Texto nº 4

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Texto n 4M E C N I C A

Cinemtica de la Partcula- CONCEPTOS BSICOS - EJERCICIOS RESUELTOS - EJERCICIOS PROPUESTOSAu or: Edic a Arriagada D. V c or Peral a A. Periodo: o oo 2008Conducida

F S I C A

Motriz

1

Introduccin

M E C N I C A F S I C A

Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel tcnico de las carreras de INACAP El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la tcnica para resolver problemas diversos de la unidad de Cinemtica de partcula En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluacin (referidos al clculo de variables) del programa de la asignatura Fsica Mecnica El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensin de los conceptos involucrados en la resolucin de problemas Se presenta una sntesis inmediata de los conceptos fundamentales de Cinemtica de partcula, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solucin sistemtico que va desde un nivel elemental hasta situaciones ms complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivas soluciones

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Conceptos fundamentalesCinemtica

M E C N I C A

Rama de la fsica mecnica que estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las causas que lo producen , corresponde a un estudio de la geometra del movimiento donde solo interesa el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio Sistema de referencia Cuerpo (punto o lugar fsico) fijo o mvil necesario para realizar una medicin, en este caso necesario para describir el movimiento de un cuerpo Todo sistema coordenado constituye un sistema de referencia

Sistema unidimensional

F S I C A

Sistema bidimensional

Sistema tridimensional

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Partcula Cuerpo en forma de punto que en la realidad no existe, se trata de una idealizacin matemtica para simplificar el estudio de un fenmeno, en este caso para simplificar el estudio del movimiento de un cuerpo En general se dice que un cuerpo es considerado como partcula cuando sus dimensiones son despreciables con respecto al espacio que ocupa, este concepto es de carcter relativo ya que depende del sistema de referencia del cual se le compare Posicin Punto del espacio referido a un sistema de referencia (ver figura)y

M E C N I C A

y x, y , z

F S I C A

z Movimiento

x

Concepto de carcter relativo que cientficamente se define como el cambio sucesivo de posicin que experimenta un cuerpo respecto a otro considerado como referencia T r Vector posicin Vector que une el origen del sistema coordenado con el punto del espacio donde se encuentra la partcula y

y x, y , z T r

z

x4

Trayectoria Es la curva descrita durante el movimiento

M E C N I C A

Distancia o camino recorrido

d o s

Corresponde a la longitud de la curva descrita Desplazamiento T (r

Diferencia entre dos vectores de posicin, es independiente del origen del sistema coordenado T T T (r ! r2 r1

y

x , y , z 1 1 1

T T T r ! r2 r1

F S I C A

Trayectoria

T r1

T r2

z

Es importante distinguir entre Desplazamiento lineal y distancia o camino recorrido a lo largo de una trayectoria no necesariamente recta El desplazamiento lineal y distancia recorrida, coinciden nicamente cuando la trayectoria es una lnea rectaT Velocidad media vm T Se define como el cuociente entre el desplazamiento (r y el tiempo (t empleado en dicho desplazamiento es decir

T T T T r r2 r1 ! vm ! t t2 t1

x , y , z 2 2 2

x

5

T Velocidad instantnea v Es el valor lmite de la velocidad media cuando el tiempo (t tiende a cero, se anota

M E C N I C A

T T (r v ! lim (t p 0 (t

La expresin anterior en clculo matemtico, corresponde a la definicin de derivada, en este caso, la derivada de la posicin con respecto al tiempo, se anotaT T dr v! Se lee de r a de t dt

La cinemtica que contempla este nivel no considera el trabajar con derivadas ni con integrales, por razones claras de desconocimiento de estas herramientas matemticas La velocidad instantnea queda representada grficamente por la recta tangente a la curva descrita en el instante que se indiqueT v (Velocidad instantnea)

F S I C A

Trayectoria

Rapidez La expresin rapidez se refiere nicamente a la magnitud de velocidad As, es posible para un punto viajar con rapidez constante a lo largo de una trayectoria curva, mientras que obviamente, su velocidad est cambiando de direccin constantemente De aqu en adelante, el mismo smbolo v tiende a usarse para ambos, rapidez y velocidad, as que en cualquier instante particular el significado del smbolo debe ser cuidadosamente tratado En lo que sigue en vez de hablar de velocidad instantnea, se hablar simplemente de velocidad.

