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Sucesiones y Series de Funciones

Consideremos una sucesion {fn}, donde fn : I ⊂ R → R, entonces decimos que {fn} es una sucesionde funciones.

Ejemplos:

i) {fn}, donde fn : R → R esta dada por

fn(x) =x2n

1 + x2n

Tenemos

ii) {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = nx(1− x)n.

fn alcanza su valor maximo , donde f ′n = 0. Pero f ′n = −n2x(1− x)n−1 + n(1− x)n, de dondese deduce que el valor donde fn alcanza su valor maximo es x = 1

n+1 .

1

iii) {fn}, donde fn : [0, 2] → R, esta dada por

fn(x) =

n2x si 0 ≤ x ≤ 1

n

2n− n2x si 1n ≤ x ≤ 2

n

0 si 2n ≤ x ≤ 2

iv) {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = xn.

v) {fn}, donde fn : [−π, 3π] → R esta dada por.

fn(x) = sin x− sin 2x

2+

sin 3x

3− sin 4x

4+ · · ·+ (−1)n−1 sinnx

n

2

Si dada una sucesion de funciones {fn} en un intervalo I, evaluamos cada uno de los terminos de{fn} en x0 ∈ I, obtenemos una sucesion numerica {fn(x0)}.

Ejemplos:

i) fn(x) = xn

Al evaluar fn en 0, se obtiene 0, 0, 0, 0, · · · , si se evalua en x = 1, se obtiene 1, 1, 1, · · · , si seevalua en x = 1

2 , se obtiene 12 , 1

4 , 123 , 1

24 , · · · .

Definicion.- Decimos que una sucesion de funciones {fn}, donde fn : I ⊂ R → R converge enx0 ∈ I a f(x0), si {fn(x0)} converge, es decir, ∀ ε > 0 ∃ N(ε, x0) tal que|fn(x0)− f(x0)| < ε ∀ n > N(ε, x0).

Si fn(x) = xn y x0 = 12 la sucesion de funciones converge a 0, ya que dado ε > 0, 2n > 1

εn > log2

1ε , |0− 1

2n | < ε, ∀ n > N(ε) = [log21ε ] + 1

ii) Sea {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = nx(1 − x)n, si x = 0 se obtiene0, 0, 0, 0, · · · , al evaluar cada fn; si x = 1 se obtiene 0, 0, 0, 0, · · · , al evaluar cada fn. Six = 1

n+1 se obtiene (1− 12 )2, (1− 1

3 )3, (1− 14 )4, · · ·

fn

(1

n + 1

)=

n

n + 1

(1− 1

n + 1

)n

=(

1− 1n + 1

)(1− 1

n + 1

)n

=(

1− 1n + 1

)n+1

(1− 1

n + 1

)n

→ 1ε

Definicion.- Decimos que una sucesion de funciones {fn} converge puntualmente a f en I si paracada ε y cada x ∈ I, ∃ N(ε, x) tal que |fn(x)− f(x)| < ε ∀ n < N(ε, x).

Ejemplos:

i) {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = xn converge a f : [0, 1] → R dada por

f(x) =

{0 si x 6= 1

1 si x = 1

3

ii) {fn}, donde fn : R → R esta dada por fn(x) = 1nx converge a f(x) = 0.∣∣∣∣0− 1

nx

∣∣∣∣ < ε si n >[x

ε

]+ 1 = N(ε, x)

iii) {fn} donde fn : R → R esta dada por fn(x) = nx no converge a una funcion.

4

Consideremos fn donde fn : R → R esta dada por

fn(x) =x2n

1 + x2n

¿Converge fn?

Definicion.- Decimos que una sucesion de funciones {fn}, donde fn : I ⊂ R → R, converge uniforme-mente a f : I ⊂ R → R, si ∀ ε > 0 ∃ N(ε) tal que |fn(x)− f(x)| < ε. ∀ n > N(ε), ∀ x ∈ I.

