Tema 2 Análisis dimensional tercero 2016

ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES:

Los valores de las cantidades físicas dependen del sistema de unidades utilizado; sin embargo, hay diferentes sistemas de unidades, por ello, cualquier cantidad física puede expresarse en distintas unidades según la escala en que esté graduado el instrumento de medición. LONGITUD: Una longitud se puede expresar en metros, kilómetros, centímetros o pies, sin importar cuál sea la unidad empleada para medir la cantidad física distancia, pues todas ellas se refieren a una dimensión fundamental llamada longitud, representada por L. MASA: Para expresar la cantidad de materia es factible utilizar al gramo, kilogramo o libra, ya que todas las unidades se refieren a la dimensión fundamental llamada masa, la cual queda representada por M. TIEMPO: El tiempo se puede expresar en horas, minutos y segundos, y sin importar cuales fueran, todas se refieren a una dimensión fundamental llamada tiempo, representada por T.

En física la palabra dimensión significa “la naturaleza de una magnitud”

El análisis dimensional, estudia las diferentes formas que adoptan las

magnitudes derivadas, a través de reglas leyes y propiedades en un

campo puramente matemático. Dicho estudio se realiza para descubrir valores numéricos, que a partir de ahora llamaremos dimensiones; es

decir estudia la forma como se relacionan las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas.

𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 =𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚

𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨 [𝐯] =

𝐋

𝐓= 𝑳𝑻−𝟏

Para denotar las dimensiones de una magnitud física se utilizan

símbolos como L para longitud (distancia) y T para el tiempo. Para

determinar la dimensión de una magnitud se utiliza corchetes [ ].

La dimensión de la velocidad, se representa así: [𝐯] = 𝑳𝑻−𝟏

OBJETIVOS Y FINES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL:

Expresar Las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales.

Determinar las unidades de medida en el S.I. de las magnitudes físicas. Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de

homogeneidad dimensional. Determinar fórmulas físicas empíricas a partir de datos experimentales o de

observaciones.

ECUACIONES DIMENSIONALES:

Son aquellas igualdades matemáticas que sirven para relacionar las

magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales.

En su forma general una ecuación dimensional se escribe:

[ 𝐗 ] = 𝑳𝒂𝑴𝒃𝑻𝒄 𝜽𝒅𝑰𝒆𝑱𝒇𝑵𝒈

Donde:

X : Se lee letra X [ 𝐗 ] : Se lee ecuación dimensional de X Exponentes: a, b, c, d, e, f y g

Bases : L (longitud), M (masa), T (tiempo), 𝛉(temperatura),

I (intensidad de corriente), J (intensidad luminosa) y N (cantidad de sustancia)

Conoce y diferencia entre magnitudes derivadas y fundamentales.

Aplica el principio de homogeneidad en la resolución de problemas.

Establece si una ecuación es dimensionalmente homogénea.

Lic. Manuel Manay Fernández

LEYES IMPORTANTES: Las dimensiones de una magnitud física

no cumplen con las leyes de la adición y sustracción. Ejemplo:

𝟑𝐌 + 𝟓𝐌 − 𝟐𝐌 = 𝐌 Todos los números son cantidades

adimensionales, y su fórmula dimensional es igual a UNO. Ejemplo:

[𝟐𝟎𝟏𝟕] = 𝟏 ; [ 𝟏

𝟐 ] = 𝟏; [√𝟖] = 𝟏

Los ángulos, funciones trigonométricas

y logarítmicas son adimensionales, cuando están como base, y para los cálculos se consideran igual a “1”. Ejemplo:

[𝟑𝟎𝒐] = 𝟏 ; [𝐬𝐞𝐧𝛃 ] = 𝟏; [𝒍𝒐𝒈𝟑𝟐𝟕] = 𝟏 Una ecuación es dimensionalmente

correcta cuando al sumar o restar en los miembros de la ecuación, estos tienen las mismas dimensiones. Ejemplo: La ecuación: 𝒗 = 𝐚𝐭 + 𝒗𝟎 Es dimensionalmente correcta, porque cumple: [𝒗] = [𝐚][𝐭] + [𝒗𝟎]

