U3 4to CSJF 2019...funciones cuadráticas de la forma: fx ax bx 2 , completar la tabla y sacar...

Unidad No. 3: Función Cuadrática

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Armado y diseño de la Unidad: Prof. Andrea C. Gandolfi

Página web: http://acgandolfi.wix.com/matematica

Unidad No. 3

Función

Cuadrática

Nombre: ………………………….………………

4to. Año -2019-

CASA SALESIANA JUAN SEGUNDO FERNANDEZ


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Pág. 1

Unidad 3: Función Cuadrática

Características de la Función Cuadrática

Una función es cuadrática, si se expresa de la forma, 2: /f A B f x ax bx c con 0a siendo" "," " " "a b y c son números reales y su gráfico es una curva que

se llama parábola.

1. Completar la siguiente tabla:

Función : Término

cuadrático “a”

Término lineal “b”

Término independiente

“c” ¿Está completa?

22 3 1R t t t

22f r r

29 2g v v

27 3,5X u u u

2 20f r r r

2f x ax bx cTérmino

Lineal

Término

Independiente

Término

Cuadrático

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Características de la función Cuadrática:

2. Utilizando el o el , realiza (en un mismo sistema de ejes) el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas de la forma: 2f x ax , Identificar las funciones y sacar conclusiones.

2f x x 22g x x 20,5i x x 22h x x 20,4j x x

Forma Polinómica 2( )f x ax bx c

2( ) 2 3f x x x

Forma Factorizada

1 2( ) ( )f x a x x x x

( ) 1. 1 ( 3)f x x x

Forma Canónica

2( ) v vf x a x x y

2( ) 1 4f x x

¿Qué me indica el término cuadrático “a”? (Completar en la página 1)

¿Qué tienen en común las funciones de la forma 2f x ax ?

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3. Utilizando el o con el , realiza el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas de la forma: 2f x ax bx , completar la tabla y sacar conclusiones.

4. Utilizando el o con el , realiza el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas de la forma: 2f x ax bx c , completar la tabla y sacar conclusiones.

Concavidad

,

Raíces 0C

Forma factorizada

Eje de simetría

Vértice

;v vx y Ordenada al origen

2 4f x x x

2 4g x x x

2 3i x x x

23 6g x x x

Concavidad

,

Raíces 0C

Forma factorizada

Eje de simetría

Vértice

;v vx y

Ordenada al origen

2 4f x x x

22 4 3f x x x

22g v v

22 2 2g v v

2 3i t t t

2 3 4i t t t

¿Cómo puedo calcular el vértice de una función de la forma 2f x ax bx ?

¿Qué me indica el término lineal “b”? (Completar en la página 1)

¿Qué tienen en común las funciones cuadráticas cuyas fórmulas son 2f x ax bx ”?

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Completar la siguiente tabla:

Concavidad

, Ordenada al origen

Raíces (Analíticamente)

Forma Factorizada

Eje de simetría

Vértice ;v vx y

23g x x

29 1t p p

2 2h u u u

2 3i k k k

2 2 3j z z z

5. Grafica y analiza las siguientes funciones cuadráticas incompletas. Calcula analíticamente las raíces y vértice.

a. 2: / ( ) 1f f x x

¿Qué me indica el término independiente “c”? (Completar en la página 1)

0

/ :Im

:

Dom

Eje deSVérticeCCCII

ejeod

Forma Factorizada: Forma Canónica:

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b. 2: / 2h h u u

c. 2: / 2i i v v v

d. 2: / 4j j q q q

0

/ :Im

:

Dom


ejeodForma Factorizada: Forma Canónica:

0

/ :Im

:

Dom



0

/ :Im

:

Dom



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En el depósito de una escuela hay 60 metros de listones de madera con los que se quiere construir un arenero de forma rectangular. El director quiere utilizar todos los listones y que el arenero tenga la mayor superficie posible para que los chicos lo aprovechen mejor. ¿Qué medidas debe tener el arenero?

b. Completa la siguiente tabla que relaciona el largo y el ancho con el área del arenero:

a 1 2 3 --- --- --- 27 28 29

b --- --- ---

área --- --- ---

c. Si tomamos la función que relaciona al valor de “a” con el área, ¿Corresponde esta tabla a una función lineal? ¿Por qué?

a 1 2 3 --- --- --- 27 28 29

área --- --- ---

d. La fórmula de la función Superficie “S” en función del ancho “a”: e. Si graficamos dicha función:

a. ¿Qué relación puedes establecer entre el largo y el ancho?

a

b

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Podemos ver que la gráfica de esta función es simétrica respecto de la recta 15a , que es el valor del ancho, donde se obtiene la máxima superficie. Este valor lo podríamos haber calculado sacando el promedio de los valores que tienen la misma imagen.

