T11.aplicaciones dinámica. 1º bachillerato

1 Eric Calvo Lorente Física y Química 1º Bachillerato

Tema11 : Aplicaciones de laDinámica.

0. Índice1. Fuerza Gravitacional

1.1 Definición1.2 Consecuencias1.3 Peso1.4 Planteamiento de Problemas

2. Fuerza de Rozamiento3. Fuerzas Elásticas4. Problemas (Casos)

4.1 Cuerpos en Contacto4.2 Máquina de Atwood4.3 Planos Inclinados4.4 Péndulo Cónico4.5 Movimientos en un Ascensor

5. Interacciones5.1 Tipos5.2 Interacciones y Materia


La Fuerza Gravitacional es una interacción de naturalezaatractiva, ejercida entre sistemas materiales (es decir, con masa),cuyo módulo es directamente proporcional a la masa de loscuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

que los separa.La dirección en la que se manifiesta sigue la recta que une las masas (susCDM), y su sentido, hacia la otra masa

caso)cada(enfuerzalaejercequemasalahacia ymasas,lasunequedirecciónlaenunitariovectoru

(m)masasentredistancia

6´67.10universalngravitaciódeConstanteG

(Nw)Fuerza

R

2234-

r

Kgmasasmm

KgmNw

F

)(,)/.(

1. Fuerza GravitacionalTodas las interacciones existentes en la Naturaleza pueden enmarcarse en cuatro

grandes tipos, que son Fuerza Gravitacional, Fuerza Electromagnética, Fuerza NuclearDébil Fuerza, Nuclear Fuerte.

En nuestro caso, abordaremos el estudio de la primera de ellas1.1 DefiniciónEste tipo de fuerza se pone de manifiesto tanto en los movimientos existentes

en la superficie terrestre como en aquellos otros a niveles planetarios (interestelarese incluso intergalácticos)

Matemáticamente, lo dicho anteriormente se condensa en la expresión:

1.2 Consecuencias Atracción Cuerpo-Tierra. Tales fuerzas obedecen al principio de acción y

reacción:“La fuerza con la que la Tierra atrae a un cuerpo es igual en módulo ydirección, pero de sentido contrario a aquella con la que el cuerpo atrae a laTierra” Caída Libre. La ley de la gravitación universal explica el motivo por el

que la caída de los cuerpos es independiente de la masa de estos.Veamos:


N

gravedadladenaceleraciódenominasey

Tierra,ladesuperficieladecasoelenm/s9´81serresulta valorCuyo

Cuerpo-PlanetaDistancia

CuerpodelMasa

planetadel Masa

UniversalnGravitaciódeConstante

:quedoConsideran

2

222

r

mGa

r

mmGam

amFr

mmGF

r

m

m

G

PCPC

CGRAV

CPGRAV

C

P

....

.

..

El valor de g no es constante; por el contrario, es función de la distancia quesepara el cuerpo del centro del planeta

1.3 PesoComo ya sabemos, el peso es la fuerza de atracción gravitacional del planetasobre un cuerpo. Su valor es proporcional a la masa de ese cuerpo:

CmP

, siendo esa constante de proporcionalidad ese valor de la aceleracióncalculado en el apartado anterior. De este modo:

22 r

mmGP

r

mGmgmP CPP

CC.

.... (Expresión ya conocida)

Puesto que el peso representa una fuerza, la unidad será el Newton (en SI)

1.4 Planteamiento de Problemasa) Cuerpos en reposo sobre superficie horizontal

NOTAS El peso de un cuerpo se dirigirá siempre hacia el centro

del planeta (magnitud vectorial, no olvidemos) Este concepto no debe ser confundido en momento

alguno con el de masa

N´P

P´

P: Peso del cuerpoN: NormalP´, N´: Reacciones


b) Planos inclinados

Cuando un cuerpo se encuentra en un plano inclinado (sin rozamiento),las únicas fuerzas que sobre él actúan son su peso y la normal. Sin embargo,desde el punto de vista operativo resulta de gran interés descomponer elpeso en las fuerzas perpendiculares, de manera que una de ellas tenga lamisma dirección que la normal, y la otra siga la dirección de caída. Son,respectivamente, la componente normal del peso (o peso normal), y lacomponente tangencial, o peso tangencial), cuyas expresiones matemáticaspueden determinarse observando el dibujo.

