Trabajo final de matemáticas básicas

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE ATEMAJAC

ALUMNO: JESÚS ALBERTO ESCOBAR GÓMEZLICENCIATURA EN INGENIERIA INDUSTRIAL

1ER. CUATRIMESTREPROFESOR: RUBEN TORRES GARCÍA

SEPTIEMBRE DE 2009

1. LEYES ALGEBRAICAS Y OPERACIONES

• Operaciones algebraicas.

• Productos notables.

• Factorización.

• Operaciones con fracciones.

• Base, exponentes y potencias.

• Radicales

2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES

• Números complejos.

• Ecuaciones lineales.

• Ecuaciones cuadráticas.

• Sistema de ecuaciones

3. TRIGONOMETRÍA

• Ángulo.• Medidas del ángulo.• Conversiones.• Ángulos coterminales.• Funciones trigonométricas.• Solución de triángulos acutángulos.• Aplicaciones.

Reglas:

• Cuando hay signos iguales los coeficientes se suman y se mantiene el signo.

• Cuando hay signos diferentes los coeficientes se restan y se pone el signo del coeficiente mayor.

Ejemplo: (5x4 - 7x2 + 8x - 3) + (-9x4 + 2x – 9x2 + 8) =

Solución:

5x4 - 7x2 + 8x - 3+

-9x4 - 9x2 + 2x + 8 _____________________________ - 4x4 -16x2 + 10x + 5

RESULTADO = - 4x- 4x44 -16x -16x22 + 10x + 5 + 10x + 5

Reglas:

• Se cambia el signo de todos las cantidades del sustraendo, para después sumar y tener el resultado.

• Se ordenan los términos cuando estos están en desorden.

Ejemplo:

(4x3 – 7x2 + 2x - 9) - (2x2 + 3x – 6x3 - 1) =

Solución:

4x3 – 7x2 + 2x – 9 - 6x3 - 2x2 - 3x + 1 ________________________ 10x3 – 9x2 – x – 8

RESULTADO = 10x10x33 – 9x – 9x22 – x – 8 – x – 8

Reglas:

• Cuando dos signos iguales se multiplican resultado es positivo (+); cuando se multiplican dos signos diferentes el resultado es negativo (-).

• Anotar las variables en orden alfabético.

• Los exponentes se suman.

• Se aplican las reglas de la suma.

Ejemplo:

(6x2 - 7x + 3) (x + 5) =

Solución:

6x2 - 7x + 3 Por x + 5 ___________________________ 6x3 – 7x2 – 3x+ 30x2 – 35x + 15_____________________________________ 6x3 + 23x2 - 38x + 15

RESULTADO = 6x6x3 3 + 23x+ 23x22 - 38x + 15 - 38x + 15

1. SOLUCIÓN COMÚN

Ejemplo:

8x3 – 3x2 + 2x – 1 = x + 1

RESULTADO =8x2 - 11x + 13 + ( =8x2 - 11x + 13 + ( -14 / x + 1-14 / x + 1 ) )

Solución:

8x2 - 11x + 13 x + 1 8x3 – 3x2 + 2x – 1 -8x3 - 8x2

- 11x2 + 2x + 11x2 +11x +13x – 1 -13x - 13 - 14

2. SOLUCIÓN SINTÉTICA

Ejemplo: 7x3 + 2x2 – 3x + 5 = x – 6

RESULTADO = 7x7x22 + 44x + 261 + ( + 44x + 261 + (1571/ x – 61571/ x – 6))

Solución:

7 + 2 - 3 + 5 ˾6 + 42 + 264 + 1566 7 + 44 + 261 + 1571

Llamamos binomios conjugados a dos binomios que tengan los mismos términos

en suma y resta.

