Tema III Cinematica de Liquidos

CINEMÁTICA DE LÍQUIDOS 1

CAPITULO III CINEMÁTICA DE LÍQUIDOS

Objetivo: Analizar las características cinemáticas del movimiento de un líquido con base en las

magnitudes, velocidad, aceleración y rotación de sus partículas.

Campos de un flujo: VELOCIDAD, ACELERACIÓN Y ROTACIÓN SIN ATENDER A LAS FUERZAS QUE LO

PRODUCEN.

Fluido en movimiento consiste en analizar o conocer las magnitudes. La cinemática de los líquidos trata del

movimiento de sus partículas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan en base al conocimiento de las

magnitudes cinemáticas: velocidad, aceleración y rotación.

Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condición de que la

región del flujo quede comprendida por el fluido.

En cada punto del flujo existen magnitudes escalares, vectoriales y tensoriales.

Escalar.- Se define por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde (presión, temperatura,

viscosidad)

Vector.- Además de la magnitud se necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la que se

refiere (3 valores escalares: velocidad, aceleración, rotación)

Tensor: Se requiere definir 9 o más componentes escalares (esfuerzo, deformación unitaria).

Se define como la rapidez temporal del cambio en su posición.

Si P0 se desplaza siguiendo la trayectoria, descrita en cada instante por el vector de posición

dr: Representa el vector deformación de arco.


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA

DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA

En términos de los componentes de los tres ejes es:

Entonces dichas componentes son funciones de la posición de la partícula y del tiempo.

representa al vector diferencial de arco sobre la trayectoria “s” que recorre la partícula en el tiempo dt.

El campo vectorial de aceleraciones es derivado del de velocidades pues el vector aceleración de una partícula

en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto.

La aceleración no tiene orientación coincidente con la trayectoria de la partícula como con la velocidad. De

acuerdo a la deformación de derivada total.

La aceleración de las partículas del fluido se puede considerar como la superposición de 2 efectos.

En el instante “t” se supone que el cambio es independiente del tiempo, por lo tanto la partícula cambiará de

posición en ese campo y su velocidad sufrirá variaciones en los diferentes puntos del mismo.

En los 2dos. Paréntesis no proviene del cambio de posición de la partícula, sino de la variación de la velocidad

en la posición ocupada por la partícula al transcurrir el tiempo.

Campo de velocidades

El análisis del movimiento de una partícula de fluido que recorre una curva se puede hacer de 2 maneras:

a) Por el conocimiento del vector de posición perpendicular de la partícula, como una función vectorial del

tiempo t. (EULER)

(Seleccionando puntos en el espacio y tomando nota de la magnitud y dirección de la velocidad según pasan por

el punto escogido).






i, j, k: Vectores unitarios

Proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo:

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido - tiempo, esto es

(LAGRANGE).

(Seguir el recorrido de una partícula fluido a través del espacio definido del sistema y tiempo de llegada a cada

punto).

En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a

partir de A).

El vector velocidad es:

La velocidad es un campo vectorial dentro de un flujo y al desplazarse la partícula según la curva C, es

un vector tangente en cada punto a la misma que en general, depende de la posición de la partícula y el

tiempo.






Si t 0. x se distinguirá cada vez menos de la línea recta para t muy pequeño, la línea se vuelve una

tangente, a la trayectoria en x.

Si “s” representa un vector unitario tangente en cada punto a la trayectoria de la partícula y además es función

de s, la velocidad es:

s

s

s

Campo de aceleraciones

El vector aceleración de una partícula se define en un punto como la variación temporal de la velocidad en ese

punto, esto es:

Sus componentes son:

La aceleración debida al cambio de posición se llama Convectiva. La aceleración debida a la variación de la

velocidad con respecto al tiempo se llama local.

Convectiva Local






Ejercicio: Dado el campo de velocidades:

Determinar la magnitud de la aceleración en el punto (3, 1, 0).

P (3, 1, 0)

P (3, 1, 0)

Ejercicio: Dado el campo de velocidades . Determinar la aceleración del punto

(3, 0, 2) en t=1.