cos.cos.

cos.

mgNP

P

PP

TG

N

NP Nquepuestoy

P.sen

N

α

(De no ser cierto esto, ¿qué le ocurriría al cuerpo?)

2. Fuerza de RozamientoLas fuerzas de rozamiento se caracterizan por:

a) El rozamiento entre dos cuerpos es proporcional a la fuerza que tiende a unirestos cuerpos

b) Es independiente de la superficie de contacto entre los cuerposc) Depende de la naturaleza de los materialesd) No depende de la velocidad relativa de deslizamiento entre las superficies

Estas características tienen su “traducción matemática” en forma de las siguientesecuaciones:

N

P

PN

PTG

α


Ne .

NFR .(Expresión Escalar)

Donde:

elocidad v

ladedirecciónlaenunitario vectoru

normalfuerzaN

rozamientodeecoeficient

(Nw)RozamientodeFuerza

v

RF

vuNFR

..(Expresión Vectorial)

IMPORTANTE:Recuerda que el valor de la normal depende de si la superficie de contacto es horizontal oinclinada. Así:a) Superficie Horizontal. gmFNFgmN RR ....

b) Superficie Inclinada. cos...cos.. gmFgmN R

Analicemos ahora con mayor detenimiento qué sucede cuando queremos deslizar uncuerpo a través de una superficie:

Comenzamos a empujar, pro el cuerpo no se moverá hasta que la fuerza noalcance un determinado valor. Puesto que el cuerpo no ha modificado su estadode movimiento, a pesar de ir en aumento nuestra fuerza, esto supondrá que, entodo este intervalo:

RFF

Esta situación se mantiene hasta iniciarse el movimiento. En ese momentonuestra fuerza habrá superado el valor máximo de FR

Una vez superada la inercia del cuerpo, la fuerza requerida para mantener elmovimiento a velocidad constante es menor que la necesaria para iniciar elmovimiento. Además, una vez iniciado el movimiento, esa FR esindependiente de la velocidad; es decir, se mantiene constante.

Gráficamente, estas situaciones se pueden representar del siguiente modo:

Froz

Fapli

c

Región Cinética

RegiónEstática

Froz, (max)=caso)cada(enfuerzalaejercequemasalahacia ymasas,lasunequedirecciónlaenunitariovectoru

(m)masasentredistancia

6´67.10universalngravitaciódeConstanteG

(Nw)Fuerza

R

2234-

r

Kgmasasmm

KgmNw

F

)(,)/.(

Froz,, c = Ne .


NOTAS: (Apéndice para 2º Bachillerato) Nota1:Rozamiento en el seno de fluidos

o La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad con la que se mueveel objeto a través de él

o Depende de la geometría del cuerpo, y, a grandes velocidades, tambiéndepende de la superficie transversal que el cuerpo presenta al fluido.

o Depende de la viscosidad del fluidoo Matemáticamente, todo ello queda recogido en la expresión:

estrozFF ,

, donde:

k.v.ηFFRICCIONo Para el caso de una esfera:

mediodeld viscosidadeecoeficient(módulo)relativavelocidadv

cuerpodelformaladedependequeecoeficientk

Nota2:Caídas “no tan libres”En el estudio de la caída libre se partió del supuesto de que el cuerpo que cae lohace en el vacío, evitando de este modo el factor rozamiento.La realidad es muy distinta. Todo cuerpo que cae ha de atravesar un medio novacío (en este caso el aire), que, lógicamente, ejerce una resistencia a la caída delcuerpoEn el caso de cuerpos esféricos no muy grandes (*), podemos considerar válidala siguiente aproximación:

En nuestro caso, 6.r.v.FFRICCIONDesarrollando:

amFP FRICC

Pero, a medida que aumenta la velocidad de caída, aumenta lafricción, hasta que se alcanza el momento en el que las fuerzas seequilibran y la caída se realiza a velocidad constante. En estemomento:

m.ajr.v.6.m.gjm.a.j.r.v.6.jm.g...

