−1

3

=6

2

3

= 9 c) an = 3 ⋅ −1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

→ S =3

1+1

5

=3

6

5

=5

2

b) an = 4 ⋅0,25n−1 → S =4

1− 0,25=

4

0,75=

16

3 d) an = 10 ⋅ −0,1( )n−1

→ S =10

1+ 0,1=

10

1,1=

100

11

Desafío65 Observa los cuadrados de la figura. Teniendo en cuenta que cada uno de ellos se ha obteni-

do uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, responde a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es el término general de la sucesión formada por las áreas de los cuadrados?

b) ¿Y la suma de los 5, 10 y 15 primeros términos de la sucesión?

c) Si se repitiese el proceso para obtener los cuadrados indefinidamente, ¿cuál sería el valor de la suma?

a) an =1

2n−1 c) S =

1

1−1

2

=1

1

2

= 2

b) S5 =

1

16⋅1

2−1

1

2−1

=−

31

32

−1

2

=31

16 S10 =

1023

512 S15 =

32767

16384

1

1

175

6Sucesiones



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Calcular el término general o la ley de recurrencia de una sucesión.

❚❚ Hallar la diferencia y el valor de un término cualquiera de una progresión aritmética.

❚❚ Determinar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.

❚❚ Interpolar términos en una progresión.

❚❚ Calcular la razón y el valor de un término cualquiera de una progresión geométrica.

❚❚ Determinar la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

❚❚ Calcular la suma de todos los términos de una progresión geométrica cuya razón es mayor que −1 y menor que 1.

Actividades finalesSoluciones de las actividades66 Copia en tu cuaderno y asocia cada término de la primera columna con el término general de la sucesión de la que forma

parte de la segunda columna.

a5 = 3 an = n2 − 9n + 20 ❚❚ a5 = 3 es el quinto término de la sucesión an = n2 − 2n − 12.

a4 = 0 an = n + 4 ❚❚ a4 = 0 es el cuarto término de la sucesión an = n2 − 9n + 20.

a7 = 11 an = n2 − 2n − 12 ❚❚ a7 = 11 es el séptimo término de la sucesión an = n + 4.

a3 = 72 an = n3 + 5n2 ❚❚ a3 = 72 es el tercer término de la sucesión an = n3 + 5n2.

¿Qué tienes que saber?

110

¿QUÉ6 tienes que saber?

111

¿Cuál es el número, a, para el que todos los términos de la sucesión an = n2 + 10n + a son cuadrados de números enteros?

En el fondo de un lago de 3,4 m de profundidad nace un nenúfar cuya altura aumenta 40 cm durante el día y disminuye 10 cm durante la noche.

a) Halla la altura, an, del nenúfar tras la enésima noche.

b) ¿Qué día alcanzará el nenúfar la superficie del lago?

Considera la sucesión formada por el número de cubos de cada una de las siguientes figuras.

a) Escribe los seis primeros términos de la sucesión y calcula su término general.

b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura formada por 256 cubos?

Progresiones aritméticas

La diferencia de una progresión aritmética es 3. Determina su término general si el primer término vale 5.

Halla la diferencia de una progresión aritmética si su primer término es 31 y el quinto vale 63.

Calcula la diferencia de una progresión aritmética cuyo cuarto término excede en 10 unidades al noveno.

¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética si su término general es an = 3n + 1?

La última revisión de la caldera de la vivienda de Pedro se realizó en el año 2012. Las instrucciones de uso de su modelo de caldera marcan que las revisiones deben realizarse cada 3 años. ¿Se efectuará una revisión en el año 2020? ¿Y en el 2021?

74

75

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81

Sucesiones

Copia en tu cuaderno y asocia cada término de la primera columna con el término general de la sucesión de la que forma parte de la segunda columna.

a5 = 3 an = n2 − 9n + 20

a4 = 0 an = n + 4

a7 = 11 an = n2 − 2n − 12

a3 = 72 an = n3 + 5n2

Halla el tercero, el quinto y el décimo término de cada una de las siguientes sucesiones.

a) an = n2 − 2n c) an = n3 − n2 + 5

b) an =3

5n−1 d) an =

n− 2

n + 2

Considera la sucesión formada por el número de cuadrados de cada una de las siguientes figuras.


b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura formada por 625 cuadrados?

Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.

a) a1 = 1, a2 = 2, an = 3an−1 − 2an−2

b) a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + 2an−2

En una sucesión, cada término excede en una unidad al doble del término anterior. Si el primer término es 1:

a) Halla la ley de recurrencia de la sucesión.

b) Calcula los siete primeros términos.

c) Determina el término general de la sucesión.

¿Cuál es el término general de las siguientes sucesiones?

a) 5, −5, 5, −5, 5, −5,…

b) 1, 0, 1, 0, 1, 0,…

Prueba que los términos de la sucesión an = n ⋅ 2n cumplen la relación:

an+2 − 4an+1 + 4an = 0

¿Son pares todos los términos de la sucesión cuyo término general es an = 3n − 3n−1?

66

67

68

69

70

7271

72

73

Determina el término general o una ley de recurrencia de estas sucesiones.

a) 2, 8, 18, 32, 50,… b) 4, 1,1

4,1

4, 1,…

a) 1 2 3 4 512 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 2512 ⋅ 2 = 2 22 ⋅ 2 = 8 32 ⋅ 2 = 18 42 ⋅ 2 = 32 52 ⋅ 2 = 50

El término general es: an = n2 ⋅ 2 = 2n2

b) Para obtener cada término a partir de los dos primeros, tenemos que dividir los dos anteriores. En este caso, podemos escribir la ley de recurrencia:

a1 = 4, a2 = 1, an =an−1

an−2

SucesionesTen en cuentaUna sucesión es un conjunto ordenado de números reales llamados términos.

❚ El término general, an, es la expresión algebraica que corresponde a un término de la sucesión.

❚ Una ley de recurrencia es una expresión algebraica que relaciona cada término con sus anteriores.

El segundo término de una progresión aritmética es 10, y el séptimo vale 45. Calcula la suma de los 25 primeros términos de la progresión.

Escribimos la expresión de cada término a partir del término general:

a2 = 10

a7 = 45

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→

a1 + 6d = 10

a1 + 6d = 45

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→

a1 = 3

d = 7

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

Para hallar la suma de los 25 primeros términos, calculamos a25:

a25 = 3 + 24 ⋅ 7 = 171

Así, la suma es: S25 =a1 + a25( ) ⋅25

2=

3 + 171( ) ⋅25

2= 2 175

Progresiones aritméticasTen en cuentaUna progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, excepto el primero, se obtiene sumándole al anterior un mismo número, llamado diferencia, d.