P (3, 0, 2)






El CAMPO ROTACIONAL. Es un vector que indica cuán curvadas están las líneas de campo o la fuerza en los

alrededores de un punto.

El campo rotacional que evalúa la rotación local de una partícula, se aplica exclusivamente a los campos

vectoriales.

Y se define matemáticamente como:

(Con el operador nabla)

Las líneas de capo son rectas no paralelas forzosamente.

Las líneas del campo son arcos.

Si flujo es irrotacional.

Si flujo es rotacional (las partículas giran)

Ejemplo: Demostrar que los siguientes componentes de velocidad representan un flujo irrotacional.

Si es irrotacional






Ejemplo: A partir de la ecuación (1) encontrar las componentes del vector rotacional para los flujos permanentes cuyos

campos de velocidades son:

a) Vx = A(x + y) Vy = -A(x + y)

b) Vx = 2Axz Vy = A(c2 + x2 – z2)

c) Vx = Ay2 + By + C Vy = 0 Vz = 0

a)

b)

c)

Clasificación de los diferentes tipos de flujo

Existen los siguientes:

Flujo Permanente y No Permanente

Flujo Uniforme y No Uniforme

Flujo Laminar ó Turbulento

Flujo Incompresible o Compresible

Flujo Rotacional e Irrotacional

Si las características en un punto determinado varían de un instante a otro el flujo es no permanente.

Si las características no varían el flujo es permanente.






Flujo Permanente

Flujo No Permanente

Flujo uniforme: es aquel en que todas las secciones del canal tienen exactamente las mismas características

hidráulicas.

Trazo de la plantilla y de la superficie libre del agua son todas paralelas.

Flujo variado: cambian con respecto al eje x.

Se divide en:

Retardado (remanso) F.G.V. Acelerado (rápido)

F.B.V. Salto hidráulico

El flujo unidimensional no considera variaciones o cambios de velocidad, presión, etc., transversales a la

dirección del flujo principal. Muchos problemas prácticos se manejan por este método de análisis.

El flujo bidimensional se supone que todas las partículas fluyen en planos paralelos a lo largo de trayectorias

idénticas en cada uno de estos planos.

Flujo Laminar es un resultado propiamente de la viscosidad del fluido. Se caracteriza porque el movimiento de

las partículas se produce siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidas.

En un flujo turbulento, las partículas se mueven sobre trayectorias completamente erráticas.

Re < 2,000

Re > 2,000






Flujo incompresible: si los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables; en caso contrario el flujo

es compresible, por ejemplo, los líquidos y gases a bajas velocidades pueden ser considerados flujo

incompresible.

Flujo compresible solo en casos de Golpe de Ariete.

Rotacional

Irrotacional

Línea de corriente:

Se define como aquellas líneas del campo de flujo trazadas de tal manera que el vector velocidad del fluido en

todos y cada uno de los puntos de la línea es tangente a la misma en cada instante.

Línea de corriente, trayectoria y vena líquida

Se define como línea de flujo o de corriente, toda línea trazada idealmente en el interior de un campo de flujo,

cumple que el vector velocidad es siempre tangente a ella.

Ecuación diferencial de una línea de corriente:

En la dirección “x” En “y” En “z”

En t0

a, b y c: son

vectores

velocidad






Ejemplo: Sea el campo de velocidades

Flujo bidimensional, no permanente.

Calcular las ecuaciones de las líneas de corriente en t = 0 y P (-1, 1).

Leyes de los exponentes:

Integrando:

Hipérbola

Para los valores de t = 0 y P (-1, -1, -1)

Plano XY

u






Continuación: Integrando:

Plano XZ

Integrando:

Circulo de radio

Plano YZ






Continuación: Integrando:

Ejercicio: Las componentes de velocidad en un campo están dadas por:

VX = 2x

VY = -y

VZ = -z

Determinar la ecuación de la línea de corriente que pasa por (1, 1, 1,).