5

Ejemplos:

i) La sucesion de funciones {fn}, donde fn : R → R esta dada por fn(x) = 1n sinnx, converge

uniformemente en R a la funcion identicamente cero.En efecto, dado

1 > ε > 0,

∣∣∣∣ 1n sinnx− 0∣∣∣∣ = 1

n| sinnx| ≤ 1

n< ε ∀n >

1ε

y ∀x ∈ R

ii) La sucesion de funciones {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = xn ¿Convergeuniformemente? No converge uniformemente, ya que dado ε > 0, y x ∈ I|xn − 0| = xn < ε, ∀ n > ln ε

ln x , pero lnx → 0 cuando x → 1−, en consecuencia ln εln x → +∞

cuando x → 1−.

Si en lugar de tomar fn : [0, 1] → R, se toma fn : [0, 1− δ] → R donde δ es tan pequeno comose quiera, pero fijo, entonces |xn − 0| < ε, ∀ n > ln ε

ln(1−δ) y ∀ x ∈ I.

Entonces la sucesion de funciones, donde fn(x) : xn esta definida en [0, 1 − δ] converge uni-formemente a la funcion identicamente 0.

iii) La sucesion de funciones {fn}, donde fn : R → R esta dada por fn(x) = 2π arctannx ¿Con-

verge? ¿Converge uniformemente?Sı converge y converge a f : R → R con

f(x) =

−1 si x < 00 si x = 01 si x > 0

No converge uniformemente

= sgnx

6

Definicion.- Si {fn(x)} es una sucesion de funciones en I decimos que {Sn(x)}, donde Sn(x) = f1(x) +f2(x) + · · ·+ fn(x) es una serie de funciones y se denota

∞∑n=1

fn(x)

A fn(x) se le llama termino enesimo de la serie y a Sn(x) se le llama suma parcial enesima de laserie.

Definicion.- Decimos que la serie de funciones

∞∑n=1

fn(x) en I

converge en x0 ∈ I, si la sucesion de sumas parciales {Sn(x)} converge en x0.

Definicion.- Decimos que una serie de funciones

∞∑n=1

fn(x) en I

converge uniformemente en I, si la sucesion de funciones {Sn(x)} converge uniformemente en I.

Teorema

Si se tiene una serie

∞∑n=1

fn(x)

que converge uniformemente en I y cada termino de la serie se multiplica por una funcion acotadaϕ en I, entonces la serie

∞∑n=1

ϕ(x)fn(x)

converge uniformemente en I.

Demostracion:

Como la serie converge uniformemente, entonces dado ε > 0 ∃ N(ε)tal que Sn(x) − S(x) <ε

M ∀ n > N(ε) y ∀ x, es decir, ∣∣∣∣∣∣∞∑

n=N(ε)+1

fnx

∣∣∣∣∣∣ < ε

M

7

en consecuencia

M

∣∣∣∣∣∣∞∑

n=N(ε)+1

fn(x)

∣∣∣∣∣∣ < ε, pero

∣∣∣∣∣∣∞∑

n=N(ε)+1

ϕ(x)fn(x)

∣∣∣∣∣∣ = |ϕ(x)|

∣∣∣∣∣∣∞∑

n=N(ε)+1

fn(x)

∣∣∣∣∣∣−M ≤ ϕ(x) ≤ M ≤ M

∣∣∣∣∣∣∞∑

n=N(ε)+1

fn(x)

∣∣∣∣∣∣ < ε

por lo tanto la serie

∞∑n=1

ϕ(x)fn(x) converge uniformemente en I.

TeoremaSi

∞∑n=1

fn(x) y

∞∑n=1

gn(x)

Son series de funciones que convergen uniformemente en I, entonces la serie

∞∑n=1

fn(x) +∞∑

n=1

gn(x)

converge uniformemente.

Demostracion:

Sean

Sn(x) = f1(x) + · · ·+ fn(x)

S′n(x) = g1 + · · ·+ gn(x)

•

•

•

S(x) =∞∑

n=1

fn(x) S′(x) =∞∑

n=1

gn(x)

8

Teorema

Si

∞∑n=1

fn(x)

es una serie de funciones y

∞∑n=1

Mn

es una serie dominante convergente de la serie de funciones, entonces esta converge uniformemente.

