TOPOLOGAMANUEL CURREA614101008Fundacin Universitaria Konrad LorenzMarch 16, 20122ContentsIntroduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I ESPACIOS TOPOLGICOS 5Qu es topologa?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Espacios Topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Los Nmeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Bases de Topologas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Espacios Mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Conjuntos Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Interior de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Adherencia y Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Puntos de Acumulacin y Derivado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II CONTINUIDAD 31Funcines Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3334 CONTENTSIntroduccinEl presente documento se realiza con el n de demostrar la suciencia en el cursode TOPOLOGA, que imparte la Fundacin Universitaria Konrad Lorenz comoparte de su programa academico de pregado en Matematicas. Repasaremos losconceptos bsicos de Topologa, haciendo nfasis en el desarrollo de ejemplos.Todos los ejercicios que se encuentran aqui desarrollados, son los propuestosen el libro: TOPOLOGA BSICA escrito por Jos M. Muoz Quevedo. Seutilizo la edicin del ao 2003. Al inicio de cada seccin se hace una pequeaintroduccin con los teoremas y deniciones necesarios para el desarrrollo de losejercicios.El trabajo aqui presentado ha sido apoyado por la profesora Jenny CarvajalCaminos, quien sugirio el texto y motivo el dearrollo y presentacion del presenteescrito.Muchas gracias por el apoyo brindado, espero que este trabajo sirva tambiencomo ayuda a los proximos estudiantes del curso de TOPOLOGA.MANUEL CURREAPart IESPACIOS TOPOLGICOS57Qu es topologa?En nuestro diario vivir es comn utilizar palabras como; exterior, interior y fron-tera. Para la mayoria de la poblacin no presenta inconveniente el tratar dedescribir, la frontera de un pas, o el interior de un edicio o la frontera con elsiguiente vecindario. Pero digamos que tomamos el conjunto de todos los nmerosracionales Q, cul es el interior de Q? Cal es la frontera?.Se hace entoncesnecesario denir conceptos claros que nos permitan decidir sin ambigedades, sidado un punto j este se encuentra en la frontera, el interior o el exterior de unconjunto. Proporcionar tales criterios es uno de los nes de la topologa.Si tenemos un conjunto y tomamos todos los puntos interiores de , aeste conjunto lo simbolizamos i:t(). Entonces el exterior de es simplemente elinterior del complemento de , y la frontera de son los puntos que no estan enel interior y tampoco en el exterior, si notamos por crt() y 1r() , al exteriory la frontera de respectivamente, tenemos;crt() = i:t(C)1r() = C(i:t() ' crt()) = C(i:t() ' i:t(C))podemos concluir entonces que si podemos calcular el interior de un conjunto,inmediatamente tenemos el exterior y la frontera, por esta razn la mayoria detextos se concentra solo en la nocin de interior.8Espacios TopolgicosDenition 1 Sea A un conjunto no vaco;una topologa de A es una colec-cin t de subconjuntos de A (a los cuales llamaremos abiertos) que satisface lascondiciones siguientes:Toda n:i o: dc co:,n:to: dc t c: n: co:,n:to dc t. (T1)1a i:tcr:ccci o: dc cna|nicr co|ccci o: )i:ita dc co:,n:to: dc t, c: n: co:,n:to dc t(T2)1| co:,n:to acio j c| :i::o co:,n:to A jcrtc:ccc: a t (T3)Una pareja (A, t) constituida por un conjunto A y una topologa t de A, sellama un espacio topolgico.Podemos escribir las condciones T1, T2 y T3 trabajando con uniones e inter-secciones de colecciones de conjuntos

t = _

t (T1)1, 2, ...n t =n

i=1i t (T2)O, A t (T3)Podemos suprimir T3 ya que se halla implicita en T1 y T2 asi; si t;_A2; = = O

