Taller Técnicas de Pronósticos

Tema: Ejercicio de recopilación del modelo de descomposición

Norman Giraldo

Septiembre 22, 2005

Temas del Taller

• Plantear y estimar un modelo de descomposicion para una serie de tiempo.

• Utilizar los estadísticos Durbin-Watson y Ljung-Box para examinar la autocorrelación en los residuos.

• Examinar la FAC y la FAC Parcial de los residuos.

• Utilizar la opción “scan” del proc arima para plantear posibles modelos ARMA para los residuos

• Estimar el modelo ARMA seleccionado

• Calcular pronósticos con el modelo completo

Leer los datos (T= 350 observaciones).Generar observaciones adicionales para pronósticos.Examinar la gráfica de la serie

dm 'output;clear';dm 'log;clear';

options nocenter ps=800 ls=150 nodate nonumber;

data uno;infile 'c:\datostaller1.dat';input yt;t+1;t2 = t*t;run;

data uno; set uno end = eof;fecha=intnx('day','01Dec75'd,t);format fecha DDMMYY.;output;if eof then do t = 351 to 380;yt = .;t2 = t*t;fecha = intnx('day',fecha,1);output;end;run;

symbol1 c = red v = none i = j;proc gplot data = uno;plot yt*fecha;run; quit;

• Serie de tiempo diaria con T = 350 observaciones

• Posible tendencia cuadrática

• Valores negativos: no usar transformación logarítmica, luego no puede ser un

modelo log-cuadrático.

• Serie con fuerte autocorrelación

• No parece tener componente estacional

• Modelo propuesto :

t2

210t tty

Estimar el modelo cuadrático con proc autoreg, DWExaminar la FAC y la FACP de los residuos, y LB

proc autoreg data = uno;

model yt = t t2/dw=1 dwprob method=ml;

output out = a1 p = pt r = et;

run; quit;

proc arima data = a1;

identify var = et scan;

run; quit;

Resultados de la Estimación de la parte estructural con el proc autoreg

Ordinary Least Squares Estimates

Standard ApproxVariable DF Estimate Error t Value Pr > |t|

Intercept 1 1.2052 5.7268 0.21 0.8334t 1 -0.3130 0.0753 -4.15 <.0001t2 1 0.002391 0.000208 11.50 <.0001

SSE 437520.989 DFE 347MSE 1261 Root MSE 35.50869SBC 3506.66215 AIC 3495.08835Regress R-Square 0.7254 Total R-Square 0.7254Durbin-Watson 0.4552 Pr < DW <.0001Pr > DW 1.0000

CONCLUSIONES : se detecta tendencia cuadrática y autocorrelación de por lo menos orden 1, es decir et puede ser por lo menos AR(1)

Resultados de la FAC, FACP y prueba LB con el proc arima

Autocorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error

0 1250.060 1.00000 | |********************| 0 1 962.949 0.77032 | . |*************** | 0.053452 2 311.428 0.24913 | . |***** | 0.079044 3 -410.107 -.32807 | *******| . | 0.081257 4 -903.634 -.72287 | **************| . | 0.084957 5 -983.737 -.78695 | ****************| . | 0.101013 6 -660.744 -.52857 | ***********| . | 0.117228 7 -95.792544 -.07663 | . **| . | 0.123851 8 463.968 0.37116 | . |******* | 0.123986 9 785.753 0.62857 | . |************* | 0.127121 10 751.497 0.60117 | . |************ | 0.135711 11 396.551 0.31723 | . |****** | 0.143117 12 -105.536 -.08442 | . **| . | 0.145112 13 -525.405 -.42030 | ********| . | 0.145253 14 -688.299 -.55061 | ***********| . | 0.148687 15 -547.359 -.43787 | *********| . | 0.154403 16 -190.054 -.15204 | . ***| . | 0.157911 17 213.069 0.17045 | . |*** . | 0.158328 18 497.082 0.39765 | . |******** | 0.158852 19 549.926 0.43992 | . |********* | 0.161671 20 368.117 0.29448 | . |******. | 0.165056 21 41.219511 0.03297 | . |* . | 0.166550 22 -268.739 -.21498 | . ****| . | 0.166569 23 -430.354 -.34427 | *******| . | 0.167360 24 -391.294 -.31302 | .******| . | 0.169371

CONCLUSION: es posible un modelo autorregresivo porque el patrón es sinusoidal amortiguado decreciente a cero

Resultados de la FAC Parcial

Partial Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 0.77032 | . |*************** | 2 -0.84669 | *****************| . | 3 -0.26274 | *****| . | 4 -0.08345 | **| . | 5 0.01313 | . | . | 6 -0.05647 | .*| . | 7 0.03615 | . |*. | 8 0.02539 | . |*. | 9 -0.03711 | .*| . | 10 -0.05716 | .*| . | 11 -0.06883 | .*| . | 12 -0.01958 | . | . | 13 0.02579 | . |*. | 14 0.00971 | . | . | 15 -0.03270 | .*| . | 16 -0.04021 | .*| . | 17 -0.02954 | .*| . | 18 0.04430 | . |*. | 19 -0.03338 | .*| . | 20 -0.00424 | . | . | 21 -0.04028 | .*| . | 22 0.10237 | . |** | 23 0.00443 | . | . | 24 -0.01985 | . | . |

Conclusiones: posiblemente es un AR(3)

Resultado de la Prueba Ljung-Box

Autocorrelation Check for White Noise

To Chi- Pr >Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations--------------------

6 776.93 6 <.0001 0.770 0.249 -0.328 -0.723 -0.787 -0.529 12 1141.54 12 <.0001 -0.077 0.371 0.629 0.601 0.317 -0.084 18 1465.75 18 <.0001 -0.420 -0.551 -0.438 -0.152 0.170 0.398 24 1669.60 24 <.0001 0.440 0.294 0.033 -0.215 -0.344 -0.313

Conclusiones: la prueba rechaza la hipótesis nula de incorrelación

en los rezagos 6,12,18,24, luego, se detecta autocorrelaciones

Significativas en la serie de los residuos.