En el plano XY

Plano XZ






Continuación:

Plano YZ

Ejercicio:

Para t = 0 y P (-1, -1)

Plano XY

Integrando:

Ejercicio: P (1, 1)






Continuación:

Ejercicio: La velocidad del agua del canal mostrado en la figura tiene una distribución a lo largo de la sección vertical

igual a

. ¿Cuál es el gasto si tiene 2 [m] de profundidad (d = 2 [m]) y 5 [m] de ancho, y la

velocidad máxima es de 3 [m/s].

Se considera ahora, dentro de un flujo, la curva c cualquiera (que no sea línea de corriente) y las líneas de

corriente que pasan por cada punto de esa curva la totalidad de esas líneas están contenidas en una superficie

que se denomina superficie de flujo o de corriente. Si la curva c es cerrada, la superficie de corriente formada

adquiere el nombre de todo el flujo y el volumen encerrado por esa superficie, el de vena fluida.

Área Velocidad

Sup. De corriente

Tubo de corriente es el tubo formado por

todas las líneas de corriente que pasan a

través de una pequeña curva cerrada.






Gasto o caudal de una vena líquida

En un intervalo dt el volumen definido que atraviesa dA queda determinado por:

Razón de flujo de masa (ρQ):

Cantidad de masa del fluido que pasa por un área determinada durante un periodo específico.

Para determinar la razón de flujo de masa se multiplica la descarga por la densidad del fluido.

La dimensión de la razón de flujo de masa en S.I. es [kg/s].

= Vector unitario

normal a la superficie s.






Ejercicio: El agua fluye en una tubería con un D = 50 [cm], con una distancia cónica de la velocidad. En las paredes V = 0 y

en el centro su valor máximo es de 2.5 [m/s]. Calcule , Q y la razón de flujo de masa.

Gasto o caudal de una vena líquida:

2.5

50 [cm]






Continuación:

El área de la sección transversal de la tubería es:

Para obtener la velocidad media, el volumen de la función de distribución cónica de la velocidad siendo la altura

del cono de 2.5.






Ejemplo: Por el interior de un conducto circular de 0.3 [m] de diámetro, fluye agua con velocidades que siguen la

distribución mostrada en la figura, según lo siguiente:

r = radio

Determine Q y V.

De (1) cuando:

r = 0 v = 0.0225

r = 0.15 v = 0

Con coordenadas polares rmáx = 0.15, θmáx = π.






ACTIVIDADES

Actividad 1 Titulo: Cinemática de líquidos

Objetivo: El alumno identificara a través del campo de velocidades de un flujo las líneas de corriente que se definen, así

como su campo rotacional.

Indicaciones:

Resolver los siguientes problemas:

1. Sea el campo de velocidades: a) Calcule la aceleración en el punto P (3, 1, 0). ¿El flujo es irrotacional?

b) Calcule la aceleración en el punto P (3, 0, 2), t = 1. ¿El flujo es irrotacional?

2. Una distribución de velocidad tridimensional está dada por u = -x, v = 2y, w = 5 – z. Encuentre la línea de

corriente a través de P (2, 1, 1).

3. Un campo bidimensional de velocidades dado en coordenadas cartesianas y unidades arbitrarias por:

Identificar el tipo de flujo y calcular en el punto de coordenadas r = 2i + j las componentes cartesianas de la

aceleración y las direcciones de la velocidad y la aceleración.

4. Se tiene un flujo definido por:

Comprobar si el campo de velocidades es irrotacional.

5. Sea el campo de velocidades de un flujo dado por:

Demostrar si el campo de velocidades del flujo es irrotacional.

Evaluación: Esta actividad corresponderá a un punto sobre la evaluación final.

Cuestionario Contestar el siguiente cuestionario:

1. ¿Qué característica tiene un flujo irrotacional?

2. ¿Cómo se define el vector velocidad?

3. Explique los tipos de flujo considerando como criterio a la viscosidad.

4. ¿Cuántos tipos de flujo variado existen y cuáles son?

5. ¿Qué es un tubo de corriente?

Tema III Cinematica de Liquidos

Documents

Transcript of Tema III Cinematica de Liquidos