❚ El término general es:

an = a1 + (n − 1)d

❚ La suma de los n primeros términos es:

Sn =a1 + an( ) ⋅n

2

Dados los términos a1 = 1 024 y a6 = 1.

a) Interpola cuatro términos geométricos entre ellos.

b) Calcula la suma de los 6 primeros términos de la progresión.

c) Determina, si es posible, la suma de todos los términos de la progresión geométrica.

a) Hallamos los términos a2, a3, a4 y a5 de la progresión geométrica.

Como a6 = a1 ⋅ r5 → 1 = 1024 ⋅ r5 → r5 =

1

1024→ r =

1

10245 =

1

4

Así: a2 = 1024 ⋅1

4= 256 a3 = 256 ⋅

1

4= 64 a4 = 64 ⋅

1

4= 16 a5 = 16 ⋅

1

4= 4

b) La suma de los 6 primeros términos es:

S6 =a1 r6 −1( )

r −1=

10241

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6

−1⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1

4−1

=1024

1

4 096−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

−3

4

=−

4 0954

−3

4

= 1365

c) Como r =1

4<1→ S =

1024

1−1

4

=1024

3

4

=4 096

3

Progresiones geométricasTen en cuentaUna progresión geométrica es una sucesión cuyos términos, excepto el primero, se obtienen multiplicando el anterior por un mismo número, llamado razón, r.

❚ El término general es:

an = a1 ⋅ rn−1

❚ La suma de los n primeros términos es:

Sn =an ⋅ r − a1

r −1=a1 r n −1( )

r −1

❚ Si la razón −1 < r < 1, entonces la suma de todos sus términos es:

S =a1

1− r

Actividades Finales 6

6 Sucesiones


67 Halla el tercero, el quinto y el décimo término de cada una de las siguientes sucesiones.

a) an = n2 − 2n b) an =3

5n−1 c) an = n3 − n2 + 5 d) an =

n− 2

n + 2a) a3 = 3, a5 = 15, a10 = 80 c) a3 = 23, a5 = 105, a10 = 905

b) a3 =3

14,a5 =

3

24=

1

8,a10 =

3

49 d) a3 =

1

5,a5 =

3

7,a10 =

8

12=

2

368 Considera la sucesión formada por el número de cuadrados de cada una de las siguientes figuras.


b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura formada por 625 cuadrados?

a) 1, 4, 9, 16, 25, 36 → an = n2

b) n2 = 625 → n = 2569 Escribe los cinco primeros términos de estas sucesiones recurrentes.

a) a1 = 1, a2 = 2, an = 3an−1 − 2an−2 b) a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + 2an−2

a) 1, 2, 4, 8, 16 b) 1, 1, 3, 5, 1170 En una sucesión, cada término excede en una unidad al doble del término anterior. Si el primer término es 1:

a) Halla la ley de recurrencia de la sucesión.

b) Calcula los siete primeros términos.

c) Determina el término general de la sucesión.

a) a1 = 1, an = 1 + 2an−1 b) 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127 c) an = 2n − 1 71 ¿Cuál es el término general de las siguientes sucesiones?

a) 5, −5, 5, −5, 5, −5,… b) 1, 0, 1, 0, 1, 0,…

a) an = 5 ⋅ −1( )n−1 b) an =

1+ −1( )n+1

272 Prueba que los términos de la sucesión an = n ⋅ 2n cumplen la relación: an+2 − 4an+1 + 4an = 0

(n + 2) ⋅ 2n + 2 − 4(n + 1) ⋅ 2n + 1 + 4n ⋅ 2n = 2n(4(n + 2) − 8(n + 1) + 4n) = 073 ¿Son pares todos los términos de la sucesión cuyo término general es an = 3n − 3n − 1?

3n − 3n − 1 = 3n − 1(3 − 1) = 2 ⋅ 3n − 1

Todos los términos son múltiplos de 2, son pares.74 ¿Cuál es el número, a, para el que todos los términos de la sucesión an = n2 + 10n + a son cuadrados de números enteros?

an = n2 + 10n + a = n2 + 10n + 25( ) + a – 25 = n + 5( )2 + a – 25Si a = 25 entonces los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.

177

6Sucesiones


75 En el fondo de un lago de 3,4 m de profundidad nace un nenúfar cuya altura aumenta 40 cm durante el día y disminuye 10 cm durante la noche.

a) Halla la altura, an, del nenúfar tras la enésima noche.

b) ¿Qué día alcanzará el nenúfar la superficie del lago?

a) an = n ⋅ 30 cm

b) a10 = 10 ⋅ 30 = 300 cm = 3 m

Al día siguiente aumenta 40 cm y alcanza los 3,4 m de la superficie antes de que anochezca. Por tanto, el nenúfar alcanza la superficie del lago en el undécimo día.

76 Considera la sucesión formada por el número de cubos de cada una de las siguientes figuras.


b) ¿Cuál es el término correspondiente a la figura formada por 256 cubos?

a) 1, 4, 9, 16, 25, 36 → an = n2

b) n2 = 256 → n = 1677 La diferencia de una progresión aritmética es 3. Determina su término general si el primer término vale 5.

an = 5 + 3(n − 1) = 3n + 278 Halla la diferencia de una progresión aritmética si su primer término es 31 y el quinto vale 63.

63 = 31 + 4d → 4d = 32 → d = 879 Calcula la diferencia de una progresión aritmética cuyo cuarto término excede en 10 unidades al noveno.

a4 + 10 = a9 → 5d = 10 → d = 280 ¿Cuál es la diferencia de una progresión aritmética si su término general es an = 3n + 1?

a1 = 4 y a2 = 7 → d = 381 La última revisión de la caldera de la vivienda de Pedro se realizó en el año 2012. Las instrucciones de uso de su modelo

de caldera marcan que las revisiones deben realizarse cada 3 años. ¿Se efectuará una revisión en el año 2020? ¿Y en el 2021?

2 020 = 2 012 + 3(n − 1) → 3(n − 1) = 8

Como 8 no es múltiplo de 3, la caldera no se revisará en el año 2020.

2 021 = 2 012 + 3(n − 1) → 3(n − 1) = 9

Sin embargo, como 9 es múltiplo de 3, la caldera sí se revisará en el 2021.

