Trabajo de hidrologia

UNIVERSIDAD SAN PEDRO

HIDROLOGIA

RESUMEN

Mediante el presente informe se determinar el caudal de diseo mediante los

Mtodos Estadsticos, para lo cual teniendo la informacin de la estacin

hidrolgica de Recreta, se pueden realizar los clculos correspondientes para dicho

fin. Empezando por la completacin de la informacin y el anlisis de Consistencias

y Tendencias si es que el caso lo amerite ya que si se cuenta con los datos

completos de procede directamente a realizar las pruebas de Bondad y Ajuste

como la prueba CHI CUADRADO, para datos agrupados, y SMIRNOV-

KOLMOGOROV, para datos no agrupados, y as poder realizar las Distribuciones

Tericas como la Distribucin Normal, La Distribucin Log Normal 2 Parmetros y

la Distribucin Gumbel.


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I. INTRODUCCION

Puede ser necesario determinar un gasto de diseo con periodo de retorno de

1000 aos a partir de 25 aos de registro. Si los gastos mximos anuales

registrados se dibujan contra sus respectivos periodos de retorno,

generalmente se observa alguna tendencia ms o menos definida. El problema

radica en cmo extender esta tendencia hasta el periodo de retorno deseado.

Una posibilidad es extrapolar los datos a ojo, es decir, grficamente. Aunque

este mtodo puede dar muy buenos resultados si se aplica por una persona con

experiencia, tiene la desventaja de la subjetividad; esto es, si veinte ingenieros

diferentes lo aplican, es probable que el resultado sean veinte grficas

diferentes.

Para eliminar esta subjetividad, se debe buscar entre las distintas funciones de

distribucin de probabilidad tericas la que se ajuste mejor a los datos

medidos, y usar esta funcin para la extrapolacin.


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II. OBJETIVOS

2.1 Objetivos Generales

Calcular el Caudal de la Estacin Hidrolgica de Recreta mediante

Mtodos Estadsticos

2.2 Objetivos Especficos

Conocer la Informacin de la Estacin Hidrolgica con la cual se van a

realizar los clculos.

Completar la Informacin de la Estacin Hidrolgica

Realizar el Anlisis de Consistencias y Tendencias

Realizar las Pruebas de Bondad y Ajuste

o Anlisis de la Prueba CHI CUADRADO

o Anlisis de la Prueba SMIRNOV KOLMOGOROV

Realizar las Distribuciones Tericas

o Anlisis de la Distribucin Normal

o Anlisis de la Distribucin Log Normal 2 Parmetros

o Anlisis de la Distribucin Gumbel

Determinar el Caudal de Diseo para los meses de mayor precipitacin


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III. REVISION BIBLIOGRAFICA

3.1 Mtodos Estadsticos

Segn Ing. Pedro Reyes:

Para el Calculo del Caudal Mximo se procede a realizar los siguientes pasos:

1. Analizar la informacin de una Estacin Hidrolgica

2. Completar la informacin si existieran datos faltantes

3. Realizar el anlisis de Consistencias y Tendencias

a. Mtodo Grfico

b. Anlisis de Tendencias

c. Anlisis de Consistencias

4. Realizar la Prueba de Bondad y Ajuste

a. Prueba Chi Cuadrado

b. Prueba Smirnov Kolmogorov

5. Realizar las Distribuciones Tericas

a. Distribucin Normal

b. Distribucin Log Normal

c. Distribucin Gumbell

3.2 Anlisis de Consistencias y Tendencias

3.2.1 Anlisis Visual Grfico


Es la representacin grfica del tiempo (mes de cada ao) y la

precipitacin que le corresponde, donde se determina la diferencia de

saltos entre los picos de cada ao hidrolgico. Donde el mayor salto nos

da la divisin de la muestra.


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3.2.2 Anlisis de Consistencias

Anlisis de consistencia a la Media


Es el anlisis de las muestras mediante la media, donde nos

determinar si los datos calculados estn bien o necesitan ser

corregidos.