(*) Para el caso en que sí lo fuesen (grandes), habría que considerar el empuje realizadopor el fluido, según el Principio de Arquímedes

Así pues, se distinguen dos tipos de Fuerzas de Rozamiento, la estática y lacinemática. Sucede que:

CAR,CINEMÁTIESTÁTICAR, FF

FRICCF

ηπ.r.6.mg

vMAX


FP

2N

2P 2RF

1RF

1P

1N21F

12F

1m

3. Fuerzas Elásticas (o restauradoras)Como sabemos, las fuerzas pueden producir cambios en los estados de movimiento o

reposo, pero también pueden causar deformaciones. Las fuerzas elásticas se relacionancon estos últimos fenómenos.

El estudio del alargamiento de un muelle es un ejemplo claro que nos ofrece unavisión macroscópica sobre las características de esta interacción.

La relación entre la fuerza deformadora y el estiramiento que esta produce se conocecomo LEY DE HOOKE, cuya expresión matemática resulta ser:

xKF ., y donde:

ora)resstauradfuerzadenombreelahí(deejercidandeformaciólaacontrariosentidodeesmuelleelporejercidafuerzalaqueindicanegativosignoEl

(m)ndeformaciólade valorx(Nw/m)rarestauradoofuerzadecosntanteK

(NW)elásticafuerzaF

El rango para el que la Ley de Hooke resulta válida es relativamente pequeño.Alargamientos “excesivos” o fuerzas “demasiado duraderas” pueden provocardeformaciones permanentes.

4. Problemas (Casos)4.1 Cuerpos en Contacto

El origen de este tipo de fuerzas tiene naturalezaelectrostática.

La interacción electromagnética entre los átomos es elequivalente microscópico al estiramiento/compresión de unmuelle


TT

2P1P

M2M1

TT

2m1P

M2M1

Analicemos las fuerzas que aparecen, de manera independiente para cadaobjeto,

21

2211

222R2

111R1

21

R2R121R2R1

21R212R1212R212

1R121

mm.g.mμ-.g.mμF

a

:formalatendráexpresiónLa

.gμ.m.NμF.gμ.m.NμF

:quecuentaenteniendobien,Ahoramm

F-FFa.ammF-FF

:Así

.ammF-FFF-F.amF-F:2Cuerpo

.amFF-F:1Cuerpo

4.2 Máquina de AtwoodConsiste en una polea con una cuerda inextensible de la que penden dosmasas.Al considerar que tanto el radio de la polea como su masa, y la masa de lacuerda son nulos, las dos tensiones son iguales.

En nuestro caso:

12

12

12

12

121222

11

:queloPor

mm

mmga

mm

PPa

ammPPamTP

amPT

.

...

Supongamos queM2>M1


P2

4.3 Planos Inclinados (Sin rozamientos)

Tal y como hemos hecho hasta ahora, vamos a analizar las fuerzas queactúan sobre cada cuerpo, de manera independiente. Pero antes hemos dedar un sentido de circulación al conjunto. Supongamos, por ejemplo, que semoverá hacia la izquierda. (Lógicamente, esto se verá fácilmente, puestoque el sistema, ante la falta de rozamientos, siempre se moverá de modoque la mayor de las masas sea la que descienda). Vamos pues:

mm.g.m-.g.senm

a

.g.senm.senαPP:quepuestoY

mmP-P

a.ammP-P

.amP-T:2Cuerpo

.amTP:1Cuerpo

21

21

111tg

21

21tg2121tg

22

11tg

α:Resultará

α

:Sumando

N

P1

P1N

PTG

α

T

TP1TG


4.4 Péndulo Cónico

Las maneras de abordar este problema sonMúltiples, en función de si el sistema de referenciaSe establece desde un punto inmóvil (o convelocidad constante), o desde la propia masa(dotada de aceleración). Vamos a verlos

a)Sistema de Referencia ExternoTal y como vemos en la figura, las fuerzas queactúan sobre la masa m son la tensión de lacuerda y el peso.Desde un punto de vista vectorial, la fuerzaresultante de la suma de la tensión y el peso sonla causa del movimiento circular que describe laesfera. ES DECIR, ES LA FUERZACENTRÍPETA CAUSANTE DELMOVIMIENTO CIRCULAR DESCRITO PORLA MASAMatemáticamente:

cFTP

Así,

mgT.cosR

mvT.sen

T.cosmgRmvenT.0

:miembrosambosdescomponentelasIgualando

,0)Rmv()Tcos,(-T.senmg)(0,

,0)Rmv(F

)T.cos,(-T.senT

mg)(0,P

22

2

2

c

α

α

0α

αααα

s

La primera igualdad es importante, puesto que nos indica que es precisamentela componente horizontal de la tensión la fuerza que produce el movimientocircular; es, por lo tanto, la fuerza centrípeta.Sigamos; dividiendo la primera igualdad por la segunda:

αα

ααα

gg

g

g.R.tvg.R.tv

:girode velocidadladeterminarqueremossi yg.Rvt

mg

Rmv

T.cosT.sen

2

2

2

,

P

rur

mmGF

.

.2

T

2P


Los sistemas de referencia EN REPOSO o dotados de MRU se denominanSISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES (SRI)

b) Sistema de Referencia InteriorQueremos indicar que nosotros somos esa masa (nos ponemos en su lugar). Deeste modo, estaremos de acuerdo en que “percibo” una fuerza que pretendelanzarme hacia fuera. Es lo que llamamos una fuerza inercial, a través de la queyo (sistema de referencia) busco una explicación a esa “expulsión” haciaafuera.

En realidad, no existe tal fuerza, puesto quecomo ya todos sabemos, tan sólo es unatendencia a permanecer en mi anterior estadode movimiento (es “mi inercia”).En este caso, esta fuerza de inercia (que comohemos dicho no existe realmente), es laconocida FUERZA CENTRÍFUGA(de igual módulo que la fuerza centrípetacorrespondiente)

La descripción matemática será:0FPT cfga

(Puesto que en este instante la fuerza centrífuga debe

“compensar” a la suma vectorial de tensión y peso)

Los sistemas de referencia ACELERADOS se denominan SISTEMAS DEREFERENCIA NO INERCIALES (SRNI)

P

T

rur

mmGF.

.2

Fcfga


4.5 Movimientos en un Ascensor“Los problemas de ascensores” ya han sido analizados en el tema anterior.Veamos:

i) Arranque al subir:

Desde un SRI (por ejemplo, alguien esperando elascensor), las fuerzas que “percibe” son el peso delocupante y la normal del suelo del ascensor.Puesto que el objeto sube aceleradamente (porhallarse en el interior del ascensor):

mgamNamPN

jamjPjNamPN

......

Desde un SRNI (por ejemplo, alguien en elascensor), las fuerzas que “percibe” son el peso delocupante, la normal del suelo del ascensor, y otrafuerza (no inercial) que le “hunde en el suelo”. Puestoque el objeto permanece en reposo (por hallarse en el interior delascensor):

mgm.aNm.aPN0jm.a.jP.jN0FPN inercial

(Nota: Como cabía esperar, los valores obtenidos son los mismos paralos dos sistemas referenciales)

ii) Arranque al descender:

Desde un, las fuerzas que “percibe” son el peso delocupante y la normal del suelo del ascensor. Puesto queel objeto baja aceleradamente (por hallarse en elinterior del ascensor):

ammgNamNP

jamjNjPamPN

..