(a+b)(a-b)=a2-b2

Ejemplo:

(5x2 - 7y3)(5x2 + 7y3) =

RESULTADO

= 25x= 25x44 – 49y – 49y66

Se soluciona de la siguiente forma:

(a + b) 2

= a2 + 2ab + b2

Ejemplo:

(3a + b) 2 =

Solución:

= 9a2 + 2 (3a) (b) + b2

= 9a2 + 6ab + b2

RESULTADO

= = 9a9a2 2 + 6ab + b + 6ab + b2 2

La formula para solucionarlos es la siguiente:

(a + b) 3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplo:

( 4a2 + 5b3 )3 =

Solución:

=(4a2)3 + 3 (4a2)2 (5b3) +3 (4a2) (5b3)2 + (5b3)3

= 64a6 + 3 (16a4)(5b3) + (4a2)(25b6) + 125b9

RESULTADO:

= 64a= 64a6 6 + 240a+ 240a44bb33) + 300a) + 300a22bb66) + 125b) + 125b99

1. Sin coeficiente en el primer término

Ejemplo:

(x + 7) (x + 8) =

Solución:

x2 + 15x + 56

RESULTADO:

xx2 2 + 15x + 56+ 15x + 56

2. Con coeficiente en el primer término

Ejemplo:

(3x + 7) (3x + 8) =

Solución:

9x2 + 45x + 56

RESULTADO:

9x9x2 2 + 45x + 56+ 45x + 56

Para dar solución a estos ejercicios utilizamos la siguiente fórmula:

(a + b + +c)2= a2 + b2 + c2 + + 2ab + 2bc + 2ac

Ejemplo:

(5x2 – 7y3 + 8z4)2 =

Solución:= (5x2) 2 + (– 7y3) 2 + ( 8z4)2 +2(5x2)(– 7y3) + 2(– 7y3)(8z4) + 2(5x2)(8z4)

= 25x4 + 49y6 + 64z8 – 70x2y3 – 112y3z4 + 80x2z4

RESULTADO RESULTADO = 25x= 25x44 + 49y + 49y66 + 64z + 64z88 – 70x – 70x22yy33 – 112y – 112y33zz44 + 80x + 80x22zz44

Ejemplo:

100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 =

Solución:

= 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c)

Factor común

RESULTADO:RESULTADO:

= 50abc (2ab= 50abc (2ab22 - 3bc + b - 3bc + b22cc22 - 4c) - 4c)

Ejemplo:

49x2 - 81y8 =

Solución:• Obtenemos la raíz cuadrada de los dos

términos, después lo convertimos en productos de binomios conjugados.

= (7x + 9y4) (7x - 9y4)


= (7x + 9y= (7x + 9y44) (7x - 9y) (7x - 9y44))

a). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: a). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

Ejemplo:

9b2 - 30a2b + 25a4 =

Solución:• Obtenemos la raíz cuadrada del primer

término y del segundo, también bajamos el primer signo, y todo el binomio lo elevamos

al cuadrado. = (3b - 5a2)2


= (3b - 5a= (3b - 5a22))22

ax2 +bx + Cb). CASO 2b). CASO 2 Ejemplo:

x2 - 5x - 36 = Solución:• Ponemos dos paréntesis en donde

descompondremos la x2, bajamos el primer signo al primer paréntesis, y para el segundo multiplicamos (-)(-).

= (x - )( x + )• Buscamos dos números que multiplicados

den -36 y sumados resulten -5, y los ubicamos en el primer y segundo paréntesis.

=(x - 9)( x + 4)


=(x - 9)( x + 4)=(x - 9)( x + 4)

c). CASO 3c). CASO 3

Ejemplo:

21x2 + 11x - 2 =

Solución:

1. (21x + 14) (21x - 3) = 21

2. 7(21x + 14) 3 (21x - 3) = 21

3.

= (3x + 2) (7x - 1)


= (3x + 2) (7x - 1)= (3x + 2) (7x - 1)

b). DIFERENCIAb). DIFERENCIA

Utilizamos la siguiente fórmula:

x3 - y3 = (x - y) (x2 - xy + y2)

Ejemplo:

64a6 - 27b9=

Solución:

= (4a2 - 3b3) (16a4 +12a2b3 + 9b6)


= (4a= (4a22 - 3b - 3b33) (16a) (16a4 4 +12a +12a22bb33 + 9b + 9b66))

a). SUMAa). SUMA

Utilizamos la siguiente fórmula:

x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)

Ejemplo:

729x3 + 1000y3 =

Solución:

= (9x + 10y) (81x2 - 90xy + 100y2)

RESULTADO:RESULTADO:= (9x + 10y) (81x= (9x + 10y) (81x2 2 - 90xy + 100y - 90xy + 100y22))

EJEMPLO :

x2 - 10x + 24 x2 - 2x - 48 30 + x - x2 x2 - 12x + 32

Solución: FactorizamosFactorizamos

(x - 6) (x - 4) (x - 8) (x + 6)(x - 6) (x + 5) (x - 8) (x - 4)

SimplificamosSimplificamos

(x - 6) (x - 4) (x - 8) (x + 6)(x - 6) (x + 5) (x - 8) (x - 4)

x + 6 x + 5


x + 6x + 6

x + 5x + 5

Ejemplo:

x2 + 2x - 8 x2 - 4x + 4x2 - 3x - 4 x2 - 6x + 8

Solución: Invertimos el divisorx2 + 2x - 8 x2 - 6x + 8x2 - 3x - 4 x 2 - 4x + 4

Factorizamos y multiplicamos (x + 4) (x - 2) (x - 4) (x - 2) (x - 4) (x + 1) (x - 2) 2

Simplificamos

(x + 4) (x - 2) (x - 4) (x - 2) (x - 4) (x + 1) (x - 2) 2

x + 4 x - 1

RESULTADO:RESULTADO:x + 4x + 4

x - 1x - 1

Ejemplo:

4x + 10 x - 11 1x2 + 2x - 8 x2 - x - 12 x - 1

Solución:

• Factorizamos denominadores. 4x + 10 x - 11 1 (x+4) (x-2) (x-4) (x+3) x - 1

• Determinamos el común denominador.

• Dividimos el común denominador entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador.

(x-4)(x+3)(x-1)(4x+10) - (x+4)(x+2)(x-1)(x-11) + (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)

• Multiplicamos numeradores

4x4+2x3-64x2-62x+120-x4+10x3+2x2-118x+88x4+x3-22x2-16x+96

(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)

• Sumamos términos comunes

4x4+13x3-65x2-196x+304

(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)


4x4x44+13x+13x33-65x-65x22-196x+304-196x+304

(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)

Exponente

Base Potencia

a) LEY 1

xa xb = xa+b

Ejemplo:

x2 x4 =

Solución:Sumamos los exponentes

= x6


xx66

b). LEY 2

xa / xb = xa-b Ejemplo:

x8 / x3 = Solución:Restamos los exponentes= x5


xx5 5

c). LEY 3

(xa)b = xab

Ejemplo:

(x3)6=Solución:Multiplicamos los exponentes= x18


xx1818

d). LEY 4

1/x-a = xa

Ejemplo:

x-3 / y-5 =Solución:Intercambiamos los términos para convertir los

exponentes a positivos.

= x-3 / y-5


xx-3 -3 / y/ y-5-5

e). LEY 5

a√xb = xb/a

Ejemplo:

3 √ x7 =Solución:Invertimos el radical y el exponente= x 7/3


x x 7/37/3

1. ESCRIBE LA EXPRESIÓN EN FORMA DE RADICAL.

x1/2 - 2y1/3 =


= = √ x - 2 √ x - 2 33√ y√ y

2. ESCRIBE EMPLEANDO EXPONENTES.

4 √x4 y9=


= x y= x y9/49/4

3. FORMA ESTANDAR.

Reglas de la forma estándar de los radicales:• El radicando debe ser positivo (+).• El índice debe ser el menor posible.• El exponente de cada factor del radicando es

un número natural menor que el índice.• No debe haber fracciones en el radicando.

Ejemplo:4 √64x4y10= 4 √26x4y10 = 26/4 x y10/4 = = 23/2 x y5/2 = x √ 23 y5

= 2x y2 √2y


2x y2x y22 √2y √2y

4. SUMA Y RESTA DE RADICALES.Ejemplo:

√24 - √54 + √98 =Solución:

= √(23)(3) - √(33)(2) + √(72)(2)

= - √ 6 + 7 √2


- √ 6 + 7 √2 - √ 6 + 7 √2

6. DIVICIÓN DE RADICALES (RACIONALIZAR UN RADICAL).

Ejemplo:5+ √73- √ 7

Solución:

5 + √7 3 + √7 15 + 5 √7 + 3 √7 + 7 3 - √7 3 + √7 9 - √ 7 2

22 + 8 √7 22 8 √7 9 - 7 2

= 11 + 4 √7


11 + 4 √711 + 4 √7

5. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES.Ejemplo:

(2 √7 - √3) (5 √7 + 4 √3 =Solución:= 10 √72 + 8 √21 - 5 √21 - 4 √32

= 10 (7) + 3 √21 - 14(3)= 70 - 3 √21 -12=58 + 3 √21


58 + 3 √2158 + 3 √21

FORMA:

a = Número Real (N. R.) i = Unidad Imaginaria

Valores de ii

i = √-1i = √-1

ii22= -1= -1

ii33= -1= -1

ii44 = 1 = 1

1. SUMAS Y RESTAS.

Ejemplo:

(-7 –8i) – (4 + 9i) + (11 + 17i) =

Solución:

= -7 – 8i - 4 - 9i + 11 + 17i

= 0 + 0i


0 + 0i0 + 0i

2. MULTIPLICACIÓN.

Ejemplo:(7 - 2i) (6 + 9i)=

Solución:

= 42 + 63i - 12i - 18i2

= 42 + 51i - 18 i2

= 42 + 51i - 18(-1)

= 60 + 51i


60 + 51i60 + 51i

3. DIVISIÓN.

Ejemplo: 7 - 2i / 6 + 9i =

Solución: 7 – 2i 6 - 9i 42 – 63i – 12i + 18i 2

6 + 9i 6 – 9i 36 - 81i 2

42 – 75i + 18(-1) 24 - 75i 8 - 25i 36 - 81(-1) 117 39


8 8 -25i-25i

39 3939 39

1. IGUALDAD.Ejemplo:

7x – 2x + 11 = 25 – 4x + 1

Solución:7x – 2x + 4x = 25 + 1 – 11

9x = 15

x = 15/9

x = 5/3


X= 5/3X= 5/3

2. DESIGUALDAD.Ejemplo:

5x – 18 ≤ -7x +15Solución:

5x – 7x ≤ 15 + 18

-2x ≤ 33

2x ≥ 33

x ≥ - 33/2


x ≥ - 33/2x ≥ - 33/2

1. POR FACTORIZACION.Ejemplo:

6x2 + x – 12 = 0Solución:

= (2x + 3) (3x – 4) = 0

2x + 3 = 0 ; 3x – 4 = 0

2x = -3 ; 3x = -4

x1= -3/2 ; x2 = - 4/3


xx11= -3/2 ; x= -3/2 ; x22 = - 4/3 = - 4/3

2. POR FÓRMULLA GENERAL. x = (-b ±√b2-4ac) / 2a

Mismo ejemplo:Solución:

X = (-1 ±√12 – 4(6)(-12) ) / 2(6)

X = (-1 ±√289) / 12

X = (1 ± 17)/ 12

x1= (-1+ 17) / 12 ; x2 = (-1 -17) / 12

RESULTADO: RESULTADO:

xx11= 4/3 ; x= 4/3 ; x2 2 = - 3/2= - 3/2

ax2 +bx + C

Ejemplo:

2x + 8y = 73x – 5y = 4

Solución:

x y Δ = 2 8 = -10 -24 = -34 3 -5

C y Δx = 7 8 = -35 -32 = -67 4 -5

x C Δ = 2 7 = 8 -21 = - 13 3 4

x = Δx /Δ = -67/ - 34 = 67/34

y = Δy/Δ = -13 / -34 = 13/34


x = x = ΔΔx /x /ΔΔ = -67/ - 34 = 67/34 = -67/ - 34 = 67/34

y = y = ΔΔy/y/ΔΔ = -13 / -34 = 13/34 = -13 / -34 = 13/34

ÁNGULO:

Abertura formada por dos líneas que parten de un mismo punto.

x

y90°

180°

270°

360°

0°

1. SISTEMA SEXAGESIMAL.

Algunos Datos.-

C = Circunferencia

C = 360°

Unidad = grado = x°

Minuto = La parte mas pequeña del °

1°/60 = minuto = x´

Segundo = Parte más pequeña del ´

1´/60= segundo = x ´´

2. SISTEMA CÍCLICO.

Algunos Datos.-

Unidad= Radián

Radián: Es el ángulo que intercepta un arco de la misma longitud que el

radio.

