Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios ITécnicas Cuantitativas para...

Técnicas Cuantitativas para el

Manag. y los Negocios I - Clase 6

Segundo cuatrimestre - 2014

Mag. María del Carmen Romero 1

Técnicas Cuantitativas para el Management y los

Negocios ILicenciado en Administración

Módulo II

ContenidosUnidad 4. ProbabilidadConceptos básicos de probabilidad: experimento aleatorio, espacio muestral y evento. Probabilidad. Definición. Enfoques de la probabilidad: clásico, de la frecuencia relativa y subjetivo. Probabilidad simple. Cálculo de probabilidades: regla de la adición y de la multiplicación. Conceptos de exclusión e independencia. Probabilidad condicional. Teorema de Bayes.

Unidad 5. Variables AleatoriasVariables aleatorias discretas y continuas. Función de probabilidades. Indicadores de posición y dispersión. Esperanza matemática. Varianza y desviación estándar. Interpretación y aplicaciones de la esperanza y la desviación estándar.

Unidad 6. Algunas distribuciones de probabilidad especialesDistribuciones discretas. Ensayos Bernoulli. Distribución Binomial, hipergeométrica y PoissonDistribuciones continuas. Distribución Normal. Distribución estandarizada. Aproximación Normal de las distribuciones Binomial y Poisson. Distribución t de Student, Chi-cuadrado y F de Fisher. Aplicaciones.

Unidad 7. Muestreo y EstimaciónNociones básicas de muestreo. Distribuciones muestrales en poblaciones infinitas y finitas. Teorema central del límite. Estimación y estimador. Estimación puntual. Propiedades deseables de los estimadores. Principales estimadores puntuales. Estimación por intervalos. Intervalos de confianza para la media, proporción y varianza. Cálculo del tamaño muestral. Aplicaciones.

Unidad 8. Prueba de hipótesisConceptos básicos. Hipótesis estadística. Hipótesis nula y alternativa. Estadígrafo de contraste. Región crítica y región de aceptación. Error de Tipo I y de Tipo II. Nivel de significación y potencia. Tipo de contraste. p-valor. Contrastes de hipótesis referentes a media, proporción y varianza poblacional.Aplicaciones.

Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL





Contenidos

Distribuciones discretas. Ensayos Bernoulli. Distribución Binomial, hipergeométrica y PoissonDistribuciones continuas. Distribución Normal. Distribución estandarizada. Aproximación Normal de las distribuciones Binomial y Poisson. Distribución t de Student, Chi-cuadrado y F de Fisher. Aplicaciones.

Distribuciones discretas y continuas

Algunas distribuciones de probabilidad





Leyes o modelos de probabilidad

Modelo Matemático

Expresión matemática que se utiliza pararepresentar una variable de interés.

Permite calcular la probabilidad de ocurrenciaexacta correspondiente a cualquier resultadoespecífico para la variable aleatoria

Algunas distribuciones de probabilidad

Distribuciones discretas





Distribución Bernoulli

Si un experimento tiene sólo dos resultados: “éxito” y “fracaso” con probabilidades p y 1-p, entonces la cantidad de éxitos (0 o 1) tiene una distribución de Bernoulli:

O bien

Llamando a (1-p)=q

1,0)1();( 1 =−= − xparapppxf xx

pqXypXE == )var()(

Distribución Bernoulli

Distribución Binomial

Si X1,..., Xn son n variables aleatorias idénticamentedistribuidas con la distribución de Bernoulli conprobabilidad de éxito p, entonces la variablealeatoria

X = X1+...+ Xn

presenta una Distribución Binomial de probabilidad.


Se usa cuando la variable aleatoria discreta deinterés es la cantidad de éxitos en unadeterminada cantidad (n) de pruebas.





Condiciones

El número de repeticiones (n) del experimentodebe ser finito.

En cada repetición del experimento puedenocurrir solamente dos resultados, que llamaremoséxito (E) y fracaso (F).

Los resultados deben ser independientes.

Las probabilidades de éxito (p) y de fracaso (q)permanecen constantes prueba a prueba.


Ejemplos

� El 60% de los estadounidenses leen su contrato detrabajo incluyendo las letras pequeñas. La cantidad deempleados que leen cada una de las palabras de sucontrato puede modelarse usando la distribuciónbinomial.

� Un examen de opción múltiple tiene 10 preguntas con2 opciones cada una. La cantidad de preguntasrespondidas correctamente (si se respondieron de maneraaleatoria) sigue una distribución binomial.