Donde:

[𝑳

𝑻] = [

𝑳

𝑻𝟐] [𝑻] + [

𝑳

𝑻]

[𝑳

𝑻] = [

𝑳

𝑻] + [

𝑳

𝑻]

Fórmulas Empíricas, surgen de la

experimentación científica, y permiten determinar la fórmula dimensional de una magnitud nueva, en función de las fórmulas dimensionales ya conocidas. Ejemplo: La fórmula empírica del periodo (T ) de un péndulo se expresa en función de su longitud (L) y la aceleración de la gravedad (g); siendo la constante de proporcionalidad 𝟐𝛑

[𝑳

𝑻]𝑻 = 𝟐𝝅√

𝑳

𝒈

Si una ecuación es dimensionalmente correcta, todos los términos

de una adición o sustracción poseen las mismas dimensiones.

Es decir: Sea la ecuación dimensionalmente correcta:

[𝐀] + [𝐁] − [𝐂] = [𝐗] − [𝐘]

Entonces se cumple:

[𝐀] = [𝐁] = [𝐂] = [𝐗] = [𝐘]

TABLA DE DIMENSIONES:

PROPIEDAD IMPORTANTE:

En las siguientes expresiones, se pueden aplicar las fórmulas dimensionales:

𝒙 =𝑨

𝑩 [𝐱] =

[𝐀]

[𝐁]

𝒙 = 𝑨 ∙ 𝑩 [𝐱] = [𝐀] ∙ [𝐁]

𝒙 = 𝑨𝒏 [𝐱] = [𝑨𝒏] = [𝐀]𝒏

𝒙 = √𝑨𝒏 [𝐱] = [ √𝑨𝒏 ] = √[𝑨]𝒏 = [𝑨]𝟏

𝒏

𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝒐 [𝐱] = [𝑨𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝒐

] = [𝑨]𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝒐

𝒙 = 𝑨𝒍𝒐𝒈 𝟖 [𝐱] = [𝑨𝒍𝒐𝒈 𝟖] = [𝑨]𝒍𝒐𝒈 𝟖


PRACTICANDO EN CLASE

Problema 1: Determina la fórmula dimensional de “W”.

W = M. G. H Siendo; M : Masa G: aceleración H : altura a) MLT b) ML2T c) ML2T-2

d) MLT-1 e) MLT-2

Problema 2: Determina la fórmula dimensional de “X”.

X = B

A

Donde; A : distancia B : tiempo a) LT b) L2T c) LT-1 d) LT-2 e) T

Problema 3: Determina la fórmula dimensional de “X”.

X = A. B2 A : densidad B : área

a) ML b) ML2 c) MLT d) LT-1 e) L2M

Problema 4: Determina la fórmula dimensional de “Y”.

Y = T

U.P

P: peso U : tiempo T : trabajo a) LT b) L-1T c) LT-1 d) MLT e) ML-1T

Problema 5: Determina la fórmula dimensional de “R”.

R = C

B.A2

A: velocidad B : densidad C : energía a) L2 b) LT c) L3 d) LT-1 e) L-1 Problema 6: Determina la fórmula dimensional de “x”.

B.Ax

A: velocidad B: caudal a) LT b) LT-1 c) L2T d) L2T-1 e) LT2

Problema 7: Determine las dimensiones de “E” en la siguiente ecuación:

g.)sen(

DVE

2

D: Densidad, V: Velocidad, g: Aceleración a) ML-3 b) ML-1 c) L-2 d) LT-2 e) ML-2

Problema 8: Hallar “x”

x = asen30º

a = aceleración

a) LT b) L1/2 c) L1/2T-1

d) LT-1 e) N.A. Problema 9: La fórmula mostrada es dimensionalmente correcta. Indique las unidades de p.

