Tema 3 Analisis vectorial parte i tercero 2016-la

MAGNITUDES VECTORIALES: Algunas de las magnitudes que utilizamos para describir los fenómenos sólo requieren un número y una unidad para quedar definidas. Por ejemplo: Para indicar la temperatura del cuerpo humano basta con escribir 37 °C. En este caso, se requiere el número 37 y la unidad °C; a esta magnitud se le llama magnitud escalar. Otras magnitudes no se pueden representar solamente con un número seguido de una unidad. Por ejemplo: Para indicar la velocidad promedio del tren eléctrico de lima se debe conocer la rapidez con que se mueve (40km/h), la cual se describe mediante un número y una unidad, pero también se necesita la dirección del movimiento (de sur a norte). A estas magnitudes que tienen número, unidad y dirección se les conoce como magnitudes vectoriales. DIFERENCIA DE DOS VECTORES:

VECTOR: Un vector es un segmento dirigido cuya longitud es proporcional al valor numérico de la medida que representa. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de vectores

Módulo o Magnitud: se refiere a la longitud del segmento, por lo que siempre va a ser positivo. Dirección: es la recta directriz sobre la que se apoya el vector. Representa la inclinación del vector. Sentido: está determinada por la orientación de la flecha situada al final del segmento.

OPERACIONES CON VECTORES: Debemos tener presente que para realizar operaciones con vectores, estos deben ser de la misma naturaleza. SUMA DE VECTORES:

I. Para dos vectores con el mismo sentido; la resultante se obtiene sumando los módulos de los vectores.

II. Para dos vectores con sentidos opuestos; la resultante se obtiene restando los módulos de los vectores.

III. Para dos vectores perpendiculares; la resultante se obtiene

aplicando el teorema de Pitágoras.

IV. Para dos vectores que forman un ángulo cualquiera, la resultante

se obtiene aplicando el método del paralelogramo.

Conoce y diferencia entre magnitudes derivadas y fundamentales.

Aplica el principio de homogeneidad en la resolución de problemas.

Establece si una ecuación es dimensionalmente homogénea.

Lic. Manuel Manay Fernández

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:

|�⃗⃗� | = 𝟔 |𝟐�⃗⃗� | = 𝟏𝟐 |�⃗⃗�

𝟐| = 𝟑

TIPOS DE VECTORES:

Vectores Coplanares: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano.

Vectores Colineales: Si se encuentran sobre la misma línea de acción.

Vectores Concurrentes: Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto.

Vectores Paralelos Cuando las líneas de acción son paralelas

Vectores Opuesto: Son iguales en tamaño (Módulo) pero sentidos opuestos

Vectores Iguales: Si sus 3 elementos son iguales (módulo, dirección y sentido).

Vector Nulo: Es aquel que tiene como módulo

al cero. Si �⃗⃗� es nulo, entonces |�⃗⃗� | = 𝟎

MÉTODO DEL POLÍGONO:

Nos permite determinar la resultante de varios vectores.

Procedimiento:

Trasladamos los vectores y los colocamos uno a continuación de otro

(extremo de un vector en el origen del otro vector).

El vector resultante (�⃗⃗� ) se obtiene uniendo el origen del primer vector

con el extremo del último vector. Sean los vectores Aplicando el método del polígono:

DESCOMPOSICIÓN RECTÁNGULAR DE UN VECTOR:

Es la representación de un vector en función de otros vectores (llamados componentes) ubicados sobre dos direcciones mutuamente perpendiculares.

POLÍGONO CERRADO: Este es un caso en donde el origen del primer vector coincide con el extremo del último vector.

Recuerda que el módulo de un vector es siempre positivo.

Recuerda que los vectores se suman geométrica-mente y no algebraicamente.

Método para hallar la resultante usando descomposición

Paso 1: Los vectores que se sumarán se disponen partiendo del origen de coordenadas.

Paso 2: Los vectores inclinados respecto a los ejes se

reemplazan por sus componentes rectangulares. Paso 3: Se calcula la resultante en el eje X, así como la

resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente las componentes en cada eje.