1 y 29 son simétricos punto medio:

1 29

152

2 y 28 son simétricos punto medio:

2 28

152

6. Analicen los siguientes gráficos y, sabiendo que los puntos marcados son simétricos, completa

las coordenadas de los puntos.

Cálculo del vértice de una parábola

Para calcular el vértice de una parábola es necesario tener dos valores simétricos. Si ya sabemos las raíces

de dicha parábola, el cálculo se reduce a:

Pero si no tenemos esa información, podemos utilizar un valor de la imagen y encontrar los valores

simétricos que correspondan.

Sea 2f x ax bx c

una función cuadrática, busquemos la imagen 0x :

20 0 0f a b c c , entonces decimos que 0f c

Su simétrico tendrá la misma imagen: 2 2f x c ax bx c c ax bx c c

2 00

0 0

ax bxx ax b

x ax bbxa

;

;

1 2

2v

x xx

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0

2 2v

b

a bx

a

FF FC FP

FF FC FP

FF FC FP

Entonces la coordenada del vértice, será el promedio de los valores simétricos:

Las coordenadas del vértice de una parábola son:

7. Calcular analíticamente las raíces y el vértice de las siguientes funciones cuadráticas. Indicar concavidad e intersección con el eje de ordenadas. Escribir en sus tres formas (factorizada,

polinómica y canónica). Verificar graficando con

a. 2: / 4 2f f x x

b. 2: / 4 3f f x x x

c. : / 3 2 4f f x x x

; ; ;2 2v v v v

b bV x y x f x f

a a

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

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FF FC FP

FF FC FP

FF FC FP

FF FC FP

FF FC FP

d. 2: / 2 1f f x x

e. : / 2 3 1f f x x x

f. 2: / 2 1f f x x

g. 2: / 1 4f f x x

h. 2: / 2 4 6f f x x x

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

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Resolución de ecuaciones cuadráticas

Queremos resolver ecuaciones de la forma: 2ax bx c 0 (1). La idea es transformarla en otra ecuación en la que el despeje de x sea posible. Un tipo de ecuación cuadrática que es fácil de despejar es:

22 x 1 8 0 , si desarrollamos el cuadrado de binomio, nos queda de la forma (1), pero si la despejamos:

2 2 2 22 x 1 8 0 2 x 1 8 x 1 4 x 1 4 x 1 2

x 1 2x 1 2 x 1 2

x 1 x 3

Por lo tanto, tenemos que ver como poder pasar de una ecuación de la forma (1) a una ecuación de la

forma: 2 2 2 2 2

a b c

x p q 0 (2) x 2xp p q 0 x 2p x p q 0

Despejamos p y q para poder reemplazar en la fórmula (2)

2 22 2

b2p b p p2

p q c q c p q c q c q

b2a

b b2a

a

.a

a c a2

2

2

b.4a

2bq c4a

Reemplazamos en la formulo (2) los valores obtenidos:

2

2 2 2 22 2 2 2

2

2 2 2

2 2

x p q 0 (2)

b b b b b 1 b b b ca x c 0 a x c x c x2a 4a 2a 4a 2a a 4a 2a 4a a

b b c b b 4ac4x x2a 4a a 2a 4a

a4a

Por lo tanto para encontrar la/las

soluciones de una ecuaciones de la forma:

2ax bx c 0 utilizaremos:,

Fórmula de Bhaskara o Resolvente

2

1;2b b 4acx

2a

2

2

2 2

1 2

2 2

1 2

2 2

1 2

b b 4acx2a 4a

b b 4ac b b 4acx x2a 2a 2a 2a

b b 4ac b b 4acx x2a 2a 2a 2a

b b 4ac b b 4acx x2a 2a

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2: / 2 4 6f f x x xVolvemos al ejercicio h.

8. Hallar la solución en de las siguientes ecuaciones:

a. 22 21 2x x x

b. 136 18x xx

c. 22 23 2 21 5x x x

d. 2 22 4 2x x x

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9. Calcular las raíces y el vértice de las siguientes funciones cuadráticas:

a. 2: / 5 6f f x x x

b. 2: / 2 3 2f f x x x

c. 2: / 2510f f x x x

d. 2: / 1f f x x x

e. 2

: / 0,5 1 2f f x x

0

Vértice

C

0

Vértice

C

0

Vértice

C

0

Vértice

C

0

Vértice

C

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Graficar la siguiente función cuadrática:

2xf : /f 2x 2x 4

Raíces: x 0f 2

21b b 4acx ;x 2a

Eje de Simetría 1 2

v vx xbx o x

2a 2 Vértice

v v

b bV x ,y ,f2a 2a

Intersección con el eje de ordenadas. f 0

Forma Factorizada:

Forma Canónica:

0

/ :Im

:

Dom


ejeod

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10. ¿Cómo calcularías analíticamente el conjunto de positividad? ¿Con qué forma te convendría trabajar, con la polinómica, canónica, o factorizada? ¿Por qué?