A2; = AExample 2 Halle todas las topologas de A = 0, 1t1= O, At2= O, 1 , At3= O, 2 , Ase verican facilmente T1 a T3.9Example 3 Halle todas las topologas de A = a, /, ct1= O, At2= O, a , At3= O, / , At4= O, c , At5= O, a, / , At6= O, a, c , At7= O, /.c , At8= O, a , a, / , At9= O, a , a, c , At10= O, a , /, c , At11= O, / , a, / , At12= O, / , a, c , At13= O, / , /, c , At14= O, c , a, / , At15= O, c , a, c , At16= O, c , /, c , At17= O, a, / , a, c , At18= O, a, / , /, c , At19= O, a, c , /, c , Ase verican facilmente T1 a T3. notemos sin embargo, que t20 = O, a , / , Ano es una toploga, ya que a y / son abiertos, pero a ' / no pertenece at asi que no se cumple T1. existen varios conjuntos de este tipo.Example 4 Sea o(:) = 0, 1, 2, 3, ..., : 1= / N [ / < : .Pruebe queN ' o(:) [ : N es una topologa de N = 0, 1, 2, 3, ... .Para probar que es topologa, debemos vericar las condiciones T1 a T3.Veriquemos T1; en efecto o(:) es subconjunto de N, tomemos o(:) y o(:),al ser subconjuntos de N, claramente (o(:) ' o(:)) N, y por ser subconjuntosde N podemos decir que esta union pertenece a la topologa t de N, en resumen(o(:) ' o(:)) (N, t), donde t= N ' o(:) [ : N ahora bien podemostomar;_n;m2N(o(:) ' o(:))y cualquier union de estas pertenecera a t, ya que para todo :, o(:) t.10Veriquemos T2 escogiendo o(:) y o(:), entonces (o(:) o(:)) sera o(j)con j = :c:or(:, :) y o(j) t, ya que t = N ' o(:) [ : N .T3, se cumplen trivialmente.Example 5 Si t1 y t2 son topologas de A, pruebe que t1 t2 es una topologade A.Para probar que t1t2 es una topologa, debemos vericar las condiciones T1a T3.sea i t1 t2 y 1i t1 t2, con i 1 entonces i' 1i t1 t2, ya quei' 1i esta formado por abiertos, es decir i es un abierto en t1 t2 y 1i esuna abierto en t1t2. Entonces podemos escribir__i2Ii ' 1i_ t1t2, con locual se cumple T1. Por otro lado si tomamos t1t2 y 1 t1t2, entonces 1 t1 t2, con lo que se cumple T2Example 6 La topologa tcdde las colas a la derecha de A, es aquellacuyos abiertos son reuniones de colecciones cualesquiera de colas a la derecha deA. Pruebe que realmente tcd es una topologa.Por denicin un abierto basico en tcd es [a, ) = r R [ a _ resto nos dice que r esta en [a, ) si sucede a a, entonces[a, ) = 1_n=1[a + 1:, )con lo que [a, ) es union de abiertos y por tanto pertenece a tcd, en otrapalabras se cumple T1.por otro lado tomemos [c, ) y [d, ) que pertenecen a tcd, [c, ) [d, ) =[max(c, d), ) con lo que T2 se cumple.Example 7 Considere el espacio topolgico (R, tcd) (R dotado de la topologa delas colas a derecha); demuestre que para todo nmero real /, el conjunto (/, ) esabierto en este espacio topolgico.Debemos demostrar que (/, ) se puede expresar como union de abiertos deesta topologa, por denicin un abierto basico en tcd es [a, ) = r R [ a _ rentonces es facil ver que(/, ) = 1_n=1[/ + 1:, )con lo que (/, ) esta formado por abiertos basicos de esta topologa. Portanto es abierto en este espacio topolgico.11VecindadesEn un espacio topolgico A, se llama vecindad de una parte de A a todoconjunto que contiene un abierto que contiene a . Las vecindades de una conjuntounitario r se llaman simplemente vecindades de r.Theorem 8 Un conjunto es abierto si y solamente si es vecindad de cada uno desus puntos.llamamos (x) al conjunto de las vecindades del punto x, asi pues (A) serel conjunto de las vecindades de A.Theorem 9Toda jartc dc A nc co:tic:c a n:a cci:dad dc A, c: n:a cci:dad dc r.(V1)Toda i:tcr:ccci o: )i:ita dc co:,n:to: dc (x), c: n: co:,n:to dc (x). (V2)1| jn:to r jcrtc:ccc a todo co:,n:to dc (x). (V3)Si \ (x), cri:tc \ (x) ta| nc \j \, \ (y). (V4)Denition 10 x es punto interior de A si existe una vecindad de x contenida enA.Example 11 Dados A = a, /, c, d, c y t = O, A, a, / , c, d , a, /, c, d halle(b), (e), (a, c).Segn el teorema 8(b) =a, / , a, /, c , a, /, d , a, /, c , a, /, c, d , A(e) =A(a, c) =a, /, c, d , A12Example 12 Se dice que un espacio topolgico (A, t) es T0 o de Kolmogoro, sipara todo par de puntos distintos a, / de A, existe un conjunto \ en t tal que(a \ . / , \) . (a , \ . / \).es decir, si esxiste una vecindad abierta de uno de los dos que no contiene alotro punto.pruebe que R con su topologa usual es T0Como r ,=j, existe -0 talque [r j[ -, entonces sea r \y\ _ t. al ser \ un conjunto de (R, tusual), podemos escoger a \ como \ =r R [ r - < r < r + - = (r-, r+-), y como - < [r j[ , entonces j , \.Siempre que tengamos r ,= j escogemos un -0 tal que en (R, tusual), existeun conjunto \ con la propiedad que (r \ . j , \). De manera anloga sedemuestra que (r , \ . j \).13Los Nmeros RealesEn esta seccin realizaremos un repaso de las propiedades de los nmeros realesque juegan un papel importante en la topologa Dado cualquier real positivo r0. existe (al menos) un nmero natural :tal que r 1n0. Propiedad Arquimedeana de R : (\r0)(\.)(: N)(:r.) Axioma de completitud de R : Todo subconjunto no vaco de R acotadosuperiormente, tiene mnima cota superior (supremo o Sup) en R. Todo subconjunto no vaco de R acotado inferiormente, tiene mxima cotainferior (nmo o Inf) en R. Entre dos nmeros reales cualquesquiera siempre existe un nmero racional. Entre dos nmeros reales cualesquiera siempre existe un numero irracional.Denition 13 Un subconjunto 1 de R se llama intervalo si todo punto de R queest entre dos puntos de 1, tambin est en 1, es decir, si(\r, j 1)(\.)(r < . < j = . 1)Theorem 14 Sea una coleccin de intervalos tal que I2&1 ,= O; entonces 1 =_I2&1 es un intervalo.Theorem 15 Todo abierto no vaco de R es la unin de una coleccin contablede intervalos abiertos disyuntos dos a dos.Example 16 Demostrar que entre dos nmeros reales distintos siempre existe unracional.Sin perdida de generalidad podemos decir que existen r, j R. por la propiedadArquimedeana : N tal que : 1yx. Para este : tenemos que :j :r1.Por otro lado tambien de la propiedad de Arquimedes se desprende que si:r0, entonces : N tal que :1 _ :r < :. Esta : cumple que : < :j,ya que si tomamos :j :r1, tenemos que :j1 + :r _ :. Por tanto setiene :r < : < :j, de donde r