1/35

TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)

-------------------------------------------------------------------------------TEMA 26

ÓPTICA GEOMÉTRICA. PRINCIPIO DE FERMAT. FORMACIÓN DEIMÁGENES EN ESPEJOS Y LENTES. ANÁLISIS Y CONSTRUCCIÓN DE LOSINSTRUMENTOS ÓPTICOS. EL OJO Y LOS DEFECTOS DE LA VISIÓN.

Esquema

1. Introducción a la Óptica Geométrica.1.1. Postulados de la óptica geométrica.1.2. Índices de refracción absoluto y relativo.

2. El principio de Fermat.2.1. Ley de la reflexión por el principio de Fermat.2.2. Ley de la refracción por el principio de Fermat.2.3. Reflexión total. Ángulo límite.

3. Imágenes en superficies planas y curvas.3.1. Superficie plana: Dioptrio plano, Lámina plana y Prisma.3.2. Superficie esférica: Focos, Distancias Focales y Plano Focal.

3.2.1. Formación de imágenes en superficie esférica.3.2.2. Puntos conjugados. Fórmula de Gauss: su deducción.

3.2.2.1. Convenio de signos.3.2.3. Construcción de imágenes: método del rayo paralelo.

4. Imágenes en espejos.4.1. Focos. Distancias focales.4.2. Construcciones gráficas de imágenes.4.3. Fórmula de los espejos.

5. Imágenes en lentes delgadas.5.1. Focos. Distancias focales. Puntos y planos conjugados.5.2. Fórmula de las lentes delgadas. Deducción.5.3. Formación de imágenes: método del rayo paralelo.5.4. Imágenes virtuales.5.5. Aumento lateral.5.6. Potencia de una lente.

6. Instrumentos ópticos.6.1. Microscopio simple o Lupa.6.2. Microscopio compuesto.6.3. Anteojos: astronómico y terrestre. Prismáticos.6.4. Telescopio.6.5. Espectrómetro.

7. El ojo humano.7.1. Anatomía básica del ojo y su función.7.2. Defectos de la visión.7.3. Corrección de los defectos visuales.

2/35

TEMA 26

ÓPTICA GEOMÉTRICA. PRINCIPIO DE FERMAT. FORMACIÓN DEIMÁGENES EN ESPEJOS Y LENTES. ANÁLISIS Y CONSTRUCCIÓN DE LOSINSTRUMENTOS ÓPTICOS. EL OJO Y LOS DEFECTOS DE LA VISIÓN.

1. INTRODUCCIÓN A LA ÓPTICA GEOMÉTRICA

La óptica, que estudia la luz, se divide convencionalmente en tres partes que re-quieren métodos diferentes de estudio: 1) la óptica geométrica, basada en el conceptopuramente geométrico del rayo de luz, 2) la óptica física, referida a la teoría ondulatoriay 3) la óptica cuántica, concerniente a la interacción de la luz con las partículas atómi-cas.

1.1. Postulados de la Óptica Geométrica.

Los postulados en los que se basa la óptica geométrica están establecidos a partirde la observación experimental y son:

a) Propagación rectilínea de la luz en un medio homogéneo.b) Leyes de la reflexión.c) Leyes de la refracción.d) Independencia de los rayos de luz.

La propagación rectilínea de la luz en un mediohomogéneo y transparente queda confirmada por lasombra que un cuerpo opaco forma al iluminarlo porun foco luminoso. Se representa mediante rayos e luz,es decir, rectas dibujadas desde el foco luminoso en ladirección de propagación de la luz y distinguimos entreel rayo de luz (a), el pincel de rayos (b) y el haz de luz,(c). Fig.l. FIG. 1

Las leyes de la reflexión y la refracción hacen referencia a que cuando un rayo deluz, se propaga en línea recta en un medio homogéneo e isótropo indefinido y llega a lasuperficie de separación de dos medios transpa-rentes (fig.2) se divide en dos partes: una, quecontinúa propagándose en el mismo medio, sufreun cambio de dirección (reflexión) dando lugar alrayo reflejado, OR, y otra, que penetra en el se-gundo medio, experimenta también, salvo en laincidencia normal, un cambio de dirección (re-fracción) dando lugar al rayo refractado, OT. Elángulo φ recibe el nombre de ángulo de inciden-cia y el plano determinado por el rayo incidenteIO y la normal ON, es el plano de incidencia.

El estudio experimental de estos n fenómenos permite establecer las siguientes le-yes generales:

3/35

a) Los rayos incidente IO, reflejado OR y refractado OT, están en el mismo planonormal a la superficie de separación de los dos medios en el punto de incidencia.

b) El ángulo de incidencia φ es igual al ángulo de reflexión φ″ (ángulo formadopor la normal y el rayo reflejado OR):

"φφ = (1)c) La relación entre el seno del ángulo de incidencia φ y el seno del ángulo de re-

fracción φ' (ángulo formado por la normal ON' y el rayo refractado OT) es una cons-tante característica de los dos medios, o sea:

cte='sen

senφφ

(2)

o bien, de acuerdo con la teoría ondulatoria:

''sensen

vv=

φφ

(3)

donde v y v’ representan las velocidades de propagación de la luz en los respectivosmedios.

1.2. Índices de refracción absoluto y relativo.

El índice de refracción absoluto de un medio se define como la relación entre lavelocidad de la luz en el vacío (o bien, en el aire) y la velocidad de la luz en el medioconsiderado:

vc

n = (4)

donde c representa la velocidad de la luz en el vacío y v la velocidad de la luz en el me-dio. Por ser cociente de dos velocidades, el índice de refracción es adimensional.

Según la anterior definición, si n y n’ son los índices de refracción absolutos dedos medios cualesquiera, en contacto:

vc

n = y '

'vc

n = (5)

la ley de la refracción, dada por la ecuación (3) se escribirá:

nn

ncnc

vv '

'''sensen ===

φφ

o bien 'sen'.sen. φφ nn = (6)

es decir, en la refracción de la luz, es constante el producto del índice de refracción porel seno del ángulo que el rayo forma con la normal en un medio.

La relación:'

'vv

nn = (7)

recibe el nombre de índice de refracción relativo del segundo medio respecto al primero.Por tanto, la constante característica de la ecuación (3) es igual al índice de refraccióndel segundo medio con respecto al primero.

Cuando el ángulo de incidencia es muy pequeño, la ecuación (6) nos indica quetambién el ángulo de refracción es muy pequeño, por lo que podremos sustituir los se-nos por los ángulos (en radianes) y resulta:

nn'

'=

φφ

(8)

4/35

Si n'>n, el segundo medio se dice que es más refringente que el primero y si n'<n,el segundo medio es menos refringente que el primero.

Como consecuencia de la simetría de la ecuación (1), el rayo incidente y el rayoreflejado son recíprocos, es decir, si un rayo se propaga según RO se reflejará según OI.También, a consecuencia de la simetría de la ecuación (6), si un rayo se propaga segúnTO, se refractará según OI. Así pues, la trayectoria seguida por el rayo de luz no depen-de del camino de propagación, o dicho de otra manera, las trayectorias son reversibles.

2. EL PRINCIPIO DE FERMAT

Los cuatro principios básicos de la óptica geométrica pueden condensarse en unoúnico establecido por Fermat. El camino óptico de un rayo de luz, que atraviesa dife-rentes medios (fig.3), es igual la suma de los productos de cada índice de refracción, n1,n2, n3, por la longitud geométrica recorrida en elmedio correspondiente, s1, s2, s3. El principio deFermat establece que de "todos los caminos geo-métricos posibles, entre dos puntos dados, el ca-mino óptico real descrito por el rayo de luz tieneun valor máximo o mínimo", es decir:

extremosn ii =∑ o bien ( ) 0=∑ iisnδ (9) FIG. 3

donde δ representa la variación que experimenta el camino óptico cuando se pasa de uncamino a otro infinitamente próximo.

El principio de Fermat se puede expresar así: "La luz sigue aquel camino por elque tarda más o por el que tarda menos" .

La propagación rectilínea de la luz en un medio homogéneo e isótropo es conse-cuencia de dicho principio, ya que el camino óptico mínimo corresponde a la longitudgeométrica y dicha longitud es la recta que une los dos puntos dados.

2.1. Ley de la reflexión por el principio de Fermat.

Consideremos dos puntos fijos P1 y P2 de un rayo de luz antes y después de su re-flexión en la superficie reflectante n (fig.4). Los puntos P1 y P2 quedan determinadospor las coordenadas (y1,z1) y (y2,z2) y las variables son y1 e y2 o bien los ángulos φ y φ″que los rayos incidente, P1P, y reflejado, PP2 forman con la normal, N. Se cumple:

"tgtg 2121 φφ zzyyy +=+= (10)si t1 es el tiempo tardado por el rayoen ir de P1 a P y t2 es el tiempo tardadopor el rayo para ir de P a P2, tendre-mos que: t=t1+t2. Como P1P=vt1 yPP2=vt2, sustituyendo t1 y t2:

vPPPP

t 21 += FIG. 4

ahora bien, como: φcos.11 PPz = y "cos.22 φPPz =

despejando PP1 y 2PP y sustituyendo en t, resulta:

5/35

"cos.cos.