6 Sucesiones


82 Considera la sucesión formada por el número de palillos de cada una de las siguientes figuras.

a) b)

Escribe los seis primeros términos de cada sucesión y calcula el término general que les corresponde.

a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 → an = 4+ 3(n − 1) = 3n + 1

b) 3, 5, 7, 9, 11, 13 → an = 3 + 2(n − 1) = 2n + 183 Interpola tres términos aritméticos entre los siguientes números.

a) 17 y 53 b) −16 y 12 c) 2 y 54 d) 21 y −11

a) 53 = 17 + 4d → d = 9 → 17, 26, 35, 44, 53

b) 12 = −16 + 4d → d = 7 → −16, −9, −2, 5, 12

c) 54 = 2 + 4d → d = 13 → 2, 15, 28, 41, 54

d) −11 = 21 + 4d → d = −8 → 21, 13, 5, −3, −11

112

6 Sucesiones

113

Dada una progresión geométrica cuyo primer término vale 4 y cuya razón es 0,2; calcula:

a) La suma de los 8 primeros términos.

b) La suma de todos los términos.

El cuarto término de una progresión geométrica es 1

27, y el séptimo vale −

1

729.

a) Halla el término general de la progresión.

b) ¿Se puede calcular la suma de sus infinitos términos? Razona tu respuesta.

El tercer término de una progresión geométrica es 2, y el sexto vale 16.



¿Cuál es el primer término de una progresión

geométrica de razón 3

4 si la suma de todos sus

términos vale 64?

Considera las progresiones geométricas definidas por an = 5an−1 y bn = 4bn−1. Si el primer término de las dos progresiones es igual a 1, ¿qué suma es mayor: la de los 7 primeros términos de an o la de los 8 primeros de bn?

Calcula el valor de las siguientes sumas:

a) 3 + 33 + 35 + 37

b) 1 + 32 + 34 + 36

c) −1 + 3 − 32 + 33 − 34 + 35 − 36 + 37

Observa estos triángulos. Si cada uno de ellos se ha obtenido uniendo los puntos medios de los lados del triángulo anterior, determina:

a) El término general de la sucesión formada por los perímetros de los triángulos.

b) El término general de la sucesión de las áreas de los triángulos.

c) La suma de los perímetros de los 8 primeros triángulos de la sucesión.

d) La suma de las áreas de los infinitos triángulos que se obtienen con este proceso.

Comprueba que, si a1, a2,…, an son los términos de una progresión geométrica, se verifica que:

a1 ⋅ a2 ⋅… ⋅ an( )2 = a1 ⋅ an( )n

Calcula, además, el producto de los 8 primeros términos de la progresión: an = 33−n

109

110

111

112

113

114

115

116

Lanzamos una pelota que va botando sobre el suelo. Después de cada bote avanza la mitad de la distancia recorrida desde el bote anterior. ¿Qué distancia habrá recorrido tras botar cinco veces?

8 m

Indica razonadamente si los siguientes números están en progresión geométrica.

a) 0, 5, 25, 125,…

b) a, a2b, a3b2, a4b3,…

c) 3n, 3n+1, 3n+2, 3n+3,…

d) 2n, −2n+1, −2n+2, 2n+3,…

Interpola cuatro términos geométricos entre:

a) 3 y 96 c) 1 y −32

b) −2 y 2 d) 2 y 6 250

¿Cuántos términos de la progresión geométrica cuyo primer término es igual a 2 y que tiene como razón 3 son mayores que 20 y menores que 484?

104

105

106

107

Halla el término general de una progresión geométrica sabiendo que su quinto término es igual a 1 250 y que verifica la ley de recurrencia: an = 10an−1 − 25an−2

108

Halla tres términos consecutivos de una progresión aritmética cuya suma es 18, si el tercero de ellos excede en 2 unidades a la suma de los dos primeros.

La suma de un número impar de términos consecutivos de una progresión aritmética vale 169. ¿Cuántos términos se han sumado si el central es el número 13?

Enrique decide ahorrar 1 € de su paga semanal el primer mes y 1,20 € más cada mes posterior. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado al cabo de un año?

Las edades de los tres hermanos Gómez forman una progresión aritmética cuya diferencia es 4. Si la suma de sus edades es igual a 36, ¿cuántos años tiene cada uno?

Halla tres números en progresión aritmética que suman 33 y cuyo producto vale 1 287.

Progresiones geométricas

¿Cuál es el término general de las siguientes sucesiones?

a) 11, 22, 44, 88, 176,…

b) 12, −24, 48, −96, 192,…

c) 1 024, 128, 16, 2, 14

,…

Calcula el tercero, el quinto y el décimo término de una progresión geométrica sabiendo que el primero es 2 y la razón vale 3.

Halla el primer y el décimo término de una progresión geométrica si el tercero es 4 y el sexto es igual a −108. ¿Cuál es la razón de la progresión?

En una progresión geométrica, los términos quinto y décimo son 32 y 1 024, respectivamente. Determina la razón y el primer y tercer término de la progresión.

Halla el primer término de una progresión geométrica de razón 1,5; sabiendo que la suma de los 5 primeros términos es 13,1875.

Halla la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 5, si la suma de todos sus términos vale 20.

Escribe los 8 primeros términos de una progresión

geométrica si a5 =16

27 y el octavo es a8 =

128

729.

De una progresión geométrica, sabemos que el tercer término es 12 y el sexto vale 96.

a) Averigua cuál es el décimo término.

b) Calcula el término general de la progresión.

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

Considera la sucesión formada por el número de palillos de cada una de las siguientes figuras.

a)

b)

Escribe los seis primeros términos de cada sucesión y calcula el término general que les corresponde.

Interpola tres términos aritméticos entre los siguientes números.

a) 17 y 53 c) 2 y 54

b) −16 y 12 d) 21 y −11

El primer término de una progresión aritmética es 118, y su diferencia vale 35. ¿Cuál es el mayor término de la progresión menor que 1 000?

¿Cuál es el cuarto término de una progresión aritmética cuyos siete primeros términos suman 105?

Calcula el primer número negativo de la progresión aritmética cuyo primer término es 42, si su diferencia es −5. ¿Qué lugar ocupa ese número en la progresión?

Los primeros términos de una sucesión son:

a1 = 3, a2 = 7, a3 = 13, a4 = 21

a) Comprueba que la sucesión dada por la expresión bn = an+1 − an es una progresión aritmética y halla su término general.

b) Demuestra que b1 + b2 + … + bn−1 = an − a1 y emplea esta igualdad para calcular an.