....

Desde un SRNI (por ejemplo, alguien en elascensor), las fuerzas que “percibe” son el peso delocupante, la normal del suelo del ascensor, y otrafuerza (no inercial) que “intenta elevarlo del suelo”.Puesto que el objeto permanece en reposo (por hallarse en el interior delascensor):

m.a-mgN0jm.a.jP.jN0FPN inercial

(Nota: Del mismo modo, los valores obtenidos son los mismos para losdos sistemas referenciales)

MRUA

MRUA


5. Interacciones5.1 Tipos

Todos los fenómenos que se producen en el Universo se deben a las interaccionesentre las partículas que lo componen. Estas interacciones se describen mediante elconcepto de fuerza. Así, la caída de un objeto o la "caída" de la Luna hacia la Tierra sedescribe mediante la fuerza gravitatoria. La estructura de un objeto, la atracción entreimanes o entre cargas eléctricas se hace mediante la fuerza electromagnética. Desde elprincipio los científicos han tratado de unificar y simplificar el origen de los fenómenos,intentando adjudicar todos ellos a unas pocas causas comunes y a unos tiposfundamentales de comportamiento. Así, como ya hemos estudiado, James C. Maxwellunificó las fuerzas eléctrica y magnética en un único tipo de interacción, la interacciónelectromagnética, que permitía explicar todos los fenómenos conocidos en su momentosobre los campos de la electricidad y el magnetismo.

En la actualidad, todas las fuerzas o interacciones de lanaturaleza se pueden agrupar en cuatro tipos básicos,denominados interacciones fundamentales:

Interacción gravitatoria. Se da entre todas laspartículas y se describe mediante la teoría de larelatividad general de A. Einstein o más fácilmentemediante la ley de gravitación universal de IsaacNewton. Gracias a ella se pueden explicarfenómenos como la caída de los cuerpos o elmovimiento de los planetas, satélites, estrellas,cometas, etc. Su alcance es infinito y actúa agrandes distancias. Es la interacción más débil detodas, pero es la responsable de la estructurageneral del Universo. Es inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia entre laspartículas y es conservativa.

Interacción electromagnética. La interacción electromagnética afecta alas partículas con carga eléctrica o con momento magnético, así como alos fotones. Su descripción se hace a partir de las leyes de Maxwell y sualcance es infinito. Gracias a ella se pueden explicar fenómenos tandiversos como los eléctricos, los magnéticos, la interacción entre la luz yla materia, las ondas electromagnéticas (¿cómo funciona un teléfonomóvil?), las fuerzas elásticas que se dan en un muelle, la estructura internade la materia a escala atómica y molecular, así como la química. Es unainteracción inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entrelas partículas y es conservativa.

La interacción electromagnética explica la estructura cristalina


Interacción nuclear fuerte. La interacción nuclear fuerte afecta a losquarks, y por tanto, a los hadrones. Es la más intensa de las cuatro y sedenomina también interacción fuerte o interacción hadrónica. Su alcancees muy corto, reduciéndose prácticamente a cero para distanciassuperiores a 10-15 m, por lo que no tiene influencia en la Química, porejemplo. Gracias a esta interacción se puede explicar la estabilidad nucleary muchos procesos nucleares.

Interacción nuclear débil. La interacción nuclear débil se produce entrepartículas leptónicas o hadrónicas. Explica algunos procesos nucleares,como la desintegración b de los núcleos, en la que un neutrón setransforma en un protón y un electrón, generándose también unantineutrino electrónico. También explica las transformaciones entreleptones, como la desintegración del tauón. Su intensidad es muchomayor que la fuerza gravitatoria, pero es menor que la fuerzaelectromagnética. También se denomina interacción débil.