21

φφ vz

vz

t += (11)

Diferenciando las ecuaciones (10) y (11) resulta:

0""coscos 2

221 =+ φ

φφ

φd

zd

z y "

"cos"sen

cossen

22

21 φ

φφφ

φφ

dvz

dvz

dt ⋅+⋅=

y como la condición de mínimo es que dt=0, las ecuaciones quedan:

""coscos 2

221 φ

φφ

φd

zd

z −=

""cos"sen

cossen

22

21 φ

φφφ

φφ

dvz

dvz ⋅−=⋅

y dividiendo ordenadamente las dos ecuaciones y simplificando, resulta:"sensen φφ = es decir "φφ = c.q.d.

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión (ley de la reflexión).

2.2. Ley de la refracción por el principio de Fermat.

Para deducir la ley de la refracciónpor el principio de Fermat se procede comoen el caso anterior

'tgtg 2121 φφ zzyyy +=+= (10’)teniendo en cuenta que ahora:

2

2

1

1

vPP

vPP

t +=

donde v1 y v2 representan las velocidadesde la luz en los medios de índices de re-fracción n1 y n2 respectivamente, siendoen este caso, n2>n1.

FIG. 5

Como: φcos.11 PPz = y "cos.22 φPPz =despejando PP1 y 2PP y sustituyendo en t en este caso, resulta:

'cos.cos. 2

2

1

1

φφ vz

vz

t += (11’)

Diferenciando las ecuaciones (10’) y (11’) resulta:

0''coscos 2

221 =+ φ

φφ

φd

zd

z y '

'cos'sen

cossen

22

22

1

1 φφφφ

φφ

dvz

dvz

dt ⋅+⋅=

y como la condición de mínimo es que dt=0, las ecuaciones quedan:

''coscos 2

221 φ

φφ

φd

zd

z −=

''cos'sen

cossen

22

22

1

1 φφφφ

φφ

dvz

dvz ⋅−=⋅

y dividiendo ordenadamente las dos ecuaciones y simplificando, resulta:

21

'sensenvv

φφ = o sea: nvv ==

2

1

'sensen

φφ

c.q.d.

que es la expresión matemática de la ley de la refracción.

6/35

2.3. Reflexión total. Ángulo límite.

Un caso especial de gran importancia se produce cuando el segundo medio es me-nos refringente que el primero, es decir, cuando n'<n. La fig.6, representa varios rayosque parten de un foco puntual P situado en el medio más denso e incide, bajo variosángulos de incidencia, sobre la superficie del medio menos denso.

Cuando el rayo forma el ángulo de inci-dencia φ=0, el rayo refractado forma un ánguloφ'=0 y pasa al medio menos denso sin desviarse(rayos de incidencia normal). Para rayos queforman ángulos φ1, φ2, φ3, los rayos refractadosforman ángulos φ1’, φ2’, φ3’. De acuerdo con laley de refracción, el ángulo de refracción au-menta a medida que aumenta el ángulo de inc i-dencia en el medio más denso. Sin embargo, yaque φi’>φi, existe un ángulo de incidencia λ, quese llama ángulo límite o crítico, para el cual elángulo de refracción λ’ es de 90°. De la fig.6, sededuce:

'sen'sen

nn=

φφ

y para

=

=o90'φ

λφ luego

nn

nn'

'1

sen ==λ (12)

Si se conocen los índices de refracción de ambos medios, la ecuación (12) permitedeterminar el ángulo límite. Toda la luz procedente de los rayos luminosos que formanángulos mayores que el límite se reflejan en el medio más denso como indican los rayosPA y AQ.

3. IMÁGENES EN SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS.

3.1. Superficie Plana: Dioptrio Plano. Lámina Plana. Prisma.

Un dioptrio plano está formado por dos medios transparentes separados por unasuperficie plana. Sean n y n' los índices de refracción de los dos medios (n'>n) y P unpunto objeto en el medio de índice de refracción n'. Para obtener su imagen, considere-mos el rayo PA, normal al dioptrio, que se refracta sin cambiar de dirección, y un se-gundo rayo PB, que se refracta según BC, (fig.7). Su prolongación corta al rayo PA enP', que es la imagen virtual del foco P.

Sea PA=s, P'A=s' y AB=h. Entonces, de laexpresión h=s.tg φ =s'.tg φ’ se obtiene:

φφ

φφ

φφ

cos'cos

'sensen'

'tgtg ⋅==

ss

Ahora bien, aplicando la ley de refracción:

φφ

cos'cos'

' ⋅=nn

ss (13)

Ya que la relación de los cosenos es fun-ción del ángulo de incidencia φ la ecuación ante-rior indica que la posición del punto P (imagen)

7/35

depende del ángulo de incidencia. Esto significa que en el dioptrio plano, todos los ra-yos que proceden de un punto objeto no se reúnen en un punto imagen. Se dice enton-ces, que "el dioptrio plano es un sistema astigmático". Ahora bien, si consideramosrayos de ángulos de incidencia muy pequeños, (φ≅0º), los cosenos valdrán aproxima-damente la unidad, y la ecuación anterior se reduce a:

snn

s'

' = (14)

En este caso, la posición del punto P' no depende del ángulo sino de la posicióndel punto P. Por tanto la imagen de un punto P es otro punto P'. El dioptrio plano es unsistema estigmático para rayos que formen ángulos de incidencia pequeños.

Una lámina de caras plano-paralelas es un medio transparente limitado por dossuperficies planas y paralelas. Supongamos que el índice de refracción de la lámina sean y que el medio exterior sea aire, cuyo índice de refracción es la unidad. Un rayo de luzmonocromática AB que incide con un ángulo φ, experimenta dos refracciones, una a laentrada y otra a la salida (fig.8) de la lámina plana. Aplicando la ley de refracción, setiene:

==

11 'sensen.

'sen.sen

φφφφ

n

n(15)

Ahora bien, como φ’=φ1 resultará:

1sen.'sen φφ n=e igualando en las ecuaciones (15): 1'sensen φφ = → 1'φφ = (16)por tanto "un rayo luminoso que emerge deuna lámina de caras plano-paralelas, esparalelo al rayo incidente, aunque no esprolongación de él". La distancia ∆=BP re-cibe el nombre de desplazamiento lateral. Para una lámina muy delgada, o para unaincidencia normal a la lámina el desplazamiento lateral es despreciable o nulo.

El Prisma óptico se define como todo medio transparente limitado por dos super-ficies planas no paralelas, llamadas caras del prisma. La intersección de estas dos carases la arista del prisma y el ángulo que forman las dos caras es el ángulo refringente.Toda sección del prisma, perpendicular a la arista, recibe el nombre de sección princi-pal.

Estudiaremos a continuación la óptica geométrica del prisma para un rayo de luzmonocromática. Supongamos, además, que el medio situado a ambos lados del prismaes el aire y representaremos por n' el índice de refracción relativo del prisma con res-pecto al aire que le rodea.

Un rayo luminoso PQ, que incide so-bre la cara AB del prisma, bajo un ángulode incidencia φ1, experimenta dos refrac-ciones, una a la entrada del mismo, según ladirección QR, acercándose a la normal ycon ángulo de refracción φ1’ y otra refrac-ción en la cara de salida AC a la que incidebajo un ángulo de incidencia φ2’;y se refrac- FIG.9

8/35

ta según la dirección del rayo RS alejándose de la normal con un ángulo de refracciónφ2 como se indica en la fig.9. Las leyes de la refracción aplicadas a cada una de las carasdel prisma, nos permiten escribir:

11 'sen'sen φφ n= (17)

22 'sen'sen φφ n= (18)y de ellas se obtiene: αφφ =+ 21 '' (19)

∆=−+ αφφ 21 (20)que demostraremos a continuación.

Considerando que los ángulos del cuadrilátero Q1R2 suman 360º se escribe:

ο3602̂1̂21 =+++φφ siendo

∆−=

−=ο

ο

1802̂

1801̂ α

sustituyendo: οοο 36018018021 =∆−+−++ αφφresulta finalmente: ∆=−+ αφφ 21 c.q.d.donde a representa el ángulo refringente del prisma y ∆ la desviación total del rayo, esdecir, el ángulo formado por el rayo incidente y el rayo emergente.

Estas fórmulas, llamadas ecuaciones del prisma, determinan completamente lamarcha del rayo considerado y nos permite, conociendo tres de las siete variables impli-cadas en el proceso, calcular las cuatro restantes.

3.2. Superficie esférica: Focos, Distancias Focales y Plano Focal.

La mayoría de los instrumentos ópticos contienen, aparte de espejos y prismas desuperficies planas pulimentadas, ciertos medios transparentes limitados por superficiesesféricas de curvaturas muy variables, llamados lentes. Tales superficies esféricas, adiferencia de las planas, son capaces de producir imágenes reales.

En la fig.10 se han dibujado las secciones transversales de los tipos más comunesde lentes. Las tres lentes convergentes o positivas se denominan: a) equiconvexa.. b)planoconvexa y c) cóncavo-convexa o menisco positivo y son más gruesas en el centroque en los extremos. Las tres lentes divergentes o negativas, que son más gruesas en losextremos que en el centro, son: d) equicóncava.. e) planocóncava y f) convexo-cóncavao menisco negativo. Estas lentes están fabricadas de vidrios ópticos homogéneos y sus-tancias transparentes tales como el cuarzo, la fluorita y cristal de roca. Aunque la formaesférica puede no ser la ideal, proporciona, sin embargo, imágenes aceptables y facili-dad para el tallado y el pulimento.

