Trabajo Prctico

El siguiente trabajo prctico consta de tres partes y cada una de ellas tiene como objetivos que el alumno sea capaz de: Parte I: Resolver Ecuaciones Algebraicas y no Algebraicas, resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales y obtener polinomios de interpolacin. Parte II: Obtener una solucin aproximada a la solucin de un problema de valor inicial mediante distintos mtodos numricos.

Presentacin del Trabajo Prctico

Para cada ejercicio se debe presentar los siguientes tems:

Planteo del problema Introduccin terica: se realiza una pequea introduccin terica de los mtodos a aplicar. Desarrollo: En los casos que sea necesario Resumen de Resultados: A travs de una tabla y/o un grfico se presentaran los resultados obtenidos. Comentarios y Conclusiones

Observaciones: Con Gn indica un nmero que est relacionado con el nmero del grupo, el cul es utilizado en la definicin de algunos ejercicios. En los ejercicios que tienen (*) deben consultar teora para su realizacin

PARTE IEcuaciones Algebraicas y no Algebraicas

Ejercicio 1:

Resuelva la siguiente ecuacin ex +(Gn)-x + Gncos(x)- 6 =0. a) Mediante un anlisis grfico determinar el intervalo que contiene a la raz buscada.(En el caso en que sean varias buscar la menor positiva) Utilizar el Mtodo de Biseccin. b) Calcular la raz con una tolerancia para el error absoluto de 0.02. Utilizar 5 decimales. c) Verificar el clculo obtenido, mejorando la aproximacin, utilizando otro mtodo que consideren conveniente. Obtenga conclusiones sobre los resultados obtenidos por los mtodos utilizados.

RESOLUCIN

MTODO DE BISECCINEn general si f(x) es real y continua en el intervalo [xl ;xu] , si analizamos la funcin en sus extremos y vemos que f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, entonces hay al menos una raz real entre xl y xu. Aprovechando esta caracterstica, los mtodos de bsqueda incremental logran localizar el cambio de signo (la raz) con ms exactitud mediante una divisin de dicho intervalo en varios subintervalos.El Mtodo de Biseccin es un tipo de bsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la funcin cambia de signo sobre un intervalo, se evala el valor de la funcin en el punto medio y la posicin de la raz se determina situndola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximacin:

Paso 1: Elija valores inciales inferior y superior que encierren la raz, de forma tal que la funcin cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f() * f() < 0.Paso2: Una aproximacin de la raz se determina mediante:Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qu subintervalo est la raz:Si f() * f() < 0 , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga y vuelva al paso 2.Si f() * f() > 0 , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga y vuelva al paso 2.Si f() * f() = 0 , la raz es igual a y termina el clculo.

SolucinFuncin: ex + 10-x + 10*cos(x) 6

Grafica

a) Mtodo de la biseccinN IteracinExtremos del intervaloAproximacinf(xl)f(xu)f(xr)Error absolutoError relativo (%)

f(xl)*f(xu) 9, considerar Gn = nmero de grupo +2. Solo en este ejercicio.

1. Primero use el mtodo de Euler y luego el mtodo de RungeKuttade orden 4 con paso h=0.25 en cada caso. 1. Realice lo mismo con h=0.1 y con h=0.05.1. La solucin para el problema de valor inicial, la solucin exacta es

Calcule en cada caso el error cometido para y(0.5), y(1.25) y en y(2)

RESOLUCIN

MTODO DE RUNGE KUTTAEnanlisis numrico, losmtodos de Runge-Kuttason un conjunto de mtodos genricos iterativos, explcitos e implcitos, de resolucin numrica deecuaciones diferenciales.Sea una ecuacin diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condicin de que el valor inicial de sea. Entonces el mtodo RK (de ordens) tiene la siguiente expresin, en su forma ms general:,Dondehes el paso por iteracin, o lo que es lo mismo, el incrementoentre los sucesivos puntosy. Los coeficientesson trminos de aproximacin intermedios, evaluados en de manera local

Concoeficientes propios del esquema numrico elegido, dependiente de laregla de cuadraturautilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explcitos o implcitos dependiendo de las constantesdel esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,para, los esquemas son explcitos.