Demostracion:

Como la serie numerica

∞∑n=1

Mn

es convergente, entonces dado ε > 0 ∃ N(ε) |Sm − S| < ε ∀ m > N(ε), es decir∣∣∣∣∣∞∑

n=m+1

Mn

∣∣∣∣∣ < ε ∀ m > N(ε)

es decir

Mm+1 + Mm+2 + · · · < ε ∀ m > N(ε).

En consecuencia |fm+1(x)|+ |fm+2(x)|+ · · · < ε ∀ m > N(ε) y ∀ x ∈ I. Por lo tanto

|fm+1(x) + fm+2(x) + · · · | < ε ∀ m > N(ε) y ∀ x ∈ I, es decir∣∣∣∣∣∞∑

n=m+1

fn(x)

∣∣∣∣∣ < ε ∀ m > N(ε) y ∀ x ∈ I

entonces, la serie de funciones converge uniformemente.

10

Ejemplos:

i) La serie de funciones

∞∑n=1

sinnx

n2Converge uniformemente

En efecto como la serie numerica

∞∑n=1

1n2

es una serie dominante de la serie de funciones y sabemos que

∞∑n=1

1n2

converge, en consecuencia la serie de funciones converge uniformemente∣∣∣∣ sinnx

1

∣∣∣∣ ≤ 1∣∣∣∣ sin 2x

4

∣∣∣∣ ≤ 14· · ·

ii) La serie de funciones

∞∑n=1

x

1 + n4x2, x ∈ [0, 1].

¿Converge uniformemente?. Derivemos fn(x),

f ′n(x) =(1 + n4x2)− 2n4x2

(1 + n4x2)2=

1− n4x2

(1 + n4x2)2

entonces el maximo de fn(x) es x = 1n2 , entonces el valor maximo de fn(x) es

11

fn

(1n2

)=

1n2

1 + n4(

1n2

) =1

2n2

Entonces la serie

∞∑n=1

12n2

es una serie dominante de la serie de funciones, por lo tanto la serie converge uniformemente.

iii) La serie

∞∑n=1

(−1)n 1x + n1

x ∈ [0,∞)

¿Converge uniformemente?. No existe una serie dominante de la serie que sea convergente∣∣∣∣∣∞∑

n=m

fn(x)

∣∣∣∣∣ < ε ∀ m > N(ε) y ∀ x ∈ I

∣∣∣∣∣∞∑

n=m

(−1)n 1x + n

∣∣∣∣∣ ≤ 1x + m

<1m

Criterio M de Weierstrass

Teorema (Criterio de Cauchy)

Una sucesion de funciones {fn(x)} definidas en [a, b] converge uniformemente a una funcion f en[a, b] si y solo si para todo ε > 0 existe N(ε) tal que:

|fn+p(x)−fn(x)| < ε para todo n > N(ε), p > 0 y para todo x ∈ [a, b].

Demostracion:

⇒) Como {fn(x)} converge uniformemente a f en [a, b], dado ε > 0 ∃ N(ε) tal que

|fn(x)− f(x)| < ε

2y |fn−p(x)− f(x)| < ε

2

para todo n > N(ε), p > 0 y para todo x ∈ [a, b].En consecuencia:

|fn+p(x)− fn(x)| = |fn+p(x) + f(x)− f(x)− fn(x)|

12

≤ |fn+p(x)− f(x)|+ |fn(x)− f(x)| < ε

2+

ε

2= ε

para todo n > N(ε), todo p > 0 y ∀ x ∈ [a, b].

⇐) Como ∀ ε > 0, ∃ N(ε) tal que |fn+p(x).fn(x)| < ε · · · · · · (1) ∀ n > N(ε), p > 0 y para todox ∈ [a, b].

Si tomamos x∗ ∈ [a, b] fijo, a partir de (1) se tiene una sucesion numerica de Cauchy paracada x ∈ [a, b] fijo. Sea f : [a, b] → R la funcion lımite de {fn(x)}. Si en (1) se hace tender p ainfinito se obtiene:

|fn(x)− f(x)| < ε ∀ n > N(ε), y ∀ x ∈ [a, b].

