Procesos de Manufactura II - Trabajo Segundo Depart a Mental
Trabajo de a II
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Links de interes: http://arquimedex.com/index.php?accion=1&id=85 Matematica II. 1.Definición de la programación lineal. La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. 2. Historia de la programación lineal. El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto
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Links de interes:http://arquimedex.com/index.php?accion=1&id=85Matematica II.1.Definición de la programación lineal.
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
2. Historia de la programación lineal.
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.
Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.
El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.
3. Usos de la programación lineal
La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.
Otros son:
Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua.
Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas;
Solución de problemas de transporte.
4. Características de un problema de programación lineal
5. Método grafico para resolver un problema de programación lineal.
Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se tiene que hacer
es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las desigualdades dadas por el
problema, después encontrar el Área de Soluciones Factibles y proceder a graficar la
función objetivo para conocer el valor óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución
del problema.
Ejemplo: Problema de mezcla de productos.
Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos:
mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra.
Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las
sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla.
El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad.
El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas.
Paso 1: formulación del problema.
El primer paso para resolver el problema es expresarlo en términos matemáticos en el
formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia.
Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos
alternativas son la producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la
función objetivo:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2
en donde: x1 = número de mesas producidas
x2 = número de sillas producidas
¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres restricciones.
Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de
material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces:
12x1 + 8x2 £ 96
La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6 horas, una
silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas. Así:
6x1 + 12x2 £ 72
Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por lo menos dos mesas. Esto
puede expresarse como:
x1 ³ 2
Por último, las restricciones de no negatividad son:
x1 ³ 0, x2 ³ 0
Poniendo todo junto el modelo se tiene:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2
Restricciones: 12x1 + 8x2 £ 96
6x1 + 12x2 £ 72
x1 ³ 2
x1 ³ 0, x2 ³ 0
Paso 2: gráfica de las restricciones.
El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las restricciones en una gráfica. Esto
puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comenzará con las restricciones de
no negatividad. Éstas se muestran en la siguiente figura:
En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas x1 (mesas) y x2
(sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada artículo que se deben
producir. El cuadrante superior derecho se llama Región Factible puesto que es el único
cuadrante en que pueden estar las soluciones. Los otros tres cuadrantes no son factibles, ya
que requerirían la producción de cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas.
La siguiente restricción es x1 ³ 2. La manera más sencilla de dibujar las restricciones de
recursos es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en una ecuación y graficar la
ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y abajo de la línea que resulta en el paso 1.
Convertir una igualdad en una ecuación aquí significa ignorar la parte de “mayor que” o
“menor que” de la restricción.
Así, en el ejemplo, x1 ³ 2 se convierte en x1 = 2. Esta ecuación está trazada en la siguiente
figura:
Cualquier punto en la línea x1 = 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la restricción es más
amplia, ya que cualquier punto x1 > 2 también la cumplirá. Esto incluye todos los puntos
que están a la derecha de la línea x1 = 2. Entonces, la región factible incluye todos los
valores de x1 que están sobre o a la derecha de la línea x1 = 2.
La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como antes,
primero se convierte en una ecuación: 6x1 + 12x2 = 72. Puede graficarse esta línea si se
encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más sencillos de localizar son las
intersecciones con los ejes X1 y X2. Para encontrar la intersección con el eje X2 se hace x1 =
0. La ecuación se reduce, entonces, a:
12x2 = 72
x2 = 6
La intersección con el eje X1 se encuentra haciendo x2 = 0. Así:
6x1 = 72
x1 = 12
Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:
Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción. Cualquier
punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y no es aceptable. En
la siguiente figura se combina esta restricción con la anterior. En la región factible, ambas
restricciones se cumplen.
La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior, primero se
encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x1 = 0, x2 = 12 y x1 = 8, x2 =0. Se
localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea, y como la restricción es del tipo
menor o igual que, se sombrea el área que está abajo de la línea. El resultado se muestra en
la siguiente figura:
Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada cumplirá con todas
las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para seleccionar la solución óptima.
Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.
Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las
restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x1 + 5x2. Como todavía no se
conoce el máximo valor factible de Z, no puede trazarse el óptimo de la función objetivo.
No obstante, es posible suponer algunos valores para Z y graficar las líneas resultantes. En
la siguiente figura se muestran las líneas para Z = 25 yZ = 50:
Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto sobre una
línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia perpendicular del origen a la
línea aumenta al aumentar el valor de Z. También, todas las líneas de indiferencia son
paralelas entre sí. Estas propiedades gráficas pueden usarse para resolver el problema.
En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de indiferencia
supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de indiferencia para Z = 50 está
completamente fuera de la región factible. Para Z = 25, parte de la línea cae dentro de la
región factible. Por tanto, existe alguna combinación de x1 y x2 que satisface todas las
restricciones y da una ganancia total de $25. Por inspección, puede observarse que hay
ganancias más altas que son factibles.
Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50, de las
propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes, el punto óptimo estará sobre la línea
de indiferencia más lejana al origen pero que todavía toque la región factible. Esto se
muestra en la siguiente figura:
Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es encontrar las
coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la intersección de las líneas de
restricción para materiales y horas de mano de obra. Las coordenadas de este punto se
pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones
utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación).
Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en la función
objetivo da la ganancia máxima:
Z = 5(6) + 5(3) = $45
Resumen del método gráfico.
Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:
1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones.
2. Grafíquese cada restricción.
3. Localícese la solución óptima.
Uso del método..
Metodo simplex
el metodo simples empieza con una solucuion factible y lo pone a prueba para descubrir si
es optima o no. Si no lo es se procede a obtener una mejor solucion. Se dice mejor en el
sentido de que la nueva solucion este mas cerca de la optimizacion de la funcion objetivo.
