TEMA 8: DEFORMACIONES -...

TEMA 8: DEFORMACIONES

ENRIQUE DE JUSTO MOSCARDÓANTONIO DELGADO TRUJILLOANTONIA FERNÁNDEZ SERRANOMARÍA CONCEPCIÓN BASCÓN HURTADO

Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería de Terreno. E. T. S. de Arquitectura. Universidad de Sevilla.

ESTRUCTURAS 1

[0] OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

[1] DEFINICIÓN [1.1]Deformación [1.2]Parámetros que intervienen en la deformación

[2] TIPOS DE DEFORMACIONES [2.1]Deformación en la barra [2.2]Relación entre la deformación en la barra y en la rebanada [2.3]Deformación en la rebanada [2.4]Relación entre la deformación en la rebanada y en el elemento diferencial [2.5]Deformación en el elemento diferencial

[3] DEFORMACIONES DEL AXIL [3.1]Definición y cálculo

[4] DEFORMACIONES DE FLEXIÓN [4.1]Definición

[5] DEFORMACIONES DE AXIL + FLEXIÓN [5.1]Definición

[6] EJEMPLOS DE FLECHAS Y GIROS EN PÓRTICOS [6.1]Pórtico aislado [6.2]Pórtico de varios vanos

[7] PRONTUARIO DE GIROS Y FLECHAS [7.1]Vigas isostáticas [7.2]Vigas hiperestáticas [7.3]Viga continua de dos vanos [7.4]Viga continua de tres vanos

[8] COMPARACIÓN DE FLECHA: VIGA BIAPOYADA Y MÉNSULA [8.1]Ejemplo

ÍNDICE1

• Describir las deformaciones que prodecen los esfuerzos (axil, cortante y flector) en la barra, la rebanada y el elemento diferencial.

• Calcular el alargamiento de una barra debido al axil.• Calcular los giros y las flechas en una barra a flexión utilizando prontuarios de vigas.

0_OBJETIVOS DE APRENDIZAJE2

[1.1] DEFORMACIÓN:

LA DEFORMACIÓN ES EL CAMBIO DE FORMA O TAMAÑO QUE SE PRODUCE EN UN CUERPO COMO CONSECUENCIA DE LAS TENSIONES GENERADAS EN ÉL.

EN UN ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZO AXIL, LA DEFORMACIÓN ES EL ALARGAMIENTO UNITARIO QUE SUFRE LA PIEZA BAJO LA ACCIÓN DE LA CARGA.

DEFORMACIÓN ε = ΔL/L

LA DEFORMACIÓN ES UNA MAGNITUD ADIMENSIONAL.

UNA DEFORMACIÓN ε DE 0.001 (1/1000) EQUIVALE A UN ALARGAMIENTO DE 1mm EN UNA BARRA DE 1m DE LONGITUD.

1_DEFINICIÓN

ΔL

P

L

P

EJEMPLO: DEFORMACIÓN NORMAL DE UNA BARRA CON ESFUERZO AXIL

3

[1.2] PARÁMETROS QUE INTERVIENEN EN LA DEFORMACIÓN:

• Módulo de Elasticidad E

El módulo de elasticidad es un parámetro que depende del material de que esté hecha la barra, y mide la 2resistencia a la deformación que ofrece el material bajo la acción de una fuerza. Se mide en N/mm .

Cuanto mayor es el módulo de elasticidad, más difícil es deformar el material.

Por ejemplo el módulo de Elasticidad del acero es aprox.10 veces mayor que el del hormigón (E » 30000 horm2 2N/mm y E = 210000 N/mm ). Ello implica que el hormigón se deforma 10 veces más que el acero para una acero

misma fuerza.

• Área de la sección A

2El área de la sección transversal (en mm ) es un parámetro que depende de la sección o perfil de la barra. Tiene una influencia importante en las deformaciones de axil de la barra.

Por ejemplo, en una sección rectangular de ancho b y canto h, la sección transversal será A = b·h.

• Momento de Inercia I

4El momento de Inercia (en mm ) es un parámetro que depende de la sección o perfil de la barra. Tiene una influencia importante en las deformaciones de flexión de la barra.