Teorema

Una serie de funciones

∞∑n=1

fn(x) en [a, b]

converge uniformemente a una funcion S(x) en [a, b] si y solo si ∀ ε > 0 ∃ N(ε) tal que

|Sn+p(x)− Sn| < ε ∀ n > N(ε), p > 0 y ∀ x ∈ [a, b].

Teorema

Si una sucesion de funciones continuas {fn(x)} en [a, b] converge uniformemente a f : [a, b] → R,entonces f es continua en [a, b].

Demostracion:

Como {fn(x)} converge uniformemente a f en [a, b] dado ε > 0, ∃ N(ε) tal que

|fn(x)− f(x)| < ε

3y |fn(x + h)− f(x + h)| < ε

3

para todo n > N(ε) y ∀ x ∈ [a, b], siempre que (x + h) ∈ [a, b].

Como fn es continua en [a, b], entonces

|fn(x + h)− fn(x)| < ε

3si |h| < δ(ε)

13

En consecuencia

|f(x + h)− f(x)| = |f(x + h) + fn(x)− fn(x) + fn(x + h)− fn(x + h)− f(x)|

≤ |fn(x + h)− f(x + h)|+ |fn(x + h)− fn(x)|+ |fn(x)− f(x)|

<ε

3+

ε

3+

ε

3= ε si |h| < δ(ε)

Por lo tanto f es continua en [a, b].

Teorema

Si una serie

∞∑n=1

fn(x)

de funciones continuas en [a, b] converge uniformemente en [a, b] a S(x), entonces: S : [a, b] → R escontinua.

Demostracion: (*Llegar a que la funcion lımite de la sucesion es continua)

Consideremos la sucesion de sumas parciales {Sn(x)}. Se tiene que Sn ∈ C[a,b] y {Sn(x)} convergeuniformemente a S(x) en [a, b], por lo tanto:

S : [a, b] → R es continua segun el teorema anterior.

1.- Dada la sucesion de funciones {fn(x)}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por f(x) = xn.Calcular:

i)

lımn→∞

∫ 1

0

fn(x)dx

ii) ∫ 1

0

lımn→∞

fn(x)dx

2.- Igual que en 1, para la sucesion {fn(x)}, donde fn : [0, 1] → R esta dada porfn(x) = n2x(1− x)n

2.1.- i)

lımn→∞

∫ 1

0

xndx = lımn→∞

1n + 1

xn+1

∣∣∣∣10

14

ii) ∫ 1

0

lımn→∞

fn(x)dx =∫ 1

0

0dx = 0

{xn} → f(x) =

{0 si 0 ≤ x < 11 si x = 1

2.2.- i)

lımn→∞

∫ 1

0

n2x(1− x)ndx =

lımn→∞

n2

(−x

n + 1(1− x)n+1

∣∣∣∣10

+1

(n + 1)(n + 2)xn+2

∣∣∣∣10

)=

lımn→∞

n2

(n + 1)(n + 2)=

n2

n2= 1

ii) ∫ 1

0

lımn→∞

n2x(1− x)ndx =∫ 1

0

0dx = 0

3.- Igual que en 1 para {fn(x)} donde fn(x) = 4nx3e−nx4, en [0, 1]

i)

lımn→∞

∫ 1

0

4nx3e−nx4dx = lım

n→∞

(−e−nx4

∣∣∣10

)=

= lımn→∞

(1− 1

en

)= 1

ii) ∫ 1

0

lımn→∞

4nx3e−nx4dx =

∫ 1

0

0dx = 0

Teorema

Si {fn(x)} es una sucesion de funciones continuas en [a, b] que converge uniformemente af : [a, b] → R, entonces

lımn→∞

∫ x

x0

fn(t)dt =∫ x

x0

lımn→∞

fn(t)dt

=∫ x

x0

f(t)dt

Para todo x0, x ∈ [a, b].