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Unidades de velocidad

M E C N I C A

cm m pie m km mi ; ; ; ; ; ; rpm, etc s s s min h h T Aceleracin media ( am )

Se define como el cuociente entre la variacin de la velocidad instantnea y el tiempo empleado en dicha variacin, es decir T T T T (v v2 v1 ! am ! (t t2 t1T Aceleracin Instantnea ( a )

F S I C A

Se define como el valor limite de la aceleracin media cuando el tiempo (t tiende a cero, se escribeT T (v a ! lim (t p 0 (t

La expresin anterior corresponde a la definicin de derivada, en este caso, la derivada T de la velocidad v con respecto al tiempo t . Debe dejarse en claro que estas expresiones de velocidad instantnea, y aceleracin instantnea, no sern trabajadas desde el punto de vista del clculo matemtico, debido al desconocimiento de las materias. Unidades de aceleracin

cm m pie m km mi rev. , etc ; ; ; ; ; ; s 2 s 2 s 2 min 2 h 2 h 2 s 2

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Clasificacin de los movimientos Segn trayectoria rectos : movimiento de un piston , caida de un cuerpo , etc. circulares : movimiento del diente de un engrane , movimiento del aspa de una helice , etc. curvos parabli cos : movimiento de un proyectil elpti cos : movimiento de los electrones en torno al nucleo del tomo

M E C N I C A

T uniformes v ! constante Segn itinerario T variados v { constante

F S I C A

A continuacin estudiaremos los siguientes tipos de movimientos Movimiento Rectilneo Uniforme (M.R.U.) Movimiento Rectilneo Uniforme Acelerado (M.R.U.A.) Movimiento de un Proyectil Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.) Movimiento Circular Uniforme Acelerado (M.C.U.A.)

Es un movimiento de trayectoria rectilnea y el mdulo de la velocidad (rapidez) se mantiene constante en el tiempo. En este movimiento se recorren distancias iguales en tiempos iguales, es decir, si en una hora se recorren 120 Km., entonces en media hora se recorrer 60 Km. En lo que sigue, supondremos que El movimiento rectilneo de un cuerpo se produce sobre el eje x T El desplazamiento r respecto al cero corresponde a la coordenada x. Se considera solo el mdulo de la velocidad y se hablar de rapidez o simplemente de velocidad.

Movimiento rectilneo uniforme (MRU)

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La ecuacin fundamental del MRU es:x ! x0 v t Ec. de posicin Distancia o camino recorrido

M E C N I C A

d ! s ! x x0

Donde: x0 ! Posicin inicial x ! Posicin final v ! Mdulo de la velocidad t ! Tiempo

F S I C A

Representacin grfica del MRU Grfica distancia versus tiempo (lnea recta)

d

Recta ascendente Cuerpo parte del origen Cuerpo se aleja del origen

d

Recta ascendente Cuerpo no parte del origen Cuerpo se aleja del origen

x0 { 0 x0 ! 0 t t

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dRecta descendente

dRecta coincidente con el eje del tiempo indica que el cuerpo se encuentra en reposo en el origen

x0 { 0

Cuerpo se dirige hacia el origen desde

M E C N I C A

x0 { 0

t

t

d

x0 { 0Recta paralela al eje del tiempo significa que cuerpo se encuentra en reposo fuera del origen

x0 { 0

F S I C A

t

Observacin La inclinacin de la lnea recta en un grfico distancia tiempo, representa el mdulo de la velocidad (rapidez), es decir, a mayor inclinacin de la lnea recta, mayor es el mdulo de la velocidadd

A

Bt

v A mayor que vB ya que A tiene mayor inclinacin que B10

Grafica rapidez versus tiempo

M E C N I C A

v

Recta paralela al eje del tiempo debido a que su rapidez es constante

t

Ejemplos de MRU Ejemplo 1Un cuerpo se encuentra en la posicin de 140m respecto del origen de un sistema de referencia y viaja a razn de 26 m/s. Determinar a) Posicin del cuerpo al tiempo de 15 segundos. b) Distancia recorrida por el cuerpo al tiempo de 15 segundos.

F S I C A

SolucinUna forma ordenada de resolver un problema de cinemtica es sacar los datos y preguntas del problema, esto es Datos Posicin inicial x0 ! 140 m Valor de la velocidad v ! 26 Posicin final x ! ? Distancia recorrida d ! ? (a) Clculo de posicin x al tiempo de 15 segundos. Como se trata de un movimiento uniforme, la ecuacin correspondiente esx ! x0 v t m s

La posicin x se encuentra lista para ser evaluada, solo hay que reemplazar los valores conocidos, esto es11

x ! 140 m 26

m 15 s s

M E C N I C A

Multiplicando, cancelando la unidad de segundo y sumando se obtiene la posicin que se pide, es decir m x ! 140 m 26 15 s sx ! 530 m

Por lo tanto, al tiempo de 15 segundos el cuerpo se encuentra en la posicin de 530 metros.15 segundos ms tarde

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