Si no es optima si no se repite el procedimiento en algun momento el metodo simplex
conduce a una solucion optima si es que existe.
Ademas de ser eficiente el metodo simplex tiene otras ventajas es completamente mecanico
(se usan matrices operaciones elementales con renglones y aritmeticas basicas). Ademas no
es necesario dibujar graficas lo que permite resolver problemas de programación lineal con
cualquier numero de restricciones y variables.
Consideremos un Problema de PL en el cual el objetivo es minimizar costos. La
solución del problema de minimización sigue el mismo procedimiento que la de problemas
de maximización. La única diferencia es que ahora se quiere el menor valor posible para la
función objetivo. Supóngase que se tiene el siguiente problema:
3.1 Grafica de restricciones.3.2 maximizacion y minimización de la funcion objetivo 3.3 punto optimo
4 problemas de programación lineal
5. Posibles soluciones en un problema de programación lineal.
El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).
La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.
EJEMPLO 1:
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.
VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).
Cantidad de liquidaciones (X2).
RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo
Tiempo disponible de revisión
Número máximo de liquidaciones.
Maximizar
Sujeto a:
La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.
EJEMPLO 2.
Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico.
Los estudios de mercado han mostrado que:
1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.
2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.
La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.
OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad.
VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1).
Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).
RESTRICCIONES : Porcentaje de presentación.
Minimizar
Sujeto a:
SOLUCION OPTIMA:
EJEMPLO 3.
Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?
Minimizar
Sujeto a:
SOLUCION OPTIMA:
Verguero vergureo vergureo muchas coasas reducuir
Un problema de programación lineal con dos variables tiene por finalidad optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal:
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llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma de sistema de inecuaciones con dos incógnitas de la forma:
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Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. El conjunto intersección de todos esos semiplanos recibe el nombre de zona de soluciones factibles. El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.
El procedimiento a seguir para resolver un problema de programación lineal en dos variables será, pues:
1.2. Elegir las incógnitas.3. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.4. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.5. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las
restricciones.6. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son
pocos).7. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál
de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no es acotado).
PROBLEMA N° 01
Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:
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Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas expresadas en las tres últimas restricciones, la zona de soluciones factibles sería:
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Siendo los vértices:
A intersección de r y t:
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B intersección de s y t:
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C intersección de r y s:
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Siendo los valores de la función objetivo en ellos:
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Alcanzándose el mínimo en el punto C.
PROBLEMA N° 02
Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
Sean las variables de decisión:
x= n: de bicicletas de paseo vendidas.
y= n: de bicicletas de montaña vendidas.
Tabla de material empleado:
Acero Aluminio
Paseo 1 3
Montaña 2 2
Función objetivo:
f(x, y)= 20.000x+15.000y máxima.
Restricciones:
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Zona de soluciones factibles:
Vértices del recinto (soluciones básicas):
A(0, 40)
B intersección de r y s:
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C(40,0)
Valores de la función objetivo en los vértices:
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Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000 Bolívares.
PROBLEMA N° 03
Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000 Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio?
Sean las variables de decisión:
x= n: de plazas de fumadores.
y= n: de plazas de no fumadores.
La Función objetivo:
f(x, y)=10.000x+6.000y máxima
Restricciones:
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Zona de soluciones factibles:
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Vértices:
A(0, 60)
B intersección de r y s:
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C(90, 0)
Valores de la función objetivo:
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Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y así obtener un beneficio máximo de 900.000 bolívares.
PROBLEMA N° 04
A una persona le tocan 10 millones de bolívares en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?
Sean las variables de decisión:
x= cantidad invertida en acciones A
y= cantidad invertida en acciones B
La función objetivo es:
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Y las restricciones son:
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La zona de soluciones factibles es:
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Siendo los vértices del recinto:
A intersección de u,t:
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B intersección de r,u:
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C intersección de r,s:
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D intersección de s,t:
La función objetivo toma en ellos los valores:
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Siendo la solución óptima invertir 6 millones de bolívares en acciones tipo A y 4 millones en acciones tipo B
PROBLEMA N° 05
Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
Sean las variables de decisión:
x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.
y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.
La función objetivo es:
f(x, y)=5x+7y
Las restricciones:
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La zona de soluciones factibles es:
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Vértices:
A(0, 100)
B intersección de s,t:
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C intersección de r,t:
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D (120, 0)
Siendo los valores de la función objetivo:
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Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 bolívares.
PROBLEMA N° 06
Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar
700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a 90 ptas., contestar justificando las respuestas:
a.b. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo
beneficio?c. ¿Cuál será ese beneficio máximo?
Sean las variables de decisión:
x= kg. de naranjas tipo A comprados.
y= kg. de naranjas tipo B comprados.
La función objetivo que da el beneficio es:
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Y las restricciones:
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La zona de soluciones factibles es:
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Y los vértices:
A(0, 625)
B intersección de r,s:
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C(700, 0)
Y en ellos la función objetivo toma los valores:
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Ha de comprar 200 kgs. de naranjas A y 500 kgs. de naranjas B para obtener un beneficio máximo de 6.600 bolívares
PROBLEMA N° 07
Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.
1. x= número de trajes.
y= número de vestidos
a= precio común del traje y el vestido.
Función objetivo:
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Restricciones:
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Zona de soluciones factibles:
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Vértices:
A(0, 40)
B intersección de r y s:
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C(40, 0)
Los valores de la función objetivo son:
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El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos.
PROBLEMA N° 08
Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de bolívares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? (*)
PROBLEMA N° 09
Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B.
a.b. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el
problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.c. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y
del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cuánto ascenderá (*)
2. Sean las variables de decisión:
PROBLEMA N° 10
Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. (*)
(*)Para ver la solución seleccione la opción "Descargar" del menú superior
