1INTEGRACIONPOR PARTES Si fy g son funciones diferenciables, entonces por la regla de productos diferenciales se tiene [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x g x g x f x g x fdxd+ = Integrando ambos miembros, obtenemos + = dx x f x g dx x g x f dx x g x fdxd) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( [ O + = + dx x f x g dx x g x f C x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( O bien + = C dx x f x g x g x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( De dondedespejando obtenemos = dx x g x f x g x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (1) La formula anterior se llama frmuladeintegracin por partes. Usando esta frmulapodemos reducir un problemagrande de integracin en uno mas fcil.En la prctica, es comn volver a escribir (1) haciendo ) (x f u =dx x f du ) ( =) (x g v =dx x g dv ) ( = Lo cual da la siguiente formula. Integracin por partes para integrales indefinidas = vdu uv udv(2a) Para integrales definidas la formula correspondiente es Integracin por partes para integrales definidas ] =bababavdu uv udv(2b) 2Donde a y b son loslmites de la integracin para la variable x. Para usar la integracin por partes exitosamente, se debe elegir u y dv, de tal forma queesta eleccindebe hacer que la nueva integral sea mas fcil que la integral original. Por ejemplo en la integral xxe dx xe u = xdx dv =dx e dux== =22xxdx v Entonces, se obtiene = = = dx e x exvdu uv udv dx xex x x 22212 Obsrvese que la segunda integral es mas difcil de resolver es decir la eleccin de u y v no condujeron a una integral ms fcil. Deotro modo se debe intentar con otraeleccin de u y dvde tal forma que se haga mas fcil el problema. En el ejemplo anterior la eleccin hecha hace el problema mas complicado puesto no es la eleccinadecuada, en cambio si hacemos x u = dx e dvx=dx du = = =x xe dx e v Entonces se obtiene + = = = = c e xe dx e xe vdu uv udv dx xex x x x x EJEMPLO. EVALUAR SOLUCION, dejamos 2x u =dx e dvx =xdx du 2 =x xe dx e v = = Entonces, dx xe e x vdu uv udv dx e xx x x + = = = 22 2(3) Dejamos, x u = dx e dvx =dx du =x xe dx e v = = 2 xx e dx3Entonces, = =vdu uv udu dx e xx

+ = dx e xex x

1C e xex x+ = Substituyendo en (3), Obtenemos ) ( 212 2C e xe e x dx e xx x x x+ + = 122 2 2 C e xe e xx x x+ = C e x xx+ + + =) 2 2 (2 Donde C=2C1 EJEMPLO. EVALUAR dx x101tan SOLUCION. x u1tan= dx dv =dxxdu211+=x dx v = = As, ] = =101010101tan vdu uv udv xdx]+ =1021011tan dxxxx x Pero, ]1 1122 2 00 01 2 1 1(1 ) 21 2 1 2 2x xdx dx ln x lnx x= = + =+ + Entonces, ]111 1001 1tan tan 2 0 22 4 2xdx x x ln ln | |= = |\ 4(2)4ln= EJEMPLO. EVALUAR dx x excos Solucin, xe u = xdx dv cos =dx e dux= senx dx x v = =cos As, = = vdu uv udv dx x excosdx senx e senx ex x =(4) Integramos la nueva integral por partes, xe u = senxdx dv =dx e dux= x dx senx v cos = = As, sxe enxdx udv uv vdu = = dx x e x ex x+ = cos cos Substituyendo (4) [ ] + = xdx e x e senx e dx x ex x x xcos cos cos O, dx x e x e senx e dx x ex x x x + = cos cos cos Es una ecuacin que podemos resolver para la integral desconocida x e senx e dx x ex x xcos cos 2 + = O, C x e senx e dx x ex x x+ + =cos2121cos5 EJERCICIOS 12222150212211.2. (2 3)3.4. cos (2 )5.cos 26.7. s n8. (3 1)9. sec10. cos( )11. ( )12. tan13.14.15. ( 3)16. secxxxaxxexe dxln x dxxln xdxx dxx e dxxdxee e bxdxxsen x dxx xdxInx dxsenInx dxx xdxxe dxxInxdxInx dxd+++42/ 203111 32017. 418. tan19.1xsen xdxx xdxxdxx+ 20. Encuentra el rea de la regin encerrada por y=x sen x, y=x, x=0, y x-eje. 21. Usa la formula de reduccin para evaluar. a) xdx sen3b) 4 /04xdx sen 22. Usa la formula de reduccin para evaluar. a) xdx 5 cos3 b) dx x x ) ( cos2 4 6 INTEGRACION DE POTENCIAS DEL SENO Y COSENO Consideremos integrales de la forma xdx x senn mcos Donde m y n son enteros no negativos. Integrales de la forma dx x senm) 0 ( = nydx xcos( 0 = m ) Se pueden resolver utilizando formulas de reduccin, o bien Una solucin alternativa es aplicar las identidades) 2 cos 1 (21cos) 2 cos 1 (2122x xx x sen+ = =(*) , (**) De donde se sigue que aplicando las formulas del ngulo doblex sen x22 1 2 cos = y1 cos 2 2 cos2 = x x Ejemplo. Evaluar las siguientes integrales. + = = c x sen x dx x xdx sen 24121) 2 cos 1 (212 + + = + = c x sen x dx x xdx 24121) 2 cos 1 (21cos2 EJEMPLO. Las formulas c sen x sen x xdx sen + + =321241834 c sen x sen x xdx + + + =32124183cos4 Se pueden obtener de las formulas de reduccin y usando identidades bsicas trigonomtricas.Ejemplo ((