Paso 4: Se calcula finalmente el módulo y dirección de la resultante, así:


PRACTICANDO EN CLASE: Problema 1: Determina la resultante de los vectores mostrados:

a) 17 b) 11 c) 7 d) 5 e) 1 Problema 2:

Halla C B A R

Si: 5|C|,3|B|4|A|

a) 2 b) 6 c) 12 d) 8 e) 4

Problema 3: Determina:

B A2 R ; si: 5|B|3|A|

a) 13 b) 8 c) 11 d) 6 e) 5

Problema 4: Determina la resultante:

a) 13 b) 12 c) 10 d) 5 e) 0 Problema 5: Si la Rmáx de 2 vectores es 17 y la resultante mínima 7. Hallar el módulo de dichos vectores. a) 2 y 5 b) 10 y 7 c) 5 y 12 d) 8 y 9 e) 13 y 4

Problema 6: En el sistema siguiente, halla : “x”, si la resultante es horizontal

a) 9 b) 12 c) 18 d) 7 e) 2 Problema 7: Determinar el vector resultante:

a) d2 b) a c) a2 d) b2 e) c Problema 8:

Hallar el módulo del vector resultante:

a) 8 b) 15 c) 14 d) 7 e) 2 Problema 9:

Hallar la magnitud de la resultante.

a) 40cm b) 50 c) 55 d) 60 e) 75

Problema 10: Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados:

a) 10√6 b) 10√19 c) 10√13

d) 10√29 e) 50


PRACTICANDO EN CASA

Problema 1: Determina la resultante:

a) 20 b) 6 c) 2 d) 8 e) 14 Problema 2:

Halla: C B A R

Si: 6|C|4|B|7|A|

a) 5 b) 13 c) 9 d) 3 e) 17 Problema 3: Determina la resultante:

CB3A2R

Si : 6|C|3|B|4|A|

a) 12 b) 17 c) 5 d) 11 e) 7 Problema 4: La mínima resultante de dos vectores es 3u. Cuando forman

60º entre sí su resultante es 93 . Calcula el valor de los

vectores a) 12 y 9 b) 8 y 5 c) 7 y 4 d) 6 y 3 e) 3 y 4 Problema 5: Determina la resultante:

a) 10 b) 8 c) 15 d) 3 e) 4

Problema 6: Determinar el vector resultante:

a) d3 b) f3 c) a2 d) b2 e) c3

Problema 7: Calcular la magnitud de la resultante.

a) 1 b) 2 c) √2 d) 2√2 e) 3 Problema 8:

En el sistema de vectores que se muestra se sabe que el

vector resultante del sistema, está ubicado en el eje Y. Determine el módulo del vector resultante.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Problema 9:

Determinar la medida del ángulo "θ" para que el vector resultante del conjunto de vectores mostrados sea horizontal.

A) 30° B) 45° C) 37° D) 60° E) 53°

NIVEL II Problema 1:

Determine |�̅� + �̅�|.

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

Problema 2:

En la figura se muestran un sistema de vectores.

Determine las relaciones correctas:

A) Solo I B) I y II C) II y III D) Ninguno E) Todos Problema 3:

Dados los vectores mostrados, determine |�̅� + �̅�|. Se sabe que P = 5 y Q = 3

a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 Problema 4: La resultante de los dos vectores mostrados en la figura es.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

NIVEL III Problema 5:

Se muestran los vectores 𝐴 , �⃗� ,𝐶 𝑌 �⃗⃗� . Si D = 8 y C = 3,

halle el módulo de la resultante.

a) 14 b) 18 c) 20 d) 24 e) 30 Problema 6:

Si la resultante de los vectores dados se encuentran en el eje x y la magnitud de A = 10, entonces el módulo de B

es:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16 Problema 7:

Determine el módulo del vector resultante:

Problema 8: En el siguiente sistema de vectores, se pide expresar x en función de A

y Bm y n son puntos medios de 𝑐𝑛̅̅ ̅ y 𝑎𝑏̅̅ ̅ respectivamente.

Indicadores de logro:

Explica cómo se define una circunferencia, y cuáles son sus

elementos.

Resuelve problemas, utilizando los teoremas fundamentales.

ELEMENTOS

Centro O: Es el punto interior que equidista de la circunferencia.

Radio OA = R: Segmento que va del centro a

cualquier punto de la circunferencia.

Diámetro BC = 2R: Segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia. Es la cuerda máxima, divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencia.

Arco AC : Es la parte que esta delimitada por dos puntos de la circunferencia.

Cuerda PQ : Es un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.

Recta Secante L: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta Tangente L1: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.

Flecha o Sagita MN : Porción del radio. Punto de Tangencia: Punto de intersección entre la recta tangente y la circunferencia.