FIG. 10

Estudiaremos el comportamiento de la luz al atravesar una sola superficie esféricaque separa dos medios de diferente índice de refracción y posteriormente lo aplicaremos

9/35

a dos o más superficies. Estas combinaciones de superficies esféricas constituyen labase del estudio de las lentes tanto delgadas como gruesas.

En la fig.11 se han trazado diagramas que muestran el comportamiento de la luz alrefractarse en superficies esféricas cóncavas y convexas. Todos los rayos al refractarsesiguen la ley de la refracción (ley de Snell). En cada uno de los diagramas, el eje princ i-pal se representa por una línea recta que pasa por el centro de curvatura C. El punto Aen el que el eje principal corta a la superficie se llama vértice.

FIG. 11

En el diagrama (a) los rayos divergen desde un manantial puntual F situado sobreel eje, en el primer medio, formando al pasar al segundo medio un haz paralelo al eje.En el diagrama (b) los rayos convergen en el primer medio hacia un punto F, y antes dellegar a ese punto se refractan en la superficie formando al refractarse un haz de rayosparalelos al eje en el segundo medio. En ambos casos el punto F se denomina foco ob-jeto, y la distancia f, distancia focal objeto.

En el diagrama (c) un haz de rayos paralelos al eje inciden sobre la superficie es-férica y al refractarse convergen hacia un punto F', y en el diagrama (d) el haz paraleloal refractarse diverge en el segundo medio, desde un punto F'. En los dos casos, F' sellama foco imagen y la distancia f' se llama distancia focal imagen.

Volviendo a los diagramas (a) y (b), diremos que "el foco objeto F es un punto deleje que tiene la propiedad de que cualquier rayo que se origina en él o se dirige haciaél, tras refractarse, se propaga paralelo al eje". Y refiriéndonos a los diagramas (c) y(d) diremos que "el foco imagen F' es un punto del eje que tiene la propiedad de quecualquier rayo incidente que se propague paralelo al eje, convergerá en él o divergirádesde él, después de refractarse".

Un plano perpendicular al eje en un foco, se llama plano focal. En la fig.12 puedeverse su significado para el caso de una superficie convexa. Un haz de rayos paralelos

10/35

que forme un ángulo θ con el eje, convergerá al refractarse, en un punto Q' situado en elplano focal. Nótese que el único rayo no desviado, que pasa por el centro de curvaturaC, pasa también por Q'.

Es usual en los diagramas ópticos re-presentar los rayos luminosos propagándosede izquierda a derecha. Por tanto, una super-ficie convexa es aquella cuyo centro de cur-vatura está situado a la derecha del vértice,mientras que si está a la izquierda será cón-cava.

FIG. 12

Aplicando el principio de reversibilidad a los diagramas de la fig.11, habremosinvertido el papel de cada una de las superficies. El diagrama (a), por ejemplo, repre-sentará entonces una superficie cóncava con propiedades convergentes, mientras que eldiagrama (b) pasaría a representar una superficie convexa con propiedades divergentes,y en estos ambos casos, los rayos incidentes estarían en el medio más denso, es decir, enel de mayor índice de refracción.

3.2.1. Formación de imágenes en superficie esférica.

La fig.13 ilustra la formación de imágenes por una superficie refringente única. Seha dibujado para el caso en el que el primer medio es aire, n=1, y el segundo medio esvidrio, n'=1'60. Por tanto, las distancias focales están en la razón 1/1'60. Se observaexperimentalmente que al acercar el objeto al plano focal-objeto, la imagen se aleja deF' hacia la derecha, ampliándose su tamaño. Alejando el objeto de F hacia la izquierda,la imagen se aproxima a F', disminuyendo su tamaño.

FIG. 13

Todos los rayos procedentes del punto objeto Q convergen a Q'. Los rayos proce-dentes de otro punto cualquiera, tal como el M, convergerán análogamente en un puntoimagen M'. En la práctica, nunca se cumple exactamente este caso ideal. Las desviacio-nes originan pequeños defectos de la imagen, conocidos como aberraciones. Su elimi-nación constituye el principal problema de la Óptica Geométrica.

Si nos limitamos a los rayos paraxiales se podrá obtener una buena imagen usandoluz monocromática. "Los rayos paraxiales son aquellos que forman ángulos muy pe-queños con el eje, separándose muy poco de él a través de todo su recorrido de objeto aimagen". Las fórmulas obtenidas en el siguiente apartado, sólo son válidas para imáge-nes formadas por rayos paraxiales.

11/35

3.2.2. Puntos conjugados. Fórmula de Gauss: su deducción.

Como consecuencia del principio de reversibilidad, si Q'M' fuera un objeto,(fig.13) su imagen sería QM. Es decir, si un objeto ocupa la posición de su imagen, lanueva imagen estará situada en la posición previamente ocupada por el objeto. El objetoy la imagen son, por tanto, intercambiables o conjugados. Cualquier par de puntos, ob-jeto e imagen, como los M y M' se llaman puntos conjugados, y los planos perpendicu-lares al eje por esos puntos, planos conjugados.

Dado el radio de curvatura r de una superficie esférica que separa dos medios deíndices de refracción n y n', así como la posición de un objeto s, existen tres métodosgenerales para determinar la posición y tamaño de la imagen. El primero es el métodográfico, aplicando gráficamente las leyes de la refracción; el segundo es el método expe-rimental, utilizando el banco de óptica; y el tercero es el método analítico, utilizando lafórmula de Gauss:

rnn

sn

sn −=+ '

''

(21)

En ella s representa la distancia objeto y s' la distancia imagen. Esta ecuación,fórmula de Gauss para una sola superficie esférica, será deducida posteriormente.

Acercando un objeto M al foco-objeto, la fórmula de Gauss demuestra que la dis-tancia imagen s=AM' aumenta continuamente y que en el límite, cuando el objeto llegaa F, los rayos refractados son paralelos y la imagen se forma en el infinito. En este casos'=∞ y la ecuación toma la forma:

rnnn

sn −=

∞+ ''

→ r

nnfn −= '

(22)

Análogamente, si aumentamos la distancia objeto hasta que llegue a ser infinita, ladistancia imagen disminuye y se hace, en el límite, igual a f', distancia focal-imagen,para S=∞. Entonces:

rnn

snn −=+

∞'

''

→ r

nnfn −= '

''

(23)

Igualando los primeros miembros de estas ecuaciones, se obtiene:

''

fn

fn = o sea

ff

nn '' = (24)

Cuando sustituimos en la ecuación (21), (n'-n)/r por n/f ó n'/f' en virtud de lasecuaciones (22) y (23) resulta:

fn

sn

sn =+

''

ó ''

''

fn

sn

sn =+ (25)

Ambas ecuaciones dan las distancias conjugadas para una superficie esférica. Da-da la importancia de la ecuación de Gauss, vamos a realizar su deducción con algúndetalle:

En la fig.14, un rayo oblicuo procedente del punto objeto axial M, incide sobre lasuperficie esférica (dioptrio esférico) con un ángulo de incidencia φ y se refracta bajo unángulo φ’. El rayo refractado corta al eje en el punto imagen M'. Si los rayos incidentes(MT) y refractado (TM') son paraxiales, es decir, los ángulos α y γ que forman con el

12/35

eje son muy pequeños y los ángulos de incidencia (φ) y refracción (φ’) serán suficien-temente pequeños para poder sustituir los senos por los ángulos, poniendo, en virtud dela ley de Snell de la refracción:

FIG. 14

nn'

'sensen =

φφ

o sea:nn'

'=

φφ

(26)

como φ es un ángulo exterior del triángulo MTC, será igual a la suma de los ángulosinteriores opuestos:

βαφ += (27)y análogamente β es exterior en el triángulo TCM', por lo que:

γφβ += ' → γβφ −=' (28)y sustituyendo estos valores de φ y φ’ en la ecuación (26) resulta:

nn'=

−+

γββα

→ ( )βγαγββα

nnnn

nnnn

−=+−=+

''..

'.'...

Tratándose de rayos paraxiales, α, β y γ son muy pequeños y puede escribirse:

sh=α

rh=β y

'sh=γ

que sustituyendo en la última ecuación resultará:

( )rh

nnsh

nsh

n −=+ ''

'.. (29)

y dividiendo por h se obtiene finalmente la fórmula de Gauss:

rnn

sn

sn −=+ '

''

(30)

que es la fórmula del dioptrio esférico.

3.2.2.1. Convenio de signos.

El convenio de signos que vamos a adoptar para la correcta aplicación de la fó r-mula de Gauss en el dioptrio esférico, es el siguiente:

1. En todos los esquemas ópticos, la luz se propaga de izquierda a derecha.2. Todas las distancias objeto (s) se consideran positivas cuando se miden a la iz-

quierda del vértice y negativas cuando se miden a la derecha del mismo.3. Todas las distancias imagen (s’) son positivas cuando se miden a la derecha del

vértice y negativas cuando se miden a la izquierda del mismo.4. Las dos distancias focales son positivas para los sistemas convergentes y nega-

tivas para los sistemas divergentes.5. Las dimensiones del objeto y de la imagen son positivas cuando se miden por

encima del eje y negativas cuando se miden por debajo del mismo.