A=B + pt B: distancia (m), t: tiempo (s) A) m/s2 B) m/s2 C) m/s D) m · J E) kg · m Problema 10: Para cierto movimiento, la velocidad de un cuerpo viene dada por la siguiente expresión:

determine la ecuación dimensional de:

𝐴×𝐶

𝐵

A) T-1 B) LT C) L-2

D) L2 E) T2 Problema 11: UNMSM 2013 – II

En la ecuación 𝐴×𝐶

𝐵 dimensionalmente correcta, H es la

altura, “a” es la rapidez, “b” es el radio y “c” es la

aceleración. Determine “x + y”. A) 1 B) -1 C) -2 D) 0 E) 2 Problema 12: UNI 2014 – II Sea 𝑓 = 𝐴 ∙ 𝑡𝑔[𝑘 ∙ 𝑥 − 𝜔 ∙ 𝑡 ∙ 𝐼𝑛(𝛿𝑡)] + 𝐵 una ecuación

dimensionalmente correcta. Dadas las siguientes proposiciones: I. f, A y B tienen las mismas dimensiones.

II. Si f es la magnitud de una fuerza y t es el tiempo, las dimensiones de

𝛿𝑡𝐵𝜔 son MLT-2.

III. Si x es el desplazamiento, las dimensiones del producto 𝑘 ∙ 𝑥 ∙ 𝐴 son

MLT-2, donde A es la magnitud de una fuerza. Son correctas:

A) Solo I B) Solo III C) I y II D) I y III E) II y III


PRACTICANDO EN CASA

Problema 1: Determina la fórmula dimensional de “x”.

P. X = R P : peso R : potencia

a) L b) MLT c) LT-1

d) MLT-1 e) ML

Problema 2: Determina la fórmula dimensional de “Y”.

W

Q

R

Y

R : impulso Q: caudal W : potencia

a) LT b) LT2 c) LT-2

d) L2T e) L2T-1

Problema 3: Calcula la fórmula dimensional de “x”.

C

B

X

A

A : potencia B : fuerza C : área

a) LT-1 b) L2T-2 c) L3T-1

d) L3T e) L2T3

Problema 4: Calcula la fórmula dimensional de “P”.

P = Q

H.V 2

V : velocidad H : altura Q : caudal a) L b) T c) LT-1 d) 1 e) T-1

Problema 5: Determina la fórmula dimensional de “x”.

B

AX

A : caudal B : velocidad a) L b) LT c) T d) L2 e) T2

Problema 6:

Halle la expresión de la ecuación dimensional de R, si:

r: radio; t: tiempo; u: aceleración

a) T2 b) M c) L2

d) LT-2 e) L1/2T2

Problema 7: Hallar [x] si:

22 xAWE

Donde: A = Potencia; W = Período

a) ML2T-3 b) LT-2 c) ML

d) ML-2 e) ML-3T2

Problema 8: Encontrar [ P ] en la ecuación:

t2

)KV(mP4

2

Donde: m = masa; V = Velocidad; t = tiempo a) ML b) ML2T-3 c) LT3 d) LT-3 e) ML-2T3

Problema 9: Si la siguiente fórmula física es dimensionalmente correcta. Hallar yx

1 yyx TLMP

Si P: presión.

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

Problema 10: UNMSM 2013 – I

La ecuación𝐴 =𝐹

𝑡+ 𝐵 es dimensionalmente correcta. Si “F”

representa la fuerza, y “t” el tiempo, halle la dimensión de “B” a) M LT-2 b) ML c) MLT d) MLT-3 e) LT-2

urt3

º60sen2R 2

NIVEL II Problema 1: Si la ecuación H = AB + BC + AC es dimensionalmente homogénea, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. [H] = [A]2 II. [B] = [C] III. [(AB)/c] = 1 a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) II y III Problema 2: Respecto a las ecuaciones dimensionales, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. ( ) Las ecuaciones físicas son dimensionalmente homogéneas. ( ) Las constantes en las ecuaciones físicas son adimensionales. ( ) Las cantidades físicas fundamentales son independientes entre sí. a) VVV b) FFV c) VFF d) VFV e) FVF

Problema 3: Si A y B son dos magnitudes físicas cualesquiera, diga cuál de las siguientes operaciones no son dimensionalmente permitidas. I. A/B II. Sen(A/B) III. A.B IV. 2AB V. ln(2A) a) Solo II b) Solo II y V c) Solo III d) Solo II y III e) II, IV y V Problema 4: La siguiente ecuación es representativa del efecto fotoeléctrico.