Anlisis de consistencia a la Desviacin Estndar


Es el anlisis de las muestras mediante la Desviacin Estndar,

donde nos determinar si los datos calculados estn bien o

necesitan ser corregidos.

3.2.3 Anlisis de Tendencias

Segn Ing. Esp. Rubn Villodas:

Es aquel que se utiliza estadsticamente, observando datos

histricos de varios aos, con el fin de determinar patrones

significativos.

3.3 Pruebas de Bondad y Ajuste

Segn Ven Te Chow:

La Bondad del Ajuste de una distribucin de probabilidad puede probarse

comparando los valores tericos y muestrales de las funciones de

frecuencia relativa o de frecuencia acumulada. En el caso de la funcin de

frecuencia relativa se utiliza la prueba x2. El valor muestral de la frecuencia

relativa del intervalo i es, de la ecuacin fi(xi) = ni/n; el valor terico es

p(xi) = F(xi) F (xi - 1). La prueba estadstica est dada por


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Donde m es el nmero de intervalos

Segn Ing. Esp. Rubn Villodas:

Ambas pruebas caen en la categora de lo que en estadstica se denominan

pruebas de Bondad de Ajuste y miden, como el nombre lo indica, el grado

de ajuste que existe entre la distribucin obtenida a partir de la muestra y

la distribucin terica que se supone debe seguir esa muestra. Ambas

pruebas estn basadas en la hiptesis nula de que no hay diferencias

significativas entre la distribucin muestral y la terica. Ambas pruebas

estn basadas en las siguientes hiptesis:

H0: f(x,q) = f0(x,q)

H1: f(x,q) f0(x,q)

Donde f0(x,q) es la distribucin que se supone sigue la muestra aleatoria. La

hiptesis alternativa siempre se enuncia como que los datos no siguen la

distribucin supuesta. Si se desea examinar otra distribucin especfica,

deber realizarse de nuevo la otra prueba suponiendo que la hiptesis nula

es esta nueva distribucin. Al especificar la hiptesis nula, el conjunto de

parmetros definidos por q puede ser conocido o desconocido. En caso de

que los parmetros sean desconocidos, es necesario estimarlos mediante

alguno de los mtodos de estimacin analizados con anterioridad.

Para formular la hiptesis nula debern tenerse en cuenta los siguientes

aspectos o criterios:


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a) La naturaleza de los datos a analizar. Por ejemplo, si tratamos de

investigar la distribucin que siguen los tiempos de falla de unos

componentes, podramos pensar en una distribucin exponencial, o una

distribucin gama o una distribucin Weibull, pero en principio no

consideraramos una distribucin normal. Si estamos analizando los caudales

de un ro en un determinado sitio, podramos pensar en una distribucin

logartmica normal, pero no en una distribucin normal.

b) Histograma. La forma que tome el histograma de frecuencia es quizs la

mejor indicacin del tipo de distribucin a considerar

3.3.1 Prueba CHI CUADRADO

Segn Francisco Javier Aparicio:

La prueba Chi Cuadrado es la ms popular. Fue propuesta por Karl

Pearson en 1900.

Para probar la hiptesis H0 F = F0 a partir de una muestra

aleatoria simple X1, . . . , Xn de F, Karl Pearson propuso el siguiente

procedimiento, que es en realidad una prueba de H0 Para cada uno

de los intervalos I de una particin finita P de R, se cumple F(I) =

F0(I), y, como consecuencia, una prueba aproximada de H0 en la

medida que la particin P sea suficientemente fina.

Llamemos p0 al vector de las probabilidades F0(I) correspondientes

a los intervalos de P, y p al de las probabilidades F(I). Entonces, H0

equivale a p = p0. Esta ultima es una hiptesis simple sobre el

parmetro p de la distribucin multinomial (n, p) del vector M cuyas

componentes son las frecuencias M(I) = nFn (I) = n i=1 1{XiI}, I

P.