+ = = dx x dx x xdx22 2 4) 2 cos 1 (21) (cos cos + + = dx x x ) 2 cos 2 cos 2 1 (412 7 Sustituyendo la identidad x x x 4 cos2121) 4 cos 1 (212 cos2+ = + = En la integral anterior se tiene + + + = dx x x ) 4 cos21212 cos 2 1 (41 Donde, obtenemos ||

\|+ + = dx x x xdx 4 cos212 cos 22341cos4 C x sen x sen x + + + = 432124183 Ejercicio. Demostrar la formula para el seno. Si m y n son ambos enteros positivos, entonces la integral xdx x senn mcos Se puede evaluar por uno de los tres procedimientos, en funcin de si m y n es par o impar. Los procedimientos se resumen en la siguiente tabla. CASO PROCEDIMIENTOIDENTIDADES RELEVANTES n imparSubstituimos u= sin x x x2 2sin 1 cos =m imparSubstituimos u=cos x x x2 2cos 1 sin =n par Usar identidades para reducir las potencias de sen y cos ) 2 cos 1 (21sin2x x =n par ) 2 cos 1 (21cos2x x + = EJEMPLO. EVALUAR dx x x sen5 4cos Dado quen=5 es impar, se puede hacer la siguiente substitucin, senx u = xdx du cos = 8A la forma du, que se separ primero un factor de cos x xdx x x sen dx x x sen cos cos cos4 4 5 4 =

= xdx x sen x sen cos ) 1 (2 2 4

= du u u2 2 4) 1 (

+ = du u u u ) 2 (8 6 4 C u u u + + =9 7 5917251 C x sen x sen x sen + + =9 7 5917251 EJEMPLO. EVALUAR. xdx x sen4 4cos SOLUCION. Si m=n=4,podemos utilizar el tercer procedimiento de la tabla, = dx x x sen xdx x sen2 2 2 2 4 4) (cos ) ( cos [ ] [ ] dx x x2 22 cos 1212 cos 121||

\|+||

\| =

= dx x2 2) 2 cos 1 (161 dx x sen= 21614 Para finalizar, hacemosu=2x, du=2 dx. du u xdx x =4 4 4sin321cos sin C u sen u sen u + ||

\|+ = 432124183321 C x sen x sen x + + = 810241412811283 Integrales de la forma, nxdx mx sennxdx senmx nxdx senmx cos cos , , cos Estas se pueden resolver usando las formulas del producto de trigonometra EJEMPLO. EVALUAR 9xdx x sen 3 cos 7 SOLUCION, ) 10 4 (213 cos 7 x sen x sen xdx x sen + = Podemos escribir, + = dx x sen x sen xdx x sen ) 10 4 (213 cos 7C x x + = 10 cos2014 cos81 EJERCICIOS dx x x sendx x x sendx xdxxsenxd sentdt t senddxxd sendx xsenx||