Vfren: voltaje de frenado

f: frecuencia de la radiación incidente f0: frecuencia umbral

q: cantidad de carga del electrón

Determine cuál de los siguientes alternativas expresa mejor las

unidades de h.

A) eVs– 1 B) eVs2 C) eVs D) eV2s E) e2Vs

Problema 4: La rapidez de una partícula en movimiento viene dada por la

siguiente expresión.

v=Ae – (Ktr+B)

t: tiempo r: radio de la partícula

Determine la ecuación dimensional de la siguiente expresión. 𝐀∙𝐊

𝐁

A) T – 2 B) LT – 1 C) T2 D) L2T – 2 E) L – 2T – 2

NIVEL III Problema 5:

Un fluido en movimiento satisface la siguiente ecuación:

Donde p2 se mide en Pascal (presión), r es densidad, h es altura, v es rapidez y g = 9,81 m/s2 . Halle (x + y).

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Problema 6:

Dadas las ecuaciones dimensionalmente homogéneas:

Es área y f es aceleración, halle la expresión dimensional

de Q. a) LT–1 b) L2 T–1 c) LT–2 d) LT e) L–1T Problema 7:

La rapidez de un líquido en un tubo cilíndrico es 𝑉 =𝑃

4𝑛𝐿(𝑅 2), donde p es presión R radio, L longitud. Halle la

dimensión de n.

a) ML–2T–1 b) ML–2T–4 c) ML–1T–1

d) ML–1T–2 e) M2 L–1T–1 Problema 8:

Dada la siguiente ecuación dimensionalmente

homogénea. Determine las dimensiones de "y" si A = longitud; t = tiempo.

a) L2/T b) L/T c) L/T2 d) L2/T3 e) L/T3 Problema 9:

La presión (p) que ejerce un fluido en movimiento, puede hallarse en cierto caso particular por:

donde; m = masa, t = tiempo, A = área; a = aceleración;

determine [k] en el sistema internacional de unidades.

a) LT–1 b) L2 T–1 c) L3 T d) L3 T–1 e) LT

Indicadores de logro:

Explica cómo se define una circunferencia, y cuáles son sus

elementos.

Resuelve problemas, utilizando los teoremas fundamentales.

ELEMENTOS

Centro O: Es el punto interior que equidista de la circunferencia.

Radio OA = R: Segmento que va del centro a

cualquier punto de la circunferencia.

Diámetro BC = 2R: Segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia. Es la cuerda máxima, divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencia.

Arco AC : Es la parte que esta delimitada por dos puntos de la circunferencia.

Cuerda PQ : Es un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.

Recta Secante L: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta Tangente L1: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.

Flecha o Sagita MN : Porción del radio. Punto de Tangencia: Punto de intersección entre la recta tangente y la circunferencia.

Teoremas Fundamentales:

Teorema 1: Siendo L una recta tangente y A el punto de tangencia se tiene que

L OA .

Teorema 2: Si se traza dos cuerdas paralelas AD y BC, los arcos AB y CD son de igual

medida. Si : AD//BC

Teorema 3: Si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda.

Teorema 4: Los segmentos tangentes trazados desde de un punto B exterior a una circunferencia son iguales.

Si: OA es radio. Entonces

Entonces:

Si : BC OA

Entonces:

Si: A y C son puntos de tangencia Entonces:

Longitud de una circunferencia.

Esa relación numérica entre circunferencia y diámetro fue descubierta

por griegos y babilónicos y se le denomina con la letra griega (pi).

CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de los puntos pertenecientes a un mismo plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro, ubicado en el mismo plano

CÍRCULO Superficie determinada por la unión de una circunferencia y su región interior

LONGITUD DE LA CIRCUNFRERENCIA

ÁREA DEL CÍRCULO

OTRAS FIGURAS

CIRCULARES

R R

C

A

Q

L1

R

R

A

L

O R

C B

A D A

C

B

O F

C

A

B

Posiciones Relativas de una circunferencia y una recta:

Barras de herramientas

Entonces, conociendo el diámetro o el radio podemos calcular la

longitud de la circunferencia.

A través de la historia se ha buscado una aproximación decimal cada vez

más cercana de ese número, manejándose actualmente hasta un millón

de cifras. Comúnmente utilizamos el 3,14 truncando el resto de las cifras

Dibujando una circunferencia y determinando su perímetro y el área del círculo.

Ingrese al programa, podemos dibujar una circunferencia, de la siguiente manera:

Haciendo clic, en el botón circunferencia dado su centro y uno de sus puntos.

Hacer clic y arrastrar en la hoja de vista gráfica.

Haciendo clic, en el botón circunferencia dado su centro y

radio. Hacemos clic en vista gráfica y escribimos la longitud del radio.

Ahora calculamos el perímetro y área de una circunferencia:

Clic en el botón distancia o longitud (clic en la circunferencia)

Clic en el botón área (el área del circulo).

Clic en el botón vector entre dos puntos(dibujar el radio de A hacia B)

Luego Clic en el botón distancia o longitud (luego clic en el radio).

Ejercicios Resueltos

1. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “n”.

A

P

2n -20

n + 15

CONSTRUYENDO CIRCUNFERENCIAS CON GEOGEBRA:

PRACTICA CON GEOGEBRA:

Traza rectas tangentes y secantes a la circunferencia.

Comprueba los teoremas fundamentales. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud entre el doble del radio?

Resolución:

por el teorema 4. Las dos rectas tangentes son de igual longitud:

2n -20 = n + 15

n = 35

2. Calcular : “x”

Resolución:

Del gráfico

x = 4 + 5

3. Calcular “OP”, si AB = 6 y r = 5

Resolución:

Aplicamos Teorema de Pitágoras en del triángulo OPA

41635 22 OP

OP = 4

4. Calcula el ángulo TOA, si AT es tangente. Resolución: Por propiedad el radio con la tangente forman un ángulo de 90°.


Resolución:

Del gráfico:

x = 5

PRACTICANDO EN CLASE:

1. Identifica: Considera la circunferencia de centro O y

completa la siguiente tabla.

mTOA = 70°

A 20°

O

T

A 20°

O

T

70° 5

x

4

O

x

12

O

B

P

A

r

5

x

4

5

4

3

3

O

B

P

A

5

O

7 x

12

7

7

7

2. Determina si las siguientes expresiones son

verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arcos. b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio. c) Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos. d) Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia. e) El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida

3. Se quiere fabricar una tapa cuadrada para

almacenar un CD que tiene 6cm de radio. ¿cuál debe ser la medida más pequeña de ese lado?

4. Calcula la longitud de cada circunferencia,

sabiendo la medida del radio (r) . Considere = 3,14

i) r = 4cm ii) r = 0,5cm iii) r = 7/2 cm

5. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula

“x”.




9. Calcular “x”, AB // CD


11. Si: r = 3; calcula “x”.

A P

B O r

x

5

x

4

C

A B

D

9

x

4

O

3 x

15 A

B

P

60

6x

A

P

2n -20

n + 15

3

9

x

12. Calcular “OP”, si AB = 6 y r = 5

18. Calcular “AB”; si: AP = 5; PC = 4; PD = 8

Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD

19. Hallar “PC”, si: AB = 5 y BC = 4

𝑆𝑢𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑃𝐶2 = 𝐵𝐶𝐴𝐶


PRACTICANDO EN CASA

1. Vea la posición de los jugadores y responda en su

cuaderno:

i) ¿Cuál de los jugadores, está más cerca a la pelota, y cual está más lejos?