13/35

6. Los radios de las superficies convexas alcanzadas por la luz se consideran po-sitivos y los de las superficies cóncavas alcanzadas por la luz se considerannegativos.

3.2.3. Construcción de imágenes: método del rayo paralelo.

Las expresiones deducidas sólo se aplican a los rayos paraxiales. Tales rayos serefractan en el vértice o muy cerca de él, de tal modo que en las construcciones gráficaspodrán hallarse relaciones geométricas correctas considerando que los rayos se refractanen un plano normal al eje, trazado por el vértice A.

En la fig.15 puede verse la construcción de imágenes por el método del rayo pa-ralelo para superficies convexas y en la fig.16 para las superficies cóncavas. Conside-remos en la fig.15, los rayos emitidos por el extremo superior, Q, del objeto. De los ra-yos emitidos en todas direcciones consideremos el QT, paralelo al eje, que al refractarsepasará por el foco imagen F'. El rayo QC que pasa por el centro de curvatura no se des-vía por atravesar la superficie normalmente.

FIG. 15

Estos dos rayos bastan para localizar el extremo superior, Q', de la imagen, en-contrándose el resto de la misma en el plano conjugado que pasa por este punto. Todoslos demás rayos paraxiales que parten de Q pasarán también por Q' .Como comproba-ción, obsérvese que el rayo QS, que pasa por el foco objeto F, se refracta paralelamenteal eje, cortando a los otros rayos en Q'. A este método se llama método del rayo parale-lo. Los números 1,2,3, etc. indican el orden en que normalmente, se trazan las rectas.

FIG. 16

Cuando se aplica este método a un sistema divergente, fig.16, el procedimiento esmuy similar. El rayo QT, paralelo al eje, se refracta y diverge como si procediera de F';el rayo QS, dirigido hacia el foco F, se refracta paralelamente al eje; por último, el rayoQW, que pasa por el centro de curvatura, no se desvía. La prolongación hacia la iz-

14/35

quierda de todos los rayos refractados pasa por el punto Q'. Por tanto Q'M' es la imagende QM. Obsérvese que Q'M' no es una imagen real, ya que no puede obtenerse sobreuna pantalla.

En estas dos figuras, el medio situado a la derecha de la superficie esférica es el deíndice mayor, n'>n. Si en la fig.15, el medio a la izquierda fuera el de mayor índice derefracción, n'<n, la superficie tendría un efecto divergente, y F y F' ocuparían posicio-nes en el lado opuesto del representado, tal como aparecen en la fig.16. Análogamente,si en la fig.16, fuera n'<n, la superficie tendría un efecto convergente y los focos esta-rían situados como en la fig.15.

Dado que todo rayo que pasa por el centro de curvatura, no se desvía y ademástiene todas las propiedades del eje principal, se le llama eje auxiliar o eje secundario.

4. IMAGENES EN ESPEJOS

Una superficie esférica reflectante forma imágenes de un modo análogo a las su-perficies esféricas refringentes o a las lentes delgadas. La imagen formada por los es-pejos es de más calidad, en ciertos aspectos, que la producida por las lentes, sobre todopor la ausencia de efectos acromáticos que siempre acompañan a la refracción a causade la dispersión. Ello hace que se utilicen espejos en vez de lentes en algunos instru-mentos ópticos, aunque sus aplicaciones no son tan amplias como las de éstas por noofrecer la misma facilidad para corregir el resto de las aberraciones de la imagen.

Debido a la mayor sencillez de la ley de la reflexión comparada con la de la re-fracción, el estudio de la formación de imágenes por los espejos es más fácil que en elcaso de las lentes. Hay muchas características comunes a ambos casos, a las que presta-remos poca atención, destacando aquellas en que difieren. Para empezar, nos limita-remos a considerar las imágenes formadas por rayos paraxiales.

4.1. Focos. Distancias Focales.

La fig.15 muestra diagramas de la reflexión de un haz luminoso paralelo por unespejo cóncavo y por otro espejo convexo. Un rayo que incide en un punto tal como elT obedece la ley de la reflexión φ=φ" . En la figura todos los rayos pasan por un puntocomún F, aunque esto sólo se cumple para los rayos paraxiales. El punto F se denominafoco ya la distancia FA distancia focal. En el segundo diagrama, los rayos divergen co-mo si procedieran de un punto común F.

FIG. 17

En ambos diagramas, puesto que el ángulo TCA=φ, el triángulo TCF es isóscelesy, en general se cumple que CF=FT, pero para ángulos φ muy pequeños (rayos paraxia-les), FT es casi igual a FA. Por tanto:

15/35

CAFA21= o sea: rf

21−= (31)

y la distancia focal es igual a la mitad del radio de curvatura.

Se ha introducido el signo negativo en la expresión anterior de modo que la dis-tancia focal de un espejo cóncavo, el cual se comporta como una lente positiva, seatambién positiva. De acuerdo con el convenio de signo expuesto antes, el radio de cur-vatura es negativo en este caso. La distancia focal de un espejo convexo, que tiene radiopositivo, será por tanto negativa. Este convenio de signos es consecuente con el utiliza-do en las lentes; da propiedades convergentes a un espejo de f positiva y propiedadesdivergentes aun espejo de f negativa. En la fig.17, se observa que, por el principio dereversibilidad, coinciden los focos objeto e imagen de un espejo, lo que quiere decir quesólo existe un foco en el espejo.

Un plano transversal que pase por elfoco se llama plano focal y sus propiedades,como se ve en la fig.18, son similares a lasdel plano focal de un dioptrio. Un haz derayos paralelos que forme un cierto ángulocon el eje, convergerá en un punto de esteplano. La imagen Q' de un punto objetoextraaxial, alejado, se formará en la inter-sección con el plano focal de un rayo quepase por el centro de curvatura C. FIG. 18

4.2. Construcciones gráficas de imágenes.

En la fig.19 se ilustra la construcción, por el método del rayo paralelo, en el casode un espejo cóncavo. Tres rayos procedentes del punto objeto Q, después de reflejarse,coinciden en el punto conjugado Q'. La imagen es real, invertida y menor que el objeto.El rayo 4, paralelo al eje, se refleja hacia el foco F. El rayo 6 que pasa por el foco F, serefleja paralelamente al eje, y el rayo 8, dirigido hacia el centro de curvatura, incidenormalmente a la superficie y se refleja sobre sí mismo. El punto en que se cortan doscualesquiera de los rayos mencionados basta para determinar la posición de la imagen.

FIG. 19

Si aproximamos el objeto MQ al centro, la imagen se aproxima también a C, au-mentando de tamaño hasta que alcanza C, donde su tamaño es igual al del objeto. Apli-cando el principio de reversibilidad puede deducirse lo que ocurre cuando el objeto estáen C y F. Si el objeto está entre el foco F y el espejo, la imagen es virtual, como en elcaso de las lentes convergentes.

16/35

FIG. 20

Un procedimiento similar se aplica al espejo convexo de la fig.20. Los rayos pro-cedentes del punto objeto Q divergirán después de reflejarse desde el punto Q', conju-gado del anterior. El rayo 4, paralelo al eje, se refleja como si procediera de F. El rayo6, por pasar por el centro de curvatura, se refleja sobre sí mismo, mientras que el rayo 7,dirigido hacia el foco, se refleja paralelo al eje. Puesto que los rayos no pasan en ningúncaso por Q', lugar donde confluyen las prolongaciones de los rayos reflejados, la imagenQ'M' es una imagen virtual.

Las imágenes en los espejos cóncavos se resumen en el siguiente cuadro:

Las imágenes de los objetos reales en los espejos convexos son siempre virtuales,menores, derechas y situadas entre el foco F y el espejo S.

4.3. Fórmula de los espejos.

Con objeto de poder aplicar las fórmulas de los espejos se ha adoptado el si-guiente convenio de signos:

1. Las distancias medidas de izquierda a derecha son positivas, y las medidas dederecha a izquierda, negativas.

2. Los rayos incidentes se desplazan de izquierda a derecha y los reflejados, dederecha a izquierda.

3. La distancia focal se mide desde el foco al vértice. Esta hace a f positiva en losespejos cóncavos y negativa en los convexos.

4. El radio se mide desde el vértice al centro de curvatura. Esto hace a r negativoen los espejos cóncavos y positivo en los convexos.

5. Las distancias objeto e imagen, s y s’, se miden desde el objeto e imagen, res-pectivamente al vértice. Esto hace que s y s’ sean ambas positivas y el objeto eimagen reales cuando se encuentran a la izquierda del vértice, mientras queson negativas y virtuales cuando están a la derecha.

17/35

El último punto de este convenio implica que, en los espejos, los espacios objeto eimagen coinciden totalmente, estando los rayos luminosos reales siempre a la izquierdadel espejo. Dado que el índice de refracción del espacio imagen es el mismo que el delespacio objeto, la n’ de las ecuaciones anteriores es igual a n.

