Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
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Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
SOLUCIONES POR SUSTITUCION(Método de sustitución)
Sustituciones
Suponga que se desea transformar la ecuación diferencial de primer ordenmediante la sustitución y=g(x,u),donde u se considera una función de la variable x.Si g posee derivadas parciales, entonces la regla de la cadena genera
),( yxfdx
dy
dx
du
u
g
dx
dx
x
g
dx
dy
.),(),(dx
duuxguxg
dx
dyux
Sustituciones…
Si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y se reemplaza en f(x,y) por g(x,u) entonces, la ecuación diferencial se convierte en
que si se resuelve para du/dx, tiene la forma:
Si de esta última ecuación se puede determinar una solución u=(x), entonces una solución de la ecuación diferencial original es y=g(x,(x)).
),( yxfdx
dy
)),(,(),(),( uxgxfdx
duuxguxg ux
).,( uxFdx
du
Funciones homogéneas
Si una función f posee la propiedad f(tx,ty)=tf(x,y) para algún número real , se dice entonces que f es una función homogénea de grado .
Por ejemplo:f(x,y) = x3+y3 es una función homogénea de grado 3 mientras que f(x,y) = x3+y3 +1 no lo es.
Polinomios homogéneos
Polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del mismo grado.
Ejemplos:x2y + 8xy2 – x3 +y3
(la suma de los exponentes de cada uno de los cuatro términos son de grado 3).
5x2y3 + 4xy4 +8x5
(la suma de los exponentes de cada uno de los tres términos son de grado 5).
Ecuaciones homogéneas
Cuando las funciones M(x,y) y N(x,y) de la ecuación diferencial de primer orden M(x,y)+N(x,y)=0 son ambas polinomios homogéneos del mismo grado “n”, la ecuación diferencial se denomina: ecuación diferencial homogénea de grado n.
Ecuaciones homogéneas…
Para la ecuación diferencial homogénea M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M y N tienen la propiedad de que para toda t>0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n.
En otras palabras, la ecuación diferencial es homogénea si: M(tx,ty)=tnM(x,y) y N(tx,ty)=tnN(x,y).Para n R.
Ecuaciones homogéneas…
Las ecuaciones diferenciales homogéneas de grado n siempre se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de variables separables, utilizando cualquiera de las dos sustituciones, o cambios de variables siguientes:
.;
;
dy
duyu
dy
dxuyx
y
xu
dx
dvxv
dx
dyvxy
x
yv
Problema
Resuelva la ecuación diferencial
mediante la sustitución:
dx
dvxv
dx
dyvxy
x
yv ;
0222 dyxyxdxyx )()(
Ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial
Donde n es cualquier real se llama Ecuación de Bernoulli.
Para n=0 y n=1 la ecuación anterior es lineal. Para n diferente de 0 ó 1, la sustitución u=y1-n
reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.
nyxfyxPdx
dy)()(
Ecuación de Bernoulli…
Resuelva la ecuación diferencial con la sustitución adecuada.
2
1
yy
dx
dyx
Otras reducciones
Una ecuación diferencial de la forma:
Se reduce siempre a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución:
)( CByAxfdx
dy
.0 BconCByAxu
Otras reducciones…
Resuelva las ecuaciones diferencial con la sustitución adecuada.
23 2 )( yxdx
dy
21)( yxdx
dy