Calcula la suma de los 12 primeros múltiplos positivos de 7.

La suma de n números naturales consecutivos es 915. ¿Cuántos hemos sumado si el primero es 16?

Determina cuántos números naturales pares consecutivos suman 350 si el primero de ellos es el 12.

82

83

84

85

86

87

88

89

90

1 u

} Calcula el término general de una progresión geométrica si su quinto término vale 160 y si verifica la ley de recurrencia: an = 4an−1 − 4an−2

Solución

Expresamos los términos geométricos an y an−1 a partir de an−2 y la razón, r: an = an−2 ⋅ r

2

an−1 = an−2 ⋅ r

Sustituimos en la ley de recurrencia:

an−2 ⋅ r2 = 4an−2 ⋅ r − 4an−2

Simplificamos por an−2:

r2 = 4r − 4

Resolvemos la ecuación de segundo grado:r2 = 4r + 4 = 0 → (r − 2)2 = 0 → r = 2

Como a5 = 160:

160 = a1 ⋅ 24 → 160 = 16a1 → a1 = 10

Así, el término general es: an = 10 ⋅ 2n−1 = 5 ⋅ 2n

EJERCICIO RESUELTO

Actividades Finales 6

179

6Sucesiones


84 El primer término de una progresión aritmética es 118, y su diferencia vale 35. ¿Cuál es el mayor término de la progresión menor que 1 000?

an = 118 + 35(n − 1) = 35n + 83

35n + 83 = 1 000 → n = 26,2

Como n tiene que ser un número natural, ha de ser: n = 26

Por tanto, el término a26 es el mayor de la progresión menor que 1 000.85 ¿Cuál es el cuarto término de una progresión aritmética cuyos siete primeros términos suman 105?

Por ser una progresión aritmética: a1 + a7 = a2 + a6 = a3 + a5 = 2a4

Entonces: 2a4 ⋅7

2= 105 → a4 = 15

86 Calcula el primer número negativo de la progresión aritmética cuyo primer término es 42, si su diferencia es −5. ¿Qué lugar ocupa ese número en la progresión?

an = 42 − 5(n − 1) = −5n + 47

−5n + 47 = 0 → n = 9,4

Como n tiene que ser un número natural, ha de ser: n = 10

Por tanto, el término a10 = −3 es el primer número negativo de la progresión.87 Los primeros términos de una sucesión son: a1 = 3, a2 = 7, a3 = 13, a4 = 21

a) Comprueba que la sucesión dada por la expresión bn = an+1 − an es una progresión aritmética y halla su término general.

b) Demuestra que b1 + b2 + … + bn−1 = an − a1 y emplea esta igualdad para calcular an.

a) b1 = 4, b2 = 6, b3 = 8,… → bn = 4 + 2(n − 1) = 2n + 2

b) b1 + b2 + … + bn−1 = a2 − a1 + a3 − a2 + a4 − a3 + … + an − an−1 = an − a1

Sn−1 =

b1 + bn−1( ) ⋅ n−1( )

2=

4 + 2 n−1( ) + 2( ) ⋅ n−1( )

2= n + 2( ) ⋅ n−1( ) = n2 + n− 2

Entonces: an − a1 = n2 + n − 2 → an = n2 + n + 1 88 Calcula la suma de los 12 primeros múltiplos positivos de 7.

an = 7n → S12 =a1 + a12( ) ⋅12

2=

7 + 84( ) ⋅12

2= 546

89 La suma de n números naturales consecutivos es 915. ¿Cuántos hemos sumado si el primero es 16?

Sn =(16 + 16 + n−1) ⋅ n

2=

(n + 31) ⋅ n

2= 915 → n2 + 31n−1830 = 0 →

n1 = 30

n2 = −61

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 30, es decir, se han sumado 35 números.

90 Determina cuántos números naturales pares consecutivos suman 350 si el primero de ellos es el 12.

Sn =(12 + 12 + 2(n−1)) ⋅ n

2= (n + 11) ⋅ n = 350 → n2 + 11n− 350 = 0 →

n1 = 14

n2 = −25

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Como el número de términos debe ser un número natural la única solución válida es n = 14, es decir, se han sumado 14 números naturales pares.

91 Halla tres términos consecutivos de una progresión aritmética cuya suma es 18, si el tercero de ellos excede en 2 unidades a la suma de los dos primeros.

a1 + a2 + a3 = 18

a3 = a1 + a2 + 2

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→

a1 + a1 + d + a1 + 2d = 18

a1 + 2d = a1 + a1 + d + 2

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→

3a1 + 3d = 18

a1 − d = −2

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→

a1 + d = 6

a1 − d = −2

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ 2a1 = 4 → a1 = 2

2 + d = 6 → d = 4 → a2 = 6,a3 = 10

6 Sucesiones


92 La suma de un número impar de términos consecutivos de una progresión aritmética vale 169. ¿Cuántos términos se han sumado si el central es el número 13?

Sn =a1 + an( ) ⋅ n

2=

2 ⋅13( ) ⋅ n

2= 169 → 13n = 169 → n = 13

93 Enrique decide ahorrar 1 € de su paga semanal el primer mes y 1,20 € más cada mes posterior. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado al cabo de un año?

a12 = 1+ 1,2 ⋅11 = 14,2 → S12 =(1+ 14,2) ⋅12

2= 91,20 €

94 Las edades de los tres hermanos Gómez forman una progresión aritmética cuya diferencia es 4. Si la suma de sus edades es igual a 36, ¿cuántos años tiene cada uno?

a1 + a2 + a3 = a1 + a1 + 4 + a1 + 8 = 3a1 + 12 = 36 → 3a1 = 24 → a1 = 8

El hermano mayor tiene 16 años, el mediano, 12 años, y el pequeño, 8 años.95 Halla tres números en progresión aritmética que suman 33 y cuyo producto vale 1 287.

Sean x el segundo término de la progresión y d su diferencia.