Deduciremos la fórmula que expresa las relaciones conjugadas de un espejo. En lafig.21 se observa que, por la ley de la reflexión, el radio CT es la bisectriz del ánguloMTM'. Utilizando una propiedad geométrica bien conocida, podemos escribir:

TMCM

MTMC

''=

FIG.21

Ahora bien, para rayos paraxiales, sMAMT =≈ y ''' sAMTM =≈ . Del dia-grama se deduce también que:

( ) rsrsCAMAMC +=−−=−=y ( )rssrAMCACM +−=−−=−= ''''y sustituyendo en la proporción anterior, resulta:

''s

rss

rs +−=+

que puede ponerse fácilmente en la forma siguiente:

'11

sr

sr −−=+ → 2

'11 −=

+

ssr

resultando la fórmula del espejo:rss2

'11 −=+ (32)

Se define el foco objeto como el punto objeto situado en el eje cuya imagen seforma en el infinito, por lo que, sustituyendo s=f y s’=∞ en la ecuación (32) tendremos:

rf211 −=

∞+ de donde:

rf21 −= o bien:

2r

f −= (33)

Se define el foco imagen como la imagen de un punto objeto infinitamente aleja-do. Esto es, s’=f’ s=∞, de tal modo que:

rf2

'11 −=+

∞ de donde:

rf2

'1 −= o bien:

2'

rf −= (34)

por lo tanto, los focos objeto e imagen coinciden y la distancia focal es la mitad del ra-dio. Reemplazando en (32) resulta:

fss1

'11 =+ (35)

ecuación idéntica a la de las lentes delgadas, como veremos.

18/35

5. IMÁGENES EN LENTES DELGADAS

La fig.l0 representa formas típicas de lentes delgadas, limitadas por superficies es-féricas que son cóncavas, convexas y planas. Cuando la luz atraviesa una de estas len-tes, ambas superficies contribuyen a la formación de la imagen. Además de los dos fo-cos que pertenecen a cada una de estas superficies, existen otros dos focos, correspon-dientes a la lente considerada en conjunto.

Una lente delgada es aquella cuyo espesor es despreciable frente a las longitudesasociadas con sus propiedades ópticas. Algunas de estas longitudes son, por ejemplo,los radios de curvatura de ambas superficies esféricas, las distancias focales y las dis-tancias objeto e imagen.

5.1. Focos. Distancias focales. Puntos y Planos conjugados.

La refracción de la luz en una lente delgada (equiconvexa una y equicóncava laotra) se representa en la fig.22. En ambos casos el eje se representa mediante una rectaque pasa por el centro geométrico de la lente y es perpendicular a sus dos caras en lospuntos de intersección con ellas. En las lentes esféricas esta recta pasa por los centros decurvatura de ambas superficies. El foco objeto F es un punto del eje tal que cualquierrayo procedente de él o que se dirija hacia él se propaga paralelamente al eje una vezrefractado.

FIG. 22

Toda lente delgada rodeada de aire tiene dos focos, uno a cada lado de ella y equi-distantes del centro. Esto es fácil de comprobar por simetría en el caso de las lentesequicóncavas y equiconvexas, pero puede probarse también en los demás casos. El focoimagen F' es un punto axial tal que cualquier rayo paralelo al eje, después de la re-fracción se dirige hacia él o diverge desde él. En los dos diagramas inferiores de lafig.22 se ilustra esta definición. Por analogía con el caso de una superficie esférica úni-ca, los planos focales son trazados por los focos perpendiculares al eje.

En la fig.23, puede verse el significado del plano focal, en una lente convergente.Un haz de rayos paralelos, que forma un ángulo θ con el eje, converge en un punto Q'situado en el rayo principal, que es el rayo que pasa por el centro de la lente.

La distancia entre el centro de la lente, y cada uno de sus focos es la llamada dis-tancia focal.Estas distancias, designadas por f y f' tienen signo positivo en las lentes con-

19/35

vergentes y negativo en las divergentes. Obser-var que el foco objeto, F, se encuentra a la iz-quierda en las lentes convergentes y a la derecha en las lentes divergentes. Debido a la reversibili-dad de los rayos, para una lente que se encuentre rodeada del mismo medio a ambos lados, se veri-fica que: f = f '

FIG.23

Obsérvese atentamente la diferencia entre una lente delgada inmersa en el aire,cuyas dos distancias focales son iguales, y una superficie esférica única (dioptrio esféri-co), cuyas distancias focales están en la proporción de sus índices de refracción.

Aplicando el principio de reversibilidad a la fig.24, se observa que Q'M' se con-vierte en objeto y QM en imagen. Objeto e imagen son, por tanto, conjugados, tal comoocurría para una sola superficie esférica. Cualquier par de puntos objeto e imagen, talescomo M y M' se llaman puntos conjugados, y los planos que pasan por esos puntos yson perpendiculares al eje se denominan planos conjugados.

Conocida la distancia focal de una lente delgada y la posición de un objeto, exis-ten tres métodos para determinar la posición de la imagen. El primero utiliza una cons-trucción gráfica, el segundo es el método experimental mediante el banco de óptica y eltercero es el analítico o matemático, empleando la fórmula de las lentes delgadas:

fss1

'11 =+ (35)

en la que s representa la distancia objeto, s' la distancia imagen y f la distancia focal,medidas todas ellas a partir del centro de la lente.

5.2. Fórmula de las lentes delgadas. Deducción.

En la fig.24 se muestra la formación de la imagen M'Q' de un objeto MQ a travésde una lente delgada equiconvergente ya partir de este diagrama se puede obtener lafórmula de las lentes. Consideremos dos rayos procedentes del objeto, de altura y, quevan hasta la imagen, de altura y'. Sean s y s' las distancias objeto e imagen contadasdesde el centro de la lente y x y x' las respectivas distancias a los focos F y F'.

FIG. 24

De la semejanza de los triángulos Q'TS y F'TA, se deduce:

'''

fy

syy =−

observar que escribimos y-y' en lugar de y+y’ por ser y' negativa. De la semejanza delos triángulos QTS y FAS, resulta:

20/35

fy

syy '' −=−

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos:

fy

fy

syy

syy '

''

'' −=−+−

Dado que f=f’, pueden agruparse los dos términos del segundo miembro y dividirdespués por y-y’, lo que conduce a la ecuación:

fss1

'11 =+

que es la forma gaussiana de la ecuación de las lentes.

Otra forma de dicha ecuación es la de Newton, que se obtiene utilizando otros pa-res de triángulos semejantes. De los triángulos QMF y FAS, de una parte y TAF' yF'M'Q' de otra, se obtienen:

fy

xy '−= y

fy

xy =−''

(36)

y multiplicando ambas ecuaciones se obtiene:2'. fxx = (37)

En la fórmula de Gauss, las distancias objeto e imagen se miden desde el centrode la lente y en la de Newton, a partir de los focos. Las distancias objeto (s o x) son po-sitivas si el objeto está a la izquierda de su punto de referencia (A o F respectivamente),mientras que las distancias imagen (s’ o x’) son positivas cuando la imagen está a laderecha de tales puntos (A ó F', respectivamente en este caso).

El aumento lateral viene dado a partir de la semejanza de los triángulos AMQ yAM'Q', entre los que se establece la relación:

ss

yy

m'' =−= (38)

corresponde a la forma de Gauss.

Si las distancias se cuentan a partir de los focos, deberá usarse la forma de New-ton, que se obtiene directamente a partir de las ecuaciones (36) que se ponen así:

'''

'

fy

xy

fy

xy

=−

−=

→

→

−=

−=

'''

'

fx

yy

xf

yy

'''

fx

xf

yy

m−=−== (39)

En el caso más general, cuando los medios que rodean cada lado de la lente sondiferentes, se demostrará que las distancias focales f y f' son diferentes, y están en larazón de sus respectivos índices de refracción y la fórmula de Newton para las lentestoma, entonces, la forma siguiente:

'.'. ffxx = (40)

21/35

5.3. Formación de imágenes: método del rayo paralelo.

Colocando un objeto a un lado o a otro de una lente convergente y a mayor dis-tancia de la focal, se forma una imagen en el lado opuesto (fig.24). Si se acerca el objetoal plano focal objeto, la imagen se alejará del plano focal imagen, aumentando su tama-ño. Si, por el contrario, se aleja el objeto de F, la imagen se aproxima a F' disminuyendosu tamaño. En el esquema de la fig.24, todos los rayos procedentes de un punto objeto Qconvergen en un punto imagen Q' y de un modo similar, los originados en otro puntoobjeto M se cortan en el punto imagen M'. Estas condiciones ideales sólo son válidaspara rayos paraxiales.

El método del rayo paralelo permite construir la imagen de un objeto a través deuna lente. Consideremos la marcha de los rayos emitidos por el extremo superior de unobjeto MQ, apoyado en el eje. Por definición de foco, el rayo QT, paralelo al eje, pasarápor el foco imagen F'. El rayo QA, que atraviesa el centro de la lente, donde las carasson paralelas, no se desvía y corta al anterior rayo en un cierto punto Q'.

Estos dos rayos bastan para determinar el extremo Q' de la imagen, el resto de lacual estará en el plano conjugado que pasa por Q'. Todos los demás rayos que parten deQ pasarán también por Q' .Como comprobación, observamos que el rayo QF, que pasapor el foco objeto, tras refractarse, debe emerger paralelamente al eje y cortar a los de-más rayos en Q'. Los números 1, 2, 3, etc., indican el orden en que deben trazarse lasrectas.

Las imágenes en lentes convergentes se sintetizan en el siguiente cuadro sinóptico:

Las imágenes de los objetos reales producidas por las lentes divergentes sonsiempre imágenes virtuales, menores, derechas y situadas entre el foco y la lente.