Resultado de la opción “scan” del proc arima

SCAN Chi-Square[1] Probability Values

Lags MA 0 MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 MA 5

AR 0 <.0001 0.0014 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001AR 1 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001AR 2 <.0001 0.8299 0.5159 0.2695 0.1696 0.6953AR 3 0.0940 0.5135 0.7867 0.8685 0.3327 0.5725AR 4 0.8521 0.4123 0.8844 0.8720 0.5558 0.3136AR 5 0.3172 0.7154 0.4026 0.5520 0.6934 0.3884

ARMA(p+d,q) Tentative Order Selection Tests

----SCAN---p+d q 2 1 3 0

Conclusion: Dos posibles modelos para los residuales: ARMA(2,1) AR(3)

Estimación del Modelo ARMA(2,1) con el proc arima

proc arima data = a1;

identify var = et;

estimate p = 2 q = 1 noconstant method=ml;

forecast out = a2 lead = 30 id = t;

run; quit;

Nótese la opción “noconstant”. Se incluyó porque se sabe que los residuos et tienen media cero y por tanto el modelo arma(2,1) es un modelo sin constante.

Nótese que el archivo de salida tiene los 350 datos de la serie mas 30 de pronosticos

Resultados de el Estimación del arma(2,1)

Maximum Likelihood Estimation

Standard ApproxParameter Estimate Error t Value Pr > |t| Lag

MA1,1 0.31557 0.05813 5.43 <.0001 1AR1,1 1.50786 0.02438 61.84 <.0001 1AR1,2 -0.91224 0.02255 -40.45 <.0001 2

Variance Estimate 128.9254Std Error Estimate 11.35453AIC 2700.651SBC 2712.224Number of Residuals 350

),0(RB~a

aa2

t

1t1t1221t1t

Examen con la prueba Ljung-Box de los residuos del modelo arma(2,1), at

Autocorrelation Check of Residuals To Chi- Pr >

Lag Square DF ChiSq --------------------Autocorrelations--------------------

6 2.21 3 0.5296 0.000 -0.002 0.022 -0.040 0.061 -0.018

12 5.46 9 0.7925 -0.044 -0.054 -0.042 0.032 0.009 -0.034

18 9.66 15 0.8407 -0.058 -0.036 0.006 0.074 -0.033 0.009

24 13.01 21 0.9082 -0.004 0.074 -0.035 -0.032 -0.031 -0.016

30 22.19 27 0.7277 0.061 -0.050 -0.014 -0.132 -0.015 0.006

36 26.73 33 0.7714 0.021 -0.052 0.037 0.053 0.050 0.042

42 29.96 39 0.8503 0.058 0.014 0.035 -0.010 0.033 0.046

48 32.76 45 0.9129 -0.011 -0.024 -0.040 0.015 -0.066 0.001

Conclusion: los residuos at del modelo arma(2,1) son ruido blanco.

Luego, el modelo se puede aceptar.

El Modelo Ajustado arma(2,1)

Model for variable et

No mean term in this model.

Autoregressive Factors

Factor 1: 1 - 1.50786 B**(1) + 0.91224 B**(2)

Moving Average Factors

Factor 1: 1 - 0.31557 B**(1)

),0(RB~a

aa2

t

1t1t1221t1t

Modelo Final para la Serie Original: tendencia cuadrática y errores tipo arma(2,1)

),0(RB~a

aa

tty

2t

1t1t1221t1t

t2

210t

Cálculo de los Pronósticos

data total;merge a1 a2;by t;pyt = pt + FORECAST;l95 = pt + l95;u95 = pt + u95;run;

symbol2 c = blue v = none i = j;symbol3 c = black v = none i = j;

proc gplot data = total;plot yt*fecha=1 pyt*fecha = 2 pt*fecha=3/overlay;run; quit;

proc gplot data = total;plot yt*fecha=1 pyt*fecha = 2 pt*fecha=3/overlay;where( fecha > '01Sep1976'd);run; quit;

Resultados de los Pronósticos (1): pronóstico estructural versus pronóstico con arma(2,1).

Resultados de los Pronósticos (1): pronóstico estructural versus pronóstico con arma(2,1): ultimos períodos

Valores de los pronósticos

Obs fecha yt pyt

346 11/11/76 163.010 155.695347 12/11/76 172.988 183.415348 13/11/76 185.742 188.517349 14/11/76 175.471 196.778350 15/11/76 191.679 176.051351 16/11/76 . 198.755352 17/11/76 . 200.122353 18/11/76 . 196.282354 19/11/76 . 189.799355 20/11/76 . 184.085356 21/11/76 . 181.942357 22/11/76 . 184.485358 23/11/76 . 190.836359 24/11/76 . 198.660360 25/11/76 . 205.228

Próximo Trabajo

• Realizar estos análisis con la serie de licencias de viviendas nuevas para Medellín,

• utilizando el modelo para tendencia que se encontró,

• analizando la estructura de los residuos

• proponiendo un posible modelo arma(p,q)

• realizar pronósticos con el nuevo modelo