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Denotemos ahora P = {I1, . . . , Ik}, y p0,j = F0(Ij), Mj = M(Ij). El

estadstico de Pearson es:

Su distribucin bajo H0 depende de n y p0, y puede obtenerse en

cada caso mediante el clculo directo a partir de la distribucin

multinomial, o por simulacin. Su distribucin asinttica para n

es 2 con k 1 grados de libertad. En la seccin siguiente se aportan

argumentos basados en la utilizacin de la distribucin normal

asinttica de la multinomial, o bien en el comportamiento asinttico

del cociente de verosimilitudes, para obtener la mencionada

distribucin asinttica.

3.3.2 Prueba SMIRNOV KOLMOGOROV


Esta prueba consiste en comparar el mximo valor absoluto de la

diferencia D entre la funcin de distribucin de probabilidad

observada Fa (xm) y la estimada F (xm)

Con un valor crtico d que depende del nmero de datos y el nivel de

significancia seleccionado. Si D < d, se acepta la hiptesis nula. Esta

prueba tiene la ventaja sobre la Chi Cuadrado de que compara los

datos con el modelo estadstico sin necesidad de agrupados. La

funcin de distribucin de probabilidad observada se calcula como:


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Donde m es el nmero de orden del dato Xm en una lista de mayor a menor y n es

el nmero total de datos.

3.4 Distribucin Terica

3.4.1 Distribucin Normal

Segn Ven Te Chow:

La distribucin Normal surge del teorema del lmite central, el cual

establece que si una secuencia de variables aleatorias xi son

independientes y estn idnticamente distribuidas con media y

varianza, entonces la distribucin de la suma de n de estas variables

aleatorias, Y = Xi, tiende hacia la distribucin normal con media n y

n2 a mediad que n aumente. El punto importante es que esto es cierto

sin importar cual es la funcin de distribucin de probabilidad de X.

Las variables hidrolgicas, como la precipitacin anual calculadas

como la suma la suma de los efectos de muchos eventos

independientes tienden a seguir la distribucin normal.


La funcin de densidad de probabilidad normal se define como:

Donde fJ, Ya son los parmetros de la distribucin. Estos parmetros

determinan la forma de la funcin/(x) y su posicin en el eje x.


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Es posible demostrar que fJ, ya son, respectivamente, la media y la

desviacin estndar de la poblacin y pueden estimarse como la

media y desviacin estndar de los datos. La funcin de distribucin

de probabilidad normal es:

Hoy en da, no se conoce analticamente la integral de la ecuacin, por

lo que es necesario recurrir a mtodos numricos para evaluarla. Sin

embargo, para hacer esto se requerira una tabla para cada valor de

fJ, y a, por lo que se ha definido la variable estandarizada que est

normalmente distribuida con media cero y desviacin estndar

unitaria.

As, la funcin de distribucin de probabilidad se puede escribir como:


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3.4.2 Distribucin Log Normal 2 Parmetros

Segn Ven Te Chow:

Si la variable aleatoria Y = log X est normalmente distribuida,

entonces de dice q X est distribuida en forma Lognormal. Se ha

encontrado que la distribucin log normal describe la distribucin de la

conductividad hidrulica en un medio poroso, la distribucin de tamao

de gotas de lluvia en una tormenta y otras variables hidrolgicas. La

distribucin log normal tiene las ventajas sobre la distribucin normal

de que esta limitada y de que la y transformacin log tiende a reducir

la asimetra positiva comnmente encontrada en informacin

hidrolgica, debido a que al tomar logaritmos se reducen en una

proporcin mayor los nmeros grandes que los nmeros pequeos.

Algunas limitaciones son por un lado, que tienen solamente 2

parmetros y por otro que requiere que los logaritmos de los datos

sean simtricos alrededor de su media.


En esta funcin los logaritmos naturales de la variable aleatoria se

distribuyen normalmente. La funcin de densidad de probabilidad es:

donde y son los parmetros de la distribucin. En la figura se

muestra una grfica de la funcin de densidad de probabilidad para

diferentes valores de y . Como se observa, esta funcin no

necesariamente es simtrica.