5.4. Imágenes virtuales.

La imagen formada por lentes convergentes, como la de la fig.24 es una imagenreal, pues puede recogerse en una pantalla que la hace visible. Las imágenes reales secaracterizan por el hecho de que los rayos luminosos convergen realmente en puntos delplano de la imagen. Una imagen virtual, por el contrario, no se puede recoger en unapantalla. Los rayos procedentes de un punto dado del objeto no se cortan en el puntocorrespondiente de la imagen, debiendo ser prolongados hacia atrás para cortarse endicho punto imagen. Las imágenes virtuales son producidas por las lentes convergentescuando el objeto está situado entre el foco y la lente, y por las lentes divergentes paracualquier posición del objeto. Las figuras 25 y 26 muestran dos ejemplos de ésto.

22/35

FIG.25

La fig.25 ilustra la construcción de la imagen para el caso de una lupa, o lenteconvergente. Los rayos procedentes de Q se refractan en la lente, pero no se desvían losuficiente para llegar a converger en un punto real. Al ojo E del observador le pareceque estos rayos provienen de un punto Q' situado a la izquierda de la lente en la prolon-gación de los rayos refractados. Este punto representa la imagen virtual, pues los rayosno pasan, de hecho, por él, sino que sólo lo parece. En este caso la imagen es derecha ymayor. Para construir la figura, el rayo QT, paralelo al eje, al refractarse, pasa por F',mientras que el QA, que pasa por el centro de la lente, no se desvía. Prolongando haciaatrás estos rayos, se cortan en Q'. El tercer rayo, QS, que parece proceder de F, no pasaen realidad por la lente, pero si ésta fuera mayor, se refractaría paralelamente al eje,como se ha representado y prolongado hacia atrás, corta a las otras prolongaciones en elpunto Q'.

FIG. 26

En el caso de la lente divergente o negativa, representada en la fig.26, la imagenes virtual para todas las posiciones del objeto, siempre será menor que el objeto y tam-bién será más próxima a la lente. Como puede verse en el diagrama, los rayos que di-vergen del punto objeto Q, se hacen más divergentes al atravesar la lente. Al ojo delobservador, situado en E, le parecen proceder de Q', al otro lado de la lente, pero máscerca de ésta. Al aplicar la fórmula, ha de tenerse en cuenta que las distancias focales delas lentes divergentes son negativas.

23/35

5.5. Aumento lateral.

A partir del diagrama de la fig.24 es fácil obtener una expresión para el aumentolateral de una lente única. De la semejanza de los triángulos rectángulos QMA y Q'M'Ase deduce la proporcionalidad de sus lados:

AMAM

MQQM ''' =

donde AM' es la distancia imagen s’ y AM es la distancia objeto s. Tomando positivaslas distancias hacia arriba y negativas las distancias hacia abajo, y=MQ y –y’=M'Q' conlo que sustituyendo resulta:

ss

yy

m'' −== (41)

Si s y s’ son ambos positivos como en la fig.24, el signo negativo de m indica quela imagen es invertida.

5.6. Potencia de una lente.

La potencia de una lente delgada viene determinada por la inversa de su distan-cia focal. Cuando ésta se mide en "metros", la potencia se expresa en "dioptrías".

fP

1=).(

1)(

−−=

metrosfocaldistfdioptríasP (42)

Así, por ejemplo, una lente de distancia focal +50 cm, tiene una potencia de:

250'01 +==

mP Dioptrías

mientras que una lente de distancia focal -20 cm tiene una potencia de:

520'01 −=

−=

mP Dioptrías

Las lentes convergentes tienen potencias positivas y las divergentes negativas.

Utilizando la ecuación del constructor de lentes, se puede escribir:

( )

−−=

21

111

rrnP (43)

donde r1. y r2 son los dos radios de curvatura medidos en metros y n es el índice de re-fracción del vidrio de la lente.

Las lentes para gafas se construyen con potencias que difieren en un cuarto dedioptría para reducir el número de herramientas de tallado y pulido en los talleres deóptica. Además, los lados próximos al ojo son siempre cóncavos para permitir el libremovimiento de las pestañas y conseguir una mayor proximidad y alineamiento con eleje ocular.

6. INSTRUMENTOS ÓTICOS

Los instrumentos ópticos son, en esencia, sistemas ópticos de complejidad varia-ble formados por lentes (sistemas dioptrios) unas veces y por espejos y lentes (sistemascatadioptrios) otras, diseñados para cumplir unas funciones específicas.

24/35

Su empleo ha permitido al hombre salvar las limitaciones del ojo humano, tantopara lo muy pequeño como para lo muy distante, ampliando enormemente sus posibili-dades como sistema óptico. El diseño de tales aparatos constituye la mayor aplicaciónde la óptica geométrica como ciencia física.

6.1. Microscopio simple o Lupa.

El tamaño aparente de un objeto se determina por el tamaño de su imagen retinia-na, la que, a su vez, si se mira a simple vista, depende del ángulo subtendido por el ob-jeto desde el ojo. Cuando se desea examinar con detalle un objeto pequeño, se le acercaal ojo, para que el ángulo subtendido y la imagen retiniana sean lo más grandes posi-bles. Puesto que el ojo no puede ver perfectamente los objetos que están situados a me-nor distancia que el punto próximo, un objeto dado subtiende el ángulo máximo posiblecuando está situado en este punto. (Supondremos en lo sucesivo que el punto próximose encuentra a 25 cm del ojo). Colocando una lente convergente delante del ojo se au-menta la acomodación, puesto que el objeto puede acercarse al ojo a una distancia infe-rior a la del punto próximo y, en consecuencia, subtenderá un ángulo mayor. Una lenteutilizada con este fin se denomina lente de aumento, microscopio simple o lupa.

La lupa forma una imagen virtual del objeto, y el ojo mira esta imagen virtual.Puesto que un ojo (normal) puede ver con claridad cualquier objeto situado entre elpunto próximo y el infinito, la imagen se verá igualmente clara si se forma dentro deeste intervalo. Supondremos que la imagen se forma en el infinito.

La lupa está representada en la fig.27.En (a) el objeto se encuentra en el punto pró-ximo, donde subtiende desde el ojo un ángulou. En (b), una lente colocada frente al ojo,forma una imagen en el infinito, y el ángulosubtendido desde la lupa es u’. El tamaño dela imagen retiniana es en cada caso propor-cional a la tangente del ángulo subtendido, yel aumento angular (que no ha de confundirsecon el aumento lateral m) se define así: FIG. 27

uu

tg'tg=γ

Cabe expresar el aumento angular de la forma siguiente: sea y el tamaño del ob-jeto y f la distancia focal de la lupa, ambas expresadas en centímetros. De (a) se deduce:

25tg

yu =

y de (b) se deduce:fy

u ='tg

por tanto, sustituyendo en la expresión del aumento angular:

25yfy=γ de donde

f25=γ (44)

Esto es, el aumento angular de una lupa o microscopio simple de distancia focal l0cm es de 2'5 X (2'5 veces). El tamaño de la imagen retiniana de un objeto visto a travésde la lupa, es 2'5 veces mayor que cuando se mira a simple vista a la distancia mínima.

25/35

Aunque a primera vista, parece que el aumento angular puede hacerse tan grandecomo se desee, disminuyendo la distancia focal f, las aberraciones de una sola lente bi-convexa imponen un límite a γ que es aproximadamente, 2X ó 3X. Si se corrigen estasaberraciones, el aumento puede alcanzar hasta 2OX.

6.2. Microscopio compuesto.

Cuando se desea un aumento angular mayor que el que se puede obtener con unalupa, es necesario utilizar un microscopio compuesto, de ordinario denominado sim-plemente microscopio. Los elementos esenciales de un microscopio están representadosen la fig.28. El objeto a examinar se coloca justamente delante del foco objeto F de unalente convergente llamada objetivo, el cual forma una imagen real y aumentada en elplano focal objeto del ocular. Este último forma, de esta imagen, otra imagen virtual enel infinito. Aunque tanto el objetivo como el ocular de un microscopio son en la prácti-ca, lentes compuestas muy corregidas de aberraciones, se han representado en la figo28,para mayor claridad, como lentes sencillas.

FIG. 28

El aumento total M de un microscopio compuesto, al igual que el aumento angularde un microscopio simple, se define como la razón de la tangente del ángulo u' subten-dido desde el ojo por la imagen final a la tangente del ángulo u que subtendería directa-mente el objeto colocado a la distancia de 25 cm. Sea y el tamaño del objeto e y' el ta-maño de su imagen formada por el objetivo. Se tendrá entonces:

25tg

yu = y

2

''tg

fy

u =

donde f2 es la distancia focal del ocular, por consiguiente:

2

25'25

'

tg'tg

fyy

y

fy

uu

M ⋅===

Pero y'/y es el aumento lateral m producido por el objetivo, y 25/f es el aumentoangular γ producido por el ocular. El aumento total M es, por consiguiente, el productodel aumento lateral del objetivo, por el aumento angular del ocular:

γ.mM = (45)

6.3. Anteojos: Astronómico y Terrestre. Prismáticos.

El sistema óptico de un anteojo es análogo al de un microscopio compuesto. Enambos instrumentos, la imagen formada por un objetivo es observada a través de unocular. Sin embargo, el anteojo está destinado a observar objetos situados a grandesdistancias, por lo que, a diferencia del microscopio, habrá de poseer un objetivo con unagran distancia focal.

