Trayectorias OrtogonalesECUACIONES DIFERENCIALES

• NICOLÁS MERCHAN

• JOHN BAREÑO

• JULIÁN BELTRÁN

Definición

En la imagen, familia de curvas y sus trayectorias ortogonales.

Teniendo una familia de curvas, se llama conjunto de trayectorias ortogonales, a otra familia de curvas en la cual cada uno de sus miembros corte a cada miembro de la primera familia en ángulos rectos (el ángulo se define como el formado entre las tangentes a las curvas en el punto de intersección).

Ejemplos

Determinación de trayectorias ortogonales

Primer paso: Dada una familia de curvas, se encuentra su ecuación diferencial de la forma:

y’= f(x,y)

Segundo paso: Se encuentran las trayectorias ortogonales resolviendo su ecuación diferencial:

y’= -

Demostración del método

Se sabe que una curva dada que pasa por el punto P: (x,y) tiene

en P la pendiente f(x,y). La pendiente de la trayectoria ortogonal

que pasa por P deberá ser, en ese punto, recíproco negativo de

f(x,y), es decir - , pues esta es la condición para que dos curvas

en P sean perpendiculares.

Aplicaciones de trayectorias Ortogonales

Mapas meteorológicos.

Mapas de campos eléctricos.

Mapas de campos magnéticos.

EJEMPLOS

1. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia dada:

Derivando implícitamente se tiene:

Despejando c de la ecuación original se tiene que:

Reemplazando c:

Aplicando la formula tenemos que:

Haciendo producto de extremos y medios llegamos a:

Por separación de variables y aplicando integral se tiene:

La familia de trayectorias ortogonales es:

2.

Derivando:

Despejando c:

Reemplazando:

Aplicando la formula:

Separando Variables:

La familia Solución es: