REPÚBLICA DE PANAMÁ

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

SEDE AZUERO

MÉTODOS NUMÉRICOS

TEMA:

REGRESIÓN LINEAL

INTEGRANTES:

MARTHA ESPINO 7-710-978

STEPHANI RODRÍGUEZ 6-719-1282

VIANCA RODRIGUEZ 6-719-647

FACILITADORA:

MARILUZ CENTELLA

FECHA DE ENTREGA:

JUEVES 12 DE NOVIEMBRE

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas.

El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajustar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos: (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn). La expresión matemática para la línea recta esy = B0 + B1x

Donde B0 y B1 son coeficientes que representan la intersección con el eje Y y la pendiente, respectivamente.

Coeficiente de determinación

El principal propósito es predecir futuros resultados o probar una hipótesis. El coeficiente determina la calidad del modelo para replicar los resultados, y la proporción de variación de los resultados que puede explicarse por el modelo.

Coeficiente de correlación

La correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal y proporcionalidad entre dos variables estadísticas

Los valores de r oscilan entre -1 y 1. Entre más cercano sea el valor a 1 o -1

mejor es el ajuste de la recta de regresión. Un valor de r = 0 indica que no

existe relación lineal entre las dos variables pero puede existir otro tipo de

relación (curvilínea). Un valor positivo de r indica que la recta sube hacia la

derecha; un valor negativo, que la recta baja hacia la derecha. En la figura 2 se

presentan algunas situaciones relacionados con el tipo de relación entre dos

variables y el coeficiente de correlación.

El objetivo de un análisis de regresión es determinar la relación que existe entre una variable dependiente y una o más variables independientes.

APLICACIONES DEL MÉTODO:

Química Mecánica Electricidad Sensores Física Fabricación Diseño de experimentos Construcción.

APLICACIÓN DEL MÉTODO AL ÁREA DE ESTUDIO

La dureza de los árboles es difícil de medir directamente, sin embargo la densidad si es relativamente fácil de medir. Por ello es de gran interés disponer de un modelo que permita predecir la dureza de un árbol a partir de su densidad. Por este motivo se ha tomado una muestra de 10 eucaliptos australianos y se les midió su densidad (X) y su dureza (Y). Los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta.

DENSIDAD(X) DUREZA(Y)2 586 1058 888 11812 11716 13720 15720 16922 14926 202

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

250

58

10588

118 117

137

157169

149

202

Densidad

Dur

eza

x y x2 y2 xy ( y− y)2 ( y− y)2 ( y− y)2

2 58 4 3364 116 5184 3600 1446 105 36 11025 630 625 1600 2258 88 64 7744 704 1764 900 1448 118 64 13924 944 144 900 32412 117 144 13689 1404 169 100 916 137 256 18769 2192 49 100 920 157 400 24649 3140 729 900 920 169 400 28561 3380 1521 900 8122 149 484 22201 3278 361 1600 44126 202 676 40804 5252 5184 3600 144TOTAL=140

TOTAL=1300

TOTAL=2528

TOTAL=184730

TOTAL=21040

TOTAL=15730

TOTAL=14200

TOTAL=1530

PARA AJUSTAR LA RECTA:

y=B0+B1 x

Sxy=∑ xy−(∑ x)(∑ y)

n

Sxy = (21040) -(140)(1300)

10Sxy = 2840

Sxx=∑ x2−¿¿¿

Sxx = (2528) - (140)2

10

PENDIENTEINTERSECCIÓN

Sxx = 568

Syy = ∑ y2−¿¿¿

Syy = (181730) - (1300)2

10

Syy = 12730

PARA ENCONTRAR LOS ESTIMADORES:

B1= SxySxx x=

∑ x

n y=

∑ y

n

B1= 2840568 x=

14010 y=1300

10

B1= 5 x=14 y=130

B0= y−B1 x

B0= 130 – 5 (14)