26/35

Se distinguen dos tipos de anteojos, el anteojo astronómico y el anteojo terrestreo catalejo.

El anteojo astronómico está ilustrado en la fig.29. El objetivo forma una imagenreal y reducida I del objeto O. I' es la imagen virtual de I formada por el ocular. En lapráctica, los objetos examinados por un anteojo se encuentran a distancias tan grandesdel instrumento que la imagen I se forma muy cerca del foco imagen del objetivo. Ade-más, si la imagen I' se encuentra en el infinito, la imagen I se forma en el plano focalobjeto del ocular. (Este no es el caso de la fig.29, la cual se ha dibujado con objeto derepresentar todos los elementos esenciales de un diagrama finito). La distancia entre elobjetivo y el ocular, o sea, la longitud del anteojo, es, por tanto, la suma f1+f2 de lasdistancias focales del objetivo y del ocular.

FIG. 29

El aumento angular γ de un anteojo se define como la razón del ángulo subtendidodesde el ojo por la imagen final I' al ángulo subtendido desde el ojo (sin anteojo) por elobjeto. Esta razón se expresa en función de las distancias focales de objetivo y ocular:

2

1

ff−=γ (46)

El aumento angular de un anteojo es, por tanto, igual a la razón de la distancia fo-cal del objetivo a la distancia focal del ocular. El signo negativo indica que la imagenestá invertida.

Mientras que una imagen invertida no es una desventaja si el instrumento ha deutilizarse para observaciones astronómicas, es deseable que el anteojo terrestre formeimágenes derechas. Esto se puede conseguir intercalando un sistema inversor entre elobjetivo y el ocular, fig.30. Estas lentes sirven para invertir la imagen formada por elobjetivo. El conjunto constituye el sistema óptico del catalejo, que tiene la desventaja deexigir un tubo muy largo, ya que a la suma de las distancias focales del objetivo y delocular hay que sumarse cuatro veces la distancia focal de la lente inversora.

FIG. 30

Se evita la longitud excesiva del tubo del anteojo te-rrestre o catalejo, en los llamados prismáticos. En la fig.31se ofrece el esquema básico de un corte longitudinal delmismo. En ellos, se intercala entre el objetivo y el ocularsendos prismas de reflexión total de ángulos 45º-45º-90º deforma que al emerger de ambos prismas la imagen ha sidoinvertida. FIG. 31

27/35

El anteojo de Galileo debe su nombre a este físico que construyó, en 1609, uno delos primeros anteojos de este tipo. Se utiliza como ocular una lente divergente en lugarde una convergente. El sistema óptico está representado en la fig.32. Los rayos queparten de un objeto distante (no representado en el dibujo) se hacen convergentes alrefractarse en el objetivo O.

La imagen I sirve de objeto virtualpara el ocular E. La imagen final I' esvirtual y derecha, según se indica en eldiagrama. El aumento angular de esteanteojo, está dado también por:

2

1

ff−=γ

pero como f2 es negativa, γ es positivo yFIG. 32

la imagen es derecha. La distancia entre el objetivo y el ocular es la diferencia entre losvalores absolutos de sus distancias focales. En consecuencia, este anteojo puede hacersemucho más reducido que el de tipo astronómico. Su principal desventaja es que no pue-de abarcar un campo visual tan amplio como aquél sin utilizar objetivos de diámetroexcesivamente grande. Los gemelos de teatro son anteojos de Galileo.

6.4. Telescopio.

Los telescopios, como instrumentos ópticos son sistemas catadioptrios (combina-ción de lentes y espejos), que permiten observar objetos muy distantes. En ellos, un es-pejo cóncavo sustituye al sistema de lentes como objetivo. Las irregularidades en el ta-llado de las lentes de gran tamaño se traduce en una pérdida del poder de resolución yen una deformación de la imagen. Tales inconvenientes se superan mediante los objeti-vos reflectores, puesto que las superficies de los espejos pueden ser conseguidas conmayor perfección. Los tipos de reflectores empleados pueden clasificarse en función delnúmero de superficies reflectoras que presentan.

Existen objetivos reflectores de unasola superficie reflectora; en ellos el ob-servador ha de situarse dentro del propiotubo. Tiene como ventajas que evitan ab-sorciones. El mayor inconveniente radicaen que la luz es obstruida, parcialmentepor la jaula de observación (fig.33,a). Nose puede utilizar mas que para sistemasde gran abertura, ya que dentro del tubo

FIG. 33

es preciso situar los diferentes aparatos de medida y de observación visual. El sistemade Herschel (fig.33,b), evita el inconveniente anterior, utilizando un espejo parabólico,cuyo eje no coincide con la dirección de incidencia de la luz, pero esta desviación lateralda lugar a aberraciones

Los sistemas de telescopios reflectores de dos espejos son los más empleados.Entre ellos destacamos dos sistemas: el sistema de Newton y el sistema de Cassegrain.Ambos se representan en la fig.34, (a) y (b) respectivamente.

28/35

El sistema de Newton (a) consiste en un espejo parabólico principal y un espejoplano inclinado 45° respecto al eje del telescopio. De esta forma se consigue desviar losrayos hacia el sistema ocular, que está situado fuera del tubo.

El sistema de Cassegrain (b) incorpora como espejo secundario un espejo hiper-bólico convexo cuyo eje coincide con el eje del espejo principal. Los rayos reflejados enel espejo principal son recogidos por el espejo secundario que los refleja hacia un orifi-cio central hecho en el espejo principal, tras el cual se halla situado el sistema ocular ydemás instrumentos de medida y registro.

6.5. Espectrómetro.

Los instrumentos de óptica pueden ser agrupados en dos grandes grupos genera-les: los que forman imágenes y los instrumentos analizadores. Los instrumentos delprimer grupo, tales como los que acabamos de considerar, sirven para formar una ima-gen de algún objeto dado, los instrumentos del segundo grupo se utilizan para determi-nar la composición, intensidad o estado de polarización de un haz luminoso.

Vamos a considerar el espectrómetro de prisma y algunas de sus modificaciones.Es un instrumento analizador utilizado para investigar las longitudes de onda presentesen un haz luminoso dado.

Los elementos esenciales de un espectrómetro de prisma están representados en lafig.35. Una estrecha rendija S, iluminada por la luz que se desea analizar, se coloca en elfoco objeto de la lente acromática C, llamada colimador. El haz paralelo de luz queemerge del colimador incide sobre el prisma P, y es desviado, examinándose la luzemergente con el anteojo T. Puesto que el índice de refracción de las sustancias ópticasvaría con la longitud de onda, las distintas longitudes de onda presentes en la luz sondesviadas con ángulos diferentes. El observador E, ve un cierto número de imágenes dela rendija, paralelas y formadas cada una de ellas por luz de una longitud de onda parti-cular. Si el manantial emite luz de todas las longitudes de onda, las imágenes forman

29/35

una sucesión continua de rendijas, denominada espectro continuo. Si el manantial emiteúnicamente algunas longitudes de onda determinadas, las imágenes de la rendija estánseparadas entre sí y aparecen como una serie de rayas brillantes, cada una con el colorde la luz que la produce. Esto es lo que se llama espectro discontinuo o de rayas.

Al utilizar un espectrómetro se quita primero el prisma y se gira el anteojo T, cuyoocular está provisto de un retículo, alrededor de un eje vertical hasta que la imagen de larendija, formada por el colimador y el anteojo, coincida con el retículo. El eje óptico delanteojo coincide ahora con la dirección del haz que emerge del colimador y se lee laposición del anteojo en el limbo graduado. Se coloca el prisma sobre una plataformaque gire alrededor de un eje vertical coincidente con el eje de rotación del anteojo y conlas caras del prisma paralelas a dicho eje.

Se gira el anteojo hasta que el haz desviado entre en el campo visual y una vezconseguido, se gira lentamente el prisma hacia un lado y otro mientras se observa el hazdesviado mediante el anteojo, hasta encontrar una posición tal que haga mínima la des-viación de la raya cuya longitud de onda se desea observar. A continuación se hacecoincidir el retículo con esta raya y se lee de nuevo la posición del anteojo sobre el lim-bo graduado. La diferencia entre esta lectura y la primera da el ángulo de desviaciónmínima para esta longitud de onda particular.

Para medir el ángulo A del prisma se gira éste hasta la posición representada en lafig.36 de modo que una parte del haz luminoso procedente del colimador, se refleje encada cara. Se encuentra la dirección de cada haz reflejado, observando con el anteojo laimagen reflejada de la rendija. La diferencia de las lecturas correspondientes a las dosposiciones del anteojo, es igual al doble del ángulo A del prisma.

30/35

7. EL OJO HUMANO

El ojo humano constituye, sin duda, el instrumento óptico primordial, puesto quea través de él, tiene lugar el último proceso de formación y transformación de imágenes:la visión.