15

Demostracion:

Como {fn(x)} converge uniformemente a f en [a, b], entonces dado ε > 0 existe N(ε) tal que|fn(x)− f(x)| < ε si n > N(ε) ∀ x ∈ [a, b];

Como fn ∈ C[a,b] y f ∈ C[a,b] existen∫ x

x0

fn(t)dt y

∫ x

x0

f(t)dt

Se tiene: ∣∣∣∣∫ x

x0

fn(t)dt−∫ x

x0

f(t)dt

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ x

x0

(fn(t)− f(t))dt

∣∣∣∣≤∫ x

x0

|fn(t)− f(t)| dt

<

∫ x

x0

ε

b− adt =

ε

b− a(x− x0) < ε

Por lo tanto,

lımn→∞

∫ x

x0

fn(t)dt =∫ x

x0

f(t)dt

∫ x

x0

lımn→∞

fn(t)dt

Teorema

Si una serie de funciones continuas

∞∑n=1

fn(x) en [a, b]

converge uniformemente a S(x) en [a, b], entonces

∫ x

x0

∞∑n=1

fn(t)dt =∞∑

n=1

∫ x

x0

fn(t)dt

para todo x0, x ∈ [a, b].

16

Demostracion:

Sn(x) = f1(x) + · · · + fn(x) es continua en [a, b] ∀ n ∈ N, entonces {Sn(x)} es una sucesion defunciones continuas que converge uniformemente a S(x).

En consecuencia

lımn→∞

∫ x

x0

Sn(t)dt =∫ x

x0

S(t)dt

Es decir

lımn→∞

∫ x

x0

(f(t) + f2(t) + · · ·+ fn(t)) dt =∫ x

x0

S(t)dt

de donde se obtiene

lımn→∞

(∫ x

x0

f1(t)dt +∫ x

x0

f2(t)dt + · · ·∫ x

x0

fn(t)dt

)=∫ x

x0

S(t)dt

Por lo tanto

∞∑n=1

∫ x

x0

fn(t)dt =∫ x

x0

∞∑n=1

fn(t)dt

Teorema

Si {fn(x)} es una sucesion de funciones donde fn ∈ C[a,b] tal que {fn(x)} converge uniformemente,entonces:

lımn→∞

f ′n(x) = (lım fn(x))′ para cada x ∈ [a, b]

Teorema

Si {fn(x)} es una sucesion de funciones donde fn ∈ C[a,b], que converge a una funcion f en [a, b] y{f ′n(x)} converge uniformemente a una funcion ϕ, entonces f ′(x) = ϕ(x).

Demostracion:

Como {f ′n(x)} converge uniformemente a ϕ, entonces

lımn→∞

∫ x

x0

f ′n(t)dt =∫ x

x0

lımn→∞

f ′n(t)dt

17

es decir

lımn→∞

∫ x

x0

f ′n(t)dt =∫ x

x0

ϕ(t)dt

de donde se obtiene

lımn→∞

(fn(x)− fn(x0)) =∫ x

x0

ϕ(t)dt

En consecuencia

f(x)− f(x0) =∫ x

x0

ϕ(t)dt, luego f(x) = f(x0) +∫ x

x0

ϕ(t)dt

Como f es la suma de funciones continuas, es continua. Entonces f ′(x) = ϕ(x), es decir

(lım

n→∞fn(x)

)′= lım

n→∞f ′n(x)

Si una sucesion de funciones {fn(x)} no satisface el que {f ′n(x)} converja uniformemente, no nece-sariamente se cumple el resultado.