Por ejemplo, en una sección rectangular, el momento de inercia respecto al eje y (eje horizontal de la sección) es I 2= b·h /12

1_DEFINICIÓN4

h

b

h

b

Eje y

[2.1] DEFORMACIÓN EN LA BARRA:

HAY DOS TIPOS DE DEFORMACIONES POSIBLES EN UNA BARRA:

- DE AXIL [LA BARRA SE ALARGA O SE ACORTA]

- DE FLEXIÓN [LA BARRA SE CURVA]

2_TIPOS DE DEFORMACIONES

ΔLL

L

LA BARRA SE ALARGA

LA BARRA SE CURVA

NOTA: EL CORTANTE TAMBIÉN PROVOCA DEFORMACIONES, PERO ESTAS SON MUY PEQUEÑAS Y SE DESPRECIAN EN GENERAL.

5

[2.2] RELACIÓN ENTRE LA DEFORMACIÓN EN LA BARRA Y EN LA REBANADA:

2_TIPOS DE DEFORMACIONES

L

L+ΔL

6

[2.3] DEFORMACIÓN EN LA REBANADA:

Eje Neutro

CDG

TODAS LAS FIBRAS SE ALARGAN DISTORSIÓN ANGULAR EN LA REBANADA LAS FIBRAS SUPERIORES SE ACORTAN

LAS FIBRAS INFERIORES SE ALARGAN

e.n

CON AXIL: - LAS CARAS DE LA REBANADA SE SEPARAN

CON CORTANTE: - LAS CARAS DE LA REBANADA SE DESPLAZAN VERTICALMENTE

CON FLECTOR: - LAS CARAS DE LA REBANADA GIRAN

2_TIPOS DE DEFORMACIONES7

[2.4] RELACIÓN ENTRE LA DEFORMACIÓN EN LA REBANADA Y EN EL ELEMENTO DIFERENCIAL:

AXIL CORTANTE FLECTOR


γ

γ

[2.5] DEFORMACIÓN EN EL ELEMENTO DIFERENCIAL:

LAS TENSIONES NORMALES [ ] DAN LUGAR A ALARGAMIENTOS MIENTRAS QUE LAS TENSIONES TANGENCIALES [ ] PROVOCAN DISTORSIONES ANGULARES.

SIENDO:

Δdx= INCREMENTO DE LONGITUD DEL

ELEMENTO DIFERENCIAL

= TENSIÓN NORMAL

dx= LONGITUD DEL ELEMENTO DIFERENCIAL

E= MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL MATERIAL

ALARGAMIENTO UNITARIO

ε = Δdx/dx = /E

[A] DEFORMACIÓN AXIAL O ALARGAMIENTO UNITARIO

SIENDO:

= TENSIÓN TANGENCIAL

G = MÓDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL

DEL MATERIAL

DISTORSIÓN ANGULAR

γ= /G

[B] DISTORSIÓN ANGULAR

dx

dx+Δdx

LAS DEFORMACIONES SON, EN AMBOS CASOS, PROPORCIONALES A LAS TENSIONES.


[3.1] DEFINICIÓN Y CÁLCULO:

DEBIDO AL ESFUERZO AXIL, LA BARRA SUFRE UN INCREMENTO DE LONGITUD ΔL (ALARGAMIENTO O ACORTAMIENTO).

DICHO INCREMENTO DE LONGITUD ES PROPORCIONAL AL AXIL QUE SOPORTA LA BARRA, Y SE CALCULA COMO:

3_DEFORMACIONES DE AXIL

L L

ΔL

N

SIENDO:

E= MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL MATERIAL

A= ÁREA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL

ÁREA DEL DIAGRAMA DE AXIL = ÁREA ENCERRADA POR EL

DIAGRAMA DE AXIL DE LA BARRA

SI EL AXIL ES CONSTANTE:

INCREMENTO DE LONGITUD

N·LE·A

ΔL= ÁREA DEL DIAGRAMA DE AXIL / E·A

ΔL= ÁREA DEL DIAGRAMA DE AXIL / E·A =

ÁREA

DEL

DIA

GRA

MA

DE A

XIL

10

[4.1] DEFINICIÓN:

DEBIDO AL MOMENTO FLECTOR, LA BARRA SE CURVA.

PARA CUANTIFICAR LAS DEFORMACIONES DE FLEXIÓN, SE CALCULAN:

- GIRO: EL GIRO EN UN PUNTO ES EL ÁNGULO QUE FORMA LA TANGENTE A LA DEFORMADA EN ESE PUNTO CON LA

DIRECCIÓN ORIGINAL DE LA BARRA. ES UNA MEDIDA DE LO QUE LA BARRA HA GIRADO AL DEFORMARSE.