7.1. Anatomía básica del ojo y su función.

Su forma geométrica se corresponde aproximadamente con el de una esfera de 2'5cm de diámetro (fig.37). Una envoltura o membrana resistente y opaca le protege delexterior, es la esclerótica. En su parte frontal cambia la curvatura y se hace transparente,dando lugar a la córnea, que es un casquete esférico de menor radio de curvatura que elresto del globo ocular. En la región situada tras la córnea se halla un líquido transpa-rente de índice de refracción igual que el agua que es el humor acuoso. Dicha sustanciarellena la cavidad comprendida entre la córnea y la lente del ojo o cristalino.

FIG. 37

El cristalino está formado por una sustancia elástica y gelatinosa. Como lente óp-tica, cabe señalar dos características singulares: su índice de refracción no es uniforme,sino que aumenta de forma continua en el sentido de avance de la luz. Los radios decurvatura de ambos dioptrios, que son variables, son controlados por el músculo ciliar,que se une al cristalino mediante ligamentos. Detrás de la lente del cristalino, el ojo estálleno de una gelatina ligera, que contiene en su mayor parte agua y se llama humor ví-treo. Los índices de refracción de ambos humores y del cristalino no difieren mucho, demodo que la mayor parte de la refracción de la luz que entra en el ojo es producida en lacórnea.

Entre la córnea y el cristalino actúa un diafragma o iris, que deja un orificio cen-tral o pupila, de tamaño variable, regulado automáticamente en función de la intensidadde la luz incidente, por las fibras musculares correspondientes. El diámetro de la pupiladisminuye cuando el brillo crece y aumenta en caso contrario. En virtud de este proce-dimiento, denominado adaptación, el diámetro de la pupila puede hacerse cuatro vecesmayor por lo que el área puede aumentar 16 veces. Sin embargo, el ojo es capaz deadaptarse a variaciones relativas de brillo del orden de 1/106, que no pueden ser com-pensadas por variación en el área del campo.

El conjunto de elementos ópticos hasta ahora considerados constituye un sistemaóptico capaz de producir imágenes reales enfocadas sobre la retina, que es una películao envoltura interna de la mayor parte del ojo. Sobre la retina se hallan dispuestas lasfibras nerviosas, que son prolongaciones del nervio óptico. La estructura retiniana for-mada por conos y bastoncillos sensibles, de forma diferencial, a los diferentes compo-nentes de la luz, codifica las imágenes al generar los impulsos nerviosos correspon-

31/35

dientes, los cuales son transmitidos por el nervio óptico hasta el cerebro, originándoseallí la sensación visual.

La distribución de conos y bastoncillos por la retina no es uniforme. Así, existeuna ligera depresión en ella, llamada mancha amarilla o mácula, en cuyo centro existeuna región diminuta, de unos 0'25 cm de diámetro, llamada fóvea centralis, que estáformada únicamente por conos. La visión es más aguda en esta región que en cualquierotra de la retina, de modo que los músculos que regulan el movimiento ocular sitúan elglobo en una posición tal que la imagen se forma sobre la fóvea. En resto de la retina noes igualmente sensible a la luz y contribuye a la formación del fondo de la imagen con-creta en la que se está interesado.

Como contrapartida, el punto a través del cual el nervio óptico entra en el ojo noes sensible a la luz, ya que no existen en él ni conos ni bastoncillos y se denomina puntociego. El mecanismo receptor de la retina es el responsable de la enorme capacidad deadaptación del ojo frente a las variaciones de brillo tan notables. La capacidad de adap-tación de ojo humano no se puede reducir simplemente aun proceso mecánico.

Para ver un objeto ha de formarse su imagen sobre la retina. Si todos los elemen-tos del ojo tuvieran una posición rígida, sólo habría una distancia objeto para la cual seformara una imagen nítida sobre la retina, mientras que en la práctica, el ojo humanonormal puede enfocar con nitidez un objeto a cualquier distancia comprendida desde elinfinito hasta unos 25 cm delante del ojo. Esto resulta posible por la acción del cristali-no y del músculo ciliar al cual está unido. Cuando el músculo no se encuentra contraído,está enfocado sobre objetos situados en el infinito, es decir, el foco imagen estará situa-do en la retina. Cuando se desea ver un objeto más cercano, el músculo ciliar se contraey el cristalino toma una forma que se aproxima más a la esférica. Este proceso se llamaacomodación.

Los límites del intervalo dentro del cual es posible la visión se conocen con losnombres de punto remoto y punto próximo del ojo. El punto remoto de un ojo normal seencuentra en el infinito. La posición del punto próximo depende del grado en que puedaaumentarse la curvatura del cristalino por acomodación. El alcance de la acomodacióndisminuye gradualmente con la edad de la persona, debido a que el cristalino pierde suflexibilidad. Por esta razón, el punto próximo se aleja progresivamente con el tiempo.Este alejamiento del punto próximo con la edad se llama presbicia, y no debe conside-rarse como un defecto de la visión, ya que se produce en la misma proporción en todoslos ojos normales.

7.2. Defectos de la visión.

Hay un cierto número de defectos de la visión que dependen simplemente de unarelación incorrecta entre las diversas partes del ojo, considerado como sistema óptico.Un ojo normal forma sobre la retina una imagen de un objeto situado en el infinitocuando el ojo está en descanso, y se denomina emétrope. Si el punto remoto de un ojono se encuentra en el infinito, el ojo es amétrope. Las dos formas más sencillas de ame-tropía son la miopía y la hipermetropía, que están representadas en la fig.38.

En el ojo miope, el globo del ojo es demasiado largo comparado con el radio decurvatura de la córnea, y los rayos que proceden de un objeto situado en el infinito, fo r-

32/35

man la imagen delante de la retina. El objeto más distante para el cual puede formarseuna imagen sobre la retina se halla a una distancia finita, o sea, el punto remoto no estáen el infinito. Por otra parte, el punto próximo de un ojo miope si la acomodación esnormal, está más cerca del ojo que lo que corresponde a una persona con visión normal.

FIG. 38

En el ojo hipermétrope, el globo ocular es corto y la imagen de un objeto situadoen el infinito, se formará detrás de la retina. Mediante acomodación los rayos paralelospueden hacerse converger sobre la retina, pero, evidentemente, si el intervalo de aco-modación es el normal, el punto próximo estará más distante que en el caso de un ojoemétrope.

Estos defectos pueden describirse de un modo diferente. El ojo miope produceuna convergencia demasiado grande de los rayos paralelos para que la imagen se formeen la retina y el ojo hipermétrope no la produce en grado suficiente.

El astigmatismo se refiere a un defecto en el cual la superficie de la córnea no esesférica, sino que tiene una curvatura mayor en un plano que en otro. (No confundir conla aberración de las lentes que tiene el mismo nombre, y se aplica al comportamiento,después de atravesar una superficie esférica, de los rayos que forman un ángulo grandecon el eje). El astigmatismo no permite enfocar simultáneamente con nitidez los barro-tes horizontales y verticales de una ventana.

7.3. Corrección de los defectos visuales.

Todos los defectos de la visión pueden corregirse con el uso de lentes correctorascomo explicaremos a continuación.

Presbicia e Hipermetropía. El punto próximo de un ojo présbita o de un ojo hi-permétrope, está más lejos del ojo que lo normal. Para ver claramente un objeto situadoa la distancia de lectura normal (esta distancia es de 25 cm) se ha de colocar delante delojo una lente convergente de distancia focal tal, que forme una imagen del objeto en elpunto próximo o más allá de él. Así, la lente no hace que el objeto parezca más grande,sino que aleja el objeto del ojo para que sea enfocado nítidamente sobre la retina.

Miopía.- El punto remoto de un ojo miope está a una distancia finita. Para ver conclaridad los objetos que están más lejos del punto remoto, ha de utilizarse una lente di-vergente que forme una imagen de tales objetos a una distancia del ojo no superior alpunto remoto.

Astigmatismo.- La corrección del astigmatismo por medio de una lente cilíndricaestá esquematizada en la fig.39, en la cual (a) y (b) representan una vista superior y unavista lateral respectivamente, de un ojo astigmático. La curvatura de la córnea en unplano horizontal como en (a) tiene el valor adecuado para que los rayos procedentes delinfinito formen su imagen sobre la retina. Sin embargo, en el plano vertical como en (b)

33/35

la curvatura no es suficiente para formar la imagen nítida sobre la retina.

Colocando delante del ojo una lente cilín-drica con el eje del cilindro horizontal, según se indica en (c) y en (d), los rayos situados en un plano horizontal no son afectados, mientras que la convergencia adicional de los rayos situados en el plano vertical, como se indica en (d), hace que éstos formen una imagen nítida sobre la retina.

Para las lentes destinadas a gafas, se expresa el efecto convergente o divergente,en función de la inversa de su distancia focal, que se denomina potencia de la lente y semide en dioptrías si la distancia se expresa en metros como ya hemos explicado.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Francis W.SEARS. Fundamentos de Física III. Óptica. Editorial Aguilar. 1967.MADRID.

Francis A.JENKINS y Harvey E.WHITE. Fundamentos de Óptica. EditorialAguilar. 1963. MADRID.

Bruno ROSSI. Fundamentos de Óptica. Editorial Reverté. 1966. BARCELONA.

Jesús RUIZ VÁZQUEZ. Física. Editorial Selecciones Científicas. 1975. MA-DRID.

Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCÍA y CarlosGRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.

Juan CABRERA Y FELIPE. Introducción a la Física Teórica. Volumen II. Elec-tricidad y Óptica. Librería General de Zaragoza. 1967. ZARAGOZA.