Entonces: x − d + x + x + d = 33 → 3x = 33 → x = 11

Así, los términos de la progresión son: 11 − d, 11, 11 + d

(11 − d) ⋅ 11 ⋅ (11 + d) = 1 287 → 121 − d2 = 117 → d2 = 4 → d = ±2

Los números son: 9, 11 y 1396 ¿Cuál es el término general de las siguientes sucesiones?

a) 11, 22, 44, 88, 176,…

b) 12, −24, 48, −96, 192,…

c) 1 024, 128, 16, 2, 14

,…

a) an = 11 ⋅ 2n − 1 b) an = 12 ⋅ –2( )n–1 c) an = 1024 ⋅

1

8

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

= 213−3n

97 Calcula el tercero, el quinto y el décimo término de una progresión geométrica sabiendo que el primero es 2 y la razón vale 3.

a3 = 18, a5 = 162, a10 = 39 36698 Halla el primer y el décimo término de una progresión geométrica si el tercero es 4 y el sexto es igual a −108. ¿Cuál es la

razón de la progresión?

a1 ⋅ r2 = 4

a1 ⋅ r5 = −108

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 =

4

r2→

4

r2⋅ r5 = −108 → r3 = −27 → r = −3 → a1 =

4

9

a10 =4

9⋅ −3( )9 = −8748

99 En una progresión geométrica, los términos quinto y décimo son 32 y 1 024, respectivamente. Determina la razón y el primer y tercer término de la progresión.

a1 ⋅ r4 = 32

a1 ⋅ r9 = 1024

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 =

32

r4→

32

r4⋅ r9 = 1024 → r5 = 32 → r = 2 → a1 = 2

a3 = 2 ⋅22 = 8

181

6Sucesiones


100 Halla el primer término de una progresión geométrica de razón 1,5; sabiendo que la suma de los 5 primeros términos es 13,1875.

13,1875 =a1 ⋅1,54 ⋅1,5− a1

1,5−1→ 26,375 = 6,59375a1 → a1 = 4

101 Halla la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 5, si la suma de todos sus términos vale 20.

20 =5

1− r→ 1− r =

1

4→ r =

3

4

102 Escribe los 8 primeros términos de una progresión geométrica si a5 =16

27 y el octavo es a8 =

128

729.

a1 ⋅ r4 =

16

27

a1 ⋅ r7 =

128

729

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ a1 =16

27r4→

16

27r4⋅ r7 =

128

729→ r3 =

8

27→ r =

2

3

a1 = 3,a2 = 2,a3 =4

3,a4 =

8

9,a5 =

16

27,a6 =

32

81,a7 =

64

243,a8 =

128

729

103 De una progresión geométrica, sabemos que el tercer término es 12 y el sexto vale 96.

a) Averigua cuál es el décimo término.

b) Calcula el término general de la progresión.

a1 ⋅ r2 = 12

a1 ⋅ r5 = 96

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 =

12

r2→

12

r2⋅ r5 = 96 → r3 = 8 → r = 2 → a1 = 3

a) a10 = 3 ⋅ 29 = 1 536

b) an = 3 ⋅ 2n−1

104 Lanzamos una pelota que va botando sobre el suelo. Después de cada bote avanza la mitad de la distancia recorrida desde el bote anterior. ¿Qué distancia habrá recorrido tras botar cinco veces?

8 m

S5 =8 ⋅0,54 ⋅0,5− 8

0,5−1= 15,5 m

105 Indica razonadamente si los siguientes números están en progresión geométrica.

a) 0, 5, 25, 125,… c) 3n, 3n+1, 3n+2, 3n+3,…

b) a, a2b, a3b2, a4b3,... d) 2n, −2n+1, −2n+2, 2n+3,…

a) No es una progresión geométrica porque al multiplicar el primer término por un número no puede resultar 5.

b) Es una progresión geométrica de razón ab.

c) Es una progresión geométrica de razón 3.

d) No es una progresión geométrica porque para obtener el segundo término hay que multiplicar por −2, pero para ob-tener el tercero debemos hacerlo por 2.

6 Sucesiones


106 Interpola cuatro términos geométricos entre:

a) 3 y 96 c) 1 y −32

b) −2 y 2 d) 2 y 6 250

a) 96 = 3r5 → r5 = 32 → r = 2 → 3, 6, 12, 24, 48, 96

b) 2 = −2r5 → r5 = −1 → r = −1 → −2, 2, −2, 2, −2, 2

c) −32 = r5 → → r = −2 → 1, −2, 4, −8, 16, −32

d) 6 250 = 2r5 → r5 = 3 125 → r = 5 → 2, 10, 50, 250, 1 250, 6 250 107 ¿Cuántos términos de la progresión geométrica cuyo primer término es igual a 2 y que tiene como razón 3 son mayores

que 20 y menores que 484?

an = 2 ⋅ 3n−1 → a3 = 18, a4 = 54, a5 = 162, a6 = 486

Por tanto, solo dos términos de la progresión son mayores que 20 y menores que 484.108 Halla el término general de una progresión geométrica sabiendo que su quinto término es igual a 1 250 y que verifica la

ley de recurrencia: an = 10an−1 − 25an−2.

a3 = a1 ⋅ r2

a3 = 10a2 − 25a1 = 10a1 ⋅ r − 25a1

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 ⋅ r

2 = 10a1 ⋅ r − 25a1 → r2 −10 r + 25 = 0 → r = 5

1 250 = a1 ⋅ 54 → a1 = 2 → an = 2 ⋅ 5n−1

109 Dada una progresión geométrica cuyo primer término vale 4 y cuya razón es 0,2; calcula:

a) La suma de los 8 primeros términos.

b) La suma de todos los términos.

a) S8 =4 ⋅0,27 ⋅0,2− 4

0,2−1= 4,99

b) S =4

1− 0,2= 5

110 El cuarto término de una progresión geométrica es 1

27, y el séptimo vale −

1

729.



a)

a1 ⋅ r3 =

1

27

a1 ⋅ r6 = −

1

729

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ a1 =1

27r3→

1

27r3⋅ r6 = −

1

729→ r3 = −

1

27→ r = −

1

3→ a1 = −1→ an = − −

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

b) Es posible calcular la suma de infinitos términos porque: r <1→ S =−1

1+1

3

= −3

4

111 El tercer término de una progresión geométrica es 2, y el sexto vale 16.



a)

a1 ⋅ r2 = 2

a1 ⋅ r5 = 16

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 =

2

r2→

2

r2⋅ r5 = 16 → r3 = 8 → r = 2 → a1 =

1

2→ an =

1

2⋅2n−1 = 2n−2

b) No se puede calcular la suma de infinitos términos porque r > 1.

183

6Sucesiones


112 ¿Cuál es el primer término de una progresión geométrica de razón 3

4 si la suma de todos sus términos vale 64?