MTODOS DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDENUn miembro de la familia de los mtodos Runge-Kutta es usado tan comnmente que a menudo es referenciado como RK4 o como el mtodo Runge-Kutta.Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el mtodo RK4 para este problema est dado por la siguiente ecuacin:

Donde

As, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) ms el producto del tamao del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, dondees la pendiente al principio del intervalo,es la pendiente en el punto medio del intervalo, usandopara determinar el valor deyen el puntousando elmtodo de Euler.es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usandopara determinar el valor dey;es la pendiente al final del intervalo, con el valor deydeterminado por. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

1. Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.25:

N IteracinValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin

xiyif'(xi;yi)hyi+1

001-20.250.5

10.250.520.251

20.51-20.250.5

30.750.520.251

411-20.250.5

51.250.520.251

61.51-20.250.5

71.750.520.251

821-20.250.5

Aplicacin del mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.25: N IteracinValores Incialesk1k2k3k4Tamao de paso

x(i)y(i)h

101-20.75-3.417968751.201007840.25

20.250.744377930.79459726-0.104982810.89574290-1.568439470.25

30.500.778031180.51632160-0.093404560.61594505-1.103703730.25

40.750.797101970.34656114-0.071490750.42719565-0.765432790.25

51.000.809291060.23348641-0.051752700.29394234-0.523768740.25

61.250.817378430.15649435-0.036224990.19979565-0.353807170.25

71.500.822787950.10411939-0.024768570.13418150-0.236347880.25

81.750.826396170.06879413-0.016654190.08921327-0.156494970.25

920.828788560.04519988-0.011066770.05885949-0.102942160.25

1. Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.1N IteracinValores InicialesPendienteTamao de pasoAproximacin

xiyif'(xi;yi)hyi+1

001-20.10.8

10.10.80.320.10.832

20.20.8320.0133120.10.8333312

30.30.83333122.1333E-050.10.83333333

40.40.83333335.4614E-110.10.83333333

50.50.833333300.10.83333333

60.60.833333300.10.83333333

70.70.833333300.10.83333333

80.80.833333300.10.83333333

90.90.833333300.10.83333333

1010.833333300.10.83333333

111.10.833333300.10.83333333

121.20.833333300.10.83333333

131.30.833333300.10.83333333

141.40.833333300.10.83333333

151.50.833333300.10.83333333

161.60.833333300.10.83333333

171.70.833333300.10.83333333

181.80.833333300.10.83333333

191.90.833333300.10.83333333

2020.833333300.10.83333333

Aplicacin del mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.1

N IteracinValores Incialesk1k2k3k4Tamao de pasoh

x(i)y(i)

001-2-0.72-1.511552-0.158001930.1

10.10.889648234-0.60120543-0.27081796-0.44969541-0.11499820.1

20.20.853694395-0.20858549-0.10050155-0.15618214-0.04769840.1

30.30.840866873-0.07601645-0.03749437-0.05697248-0.018403380.1

40.40.836144314-0.02820463-0.01403104-0.02114769-0.006967940.1

50.50.834385481-0.01053476-0.00525741-0.00790024-0.002622050.1

60.60.833727612-0.00394465-0.00197093-0.00295837-0.000984530.1

70.70.833481149-0.00147842-0.00073901-0.0011088-0.000369380.1

80.80.833388759-0.00055429-0.00027712-0.00041572-0.000138540.1

90.90.833354117-0.00020784-0.00010392-0.00015588-5.1956E-050.1

1010.833341127-7.7939E-05-3.8969E-05-5.8454E-05-1.9484E-050.1

111.10.833336256-2.9227E-05-1.4613E-05-2.192E-05-7.3066E-060.1

121.20.833334429-1.096E-05-5.48E-06-8.22E-06-2.74E-060.1

131.30.833333744-4.11E-06-2.055E-06-3.0825E-06-1.0275E-060.1

141.40.833333487-1.5412E-06-7.7062E-07-1.1559E-06-3.8531E-070.1

151.50.833333391-5.7797E-07-2.8898E-07-4.3347E-07-1.4449E-070.1

161.60.833333355-2.1674E-07-1.0837E-07-1.6255E-07-5.4184E-080.1

171.70.833333341-8.1276E-08-4.0638E-08-6.0957E-08-2.0319E-080.1

181.80.833333336-3.0479E-08-1.5239E-08-2.2859E-08-7.6197E-090.1

191.90.833333334-1.143E-08-5.7148E-09-8.5721E-09-2.8574E-090.1

2020.833333334-4.2861E-09-2.143E-09-3.2145E-09-1.0715E-090.1

Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.05 :N IteracinValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin

xiyif'(xi;yi)hyi+1

001-20.050.9

10.050.9-0.720.050.864

20.10.864-0.3179520.050.8481024

30.150.8481024-0.150308170.050.84058699

40.20.840587-0.073167970.050.83692859

50.250.8369286-0.036107710.050.83512321

60.30.8351232-0.017937190.050.83422635

70.350.8342263-0.008939720.050.83377936

80.40.8337794-0.004462680.050.83355623

90.450.8335562-0.002229550.050.83344475

100.50.8334448-0.001114330.050.83338903

110.550.833389-0.000557050.050.83336118

120.60.8333612-0.00027850.050.83334726

130.650.8333473-0.000139240.050.8333403