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OLCOMA Captulo IV:Teora de Nmeros
Olimpiada Costarricense de Matemtica 2012
Teora de los Nmeros
Introduccin
La teora de los nmeros estudia las propiedades de los enteros y se dice que esta
tuvo su comienzo con el matemtico griego Diofanto de Alejandra en el siglo III
d.C. Diofanto escribi trece libros (siete de los cuales se han perdido) dedicados a
la resolucin de ecuaciones algebraicas, intentando dar mtodos para encontrar
sus soluciones enteras o racionales. Algunos ejemplos de los problemas que
trataba en su libro son: Qu nmeros son suma de dos nmeros al cuadrado?
Qu nmeros son suma de tres nmeros al cubo?
Pero la contribucin (indirecta) ms importante de Diofanto fue a partir de la
traduccin al latn de los seis primeros libros con el nombre de Aritmtica en 1621
por Claude-Gaspard Bachet, matemtico francs. Esta
traduccin fue la que inspir al verdadero padre de la teora de nmeros, Pierre
de Fermat (1601-1665), quien fue el que propuso lo siguiente:
Para cualquier nmero natural n mayor o igual que 3, la ecuacin:
= +
no tiene soluciones naturales salvo que x, y z sean cero.
A esta expresin, conocida como el ltimo Teorema de Fermat, se asocia una
famosa frase mencionada por Fermat en uno de sus escritos de ecuaciones
diofnticas y dada a conocer por su hijo, en la cual afirmaba lo siguiente: Tengo
una demostracin maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado
estrecho para contenerla. Pero la realidad es que tuvieron que transcurrir 350
aos para que los esfuerzos de cientos de connotados matemticos dieran fruto,
ya que en 1994, despus de varios intentos, el matemtico Andrew Wiles logr

demostrar el ltimo Teorema de Fermat, con mtodos que para la poca de
Fermat eran desconocidos, razn por la cual se duda que realmente Fermat
tuviese la prueba de dicho teorema.
Esta rama de la matemtica se presta para enunciar resultados que son
relativamente fciles de enunciar y de probar como por ejemplo: El producto de n
enteros positivos consecutivos siempre es par, esto ha inspirado a muchos
aficionados a las matemticas a proponer y dar resultados a travs de la historia.
Tambin existen problemas que son fciles de redactar pero difciles o se dira
casi imposibles de probar, como es el caso de la conocida conjetura de Goldbach
(1742) que dice: Todo nmero par mayor que 2 puede escribirse como suma de
dos nmeros primos. En efecto los primeros pares se pueden expresar as, 4 = 2
+ 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, .Aunque en la actualidad se ha comprobado
esta conjetura por medio de poderosos computadores para nmeros pares
menores que 10, la realidad es que hasta el momento no se ha logrado probar.
1. Divisibilidad y nmeros primos Si ,a b , cuando la divisin es exacta, es decir tiene residuo 0, decimos
que b es mltiplo de a. Una manera ms formal de definirlo es la siguiente:
Sean a y b dos nmeros enteros. Se dice que a divide a b, si podemos expresar b
de la forma b = k a, donde k es un nmero entero.
En esta definicin es equivalente a decir b es divisible por a, b es mltiplo de
a a es un divisor de b.
En tal caso, se denota |. Otra manera de verlo es que la divisin de b entre a es
un entero y por lo tanto esta notacin no debe confundirse con a
b. Por ejemplo:
7|35, 4|8 y para cualquier nmero entero n se cumple 1| y |0. Cuando la

definicin no se cumple decimos que a no divide a b, por ejemplo: 6 27.
Otras maneras de decir que b es mltiplo de a, es decir que a es un factor de
b, a es un divisor de b o de la manera ms comn, b es divisible por a.
Los nmeros naturales que slo son divisibles por 1 y por s mismos se llaman
nmeros primos.
Por ejemplo, los nmeros primos menores son 2,3,5,7,11,13,.
La cantidad de nmeros primos es infinita. El primero que lo demostr fue el
matemtico griego Euclides, despus lo demostraron Euler y Chebichev,
matemticos muy importantes del milenio anterior.
Los nmeros que tienen un divisor primo distinto a s mismos se llaman nmeros
compuestos.
Por ejemplo, los nmeros compuestos menores son 4,6,8,9,10,12, .
Los nmeros 1 y 0 no son ni primos ni compuestos.
Ejercicio 1. Conteste las siguientes preguntas
1. Cuntos nmeros son pares y primos al mismo tiempo?
2. Si n es mltiplo de 7 y n es primo, cul es el valor de n?
3. Puede un nmero primo terminar en 0? o Puede terminar en 5?
4. Cuntos nmeros primos hay menores que 20?

5. Si hay 168 nmeros primos menores que 1000, Cuntos nmeros
compuestos hay menores que 1000?
6. A una pareja de nmeros primos tales que su diferencia es 2 se les llama
primos gemelos. Por ejemplo, 29 y 31. Encuentre otras cinco parejas de
primos gemelos.
7. Encuentre cuatro nmeros primos tales que la diferencia entre dos
consecutivos aumente de dos en dos. Es decir, la diferencia entre los dos
menores es 2, la diferencia entre los siguientes dos es 4 y as sucesivamente.
8. Si p representa un nmero primo, Por qu p + 1 no puede ser mltiplo de p?
9. Si p representa un nmero primo y q es un mltiplo de p. Por qu q + 1 no
puede ser mltiplo de p?
10. El siguiente procedimiento justifica que existe una infinidad de nmeros primos.
Supongamos que existe una cantidad finita de primos. Sea el nmero primo
ms grande que existe. Analice el nmero = + 1 (el
resultado de sumar 1 al producto de todos los nmeros primos hasta ).
Puede q ser mltiplo de algn nmero menor o igual que diferente de 1?
Por qu?
Si no es mltiplo de ningn nmero menor que entonces q puede ser
compuesto?
Las respuestas correctas a estas preguntas garantizan que el nmero q sera
primo y mayor que y entonces la suposicin que hicimos que existe una
cantidad finita de primos es incorrecta.
Por lo tanto, existe una cantidad infinita de nmeros primos.

2. Criterios de divisibilidad Para determinar si un nmero es divisible por un nmero primo dado, podemos
utilizar los siguientes criterios, basados en probar la divisibilidad con nmeros
menores que el nmero original.
Regla Ejemplo
POR 2: Un nmero es divisible entre 2 si su
ltimo dgito es 0, 2, 4, 6 u 8
El nmero 3124 es divisible por 2 (par),
mientras que el nmero 12447 es impar.
POR 3: Un nmero es divisible por 3 si la suma
de sus dgitos es divisible por 3.
En 1476 la suma de los dgitos es
1 4 7 6 18 3 6+ + + = = ; como este nmero es divisible por 3, entonces 1476
es divisible por 3.
POR 5: Un nmero es divisible por 5 si la ltima
cifra es 5 0.
El nmero 54345 es divisible por 5,
mientras que 13228 no lo es.
POR 7:
Para saber si un nmero es divisible por
7 se debe hacer lo siguiente: Al nmero
que se obtiene de suprimir la cigra de
las unidades del nmero dado, rstele el
doble de la cifra que suprimi. Si el
resultado de esa resta es divisible por 7,
el nmero original tambin lo es.
Para 371, tenemos 37 21 = 37 2 = 35
que s es divisible por 7. En efecto, 371 =
753.
POR 11:
Primero, enumere las cifras del nmero.
Sea I la suma de la primera, tercera,
todas las cifras en posicin impar. Y sea
P la suma de la segunda, la cuarta.,
todas las cifras en posicin par. Si I P
P I es mltiplo de 11 (incluyendo 0
), entonces el nmero original lo es.
Por ejemplo, para 1
5
6
3
1!
,
1 6 1 8I = + + = " y 5 3 8P = + = " . Luego, I P = 8 8 = 0 que es mltiplo de
11 .
En efecto, 15631 = 111421.

Nota: Para los casos de divisibilidad por 3, 7, 11 y 13 se puede aplicar
recurrentemente si lo amerita.
Para algunos nmeros compuestos tenemos las siguientes reglas.
Criterios de divisibilidad para algunos nmeros compuestos
Regla Ejemplo
POR 4:
Un nmero es divisible por 4 si el
nmero formado por sus ltimos dos
dgitos lo es.
El nmero 3216 es divisible por 4 porque
16 lo es. 21522 no es divisible por 4 .
POR 8:
Un nmero es divisible por 8 si el
nmero formado por sus ltimos tres
dgitos lo es.
El nmero 57824 es divisible por 8 porque
824 lo es. 13308 no e

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