11. Grafica las siguientes funciones cuadráticas encontrando: vértice, concavidad, dos pares de valores simétricos, intersecciones con los ejes coordenados, conjunto imagen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, conjuntos de positividad y negatividad. Escribir la forma canónica, factorizada o polinómica.

a. 2: / 2 64f f x x x

Hallar analíticamente C

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

Anulación del producto

0 0 0a b a b 2 0 0ax bx c

. 0 0 0 0 0

. 0 0 0 0 0

a b a b a b

a b a b a b

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b. 2: / 12f f x x x

c. 2: / 42f f x x x


0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

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d. : / 3 2 5f f x x x


e. 2

: / 1 3f f x x

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

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12. Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota (medida en metros) desde el suelo en función del tiempo (medido en segundo) viene dada por la fórmula:

2e t 5t 20t t 0

a. Grafiquen la situación.

b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?

c. ¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo?

13. Un proyectil se dispara hacia arriba, su altura sobre el suelo, t segundos después del disparo está dado por ttts 1204)( 2 , (s se mide en metros)

a. ¿Para qué intervalos de t, el proyectil asciende y para cuáles desciende?.

b. Determina el instante en el que el proyectil alcanza su máxima altura y calcúlala.

c. Calcula la altura alcanzada 5 segundos después del disparo.

d. ¿Cuánto tardó el proyectil en alcanzar una altura de 500metros?

e. Indicar el dominio y la imagen de la función en el contexto del problema.

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14. Mauro patea una pelota cuya posición en función del tiempo está dada por la fórmula tttp 183)( 2 (p es la posición en metros y t el tiempo en segundos).

a. ¿Qué altura alcanza a los 4 segundos?

b. ¿En qué tiempo alcanza la altura máxima?

c. ¿Cuánto tarda en caer?

d. Indicar el dominio y la imagen de la función en el contexto del problema

Súper Mario Cuadrático:

A partir del siguiente código CR, modifica las ecuaciones para sumar puntos y pasar de nivel.

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Encontrar la fórmula de las siguientes parábolas.

a.

B.

1. Hallar las formulas de las siguientes parábolas. a.

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b.

c.

2. Se sabe que las raíces de una función cuadrática son 1 4 x y 2 3x , y que pasa por el punto

1;3 .¿Cuál es su fórmula? Justificar.

3. Encuentra la fórmula de una función cuadrática cuyas raíces sean 1 2x x 5 y pase por el punto

f 1 16

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Sistemas Mixtos

Se llama sistema mixto aquel que está compuesto por una ecuación cuadrática y

otra lineal.

2y 8x 8 2x

y 2x

4. Hallar analíticamente la solución de los siguientes sistemas. Verificar con

a. 23 3

3 3

y x x

x y

b. 22 8 12

3 9

y x x

y x

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5. Hallar analítica y gráficamente la solución de los siguientes sistemas.

a.

2 7 4

2 2

f x x x

h x x

6. Determinar el valor de k en el sistema para que: 2y 3x x 1

y x k

a. La recta y la parábola tengan un solo punto de contacto. Justificar

b. La recta no corte a la parábola. Justificar

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Unidad No. 3: Función Cuadrática Pág. 23

Repaso para la evaluación

1. Calcular analíticamente las raíces y el vértice de las siguientes funciones cuadráticas. Indicar

concavidad e intersección con el eje de ordenadas.

a. 2: / 5f f x x x

b. 2: / 2 2 4f f x x x

2. Grafica las siguientes funciones cuadráticas encontrando: vértice, concavidad, dos pares de valores simétricos, intersecciones con los ejes coordenados, conjunto imagen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, conjuntos de positividad y negatividad. Escribir la forma canónica, factorizada o polinómica.

2

: / 2 3 2f f x x


0

/ :Im

:

Dom


ejeodFFFCFP

0

/ :VérticeC

ejeod

0

/ :VérticeC

ejeod

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3. Hallar la fórmula de la siguiente parábola.

4. Para qué valor de k la función 2f : / f x 2x 6x 3 k tiene una única solución?

5. Al lanzar un cohete de juguete hacia arriba la altura h, en metros, a la que se encuentra después de t segundos está dada por la función ttth 12816)( 2

a. ¿Cuánto tiempo demora en volver a tocar el piso?

b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

c. ¿Cuánto tiempo demora en alcanzar los 100 metros?

d. Determina el dominio y la imagen de la función en el contexto de la situación

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6. Hallar analítica y gráficamente la solución de los siguientes sistemas.

a. 2y x 4x 7

y 2x 7

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