\|6 /03 /03 44 /0384 53 254254 cos 2 . 103 cos 3 . 9cos . 8cos. 7cos . 62 cos 2 . 5cos . 44cos . 35 . 2cos . 1 11.Dejarm,nsisondistintosnmeros enteros no negativos. a)0 cos20=dx nx senmx b)0 cos cos20=dx nx mx c)0 sin20=dx nx senmx 12. Encontrar el volumen de los slidos resultados,enlaquelosdelaregin delimitada pory=cos x,y=sen x, x=0y 4 / = x .Se gir sobre el eje "x" 13. Evaluar. a) 2 /03xdx sen b) 2 /04xdx senc) 2 /05xdx sen d) 2 /06xdx sen INTEGRACION DE SECANTE Y TANGENTE Integrales de la formula. 10 xdx xn msec tanDonde m y n son enteros impares negativos. Comenzamos con las integrales ) 0 , 1 ( tan = =n m dx x Y, = = ) 1 , 0 ( sec n m xdx La primera integral es evaluada escribiendo, = dxxsenxdx xcostan Para cada una se sigue,x u cos =senxdx du =que + = C x x cos ln tan O desdex x x sec ln ) cos / 1 ln( cos ln = = , C x dx x + =sec ln tan Para la segunda integral se requiere un truco, Escribimos dxx xx xx dx x ||

\|++= tan sectan secsec sec

++= dxx xx x xtan sectan sec sec2

C uudu+ ==ln De lo cual se sigue que. C x x xdx + + =tan sec ln sec Si m y n son enteros positivos, entonces la integral, 11 dx x xn msec tan Pueden ser evaluadas por uno de los tres procedimientos de la tabla a continuacin, CASO PROCEDIMIENTO Substituimos IDENTIDADES RELEVANTES n paru= tan x 1 tan sec2 2+ = x xm imparu=sec x 1 sec tan2 2 = x xmparReducir la potencia de la sec x lo que mas se pueda. 1 sec tan2 2 = x xn impar EJEMPLO. EVALUAR dx x x4 2sec tan Entoncesn=4es par y se hace la Sustitucin, x u tan = xdx du2sec = dx xx x x dx x x =2 2 2 4 2sec sec tan sec tan

C x x C u udu u uxdx x x+ + = + + =+ =+ =3 5 3 52 22 2 2tan31tan513151) 1 (sec ) 1 (tan tan Algunas del las tcnicas que aparecen en esta seccin se pueden adaptar para el tratamiento integrales de la forma: xdx xn mcsc cot 12EJERCICIOS +xdx xdxdx xxdx xxdxdx e edx xx xsec tan . 7sec tan . 64 sec 4 tan . 5sec tan . 42 sec . 3) tan( . 2) 1 3 ( sec . 144 44 32 22 22 dx xxdx xxdxdx xxdxtdt t33 34643cot . 13csc cot . 12tan . 11) ( sec . 10sec . 92 sec 2 tan . 8 dx xdx x x6 /0242 tan . 15sec tan . 14 13SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS En esta seccin se mostrara como evaluar integrales que contienen expresiones de la forma, , a2 2x , x2 2a +Y 2 2x a (a > 0) .Se hacen sustituciones involucrando funciones trigonomtricas. Laideabsicaparaevaluarunaintegralqueinvolucraunodeestosradicaleseshacer una substitucin que elimine el radical. Por ejemplo sustituyendo sin a x = ,2 / 2 / (1) En, a2 2x nos da 2 2a x 2 2 2sen a a =) 1 (2 2 sen a = cos cos cos2a a a = = =Porlotanto,hemoseliminadolosradicalesporlasustitucin,elpropsitodela restriccin2 / 2 / en (1) es doble. En primer lugar nos permite reescribir (1) como: ||

\|=axsen1Ylasegundadeestasrestriccionesestablececomoreemplazar cos porlaexpresin mas simple cosen el resultado. EJEMPLO. EVALUAR 2 24 x xdx Solucin. Para eliminar el radical hacemos la substitucin sen x 2 =,2 / 2 / As que, = 2 2 2 24 4 ) 2 (cos 24 sen sendx xdx = = 2 241) cos 2 ( ) 2 (cos 2sendsend 14x C d + = = cot41csc412 Para completar la solucin debemos expresar coten trminos de x.Esto puede hacerse usando las identidades trigonomtricas. O simplemente consideremos la siguiente figura sen x 2 =