- FLECHA: LA FLECHA EN UN PUNTO ES EL DESPLAZAMIENTO DE ESE PUNTO EN DIRECCIÓN PERPENDICULAR A LA DIRECTRIZ

DE LA BARRA.

4_DEFORMACIONES DE FLEXIÓN

fB

θB

θA

GIRO EN A

FLECHA EN B

A B

fB

B

A

GIRO Y FLECHA EN B

11

[5.1] DEFINICIÓN:

EN LA ESTRUCTURA DE LA FIGURA, FORMADA POR UNA VIGA ARTICULADA A DOS PILARES:

- LOS PILARES SE ACORTAN [DEFORMACIÓN DE AXIL]

- LA VIGA SE CURVA [DEFORMACIÓN DE FLEXIÓN]

-EL DESPLAZAMIENTO TOTAL DEL PUNTO B TIENE UNA COMPONENTE DEBIDA AL ACORTAMIENTO DE LOS PILARES, Y OTRA DEBIDA A LA FLEXIÓN DE LA VIGA.

SE ACORTA

B

SE ACORTAB´

FLECTA

ΔLΔL

fB

ΔL

DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE B = ΔL + fB

5_DEFORMACIONES DE AXIL + FLEXIÓN12

[6.1] PÓRTICO AISLADO:

θA B

θA

DfD E fE

θC

θC

A C

fB

NOTA:

COMO LA UNIÓN VIGA-PILAR ES UN NUDO RÍGIDO, SE CONSERVA EL ÁNGULO RECTO EN LA DEFORMADA.

EL ACORTAMIENTO DE LOS PILARES (DEBIDO AL AXIL DE COMPRESIÓN) ES INAPRECIABLE EN COMPARACIÓN CON LA FLECHA DE FLEXIÓN.

Tangente

Tangente

Tangente

Tangente

6_EJEMPLOS DE FLECHAS Y GIROS EN PÓRTICOS13

[6.2] PÓRTICO DE VARIOS VANOS:

STAHL HOUSE _PIERRE KOENING

A CB D E F G

H

I J

fB fD fF

fH

fJ

A θA

θA

CθC ~ 0

G

θG

θG

θG

6_EJEMPLOS DE FLECHAS Y GIROS EN PÓRTICOS14

7_PRONTUARIO DE GIROS Y FLECHAS

GIRO SECCIÓN “A” GIRO SECCIÓN “B” FLECHA SECCIÓN “C”

θA

A B

θB

fC

C

L/2 L/2

θA

A B

θB

fC

C

a b

P

P

θA

A B

θB

fC

C

L

L

q

P·L²

16·E·I P·L³ fC =

48·E·I

θA = θB =

q·L³ θA =

24·E·I θB =

5·q·L fC =

384·E·I

P·a·b

6·L·E·I ·(L+b)

4

P·L²

16·E·I θA = θB =

6·L·E·I ·(L+a)

P·a·b

q·L³

24·E·I

P·a fC = 3·L·E·I

b·(L+a)

3

3/2

·

siendo a<b

+ +

+

CRITERIO DE SIGNOS

GIROS FLECHAS

[7.1] VIGAS ISOSTÁTICAS:

15

θA

A BθB

fC

C

L

M

M M

L

θA

A B

θB

fC

C

M·L

3·E·I

θA = θB = M·L

2·E·I

M·L

6·E·I θA = θB =

M·L

2·E·I fC =

M·L²

8·E·I

GIRO SECCIÓN “A” GIRO SECCIÓN “B” FLECHA SECCIÓN “C”

fC = M·L²

16·E·I


+ +

+

CRITERIO DE SIGNOS

GIROS FLECHAS

fC = q·L

10³·E·I

A B

q

θA θB

fC

C

a b

L

q·a² θA =

24·L·E·I

2 (L+b) q·a² θB =

24·L·E·I (2L²+a²)

siendo a<b

4 68 a 5 L

( · ) 68 123

7_PRONTUARIO DE GIROS Y FLECHAS16

M

L

A

θB fB

L

L

P

q

B

A B

A B

fB

fB

θB

θB

θA =

θB = 0 θA =

θB = fB =

q·L³

6·E·I θA = θB =

P·L²

2·E·I

M·L

E·I fB =

M·L²

2·E·I

P·L³

3·E·I 0

0 q·L

8·E·I fB =

4

GIRO SECCIÓN “A” GIRO SECCIÓN “B” FLECHA SECCIÓN “B”