Ejemplos:

Sea {fn(x)}, donde fn : R → R esta dada por fn(x) = 1n ln(nx +

√n2x2 + 1) ¿Cual es la fun-

cion limite de {fn(x)}? ¿A que converge? Para calcular el limite de fn(x), usemos el teorema deL´Hopital.

lımn→∞

1n

ln(nx +√

n2x2 + 1) = lımn→∞

(ln(nx +

√n2x2 + 1)

)′(n)′

=

= lımn→∞

1nx +

√n2x2 + 1

(x +

nx2

√n2x2 + 1

)= lım

n→∞

x√

n2x2 + 1 + nx2

√n2x2 + 1(nx +

√n2x2 + 1)

=

= lımn→∞

x√n2x2 + 1

= 0

Por otro lado

f ′n(x) =1√

n2x2 + 1

18

Por lo tanto

lımn→∞

f ′n(0) = 1 6=(

lımn→∞

fn(x))′

x0

= 0

Teorema

Si una serie

∞∑n=1

fn(x)

de funciones, donde fn ∈ C[a,b] converge a una funcion S(x) y la serie

∞∑n=1

f ′n(x)

converge uniformemente a una funcion σ(x) en [a, b], entonces S′(x) = σ(x).

Demostracion:

Si consideramos la sucesion de sumas parciales {Sn(x)} de la serie

∞∑n=1

fn(x) con Sn(x) ∈ C[a,b] ∀ n ∈ N

Ademas {S′n(x)} converge uniformemente a σ(x). Por lo tanto S′(x) = σ(x), es decir

( ∞∑n=1

fn(x)

)′=

∞∑n=1

f ′n(x)

Teorema

Si

∞∑n=1

fn(x)

es una serie de funciones que converge uniformemente y

lımx→x0

fn(x) = Cn

en un intervalo alrededor de x0, entonces la serie:

19

∞∑n=1

Cn

tambien converge y :

lımx→x0

∞∑n=1

fn(x) =∞∑

n=1

Cn

Demostracion:

Sea ε > 0, entonces existe N(ε) tal que

|fm+1(x) + fm+2(x) + · · ·+ fm+p(x)| < ε

2· · · · · · (1)

∀ m > N(ε), p > 0 y todo x en el intervalo alrededor de x0.

Si hacemos tender x hacia x0, se obtiene:

|Cm+1 + Cm+2 · · ·+ Cm+p| ≤ε

2· · · · · · (2)

Si en · · · (1) y · · · (2) se hace tender p a infinito, se obtiene∣∣∣∣∣∞∑

n=m+1

fn(x)

∣∣∣∣∣ ≤ ε

3y

∣∣∣∣∣∞∑

n=m+1

Cn

∣∣∣∣∣ < ε

3

Elijamos δ(ε) > 0 tal que∣∣∣∣∣∞∑

n=1

fn(x)−∞∑

n=1

Cn

∣∣∣∣∣ < ε

3si 0 < |x− x0| < δ(ε)

Entonces, ∣∣∣∣∣∞∑

n=1

fn(x)−∞∑

n=1

Cn

∣∣∣∣∣ ≤≤

∣∣∣∣∣∞∑

n=1

fn(x)−∞∑

n=1

Cn

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

∞∑n=m+1

fn(x)

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

∞∑n=m+1

Cn

∣∣∣∣∣<

ε

3+

ε

3+

ε

3= ε

20

para 0 < |x− x0| < δ(ε). Por lo tanto.

lımx→x0

∞∑n=1

fn(x) =∞∑

n=1

Cn

Teorema

Si {fn(x)} es una sucesion de funciones que converge uniformemente y

lımx→x0

fn(x) = ln

entonces:

lımx→x0

lımn→∞

fn(x) = lımn→∞

lımx→x0

fn(x)

Demostracion:

1. Construir una serie como resultado anterior2. Aplicarla3. Demostrar teorema

Consideremos la serie de funciones :

f1(x) + (f2(x)− f1(x)) + (f3(x)− f2(x)) + · · · (fn(x)− fn−1(x)) + · · ·

converge uniformemente por lo tanto c/resultado anterior.

Demostracion:

Por el resultado anterior:

lımx→x0

(f1(x) +

∞∑n=2

|fn(x)− fn−1(x)|

)=

=

(f1(x) +

∞∑n=1

(ln − ln−1)

)=

(l1 +

∞∑n=2

(ln − ln−1)

)es decir

lımx→x0

lımn→∞

fn(x) = lımn→∞

Ln = lımn→∞

lımx→x0

fn(x)

21

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