24 x De la figura obtenemos: x2x - 4cot = As que, + = + =CxxCx xdx22 2441cot414 Para eliminar el radical en 2 2x a + , (a > 0), hacemos la sustitucin tan a x = ,2 / 2 / Para obtener 2 2x a +2 2 2tan a a + = 2 2sec a = sec a = sec = EJEMPLO. EVALUAR +2 2a xdx 2 Si a > 0 desde2 / 2 / 15 Solucin. Para eliminar el radical, hacemos la sustitucin. tan a x = , 2 2< < As que, 2sec addx=o d a dx2sec = Esto nos da, =+=+ secsectansec22 2 222 2ad aa ad aa xdx C d + + = = tan sec ln secPara expresar la solucion en terminos de x usamos la siguiente figura Caxaa xa xdx+ ++=+2 22 2ln O si preferimos reescribir la expresin de la derecha queda como, C a x a x + + + ln ln2 2 Y combinamos la constanteln a con la constante e integracin obtenemos, ln2 22 2C x a xa xdx+ + + =+ Adems,02 2> + + x a xpara toda x, a fin de que podamos eliminar el signo del valor absoluto y escribir ( ) ln2 22 2C x a xa xdx+ + + =+ 16 Para eliminar el radical 2 2a x + , podemos hacer la sustitucin sec a x = ,2 / 0 < o 2 / 3 < Para obtener, 2 2 2 2 2sec a a a x = tan tantan ) 1 (sec2 2 2 2a aa a= == = La eliminacin del valor absoluto se justifica por la restriccin sobre esta implica que 0 tan . Esta restriccin tambin establece que ||

\|=ax1sec Ejemplo. Evaluar dxxx 252 Solucion. Para eliminar el radical, hacemos la sustitucin. , sec 5 = x 2 / 0 o2 / 3 Asi que tan sec 5 =ddxo d dx tan sec 5 = Entonces ( ) tan sec 5sec 525 sec 25 252 2 =dxxx = d ) tan sec 5 (sec 5tan 5 = d2tan 5= d ) 1 (sec 52

= c + 5 tan 5Pero ||

\|=5sec1xy de la figura se tiene 17525tan2=x Asi que cxx dxxx+||

\| =5sec 5 25251 22 18EJERCICIOS. ( )++++312 4222 2402 322 / 3 22 2222 / 3 22 22 / 3 2232222223. 151. 1416 . 131 . 12) 1 9 (. 114 9. 101. 9) 1 (. 89 4. 7) 3 (. 62. 59. 44. 39. 24 . 1x xdxx xdxdx x xdx e exdxx xdxdxxxxdxx xdxxdxdxxxdxxxxdxdxxxdx xx x 19 INTEGRALES DE LA FORMA c bx ax + +2 Ahora consideremos integrales cuyos integrandos contienen una expresin cuadrtica c bx ax + +2.0 b Estas integrales se pueden evaluar completando el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente manera: c xabx a c bx ax + ||

\|+ = + +2 2

abcabxabx a4 42222 +|||

\|+ + =

abcabx a4 222 +||

\|+ = En este punto la sustitucin. abx u2+ = Se reducir la expresin originalc bx ax + +2 para simplificarla de la formad au +2, donde) 4 / (2a b c d = . Una ves hecha esta simplificacin, basta aplicar formulas conocidas para resolver la integral. EJEMPLO. EVALUAR + 5 22x xdx Solucin. Completar, 4 ) 1 ( 1 5 ) 1 2 ( 5 22 2 2+ = + + = + x x x x x Por lo tanto, +=+ =+ 4 4 ) 1 ( 5 22 2 2uduxdxx xdx

CxCu+ ||

\| = + = 21tan212tan211 1 20 EJERCICIO. EVALUAR 22 4 5 x xdx Solucin. Completar, ) 2 ( 2 5 2 4 52 2x x x x + =

2 22) 1 ( 2 7 2 ) 2 ( 2 52 ) 1 2 ( 2 5+ = + + =+ + + =x x xx x Por lo tanto, + = 2 2) 1 ( 2 7 2 4 5 xdxx xdx

( )( ) C x senC u senCusenudxudx+ + =+ =+ ||

\|===) 1 ( 7 / 2217 / 2212 / 7 21) 2 / 7 (212 711122 EJERCICIOS dx x xx xdxx xdxx xdx + ++ 22222 3 . 410 6. 32 8. 213 4. 1 + +++ +++ +10222) 1 4 ( . 82 23. 75 25 2. 67 4 2. 5dx xx xxdxx xxx xdx