Màs cerca està Javier

Màs lejos està Juan. ii) ¿Cuáles de los jugadores está a la misma

distancia del balón?

Luis y Segundo

2. Calcula la longitud de cada circunferencia,

sabiendo la medida del radio (r) . 𝐿𝑜 = 2( )(𝑟)

I) r = 9cm 𝐿𝑜 = 2(3,14) (9) = 56,52𝑐𝑚

ii) r = 1,7 cm 𝐿𝑜 = 2(3,14)(1,7) = 10,676𝑐𝑚

iii) r = 100 cm 𝐿𝑜 = 2(3,14)(100) = 628 𝑐𝑚

Considere = 3,14

3. calcula el radio de cada circunferencia,

sabiendo la medida de la longitud (l) es:

O

B

P

A

r

Autoevaluación: marca con una X

Identificas los elementos de una circunferencia.

Comparas entre una circunferencia y círculo.

Utilizas correctamente los teoremas fundamentales de la circunferencia.

Resuelves ejercicios y problemas, interpretando los enunciados

𝑅 =𝐿𝑜

2𝜋

i) l = 28,26cm 𝑅 =28,26

6,28= 4,5𝑐𝑚

ii) l = 6,28cm 𝑅 =6,28

6,28= 1𝑐𝑚

ii) l = 31,4 cm 𝑅 =31,4

6,28= 5𝑐𝑚

Considere = 3,14

4. Resuelve: Una pista de baile circular tiene un

área de 50,24 m2 ¿qué distancia tendría que

recorre una persona que cruza la pista desde un

extremo a otro pasando por el centro de ella?

Considere = 3,14

Por dato: 𝐴𝑜 = 𝜋𝑅 2 = 50,24𝑐𝑚2

de donde: 𝑅 = 4cm

nos piden el diàmetro: 𝐷 = 2𝑅 = 𝟖cm


a) 50

b) 40

c) 30 d) 60

e) 70


a) 5

b) 4 c) 3

d) 6

e) 7


a) 160

b) 80

c) 100 d) 90

e) 70

8. Calcular “x”

a) 20

b) 30 c) 40

d) 50

e) 10

9. Si: r = 10, OP = 6. Calcular AB

a) 15

b) 7,5

c) 30 d) 16

e) 8

10. Calcular AB, si BC = 3 , r = 8

a) 5

b) 10

c) 6 d) 7

e) 9


a) 40 b) 70

c) 50

d) 60 e) 80


a) 140

b) 100

140

O

x

15

8

x

C

A B

D

120

x

80

O

x

160

r O P

B

A

r

A B C

B

A

x P

110

x

70 O

c) 110

d) 120 e) 130


a) 6

b) 7 c) 8

d) 9

e) 10

14. Calcular : “BP”

a) 15

b) 12 c) 16

d) 11

e) 14

15. En la figura, calcular x - y, si: AB = 20, BC = 18

a) 2

b) 3

c) 4

d) 7

e) 10


a) 10 b) 15 c) 20

d) 25 e) 30

17. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “x”.

a) 3 b) 6 c) 8

d) 9 e) 12

18. En la figura, calcular x , si: y = 8, AB = 12

a) 2

b) 3

c) 4

d) 7

e) 8

19. Calcular “AB”; si: AP = 3; PC = 2; PD = 6

Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


Sugerencia: PC2 = BCAC

a) 9 b) 12 c) 15

d) 16 e) 63

O

x 6

15

A B

P

8 9

A

B

P

3n -22

n +8

A

B

P

X2 - 2

7

Metacognición: ¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad. ¿Por qué? ___________________________________________ ¿Qué tipos de ejercicios o problemas te resultan difíciles

de entender? ___________________________________________ ¿En qué situaciones de mi entorno aplicaré lo aprendido? ___________________________________________ ¿Qué estrategias utilicé para superar mis dificultades? ___________________________________________

Tema 2 Análisis dimensional tercero 2016

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