Múltiplo = π

1. DE CÍCLICO A SEXAGESIMAL.

Ejemplo:

5/9 π + 3 =

Solución:

= 5/9 (180) + 3 (180/π) = 100 + 171.8873 = 271° 53´ 14´´


= 271° 53´ 14´´= 271° 53´ 14´´

2. DE SEXAGESIMAL A CÍCLICO

Ejemplo:

4297°=

Solución:

= 4297 (π/180)

= 74.99


= 74.99

Ejemplo:

θ = 46°

Solución:

Θ2 = 360° - 46


314°314°

θ = 46°Ángulo coterminal

= 314°

FUNCIONES:

sen sen θθ = c o / h = c o / h

cos cos θθ = c a / h = c a / h

tan tan θθ = c o / c a = c o / c a

cot cot θθ = c a / c o = c a / c o

sec sec θθ = h / c a = h / c a

cos cos θθ = h / c o = h / c o

y

xθ

hipotenusa

Cateto adyacente

Cateto opuesto

Ejemplo:

Encontrar los valores de los lados del triángulo y sus funciones trigonométricas.

Sen x = 11/12

TEOREMA DE PITÁGORAS:

cc22 = a = a2 2 + b+ b22

Solución:

b2 = 122 – (112)

b2 = 144 – 121b2 = 23b = √23

RESULTADO :RESULTADO :

b = √23b = √23

FUNCIONES.

Cos x = (√23)/12

Tan x = 11/ (√23)

Sec x = 12/12

Cosec x = 12 / (√23)

Cotan x = (√23) / 11

b = ?

1112

x

1. CON UN ANGULO RECTANGULO Y DOS AGUDOS. (determina los valores)

DATOS:

b = 7 √2c = 14

Solución: A

b/c = cos A

(7√2)/14 = cos ACos-1 = 0.7071

A= 45°A= 45°

Solución: B

A + B = 9045° + B = 90B = 90° - 45°

B = 45°B = 45°

Solución: ac2 = a2 + b2

142 = a2 + ( 7√2)2

196 = a2 + 98a2 = 196- 98a2 = 98a = √98a = √(72)(2)

a= 7 √ 2a= 7 √ 2

c=14

b = 7√2

a=?

A=? B=90°

C=?

2. CON DOS ANGULOS AGUDOS Y UN OBTUSO

a) LEY DE LOS SENOS:

a/sen A = b/sen B = c/ sen C

Ejemplo:Datos:A= 38°17´ a = 24.3B= 49°57´ b = ?C=? c = ?

Solución: “C”

A+B+C = 180°

38°17´+49°57´+C=180°

C= 180° - (38°17´+49°57´)

C= 91°46´C= 91°46´

Solución “c”:a/sen A=c/ sen C

24.3/sen38°17´=c/sen91°46´

c = (24.3/sen38°17´) (sen91°46´)

c = 39.2c = 39.2

Solución “b”:a/sen A = b/sen B

24.3/sen38°17´ = b / sen 49° 57´

b = (24.3/sen38°17) ( sen 49°57´)

b = 30.02b = 30.02

b) LEY DE LOS COSENOS:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Datos:A= 74°12´ a = ?B= ? b = 19.3C=? c = 28.1

Solución: “a”

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Aa2 = 19.32 + 28.12 – 2(19.3)(28.1) cos 74°12´ = 866.76

a = 29.44


a = 29.44a = 29.44

Solución: “B”

Cos B = (866.76 + 28.12 – 19.32 ) / 2(29.44)(28.1) = 1283.88/1654.528 = 0.7759

B= cos-1 0.7759


B= 39°6´47´´B= 39°6´47´´

Solución: “C”

Cos C = (29.442 + 19.32 - 28.12 )/2(29.44)(19.3) = 449.5936/1136.384 = 0.3953

C= cos-1 0.3953


66°41´39´´66°41´39´´

EJEMPLO:

Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que esta a 40m de la base. Si el alambre hace un ángulo de 58°20´ con el suelo, calcula la longitud del alambre.

c a/ h = cos A 40/ h = cos 58°20´ h= 40/ cos 58° 20´

= 76.19m

58°20´

RESULTADORESULTADO76.19m76.19m

Trabajo final de matemáticas básicas

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