21 INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES, FRACCIONES PARCIALES Una funcin racional ) () (x Qx P (1) EspropiasielgradodeP(x)esmenorqueelgradodeQ(x),delocontrarioes impropia. As se puededemostrar quecualquierfuncin racional propiaes expresable como una suma de trminos (llamados fracciones parciales) de la forma: kb axA) ( +Okc bx axC Bx) (2+ ++ Elnmeroexactodelostrminosdecadatipodependedelaformadeldenominador ) (x Q ,unpolinomio) (x Q concoeficientesrealessiemprepuededescomponerseen factores comoun producto de factores lineales y cuadrticos con coeficientes reales. Elprimerpasoenladescomposicindefraccionesparcialesde ) () (x Qx Pesfactorizarcompletamenteeldenominador) (x Q enfactoreslinealesycuadrticosirreducibles,y luego reunir todos los factores repetidos as que) (x Qse expresa como un producto defactores distintos de la forma ( )mb ax +O( )mc bx ax + +2 Dondec bx ax + +2esirreducible.Unavezhechoesto,laestructuradela descomposicin en fracciones parciales de ) () (x Qx P se determina como sigue: FACTORES LINEALES Para cada factor de la forma mb ax ) ( +se introducen m trminos de la forma. mmb axAb axAb axA) (...) (22 1++ ++++ Donde mA A A ,..., ,2 1 son constantes por determinar . FACTORES CUADRATICOS IRREDUCIBLES Para cadafactor de la forma( )mc bx ax + +2, se introducen m trminos de la forma. 22mm mc bx axB x Ac bx axB x Ac bx axB x A) (...) (2 2 22 221 1+ +++ ++ ++++ ++ Donde m mB B B A A A ,..., , , ,..., ,2 1 2 1 Son constantes por determinar. EJEMPLO. EVALUAR + + +dxx xx x x x21 5 3 322 3 4 Solucin.Entonceselintegrandoesunafuncinracionalimpropia,nopodemosusar unadescomposicinenfraccionesparcialesdirectamente.Sinembargo,sirealizamos la divisin larga 1 32+ x22 + x x 1 5 3 32 3 4 + + x x x x 4 3 23 3 6 x x x + 12 + x x

22 x x + 1 Podemosescribirelintegrandocomoelcocientemselresiduosobreeldivisor,es decir, ( )211 321 5 3 32222 3 4 ++ + = + + +x xxx xx x x x Por lo tanto, ( ) ++ + = + + +21 321 5 3 32222 3 4x xdxdx x dxx xx x x x Lasegundaintegraldeladerechaahoraimplicaunafuncinracionalpropiayporlo tanto se puede evaluar pordescomposicin en fracciones parciales. Esto es Consideremoslaintegral22dxx x + ,descomponemoselintegrandodeestapor separado, 212 2 1A Bx x x x= ++ + 23Donde, A y Bson constantes a determinar. Realizando las operaciones en el segundo miembro de la expresin anterior, obtenemos 1 ( 1) ( 2) A x Bx = + +En esta ltima expresin si 1 x =2 x = 1 (3) B = , de donde1 ( 3) B = 13B = 13B = Asi la integral se puede escribir como21 12 3 2 3 1dx dx dxx x x x= ++ + 1 1ln 2 ln 13 3x x C = + + +Yfinalmenteaplicandolaspropiedadesdelogaritmonaturalseobtieneelresultado siguiente Cxxx x dxx xx x x x+++ + = + + +21ln3121 5 3 3322 3 4 24EJERCICIOS + + + ++ + +++ +dxx xxdxx xx xdxx xxdxx xxdxxxdxx xx xx x xdxdxx xxdxx xxx xdx2233 52322232222) 1 (3 2. 1041 2. 92 3. 84 410 3. 722. 699 9 2. 5) 3 )( 2 )( 1 (. 44 7 217 11. 36 5. 24 3. 1 ++ + + + ++ +++ ++ + ++ + + ++ + ++ ++ + ++ + + +dxxx x x x xdxx xxdxx xx x x xdxxx x xdxx xx x xdxx xx x xxdxdxx xxdxxxdxx xx x3 22 3 4 52 2222 3 422 32 22 32 22 34223222) 2 (4 4 4 4. 20) 3 2 (1. 1910 610 6. 1813 2 3. 17) 2 )( 1 (2. 16) 3 )( 1 (9 3. 1516. 14) 1 )( 1 4 (1 2. 13) 2 (. 12) 3 )( 1 (16. 11