64 =a1

1−3

4

→ a1 = 64 ⋅1

4= 16

113 Considera las progresiones geométricas definidas por an = 5an−1 y bn = 4bn−1. Si el primer término de las dos progresiones es igual a 1, ¿qué suma es mayor: la de los 7 primeros términos de an o la de los 8 primeros de bn?

En la primera sucesión: r = 5 → S7 =57 −1

5−1= 19531

Y en la segunda: r = 4 → S8 =48 −1

4−1= 21845

Luego, es mayor la suma de los 8 primeros términos de bn.114 Calcula el valor de las siguientes sumas:

a) 3 + 33 + 35 + 37

b) 1 + 32 + 34 + 36

c) −1 + 3 − 32 + 33 − 34 + 35 − 36 + 37

a) S4 =37 ⋅9− 3

9−1= 2460

b) S4 =36 ⋅9−1

9−1= 820

c) S8 = 2 460 − 820 = 1 640115 Observa estos triángulos. Si cada uno de ellos se ha obtenido uniendo los puntos medios de

los lados del triángulo anterior, determina:

a) El término general de la sucesión formada por los perímetros de los triángulos.

b) El término general de la sucesión de las áreas de los triángulos.

c) La suma de los perímetros de los 8 primeros triángulos de la sucesión.

d) La suma de las áreas de los infinitos triángulos que se obtienen con este proceso.

a) 3,3

2,3

4,... → an = 3 ⋅

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

c) S8 =

3

128⋅1

2− 3

1

2−1

=765

128

b) 3

4,

3

16,

3

64,... → an = 3 ⋅

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

d) S =

3

4

1−1

4

=3

3

116 Comprueba que, si a1, a2,…, an son los términos de una progresión geométrica, se verifica que:

a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an( )2 = a1 ⋅ an( )n

Calcula, además, el producto de los 8 primeros términos de la progresión: an = 33 − n

a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an( )2 = a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an( ) an ⋅ an−1 ⋅ ... ⋅ a1( ) = a1 ⋅ an( ) ⋅ a2 ⋅ an−1( ) ⋅ ... ⋅ an ⋅ a1( ) =

= a1 ⋅ an( ) ⋅ a1 ⋅ r ⋅anr

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟⋅ ... ⋅ an ⋅ a1( ) = a1 ⋅ an( ) ⋅ a1 ⋅ an( ) ⋅ ... ⋅ a1 ⋅ an( ) = a1 ⋅ an( )n

P8 = a1 ⋅ a8( )8 = 32 ⋅3−5( )8 = 3−12 =1

312

1 u

6 Sucesiones


Matemáticas vivas

Logística Sugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presen-ta una situación cotidiana: cómo abastecer a una población de agua potable mediante la contrata de camiones cisterna. Se pretende que los alumnos sean capaces de reconocer, obtener y manipular sucesiones numéricas, observando regularidades en casos sencillos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Modeliza, Resuelve, Comunica o Utiliza el lenguaje matemático.

En las actividades de comprensión deberán razonar qué tipo de sucesión es la que surge al extraer litros del camión cada hora.

En las actividades de relación los alumnos tendrán que reconocer una sucesión aritmética de diferencia negativa y razonar cuál de las opciones propuestas es más beneficiosa para los vecinos.

Para terminar, en las actividades de reflexión se plantea que el alumno estudie las condiciones de un contrato de trabajo en un concesionario de camiones. Será necesario comunicar que es una sucesión aritmética para modelizar y resolver las cuestiones que se plantean.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Uno para todos, de Pere Pujolàs.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos calcularán la cantidad de dinero que ahorrarían según unas pautas dadas. Para realizar la actividad, los alumnos trabajarán en pequeños grupos y el profesor realizará preguntas intermedias para que los alumnos resuelvan paso a paso la actividad. El profesor corregirá la resolución a cualquier alumno y la calificación será la misma para cada miembro de su equipo.

6 MATEMÁTICAS VIVAS

114 115

6Logística

Se ha producido una gran avería en la red de suministro de agua potable de una población.

Mientras arreglan la avería, el Ayuntamiento ha contratado los servicios de abastecimiento a una empresa de camiones cisterna durante 8 horas diarias.

COMPRENDE

Los depósitos que transportan los camiones tienen una capacidad de 6 000 L cada uno. Por otro lado, una bomba de extracción de agua saca la mitad del líquido del camión cada hora.

Considera la cantidad de agua potable disponible para la población durante la jornada y contesta las siguientes preguntas.

a. ¿El número de litros extraídos del depósito del camión cada hora forma una sucesión? ¿De qué tipo: aritmética, geométrica o recurrente?

b. ¿Se puede expresar algebraicamente el número de litros extraídos según la hora del día? Si tu respuesta es afirmativa, indica cuál es esa expresión.

MODELIZA

c. ¿Qué cantidad de agua queda en el depósito del camión al terminar la jornada de 8 h?

1

PIENSA Y RAZONA

RESUELVE

REFLEXIONA

Miguel está buscando trabajo, y su amigo Mario le propone que entregue su currículo en el concesionario de la empresa de camiones multimarca donde él está trabajando desde que empezó el año.

En enero le hicieron un contrato temporal por tres meses como comercial de ventas. Mario está cobrando una parte fija, a la que hay que sumar una comisión por cada camión que consigue vender; sin embargo, Mario no recuerda las cantidades exactas que acordó con la empresa.

Para que Miguel pueda tener más información, Mario le envía esta tabla con sus datos del primer trimestre.

Investiga las condiciones del contrato.

a. La sucesión formada por el sueldo de cada mes, ¿es una progresión aritmética o geométrica?

b. Determina la comisión que cobra Mario por cada camión vendido y calcula el sueldo fijo que recibe mensualmente.

c. Halla el término general de la progresión que indica el sueldo mensual según el número de camiones vendidos.

MODELIZA

d. Si Mario consigue vender 20 camiones en el mes de marzo, ¿cuál será su sueldo?

e. Si contrataran a Miguel, ¿cuántos camiones tendría que vender para cobrar un sueldo superior a 2 600 €?

3

COMUNICA

RESUELVE

RELACIONA

Al final de la primera jornada, algunos vecinos han sugerido que en los días siguientes se extraiga el mismo número de litros por hora.

Teniendo en cuenta la cantidad de agua potable disponible para la población durante las siguientes jornadas, responde a estas preguntas.

a. ¿Qué tipo de sucesión es la formada por el número de litros extraídos cada hora?

b. ¿Cuál es la expresión del término general de la progresión que indica el número de litros de agua que quedan en el camión cada hora?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. ¿Cuántos litros contendrá el camión después de 6 h de abastecimiento a la población?

d. Para el total aprovechamiento del agua por parte de los vecinos, ¿es mejor que cada hora se extraiga la mitad del contenido total del camión o que se saque la misma cantidad cada hora?