B0= 60

y= 60+ 5 x

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

250

58

10588

118 117137

157169

149

202

f(x) = 5 x + 60R² = 0.902733630006357

DENSIDAD

DU

REZA

Coeficiente de determinación:

r2 = ∑ ( y− y)2−∑ ( y− y)2

∑ ( y− y)2

r2 = 15730−1530

15730

r2 = 0.9027

Coeficiente de Correlación:

√r2= r

r = 0.95

INFOGRAFÍA

http://es.slideshare.net/albertojeca/problemas-de-regresion-lineal

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/pron%C3%B3stico-de-ventas/regresi%C3%B3n-lineal/

http://www.dcb.unam.mx/profesores/irene/Notas/Regresion.pdf

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?pid=S1405-04712012000100006&script=sci_arttext

#include <stdio.h>

#include<windows.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

#define N 1000

main()

{

//Declaracion de variables

int n,i;

float m,b,sumax,sumay,sumaxy,sumax2,sumay2,sumacr1,sumacr2,sumacr3,sxy,sxx,syy,xb,yb,ye,error,r2,r;

float x[N],y[N];

// Pedimos la cantidad de puntos

printf("REGRESION LINEA\nL");

printf("METODO DE MINIMOS CUADRADOS\n");

printf("APLICACIÓN DEL MÉTODO AL ÁREA DE ESTUDIO: Energia y Ambiente\n);

printf("\nIngrese la Cantidad de puntos: ");

scanf("%d",&n);

// mostramos los puntos para pedir el peso y la estatura

for (i=0;i<n;i++)

{

printf("\nPunto==> %d: \tDensidad(x) : ",i+1);

scanf("%f",&x[i]);

printf(" \tDureza(y) : ",i+1);

scanf("%f",&y[i]);

}

// Hacemos las sumatorias

sumax=sumay=sumaxy=sumax2=0;

for (i=0;i<n;i++)

{

/* suma de los produtos*/

sumaxy += x[i]*y[i];

printf("\nSumatoria de xy=%f\n",sumaxy);

/* suma de los valores de x^2*/

sumax2 += x[i]*x[i];

/* suma de los valores de y^2*/

sumay2 += y[i]*y[i];

/*suma de los valores de x*/

sumax += x[i];

/*suma de los valores de y*/

sumay += y[i];

}

printf("\nSumatoria de x cuadrado=%f\n",sumax2);

printf("\nSumatoria de x cuadrado=%f\n",sumax2);

printf("\nSumatoria de x=%f\n",sumax);

printf("\nSumatoria de y=%f\n",sumay);

/* Calculamos la pendiente (m) y la interseccion (b)*/

sxy = sumaxy - ((sumax*sumay))/n;

sxx = sumax2 - (pow(sumax,2))/n;

syy = sumay2 - (pow(sumay,2))/n;

xb = sumax/n;

yb = sumay/n;

m = sxy/sxx;

b = yb - (m*xb);

// Mostramos los valores de la pendiente y de la interseccion

printf("\nsxy=%f \nsxx=%f \nsyy=%f\n",sxy,sxx,syy);

printf("\n\npendiente(m) = %f \nInterseccion(b) = %f\n\n",m,b);

// la formula para calcular la variable dependiente(Y) es:

printf("\n\nValor de la variable dependiente es Y = %f*X+ (%f)\n\n",m,b);

//Coeficiente de determinacion y error

for (i=0;i<n;i++)

{

/*diferencia de y -yb al cuadrado*/

sumacr1 += pow((y[i] - yb),2);

ye = b + m*x[i];

sumacr2 += pow((ye- yb),2);

sumacr3 += pow((y[i] -ye),2);

error = ((y[i]-ye)/y[i])*100;

printf ("\nx= %f y= %f ye= %f Error=%f",x[i],y[i],ye,error);

}

printf("\nSumatoria de y-yb cuadrado=%f\n",sumacr1);

printf("\nSumatoria de y' - yb cuadrado=%f\n",sumacr2);

printf("\nSumatoria de y - ye cuadrado=%f\n",sumacr3);

r2 = (sumacr1-sumacr3)/sumacr1;

r = sqrt(r2);

printf("R2=%f\n R=%f\n",r2,r);

system("pause");

}