� La probabilidad de que un cliente exceda su límite decrédito en un negocio es de 0.05. La cantidad de clientesque exceden el límite es una variable aleatoria binomial.






xnxx

n qpCxXPpnxP −=== )(),;(

siendo:n: número de pruebasx: número de éxitos (entre 0 y n)p: probabilidad de éxito en una pruebaq: probabilidad de fracaso en una prueba / p+q=1n y p: parámetros de la distribución binomialCn

x: combinatorio

Función masa de probabilidad


Esperanza y varianza

npXE =][ npqXV =][

Ejemplo

Por ejemplo, la distribución binomial se puede usarpara calcular la probabilidad de sacar 5 caras y 7cruces en 12 lanzamientos de una moneda






Distribución HipergeométricaLa variable aleatoria discreta de interés es lacantidad de éxitos en una determinada cantidad (n)de pruebas.

Condiciones:

Mismas condiciones para la distribución binomial,excepto que los resultados de cada prueba debenser dependientes.

Distribución Hipergeométrica

Ejemplos

� Un auditor selecciona una muestra de 6 declaracionesde impuestos de personas de una profesión particular deun total de 50. Si 2 o más de ellas indican deduccionesno autorizadas, se auditará a todo el grupo. La cantidadde declaraciones con deducciones no autorizadas sigueuna distribución hipergeométrica.

� El director de una facultad desea formar un grupo de6 profesores exclusivos. El total es de 50 profesores, delos cuales 35 pertenecen al área de ingeniería. Lacantidad de profesores del área ingeniería seleccionadoses una variable aleatoria hipergeométrica.






Esperanza y varianzanpXE =][


n

N

xn

mN

x

m

C

CCnxP

−−= 11,......);(

donde:N: total de la poblaciónn: tamaño de la muestram1: elementos con una determinada característica (éxito)x: número de éxitosN, n y m1: parámetros

1][

−−

=N

nNnpqXV


Distribución de Poisson

La variable aleatoria discreta de interés es lacantidad de veces que se presenta una evento en unárea de oportunidad dada.

El área de oportunidad es una unidad continua ointervalo de tiempo, volumen, o área en la cualpuede presentarse más de un evento.

Distribución Poisson





Características

La probabilidad de que un evento se presenteen un área de oportunidad dada es igual paratodas las áreas de oportunidad.

La cantidad de eventos que ocurren en un áreade oportunidad es independiente de la cantidadque se presenta en cualquier otra área.

La probabilidad de que 2 o más eventos sepresenten en un área de oportunidad tiende acero conforme esa área se vuelve menor.


Ejemplos:

� Cantidad de llamadas por quejas por productoscomprados en una determinada empresa.

� Cantidad de defectos en la superficie de unaheladera.

� Cantidad de fallas de la red en un día.

� Cantidad de clientes que llegan a un bancoubicado en la zona central de negocios de una granciudad durante la hora del almuerzo.






Una variable aleatoria discreta X tiene unadistribución de Poisson (y se la conoce comovariable aleatoria de Poisson) si y sólo si sudistribución de probabilidades está dada por:

xep(x; ) para x 0,1,2,...

x!

−λλλ = =

λσµ == 2



donde:λ: cantidad de eventos esperado por unidade: constante matemática aprox. igual a 2.71828x: número de éxitosλ : parámetro






Distribución Uniforme Discreta

Distribución Uniforme

Distribución Uniforme Discreta

Ejemplos

Lanzar un dado f(x)=1/6 x=1,...,6

Lanzar una moneda (balanceada) f(x)=1/2, x=1,2

Extraer una carta de un mazo de 52 cartas





Distribuciones continuas

Ley Normal (de Gauss o Gaussiana)

Características

Distribución unimodal simétrica con forma de campana.

Media = mediana = moda.

La variable asociada es una variable

continua que toma valores entre -∞ y ∞.

Es la distribución más común.Está caracterizada sólo por la media y la varianza.

Distribución Normal






Gráfico de la

Función de

Densidad

Gráfico de la

Función de

Densidad

Acumulada

Importancia

Muchas variables continuas comunes tienendistribuciones que se asemejan a la distribuciónnormal.

Sirve como aproximación a diversasdistribuciones de probabilidad discreta (Binomialy Poisson).

Proporciona la base para la estadísticainferencial clásica.