Teoremas Fundamentales:

Teorema 1: Siendo L una recta tangente y A el punto de tangencia se tiene que

L OA .

Teorema 2: Si se traza dos cuerdas paralelas AD y BC, los arcos AB y CD son de igual

medida. Si : AD//BC

Teorema 3: Si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda.

Teorema 4: Los segmentos tangentes trazados desde de un punto B exterior a una circunferencia son iguales.

Si: OA es radio. Entonces

Entonces:

Si : BC OA

Entonces:

Si: A y C son puntos de tangencia Entonces:

Longitud de una circunferencia.

Esa relación numérica entre circunferencia y diámetro fue descubierta

por griegos y babilónicos y se le denomina con la letra griega (pi).

CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de los puntos pertenecientes a un mismo plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro, ubicado en el mismo plano

CÍRCULO Superficie determinada por la unión de una circunferencia y su región interior

LONGITUD DE LA CIRCUNFRERENCIA

ÁREA DEL CÍRCULO

OTRAS FIGURAS

CIRCULARES

R R

C

A

Q

L1

R

R

A

L

O R

C B

A D A

C

B

O F

C

A

B

Posiciones Relativas de una circunferencia y una recta:

Barras de herramientas

Entonces, conociendo el diámetro o el radio podemos calcular la

longitud de la circunferencia.

A través de la historia se ha buscado una aproximación decimal cada vez

más cercana de ese número, manejándose actualmente hasta un millón

de cifras. Comúnmente utilizamos el 3,14 truncando el resto de las cifras

Dibujando una circunferencia y determinando su perímetro y el área del círculo.

Ingrese al programa, podemos dibujar una circunferencia, de la siguiente manera:

Haciendo clic, en el botón circunferencia dado su centro y uno de sus puntos.

Hacer clic y arrastrar en la hoja de vista gráfica.

Haciendo clic, en el botón circunferencia dado su centro y

radio. Hacemos clic en vista gráfica y escribimos la longitud del radio.

Ahora calculamos el perímetro y área de una circunferencia:

Clic en el botón distancia o longitud (clic en la circunferencia)

Clic en el botón área (el área del circulo).

Clic en el botón vector entre dos puntos(dibujar el radio de A hacia B)

Luego Clic en el botón distancia o longitud (luego clic en el radio).

Ejercicios Resueltos

1. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “n”.

A

P

2n -20

n + 15

CONSTRUYENDO CIRCUNFERENCIAS CON GEOGEBRA:

PRACTICA CON GEOGEBRA:

Traza rectas tangentes y secantes a la circunferencia.

Comprueba los teoremas fundamentales. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud entre el doble del radio?

Resolución:

por el teorema 4. Las dos rectas tangentes son de igual longitud:

2n -20 = n + 15

n = 35

2. Calcular : “x”

Resolución:

Del gráfico

x = 4 + 5

3. Calcular “OP”, si AB = 6 y r = 5

Resolución:

Aplicamos Teorema de Pitágoras en del triángulo OPA

41635 22 OP

OP = 4

4. Calcula el ángulo TOA, si AT es tangente. Resolución: Por propiedad el radio con la tangente forman un ángulo de 90°.


Resolución:

Del gráfico:

x = 5

PRACTICANDO EN CLASE:

1. Identifica: Considera la circunferencia de centro O y

completa la siguiente tabla.

mTOA = 70°

A 20°

O

T

A 20°

O

T

70° 5

x

4

O

x

12

O

B

P

A

r

5

x

4

5

4

3

3

O

B

P

A

5

O

7 x

12

7

7

7

2. Determina si las siguientes expresiones son

verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arcos. b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio. c) Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos. d) Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia. e) El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida

3. Se quiere fabricar una tapa cuadrada para

almacenar un CD que tiene 6cm de radio. ¿cuál debe ser la medida más pequeña de ese lado?

4. Calcula la longitud de cada circunferencia,

sabiendo la medida del radio (r) . Considere = 3,14

i) r = 4cm ii) r = 0,5cm iii) r = 7/2 cm

5. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula

“x”.




9. Calcular “x”, AB // CD


11. Si: r = 3; calcula “x”.

A P

B O r

x

5

x

4

C

A B

D

9

x

4

O

3 x

15 A

B

P

60

6x

A

P

2n -20

n + 15

3

9

x

12. Calcular “OP”, si AB = 6 y r = 5

18. Calcular “AB”; si: AP = 5; PC = 4; PD = 8

Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD

19. Hallar “PC”, si: AB = 5 y BC = 4

𝑆𝑢𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑃𝐶2 = 𝐵𝐶𝐴𝐶


PRACTICANDO EN CASA

1. Vea la posición de los jugadores y responda en su

cuaderno:

i) ¿Cuál de los jugadores, está más cerca a la pelota, y cual está más lejos?