Esquema de una emisión beta

5.2 Interacciones y MateriaCuando se aplican los principios de la Física cuántica al estudio de las partículas

subatómicas se explica la interacción entre dos partículas por el intercambio de unatercera, que recibe el nombre de partícula de campo o bosones gauge. Es esta partícula laque origina la fuerza o interacción entre las dos partículas materiales. Esta idea detransmisión de la fuerza mediante una partícula inermedia se debe a Hideki Yukawa,que en 1934 propuso la existencia de una partícula, el mesón p o pión, para describir lainteracción entre los nucleones. Según esta hipótesis, cada nucleón está emitiendo yreabsorbiendo continuamente piones virtuales, los cuales lo rodean como un enjambre.Cuando están cerca, dos nucleones intercambian un pión. La transferencia de momentolineal produce un efecto de fuerza.

Los nucleones emisores no pierden masa, luego a los piones virtuales sólo se lespermite su breve existencia por el principio de incertidumbre. Para crear "piones reales",la masa que se pierde se debe suministrar por la energía de un choque.

Actualmente se denominan gluones a las partículas intermedias responsables de lainteracción fuerte. En el siguiente esquema se muestra como un quark u rojo seconvierte en un quark u azul y viceversa, mediante un gluón intermedio; mediante esteproceso se explica la interacción fuerte.


Se cree que todas las fuerzas fundamentales son transportadas por partículas deintercambio. El fotón es la partícula intermediaria de las fuerzas electromagnéticas; lafuerza entre dos partículas cargadas se produce por intercambio de fotones entre ellas.Así, los electrones se repelen unos a otros intercambiando fotones virtuales. Este procesose puede representar utilizando un diagrama de Feynman, como el siguiente. Para queexistan fotones "reales" se debe suministrar energía.

En el caso de la interacción débil las partículas intermediarias son los denominadosbosones vectoriales W-, W+ y Z0, detectados por primera vez en el CERN, por CarloRubbia y Simon Van der Meer en 1983. El esquema siguiente representa unadesintegración b: un quark d setransforma en un quark u, emitiendo un bosón vectorialW-, el cual se desintegra en un par electrón y antineutrino (para conservar el númeroleptónico).

Explicación de una desintegración mediante un bosón vectorial W-

En el caso de la atracción gravitatoria la partícula mediadora sería el gravitón, perono existen evidencias concluyentes de su existencia y su existencia sólo es una hipótesisde trabajo.


La siguiente tabla es un resumen de todo lo anterior.

INTERACCIONES Y PARTÍCULAS

INTERACCIÓNFUERZA

RELATIVA

DISTANCIA DE

INTERACCIÓN

PARTÍCULA

MEDIADORA

PARTÍCULAS QUE

INTERACCIONAN

Nuclear fuerte 1 10-15 gluón hadrones

Electromagnética 10-3 infinita fotón con carga eléctrica

Nuclear débil 10-8 10-17 bosones vectoriales todas

Gravitatoria 10-45 infinita gravitón todas

Las partículas que constituyen la materia son fermiones, no hay dos en el mismoestado energético, mientras que las que transmiten la fuerza son bosones, pueden estaren el mismo estado energético.

En definitiva, hay doce partículas elementales, que sufren diferentes interacciones,como podemos ver en la siguiente tabla:

Como ya hemos indicado, cada una de las doce partículas anteriores tiene sucorrespondiente antipartícula.

Características Quarks Leptones

Normales 1ª Familia u d e e

Alta Energía 2ª Familia c s -

Alta Energía 3ª Familia t b -

Carga eléctrica + 2/3 - 1/3 -1 0

Interacciones que

les afectan

Fuerte sí sí no no

Electromagnética sí sí sí no

Débil sí sí sí sí

Gravitatoria sí sí sí sí

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