Función de densidad de probabilidad

siendo:x: cualquier valor de la variable continua entre -∞ y ∞µ: mediaσ: desviación estándar µ y σ: parámetros de la distribución normal

21 x( )

2 21

f(x; , ) e para x2

−µ−

σµ σ = − ∞ < < −∞σ π


EjemploSe tiene un programa de capacitación para mejorar lashabilidades de los supervisores de una línea de producción. Elprograma es autoaplicable y por eso los supervisoresrequieren un número de horas para terminarlo. Un estudio departicipantes anteriores revela que el tiempo medio dedicadoal programa es de 500 horas, con una dispersión de 100horas y que dicho tiempo (requerido para terminarlo) sigueuna distribución aproximadamente normal.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido demanera aleatoria tarde más de 500 horas en terminar elprograma?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 500 y 650horas?

c) ¿Cuánto tardan como máximo el 10% de los empleados quetardan menos tiempo?






Cálculo


( )

dxeaXob

xa

−−

∞−∫=≤

2

2

2

2

1)(Pr

σ

µ

πσ

El área por debajode la curva entre xy -∞ es la Prob(X≤x)

Ley Normal estandarizada

La integral es dificil de resolver.Afortunadamente, toda variable normal puedeser reexpresada como una N(0,1), proceso que sedenomina estandarización.

De esta forma se computan tablas deprobabilidades para N(0,1) que se pueden usarpara cualquier variable Normal








Sea , el proceso de estandarización de

la variable implica realizar la siguiente operación

� Tal que

2: ( ; )x XX N µ σ

x

x

xz

µσ−

=

2

0

1

z

z

y

µ

σ

=

=



( )

dxeaXob

xa

−−

∞−∫=≤

2

2

2

2

1)(Pr

σ

µ

πσ

dxeaXob

xa

−

∞−∫=≤ 2

2

2

1)(Pr

π





Tabla de distribución normal estandarizada


Propiedades de las variables aleatorias normales


La v.a. generada por una suma (finita) de v.a.normales es normal (si X1 ,…, Xn son v.a.Normales, Y=a1 X1+…+an Xn es también una v.a.Normal)

Por ser una v.a. continua:Prob(z<k) = Prob(z≤k)

Por tener una distribución simétrica:Prob(z≤-k) = Prob(z≥k)





La distribución normal como aproximación a otras distribuciones de probabilidad


DiscretasBinomialHipergeométricaPoisson

Continuas

Aproximación a binomial








Condiciones1) n . p ≥ 52) n . (1 - p) ≥ 5

Corrección por continuidad para valoresconcretosP (X = x1) ≈ P (z1 - 0.5 ≤ Z ≤ z1 + 0.5)



Se obtiene una muestra de n = 1600 llantas enun proceso de producción constante, en el que8% de todas las llantas producidas sondefectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que enesa muestra no más de 150 llantas seandefectuosas?





Distribución t de Student


Surge en estadística con el objetivo de hacerinferencias sobre la media cuando no se conoce lavarianza y se utiliza una estimación.

El cociente de una variable normal estandarizadasobre una variable Chi-cuadrado con n grados delibertad sigue una t de Student con n grados delibertad.

A medida que los grados de libertad tienden ainfinito, la t de Student converge a una distribuciónNormal.






Distribución de probabilidad


� Función de Densidad:

donde v son los grados de libertad de la Chi-

Cuadrado

� E[X]=0 para v>1 (sino no está definida)

� Var(X)= infinitio si

sino no está definida

Distribución Chi-cuadrado


La suma de N variables aleatoriasindependientes al cuadrado, donde cada unatienen una distribución normal estándar, sigueuna distribución Chi-cuadrado (χ2) con N gradosde libertad.

Sean X1, …, Xn variables N(0,1)

Es un caso especial de una distribución másgeneral llamada Gamma.

( )

)(~

:

1

2

NQ

donde

XQN

i

i

χ

∑=

=






Gráfico de la Función

de Densidad


de Densidad

Acumulada



Función de Densidad:

E(X) = k

Var(X) = 2k





Distribución F de Snedecor


Si X e Y son dos variables aleatoriasindependientes que siguen una Chi-cuadradocon grados de libertad d1 y d2 respectivamente,entonces:

F=(X/ d1)/(Y/ d2)

Sigue una distribución F (o F de Snedecor)



de Densidad


de Densidad

Acumulada






Función de Densidad:

E[X]=d2/(d2-2) para d2>2

Var(X) = para d2>4


Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios ITécnicas Cuantitativas para...

Documents

Transcript of Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios ITécnicas Cuantitativas para...