Los valores de y se estiman a partir de n observaciones Xi, i = 1,

2, ... n, como:


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3.4.3 Distribucin Gumbel


Supngase que se tienen N muestras, cada una de las cuales contiene n

eventos. Si se selecciona el mximo x de los n eventos de cada

muestra, es posible demostrar que, a medida que n aumenta, la funcin

de distribucin de probabilidad de x tiende a:

La funcin de densidad de probabilidad es entonces

donde y son los parmetros de la funcin

Los parmetros y se estiman como:

Para muestras muy grandes


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IV CALCULOS Y RESULTADOS


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V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 Mtodos Estadsticos

Ayudan a la determinacin de caudales en los meses de mayor precipitacin

como son los meses de Diciembre, Enero, Febrero y Marzo.

5.2 Anlisis de Consistencia y Tendencia

o Anlisis Visual Grfico

Para poder realizar el anlisis visual grfico se necesita tener todos los

datos completos para poder graficar y obtener el pico mas alto y as poder

dividir nuestros datos en 2 muestras.

Se recomienda el uso de un determinado Software para facilitar dicho

anlisis grfico.

5.3 Anlisis de Consistencia

o Anlisis de consistencia a la media

Las pruebas estadsticas para este anlisis de Consistencia a la Media nos

dir si los datos son los correctos, de lo contrario se realiza otra prueba.

Se recomienda tener cuidado con el clculo de estas pruebas estadsticas ya

se podra obtener errores.

o Anlisis de consistencia a la desviacin estndar

Este anlisis se realiza en el caso que el anlisis de consistencia a la media

resulte con error en los datos, para esto se realiza un nuevo anlisis, donde

nos dir si sigue existiendo error.




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o Correccin de la Informacin

Se realiza cuando los dos anlisis ya mencionados resulten con error en los

datos, para ello con esta correccin se asegura que los datos ya corregido

pasaran los anlisis de Consistencia.



5.4 Anlisis de Tendencia

Las pruebas estadsticas para este anlisis son parecidas al otro anlisis,

donde los resultados dirn si los datos estn bien, de lo contrario se tienen que

corregir.



o Correccin de la Informacin

Mediante una ecuacin lineal se determinan las constantes A y B y con ellos

se procede a corregir la informacin.



5.5 Pruebas de Bondad y Ajuste

Al comparar los valores tericos y muestrales de las funciones de frecuencia

relativa o de frecuencia acumulada, se puede determinar si el ajuste es bueno

o malo.

Se recomienda tener cuidado con el clculo de estas pruebas ya que se podra

obtener errores.

Prueba Chi Cuadrado

Este prueba nos determina si el ajuste es bueno o no, mediante datos

agrupados.


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Se recomienda tener cuidado con el clculo de estas pruebas ya que se podra

obtener errores.

Prueba SMIRNOV KOLMOGOROV

Este prueba nos determina si el ajuste es bueno o no, mediante datos no

agrupados.

Se recomienda tener cuidado con el clculo de estas pruebas ya que se

podra obtener errores.

5.6 Distribucin Terica

Distribucin Normal

A pesar de ser una distribucin usada, presenta limitaciones en la

descripcin de variables hidrolgicas ya que varan a lo largo de un rango

continuo y por otro lado se puede ver que es simtrica a alrededor de la

media mientras que la informacin hidrolgica tiende a ser asimtrica.

Distribucin Log Normal

Esta distribucin se aplica a variables hidrolgicas formadas como

productos de otras variables son generalmente apropiadas para variables

aleatorias que cubren todo el rango de valores de los resultados posibles del

experimento bajo anlisis.

Distribucin Gumbel

Esta distribucin se desarrolla para el anlisis de los valores extremos,

como los gastos mximos o mnimos anuales.


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VI BIBLIOGRAFIA

6.1 Hidrologa Aplicada. Ven Te Chow. McGRAW-HILL Interamericana S.A..

Santaf de Bogot Colombia 1994.

6.2 Hidrologa. Ing. Esp. Rubn Villodas. Universidad Nacional de Cuyo

Facultad de Ingeniera Civil

6.3 Docente del Curso. Ing. Pedro Reyes

6.4 Fundamentos de Hidrologa de Superficie. Francisco Javier Aparicio.

Cuarta adicin 1996. Editorial LIMUSA


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VII ANEXOS

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