2

COMUNICA

PIENSA Y RAZONA

TRABAJO

COOPERATIVO

PIENSA Y RAZONA

185

6Sucesiones


Soluciones de las actividades

Se ha producido una gran avería en la red de suministro de agua potable de una población.

Mientras arreglan la avería, el Ayuntamiento ha contratado los servicios de abastecimiento a una empresa de camiones cister-na durante 8 horas diarias.

Comprende

Los depósitos que transportan los camiones tienen una capacidad de 6 000 L cada uno. Por otro lado, una bomba de extrac-ción de agua saca la mitad del líquido del camión cada hora.1 Considera la cantidad de agua potable disponible para la población durante la jornada y contesta las siguientes pregun-

tas.

a) ¿El número de litros extraídos del depósito del camión cada hora forma una sucesión? ¿De qué tipo: aritmética, geométrica o recurrente?

b) ¿Se puede expresar algebraicamente el número de litros extraídos según la hora del día? Si tu respuesta es afirmativa, indica cuál es esa expresión.

c) ¿Qué cantidad de agua queda en el depósito del camión al terminar la jornada de 8 h?

a) Se trata de la sucesión: 3 000, 1 500, 750,… Es una progresión geométrica de razón 0,5.

b) Se puede expresar con el término general de la sucesión: an = 6000 ⋅1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n−1

c) a8 = 6000 ⋅1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

7

= 46,875 L

Relaciona

Al final de la primera jornada, algunos vecinos han sugerido que en los días siguientes se extraiga el mismo número de litros por hora.2 Teniendo en cuenta la cantidad de agua potable disponible para la población durante las siguientes jornadas, responde a

estas preguntas.

a) ¿Qué tipo de sucesión es la formada por el número de litros extraídos cada hora?

b) ¿Cuál es la expresión del término general de la progresión que indica el número de litros de agua que quedan en el camión cada hora?

c) ¿Cuántos litros contendrá el camión después de 6 h de abastecimiento a la población?

d) Para el total aprovechamiento del agua por parte de los vecinos, ¿es mejor que cada hora se extraiga la mitad del contenido total del camión o que se saque la misma cantidad cada hora?

a) Se trata de una progresión aritmética de diferencia 0.

b) Para vaciar el camión en 8 h deben extraerse 750 L cada hora: an = 6 000 − 750(n − 1) = 6 750 − 750n

c) a6 = 6 750 − 750 ⋅ 6 = 2 250 L

d) Es mejor que se extraiga la misma cantidad cada hora porque así, al final de la jornada, el camión se vacía completa-mente.

Reflexiona

Miguel está buscando trabajo, y su amigo Mario le propone que entregue su currículo en el concesionario de la empresa de camiones multimarca donde él está trabajando desde que empezó el año.

En enero le hicieron un contrato temporal por tres meses como comercial de ventas. Mario está cobrando una parte fija, a la que hay que sumar una comisión por cada camión que consigue vender; sin embargo, Mario no recuerda las cantidades exactas que acordó con la empresa.

Para que Miguel pueda tener más información, Mario le envía esta tabla con sus datos del primer trimestre.

6 Sucesiones


3 Investiga las condiciones del contrato.

a) La sucesión formada por el sueldo de cada mes ¿es una progresión aritmética o geométrica?

b) Determina la comisión que cobra Mario por cada camión vendido y calcula el sueldo fijo que recibe mensualmente.

c) Halla el término general de la progresión que indica el sueldo mensual según el número de camiones vendidos.

d) Si Mario consigue vender 20 camiones en el mes de marzo, ¿cuál será su sueldo?

e) Si contrataran a Miguel, ¿cuántos camiones tendría que vender para cobrar un sueldo superior a 2 600 €?

a) Es una progresión aritmética.

b) Calculamos la comisión que cobra de por cada camión vendido: a12 = a8 + 4d → 2 030 = 1 570 + 4d → d = 115 €

Hallamos el sueldo fijo mensual: a8 = a1 + 7d → 1 570 = a1 + 7 ⋅ 115 → a1= 765 €

c) an = 765 + 115(n − 1) = 115n + 650

d) a20 = 115 ⋅ 20 + 650 = 2 950 €

e) a17 = 115 ⋅ 17 + 650 = 2 605 €

Miguel tendría que vender 17 camiones como mínimo para superar los 2 600 €.

Trabajo cooperativo

Es una progresión geométrica de primer término de razón 2.

El dinero acumulado sería: Sn =5 ⋅2n −5

2−1= 5 2n −1( ) céntimos, siendo n el número de semanas.

187

6Sucesiones


6 Sucesiones

116

AVANZA Interés compuesto

Si depositamos una cantidad de dinero, C, en un banco durante un cierto tiempo a un interés compuesto del r % anual, cada vez que se cumpla un año desde que dejamos el depósito obtendremos benefi cios.

Al fi nal del primer año: C1 = C + C ⋅r

100= C 1+

r

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Al fi nal del segundo año: C2 = C1 + C1 ⋅r

100= C1 1+

r

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = C 1+

r

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

Transcurridos tres años: C3 = C2 + C2 ⋅r

100= C2 1+

r

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = C 1+

r

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

Las cantidades obtenidas forman una progresión geométrica. Para obtener el capital acumulado por una cantidad inicial, C, depositada en un banco a un interés compuesto anual o rédito del r % durante t años, aplicamos esta fórmula:

Cf = C 1+r

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

t

Por ejemplo, si una persona efectúa un depósito bancario de 10 000 € a un interés compuesto del 4 % anual y no retira el capital ni los intereses hasta que no transcurren 7 años, ¿qué cantidad poseerá al cabo de ese período de tiempo? ¿Cuáles habrán sido sus benefi cios?

Aplicamos la fórmula anterior: Cf = 10000 1+4

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

7

= 13 159,32 €

Los benefi cios son la diferencia entre el capital fi nal obtenido y el capital inicial que se depositó:

B = 13 159,32 − 10 000 = 3 159,32 €

A1. Halla el capital acumulado por un cliente que deposita 20 000 € durante 3 años al 5 % de interés compuesto anual. ¿Qué benefi cios obtiene?