P

L

a b

A B

θB

fB 0 θA = θB = fB = P·a²

2·E·I

P·a³

3·E·I


DIAGRAMA DE CORTANTE

DIAGRAMA DE FLECTOR

DEFORMADA

P

L/2

A B

fC

L/2

RBRA

MA MB

C

A BC

V=

+

-

- -

+

P·L³ fC = 192·E·I


DIAGRAMA DE FLECTOR

DEFORMADA

fC

A BC

+

-

- -

+

0 θA = θB =

q·L fC =

384·E·I

0 θA = θB =

4

q

RBRA

MA MB

L

A B

P 2

V= P 2

M= P·L 8

M= P·L 8

M= P·L 8

V= q·L

2

V= q·L

2

M= q·L² 12

1 M= q·L²

12

1

M= q·L² 24

1

[7.2] VIGAS HIPERESTÁTICAS:



DIAGRAMA DE FLECTOR

DEFORMADA

fC

A BC

+

-

-

P·L³ fC = 48 5·E·I

0 θA =

+

θB

θB =

P

L/2

A B

L/2

C

L

A B

RBRA

MA

RBRA

MA M

P

P·L²

32·E·I


DEFORMADA

fCA

BC

-

-

M·L² fC = 27·E·I

0 θA =

+

θB

θB = M·L

4·E·I

V= 5 16

P V= 11 16

P·L M= 3 16

P·L M= 5 32

· V= 3 2

M L

M= M 2

M= M

DIAGRAMA DE FLECTOR





DIAGRAMA DE FLECTOR

DEFORMADA

fC

A BC

+

-

-

q·L fC =

185·E·I

+

θB

q

L

A B

RBRA

MA

0 θA = θB = q·L³

48·E·I

q·LV= 5 8

q·LV= 3 8

q·L² M=

8

q·L² M= 128 9

4


[7.3] VIGA CONTINUA DE DOS VANOS

C

θC

BA

θA

L L

- -

-

++

+ +


DIAGRAMA DE FLECTOR

DEFORMADA

q·L fD = fE =

185·E·I

0 θB= θA=θC= q·L³

48·E·I

4

RBRA RC

q

fD

D

fE

E

q·LV= 3 8

CBA

q·LV= 5 8

q·L² M=

14

q·L² M=

14

q·L² M=

8

q·LV= 3 8

q·LV= 5 8


[7.4] VIGA CONTINUA DE TRES VANOS:

L L


DIAGRAMA DE FLECTOR

qL

DEFORMADA

RBRA RC

CBA

RD

D

+ + +

++ +

-

- -

- -

q·L² M=

40

q·L² M=

10

B

q·L² M=

25

q·L² M=

25

q·L² M=

10

q·L 4

fC=fD=143·E·I

fC fDθA θB

q·LV= 2 5 q·LV=

1 2

q·LV= 3 5

q·LV= 3 5

q·LV= 1 2

q·LV= 2 5

θA=θB= q·L³

48·E·I


8_COMPARACIÓN DE FLECHA: VIGA BIAPOYADA Y MÉNSULA

[8.1] EJEMPLO:

(IMPORTANTE: hay que pasar todos los valores a unidades del Sistema Internacional: N y mm)

Perfil IPE300

Iy= 8356 ·10 mm (Momento de inercia)

E = 2,1 · 10 N/mm² (Módulo de elasticidad del acero)

q= 30KN/m = 30N/mm

L= 5m=5000mm

fmáx

5·q·L fmáx =

384·E·I

4

4 4

5

L=5m

q=30kN/m

L=5m

q=30kN/m

fmáx

q·L

8·E·I fmáx=

4 Flecha máxima en viga biapoyada con carga continua.

Flecha máxima en viga en ménsula con carga continua.

5·30·5000 fmáx =

384·2,1·10 ·8556·1045

4

=13,9mm

fmáx=1,39cm

30·5000 fmáx =

8·2,1·10 ·8556·1045

4

=134mm

fmáx=13,4cm

IPE300IPE300

DATOS DE PARTIDA

23

CONCLUSIÓN: LA FLECHA EN UNA MÉNSULA ES DEL ORDEN DE 10 VECES LA DE UNA VIGA BIAPOYADA (CON CARGA UNIFORME.

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