TRABAJO COLABORATIVO 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE LOS NO LINEALES

METODOS NUMERICOS

Presentado por:

CARLOS ORLANDO INFANTES

VICTOR JULIO JAIMES GELVES

JOAQUIN ALBERTO CUJAR

Presentado a:

JOSE ADEL RIVERA

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y DISTANCIA (UNAD)

ESCUELA CIENCIAS BSICAS INGENIERAS

MTODOS NUMRICOS

2015

INTRODUCCIN

Se conoce el anlisis numrico o clculo numrico como una rama de las matemticas que

se encarga de disear algoritmos para, a travs de nmeros y reglas matemticas simples,

simular procesos matemticos ms complejos aplicados a procesos del mundo real.

Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas de

tal forma que puedan resolverse usando operaciones. Aunque hay muchos tipos de mtodos

numricos, todos comparten una caracterstica comn: llevan a cabo un buen nmero de

tediosos clculos aritmticos. Es por ello que la informtica es una herramienta que nos

facilita el uso y desarrollo de ellos. (Ingenieria, 2013)

Los mtodos numricos son un medio para reforzar la comprensin de las matemticas,

aumentando su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar un trabajo colaborativo sobre sistemas de ecuaciones lineales de los no lineales,

en el curso metodos numericos, comprendiendo y aplicando los conceptos de la unidad II.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Presentacin de un cuadro comparativo entre los sistemas lineales y los sistemas no lineales.

Presentar el sistemas de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel del agua.

Presentar la solucin a los sistemas de ecuaciones de la tabla de tiempo y nivel del agua por cada mtodo: Eliminacin de gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Fase 1. Leer y revisar los conceptos sistemas de ecuaciones lineales de los no lineales.

En matemticas y lgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como

sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones

lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuacin es de primer grado),

definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de

ecuaciones sera el siguiente:

{

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la

matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de

seales, anlisis estructural, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacin

lineal as como en la aproximacin de problemas no lineales de anlisis numrico.

SISTEMAS LINEALES SISTEMAS NO LINEALES

Un sistema es lineal si la salida sigue fielmente

los cambios producidos en la entrada. En la

mayora de los sistemas de control lineales, la

salida debe seguir la misma forma de la entrada,

pero en los casos que la salida no verifique la

misma forma de la entrada, para ser considerado

un sistema lineal la salida deber reflejar los

mismos cambios generados en la entrada.

Un sistema de ecuaciones es no

lineal, cuando al menos una de sus

ecuaciones no es de primer grado.

{

La resolucin de estos sistemas se

suele hacer por el mtodo de

sustitucin.

En matemticas una funcin lineal es aquella que

satisface las siguientes propiedades. Ya que en un

sistema tiene que poner en conjunto de dos o ms

ecuaciones.

1. Aditividad: ( ) ( ) ( ) 2. Homogeneidad: ( ) ( ) Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen

En matemticas, los sistemas no

lineales representan sistemas cuyo

comportamiento no es expresable

como la suma de los

comportamientos de sus descriptores.

Ms formalmente, un sistema es no

lineal cuando las ecuaciones de

como Principio de Superposicin. movimiento, evolucin o

comportamiento que regulan su

comportamiento son no lineales. En

particular, el comportamiento de

sistemas no lineales no est sujeto al

principio de superposicin.

En forma de matriz un sistema de ecuaciones

lineales se puede ver y representar as

1 111 12 1

2 2 221 22

1 2

n

n

n mm m mn

x ba a a

a x ba a

x ba a a

Ax=b

Donde A es una matriz m por n, x es un vector

columna de longitud n y b es otro vector columna

de longitud m.

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar

segn el nmero de soluciones que pueden

presentar. De acuerdo con ese caso se pueden

presentar los siguientes casos:

Sistema compatible: si tiene solucin, en este

caso adems puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado: cuando tiene

una nica solucin.

Sistema compatible indeterminado: cuando

admite un conjunto infinito de soluciones.

Sistema incompatible si no tiene solucin.

Algunos sistemas no lineales tienen

soluciones exactas o integrables,

mientras que otros tienen

comportamiento catico, por lo tanto

no se pueden reducir a una forma

simple ni se pueden resolver. Un

ejemplo de comportamiento catico

son las olas gigantes. Aunque

algunos sistemas no lineales y

ecuaciones de inters general han

sido extensamente estudiados, la

vasta mayora son pobremente

comprendidos.

Las ecuaciones no lineales son

mucho ms complejas, y mucho ms

difciles de entender por la falta de

soluciones simples superpuestas.