A2. Si obtenemos un capital acumulado de 12 100 € durante 2 años a un interés del 10 %. ¿Cuánto hemos depositado?

CÁLCULO MENTAL Estrategia para SUMAR LOS CUBOS DE LOS PRIMEROS NÚMEROS NATURALES

La suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual al cuadrado de la suma de los n primeros números naturales.

13 + 23 +…+ n3 = 1+ 2 +…+ n( )2

Como 1+ 2 +…+ n =1+ n

2⋅n. Podemos calcular la suma:

13 + 23 +…+ n3 =1+ n

2⋅n

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

Por ejemplo, si nos fijamos en la figura, podemos comprobar que:

13 + 23 + 33 + 43 =1+ 4

2⋅ 4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 102 = 1004 (1 · 12

+ 2 · 22 + 3 · 32

+ 4 · 42) = 202

20

CM1. Calcula la suma de los cubos de los 7 primeros números naturales.

CM2. Determina la suma de los cubos de los 12 primeros números naturales.


En esta sección se introducen los cálculos necesarios para determinar los beneficios que se pueden obtener a partir de los intereses que genera el dinero que depositamos en una entidad bancaria.

Tras cada período de capitalización, los términos de una progresión geométrica permiten conocer la cantidad gene-rada por el capital inicial y el interés acumulado.


A1. Halla el capital acumulado por un cliente que deposita 20 000 € durante 3 años al 5 % de interés compuesto anual. ¿Qué beneficios obtiene?

Cf = 20 000 ⋅ 1+5

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

= 23 152,50 €

Los beneficios son: 23 152,50 − 20 000 = 3 152,50 €

A2. Si obtenemos un capital acumulado de 12 100 € du-rante 2 años a un interés del 10 %. ¿Cuánto hemos depositado?

12 100 = C ⋅ 1+10

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

→ C = 9 090,91 €

Cálculo mental. Estrategia para sumar los cubos de los primeros números naturalesSugerencias didácticas

Como cierre de la unidad se plantea calcular la suma de los n primeros cubos de números naturales mediante una demostra-ción visual de la fórmula.


CM1. Calcula la suma de los cubos de los 7 primeros números naturales.

13 + 23 + + 73 =8

2⋅7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 282 = 784

CM2. Determina la suma de los cubos de los 12 primeros números naturales.

13 + 23 + + 123 =13

2⋅12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 782 = 6084

Avanza. Interés compuesto

6 Sucesiones


1. Indica si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas, y en caso afirmativo, determina su término general.

a) 5, 16, 27, 38, 49,… c) 3, −3, 3, −3, 3,…

b) 1, 16, 81, 256, 625,… d) 1, 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;…

a) Es una progresión aritmética: an = 5 + 11(n − 1) = 11n − 6

b) No es una progresión.

c) Es una progresión geométrica: an = 3 ⋅ −1( )n–1

d) Es una progresión geométrica: an = 1 ⋅ 101−n

2. Calcula el primer término y la diferencia de una progresión aritmética cuyo tercer término vale 13 y el séptimo término es 25. ¿Cuál es el término general de esta progresión?

a1 + 2d = 13

a1 + 6d = 25

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ 4d = 12 → d = 3 → a1 + 6 = 13 → a1 = 7

an = 7 ⋅3n−1

3. ¿Cuánto vale la suma de todos los números impares comprendidos entre 1 y 5 001?

5001 = 1+ 2(n−1) → 2(n−1) = 5000 → n−1 = 2500 → n = 2501

S2 501 =(1+ 5001) ⋅2501

2= 6255001

4. Calcula el primer término y la razón de la progresión geométrica cuyo segundo término vale 18 y el quinto término es 486. ¿Cuánto vale la suma de los 10 primeros términos de esta progresión?

a1 ⋅ r = 18

a1 ⋅ r4 = 486

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ a1 =

18

r→

18

r⋅ r4 = 486 → r3 = 27 → r = 3 → a1 = 6

S10 =6 ⋅310 − 6

3−1= 177144

5. Interpola tres términos geométricos entre 32 y 1

8.

1

8= 32 ⋅ r4 → r4 =

1

256→ r = ±

1

4

❚❚ Si r = −1

4→ a1 = 32,a2 = −8,a3 = 2,a4 = −

1

2,a5 =

1

8

❚❚ Si r =1

4→ a1 = 32,a2 = 8,a3 = 2,a4 =

1

2,a5 =

1

8

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

189

6Sucesiones


1. Escribe los cinco primeros términos de la sucesión que cumple xn+1 = 2xn − 1 y x1 = 2. ¿Cuál es su término general?

x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 9, x5 = 17

an = 2n−1 + 1

2. Calcula los términos que faltan en las siguientes progresiones aritméticas.

a) §, §, 13

, §, §, 4

3 b) §; 8; §; §; 7,1; §

a)

a1 + 2d =1

3

a1 + 5d =4

3

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ 3d = 1→ d =1

3→ a1 +

2

3=

1

3→ a1 = −

1

3

−1

3, 0,

1

3,

2

3, 1,

4

3

b)

a1 + d = 8

a1 + 4d = 7,1

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪→ 3d = −0,9 → d = −0,3 → a1 − 0,3 = 8 → a1 = 8,3

8,3; 8; 7,7; 7,4; 7,1; 6,8

3. Los padres de un niño le compran cada semana un cromo más que la anterior. ¿Cuántos le compraron la primera semana de enero sabiendo que en las 52 semanas de que consta el año le regalaron 1 482 cromos?

1482 =

a1 + a52( ) ⋅52

2→ 2964 = a1 + a1 + 51( ) ⋅52 → 57 = 2a1 + 51→ 2a1 = 6 → a1 = 3 cromos

4. En un parking, la primera hora de estacionamiento cuesta 0,30 €. Por cada hora de permanencia, el usuario debe abonar el doble de lo cobrado la hora anterior. ¿Cuánto debe pagar un conductor que deja su coche a las once de la mañana y lo recoge a las seis de la tarde?

an = 0,3 ⋅2n−1

S7 =19,2 ⋅2− 0,3

2−1= 38,10 €

5. Si unimos los puntos medios de los lados de un cuadrado, cuyo lado mide 4 m, obtenemos otro cuadrado. Calcula la suma de las áreas de todos los cuadrados que se pueden obtener repitiendo el mismo procedimiento indefinidamente.

La sucesión de las áreas de los cuadrados es: 16, 8, 4, 2,…

S =16

1−1

2

=16

1

2

= 32 m2

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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