Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencia, Dpto. de Matemtica y C.C.

Clculo 1, Mdulo Bsico Ingeniera

Cristin Burgos G.

Trigonometra Bsica ( Propiedades y ejercicios resueltos).

Estimados: mediante el presente documento, se muestran ejercicios de dicultad creciente, el objetivo de esta

gua en el fondo es orientar al estudiante el cmo debe ir avanzado con los problemas que debe resolver para

establecer una estrategia y metodologa de estudio clara, de manera de llegar lo ms rpido y acertivamente

posible a niveles de aprendizaje altos y con el trasfondo terico que corresponde aplicado a diversas situaciones

aqu planteadas. De ninguna manera se quiere decir que esto reemplaza el estudio de conceptos, es justamente

necesario para poder resolver problemas.

1. Sea la identidad sin2 + cos2 = 1 . Demuestre que 1 + tan2 = sec2

Solucin: Tenemos

sin2 + cos2 = 1

Dividiendo por cos2 (sin

cos

)2+ 1 =

(1

cos

)2tan2 + 1 = sec2

2. Usando la misma identidad del problema anterior demuestre que cot2 + 1 = csc2

Solucin: Ahora dividiremos por sin2

sin2 + cos2 = 1

1 +(cossin

)2=

(1

sin

)21 + cot2 = csc2

3. Considere sin( ) = sin cos cos sin y cos( ) = cos cos sin sin

a) Demuestre que sin(2) = 2 sin cos

1

Solucin:

sin(2) = sin(+ )

= sin cos+ cos sin

= 2 sin cos

b) Demuestre que cos(2) = cos2 sin2

Solucin:

cos(2) = cos(+ )

= cos cos sin sin= cos2 sin2

c) Demuestre que tan( ) = tan tan1 tan tan

Solucin:

tan( ) = sin( )cos( )

=sin cos cos sincos cos sin sin

Dividiendo el numerador y denominador por cos cos

sin cos cos sincos cos sin sin =

sin coscos cos cos sincos cos

1 sin sincos cos

=

sincos sincos

1 ( sincos) ( sincos)=

tan tan1 tan tan

Entonces

tan( ) = tan tan1 tan tan

4. Use la identidad demostrada en el item 3-c para encontrar una expresin para tan 2 en trminos de tan

2

Solucin: Sabemos que

tan = tan(2+

2

)=

tan 2 + tan2

1 tan 2 tan 2=

2 tan 21 tan2 2Entonces (

1 tan2 2

)tan = 2 tan

2

0 = 2tan

2 tan+ tan tan2

2

Sea el cambio u = tan 2

u2 tan+ 2u tan = 0u =

24 + 4 tan2 2 tan

=11 + tan2

tan

Luego

tan

2=11 + tan2

tan

5. Demuestre que sin2 =1 cos(2)

2

Solucin:

1 cos(2)2

=1 (cos2 sin2 )

2

=(1 cos2 ) + sin2

2

=sin2 + sin2

2

=2 sin2

2= sin2

6. Sea x = tan , exprese sin y cos en trminos de x si est en el primer cuadrante

3

Solucin:

tan =sin

cos

=sin

1 sin2 tan

1 sin2 = = sin

tan2 (1 sin2 ) = sin2

tan2 sin2 tan2 = sin2 tan2 = sin2 (1+tan)sin2 =

tan2

1 + tan2

sin =

tan2

1 + tan2 =

tan1 + tan2

Pero tan = x , nalmente

sin =x

1 + x2

De manera anloga

tan =sin

cos

=

1 cos2 cos

tan cos =1 cos2

tan2 cos2 = 1 cos2 cos2 (tan2 + 1) = 1

cos2 =1

tan2 + 1

cos =

1

tan2 + 1=

1tan2 + 1

Pero tan = x , nalmente

cos =1

x2 + 1

7. Usando las identidades presentadas en el problema 3, determine el valor de

a) sin 15

4

Solucin:

sin 15 = sin(45 30)= sin 45 cos 30 cos 45 sin 30=

2

23

22

2 12

=

2

4

(3 1

)b) cos 15

Solucin:

cos 15 = cos (45 30)= cos 45 cos 30+ sin 45 sin 30

=

2

23

2+

2

2 12

=

2

4

(3 + 1

)c) cos 150

Solucin:

cos 150 = cos (180 30)= cos 180 cos 30+ sin 180 sin 30

= cos 30=

3

2

8. Considere que tan(2

)= t , 0 < < pi2

a) Escriba tan en trminos de t

Solucin: Observe que

tan = tan(2+

2

)=

2 tan 21 tan2 2

=2t

1 t2

b) Escriba sin en trminos de t

5

Solucin: Observe que

tan =sin

cos

tan =sin

1 sin2

En virtud de lo hecho en el ejercicio 6

sin =tan

1 + tan2

Usando lo deducido en (a)

sin =2t

1t21 +

(2t

1t2)2

=2t

(1 t2)

(1t2)2+4t2(1t2)2

=2t

1 2t2 + t4 + 4t2=

2t1 + 2t2 + t4

=2t

(1 + t2)2

=2t

1 + t2

6