Para las ecuaciones no lineales las

soluciones generalmente no forman

un espacio vectorial y, en general, no

pueden ser superpuestas para

producir nuevas soluciones. Esto

hace el resolver las ecuaciones

mucho ms difcil que en sistemas

lineales.

Una ecuacin no lineal es una

ecuacin de la forma: ( ) Se denomina ecuacin lineal a aquella que tiene

la forma de un polinomio de primer grado, es

decir, las incgnitas no estn elevadas a

potencias, ni multiplicadas entre s, ni en el

denominador.

Por ejemplo, es una ecuacin lineal con tres incgnitas. Como es bien

sabido, las ecuaciones lineales con 2 incgnitas

representan una recta en el plano.

Un sistema de ecuaciones es un

conjunto de dos o ms ecuaciones

que comparten dos o ms incgnitas.

Las soluciones de un sistema de

ecuaciones son todos los valores que

son vlidos para todas las

ecuaciones, o los puntos donde las

grficas de las ecuaciones se

intersectan.

Si la ecuacin lineal tiene 3 incgnitas, su

representacin grfica es un plano en el espacio.

Un ejemplo de ambas representaciones puede

observarse en la figura:

Figura Representacin Grafica de la Recta

en el plano y la del plano en el espacio. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto

de ecuaciones lineales de la forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n

incgnitas.

Los nmeros reales se denominan coeficientes

y los se denominan incgnitas (o nmeros a determinar) y se denominan trminos independientes.

En el caso de que las incgnitas sean 2 se suelen

designar simplemente por e en vez de y , y en el caso de tres, en lugar de pero esto es indiferente a la hora de resolver el

sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las

incgnitas para que se cumplan TODAS las

ecuaciones del sistema simultneamente.

Diremos que dos sistemas son equivalentes

cuando tienen las mismas soluciones.

Podemos resolver un sistema de

ecuaciones lineales graficando, por

sustitucin y por combinacin lineal.

Los sistemas de funciones no

lineales, como ecuaciones

cuadrticas o exponenciales, pueden

ser manejados con las mismas

tcnicas.

Ejemplo:

Sistemas de Ecuaciones Lineales y

Cuadrticas

La solucin de este tipo de sistema es

el punto de interseccin entre las dos

rectas, o el lugar donde las dos

ecuaciones tienen los mismos valores

de x y de y. Puede haber ms de una

solucin, no solucin, o un nmero

infinito de soluciones de un sistema

de dos ecuaciones lineales:

Si las grficas de las ecuaciones se

intersectan, entonces existe una

solucin para ambas ecuaciones,

como se indica en al anterior figura.

Si las grficas de dos ecuaciones no

se intersectan (por ejemplo, si son

paralelas), entonces no existen

soluciones para ambas ecuaciones,

como se indica en al anterior figura.

Si las grficas de las ecuaciones son

la misma, entonces hay un nmero

infinito de soluciones para ambas

ecuaciones, como se indica en al

anterior figura.

Sistema Compatible: Tiene solucin.

Compatible Determinado: Tiene una nica solucin

Compatible Indeterminado: Admite un conjunto infinito de soluciones

Sistema Incompatible: No tiene solucin.

Se puede manejar la incertidumbre,

normalmente se genera esta situacin

al existir parmetros que varan en el

tiempo y afectan el sistema de forma

desconocida.

En presencia de una entrada ( ) se cumple: (a) el principio de superposicin, (b) la estabilidad

asinttica implica que para entradas acotadas se

tienen respuestas acotadas, y (c) una entrada

sinusoidal genera una salida sinusoidal de la

misma frecuencia.

Tiempo de escape finito. Una

variable de estado de un sistema no

estable lineal se va a infinito a

medida que el tiempo va a infinito;

en cambio, un sistema no-lineal

inestable puede hacerlo en un tiempo

finito.

Tienen un nico punto de equilibrio

Mltiples puntos de operacin. Un

sistema no-lineal puede tener

mltiples puntos de operacin, los

que pueden ser estables o inestables.

Los estados del sistema convergen a

uno u otro dependiendo del estado

inicial.

El punto de equilibrio es estable si todos los

valores propios tienen parte real negativa

Ciclos lmites. Un sistema lineal

invariante debe tener dos polos en el

eje imaginario para oscilar

permanentemente, lo que no se

puede sostener en la realidad.

Sistemas no-lineales pueden oscilar

con amplitud y frecuencia constante

independiente del punto inicial.

La solucin general puede obtenerse

analticamente

Subarmnico, armnico u

oscilaciones casi-peridicas. Un

sistema lineal bajo excitacin

sinusoidal, genera una salida

sinusoidal de la misma frecuencia.

Un sistema no-lineal ante excitacin

sinusoidal puede generar frecuencias

que son submltiplos o mltiplos de

la frecuencia de entrada. Tambin

puede generar una oscilacin casi-

peridica (suma de componentes con

frecuencias que no son mltiples

entre s).

Mtodos de Solucin:

Sustitucin Igualacin Reduccin Mtodo grfico Mtodo de Gauss Eliminacin de Gauss-Jordan Regla de Cramer

Caos. Se produce en sistemas en que

la salida es extremadamente sensible

a las condiciones iniciales. La salida

no est en equilibrio y no es

oscilacin peridica o casi peridica.

Mltiples modos de comportamiento.

Ms de un ciclo lmite. Dependiendo

de la entrada

(amplitud y frecuencia) la salida

puede exhibir armnicos,

subarmnicos, etc.

SISTEMAS DE ECUCIONES LINEALES

Las ecuaciones 2x + 3y 4z = 5 (1) 3x y + 2z = 2 (2)

representan dos planos en el espacio de tres dimensiones la recta de interseccin contiene

todos los puntos (x,y,z) cuyas coordenadas satisfacen a ambas ecuaciones.

Solucin: para eliminar multiplicamos las ecuaciones (2) por 3 y sumamos el resultado a

las ecuaciones (1).

(3x y + 2z =2) x (3) = 9x 3y + 6z = 6 sumamos: 2x+3y-4z=5

9x-3y+6z=6

11x + 2z=11

despejamos x en este resultado

x= 11-2z = x = 1

11

sustituimos este despeje en ecuaciones (2)

y = 3x+2z-2

(

)+2z-2

y = 33-6z+2z-2

11

y= 33-6z+22z-2

11

y= 33+16z -2

11

y= 3+16z-2z

11

y= 11+16z

11

y= 1+16 z

11

la ecuacin de la recta en formas parametricas es: (x,y,z) = (Xo,Yo,Zo)+(a,b,c).

Por tanto siel vector (x,y,z) es una solucin del sistemas debe ser de la forma

(x,y,z) = (

)

(x,y,z) = (1,1,0)+z (

)

es decir que Xo =1, Yo =1, Zo =0

t = z, a = -2/11, b = 16/11, C = 1

sustituyendo directamente cualquier vector (x,y,z) en la forma parametrica; representa una

sutitucin del sistema por sustitucin tenemos.

2x + 3y 4z =2 (

) (

)

2- 4z + 3 + 48z 44z 11 11 11

5- 4z + 48z 44z 11 11 11

5- 48z + 48z = 5

11 11

y 3x - y + 2z = 3 (

) (

)

3- 6z - 1 - 16z + 22z

11 11 11

2- 6 z - 16 z + 22 z

11 11 11

2- 22 z - 22 z = 2

11 11

el sistema puede escribirse en forma matricial.

[

] [ ] = [

]

SISTEMA DE ECUACIN NO LINEAL

un sistema de ecuacin no lineal es cuando una de sus ecuaciones no es de primer grado.

X + Y = 7

X1 Y = 12

1. se despeja las variables. X + y = 7 = x = 7 y

2. se sustituye y se despeja x. y = 12

(7 y). Y =12 = 7y y2 = 12 resulta una ecuacin de segundo grado y

2 7y + 12 = 0

3. se resuelve esta ecuacin para hallar los valores de y. Factorizamos (y 4) (y 3) = 0 Y - 4 = 0 = y

1 =4

Y - 3 = 0 = y2 = 3

4. despeje X ( x = 7 y) calculamos su valor

X = 7- 4 = X1 = 3

X = 7 -3 = X2 = 4

Solucin:

X1 =3, X2 = 4

Y1 = 4, Y2 =3

FASE 2

2. Realizar aportes que permitan construir un sistema de ecuaciones, de acuerdo a los datos de la siguiente tabla y resolver por los siguientes tres mtodos, Eliminacin de

Gauss-Jordn Gauss-Seidel

Tiempo 4 9 14 x

Nivel de agua 14 50 79 Px

Px=

Px=

14= ( ) ( )2

50= ( ( )2

79= ( ) ( )2

Ecuacin para ser resuelta en los tres mtodos.

|

|

a) Mtodo Gauss Jordn

Respuesta:

X1 =-19.84

X2=

X3= -0.14

1 4 16 14

1 9 81 50

1 14 196 79

1 4 16 14

0 5 65 36

0 10 180 65

1 0 -36 -14.8

0 1 13 7.2

0 0 50 -7

1 4 16 14

0 1 13 7.2

0 10 180 65

1 0 -36 -14.8

0 1 13 7.2

0 0 1 -0.14

1 0 0 -19.84

0 1 0 9.02

0 0 1 -0.14

F2 /5 F2 Y f3 - f1 x (-1)

F3 /50

F1 f2 x (4) y F3 f2 x (10 )

F1 -f3 x (-36) y F3 f2 x (13 )

b. Eliminacin Gaussiana

1 4 16 14

1 9 81 50

1 14 196 79

1 4 16 14

0 5 65 36

0 14 196 79

1 4 16 14

0 5 65 36

0 10 180 65

1 4 16 14

0 5 65 36

0 0 50 -7

+1

=14

+ =36

= -7

La variable X3 sale de la ecuacin (3)

F1 - f2 X (-1)

F1 - f3 X (-1)

F2 - f3 X (-2)

=-4x (

) ( ) (

)

= -19.84

Respuesta:

X1 =-19.84

X2=

X3= -0.14

b) Eliminacin Gauss-Seidel

1. Primero se ordena las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estn los coeficientes mayores para asegurar la convergencia

16x 4y 1z =14

1x 81y 9z =50

1x 14y 196z =79

50X3=-7, x3 =

= -0.14

La variable X2 sale de la ecuacin (2)

X2=65x3+35 . 5 x = 65 * (

) +36 =

= 9.02

La variable X1 sale de la ecuacin (1)

1 4 16 14

1 9 81 50

1 14 196 79

2. Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal

a.

b.

c.

3. Suponemos los valores iniciales son : X=0 Y = 0 y Z=0 reemplazando las variables

y a si calculamos X1

a.

=

= 0,875

b. ( )

= 0, 6064814814

c. ( ) ( )

= 0,3552768329

4. Tenido los valores de X=0 y = 0 y z=0 se realizan las iteranaciones se procede a

sustituir los valores ( se realiz usando formula de Excel)

x y z

0 0,875 0,6064814815 0,3552768329

1 0,7011748276 0,5691522676 0,3588300685

2 0,7102850538 0,5686449917 0,3588198217

3 0,7104125132 0,5686445567 0,3588192025

5 0,7104126607 0,5686446237 0,3588191970

6 0,7104126443 0,5686446245 0,3588191970

7 0,7104126441 0,5686446245 0,3588191970

8 0,7104126441 0,5686446245 0,3588191970

9 0,7104126441 0,5686446245 0,3588191970

d. Comparando los valores calculados entre la sexta y sptima iteracin

0,7104126441=0,0000000002

Dado que se cumple la condicin, el resultado es:

X= 0,71

Y= 0,56

Z= 0,35

FASE 3

Realizar aportes que permitan en las condiciones ideales calcular el polinomio de diferencias

divididas de newton

Tiempo 4 9 14 x

Nivel de agua 14 50 79 Px

Adems identifique los coeficientes de x1 y x2

( ) ( ) ( )

=7, 2

( ) ( ) ( )

f ( )=

= 0,14

x f(x) f(x1) f(x2)

0 14 7,2 0,14

1 50 5,8

2 79

Remplazando valores a la tabla de Diferencias Divididas:

La Ecuacin da:

f (x)= ( ) ( )( )

f(x)= 14 + 7,2x+0,14 (x (x-1))

= 14 + 7,2x + 0, 14( x2-x)

= 14 + 6,2 x + 0,14x

2

= (6,2)

2 4.(0.14) .14=30,6

CONCLUSIN

Por medio de la realizacin de este trabajo adquirimos nuevos conocimientos y se logro

identificar sus propsitos y temticas de cada unidad de estudio, Permitiendo que se

evidencie el contenido del mdulo, orientando a estudiar la aplicacin de los conceptos y

normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales, no lineales, y

considero que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes

herramientas que se usan en los mtodos numricos para fortalecer nuestros conocimientos

y aplicarlos a nuestra vida cotidiana, es de gran valor esta materia ya que complementa

conocimientos bsicos que tenamos como estudiantes y poder aprovechar los recursos que

el tutor puso a disposicin para la realizacin de este consolidado.

BIBLIOGRAFIA

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/GUIA_2.pdf

http://www.ana.iusiani.ulpgc.es/metodos_numericos/index01.htm

http://campus13.unad.edu.co/campus13_20151/mod/forum/view.php?id=2816

Aporte de los integrantes:

CARLOS ORLANDO INFANTES VICTOR JULIO JAIMES GELVES JOAQUIN ALBERTO CUJAR