Màs cerca està Javier

Màs lejos està Juan. ii) ¿Cuáles de los jugadores está a la misma

distancia del balón?

Luis y Segundo

2. Calcula la longitud de cada circunferencia,

sabiendo la medida del radio (r) . 𝐿𝑜 = 2( )(𝑟)

I) r = 9cm 𝐿𝑜 = 2(3,14)(9) = 56,52𝑐𝑚

ii) r = 1,7 cm 𝐿𝑜 = 2(3,14)(1,7) = 10,676𝑐𝑚

iii) r = 100 cm 𝐿𝑜 = 2(3,14)(100) = 628 𝑐𝑚

Considere = 3,14

3. calcula el radio de cada circunferencia,

sabiendo la medida de la longitud (l) es:

O

B

P

A

r

Autoevaluación: marca con una X

Identificas los elementos de una circunferencia.

Comparas entre una circunferencia y círculo.

Utilizas correctamente los teoremas fundamentales de la circunferencia.

Resuelves ejercicios y problemas, interpretando los enunciados

𝑅 =𝐿𝑜

2𝜋

i) l = 28,26cm 𝑅 =28,26

6,28= 4,5𝑐𝑚

ii) l = 6,28cm 𝑅 =6,28

6,28= 1𝑐𝑚

ii) l = 31,4 cm 𝑅 =31,4

6,28= 5𝑐𝑚

Considere = 3,14

4. Resuelve: Una pista de baile circular tiene un

área de 50,24 m2 ¿qué distancia tendría que

recorre una persona que cruza la pista desde un

extremo a otro pasando por el centro de ella?

Considere = 3,14

Por dato: 𝐴𝑜 = 𝜋𝑅2 = 50,24𝑐𝑚2

de donde: 𝑅 = 4cm

nos piden el diàmetro: 𝐷 = 2𝑅 = 𝟖cm


a) 50

b) 40

c) 30 d) 60

e) 70


a) 5

b) 4 c) 3

d) 6

e) 7


a) 160

b) 80

c) 100 d) 90

e) 70

8. Calcular “x”

a) 20

b) 30 c) 40

d) 50

e) 10

9. Si: r = 10, OP = 6. Calcular AB

a) 15

b) 7,5

c) 30 d) 16

e) 8

10. Calcular AB, si BC = 3 , r = 8

a) 5

b) 10

c) 6 d) 7

e) 9


a) 40 b) 70

c) 50

d) 60 e) 80


a) 140

b) 100

140

O

x

15

8

x

C

A B

D

120

x

80

O

x

160

r O P

B

A

r

A B C

B

A

x P

110

x

70 O

c) 110

d) 120 e) 130


a) 6

b) 7 c) 8

d) 9

e) 10

14. Calcular : “BP”

a) 15

b) 12 c) 16

d) 11

e) 14

15. En la figura, calcular x - y, si: AB = 20, BC = 18

a) 2

b) 3

c) 4

d) 7

e) 10


a) 10 b) 15 c) 20

d) 25 e) 30

17. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “x”.

a) 3 b) 6 c) 8

d) 9 e) 12

18. En la figura, calcular x , si: y = 8, AB = 12

a) 2

b) 3

c) 4

d) 7

e) 8

19. Calcular “AB”; si: AP = 3; PC = 2; PD = 6

Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


Sugerencia: PC2 = BCAC

a) 9 b) 12 c) 15

d) 16 e) 63

O

x 6

15

A B

P

8 9

A

B

P

3n -22

n +8

A

B

P

X2 - 2

7

Metacognición: ¿En cuál de los temas tuve mayor dificultad. ¿Por qué? ___________________________________________ ¿Qué tipos de ejercicios o problemas te resultan difíciles

de entender? ___________________________________________ ¿En qué situaciones de mi entorno aplicaré lo aprendido? ___________________________________________ ¿Qué estrategias utilicé para superar mis dificultades? ___________________________________________

Tema 3 Analisis vectorial parte i tercero 2016-la

Education

Transcript of Tema 3 Analisis vectorial parte i tercero 2016-la