Unidad I. Cantidades fisicas y

vectores

• Introducción

• Medidas

• Sistemas de unidades

• Análisis dimensional

• Estimación y orden de magnitud

• Incertidumbre y cifras significativas

• Como resolver problemas de física

• Vectores

Introducción

• La física es una ciencia fundamental.• La física es una ciencia experimental.• Los físicos desarrollan teorías que describen los fenómenos naturales.

Todo teoría es tentativa, que tiene un intervalo de validez determinado.• Los seis campos principales de la física son:

– Mecánica clásica: estudia el movimiento a tamaños relativamente grande comparado con los átomos y a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz.

– Relatividad: estudia movimiento a cualquier velocidad y escala.– Termodinámica: estudia calor, trabajo, temperatura y comportamiento

estadístico de muchas partículas.– Electromagnetismo: estudia las propiedades e interacción de la electricidad y

magnetismo.– Óptica: estudia la luz y su interacción con materiales.– Mecánica cuántica: estudia el comportamiento de la materia a escala

microscópica y su relación con observaciones macroscópicas.

Introducción

• Modelo idealizado: es un sistema físico simplificado que facilita comprender lo esencial del mismo. Todo modelo es aproximado de la realidad. La utilización del modelo depende del ámbito de aplicación y el cumplimiento de las premisas. Ejemplos:

– Partícula

Medición

Experimento TeoríaMedición

inferenciaFenómeno físico observable

Método científico

Cantidad física

Estándares y unidades

• Cantidad física: es un número y un patrón que describe cuantitativamente un fenómeno físico. Ejemplo, masa, tiempo.

• Las cantidades físicas son descritas con patrones o estándares que tienen definiciones operativas: procedimiento o reglas para obtenerlos. Los patrones son arbitrarios pero adoptados por convenio en la comunidad de científicos y mantenidos por organismos de metrología.

• Al medir una cantidad siempre la comparamos con un estándar de referencia. El estándar define una unidad de la cantidad. Ejemplo:– El metro es una unidad de distancia.– La cantidad física es un número y una unidad. Ej. 6 metros.

Cantidades físicas (en mecánica)

Cantidades básicas: En mecánica hay tres cantidades

fundamentales:

Longitud (L), masa (M), tiempo (T)

Cantidades derivadas: todas aquellas cantidades físicas que

pueden ser expresadas en términos de las cantidades básicas.

Area

Volumen

Velocidad

Acceleración

Fuerza

Cantidad de movimiento lineal

Trabajo

Densidad

PresiónPotencia

Etc.

Masa

La unidad SI de masa es el kilogramo, que se define como la masa

de una aleación específica de platino-iridio.

Tiempo

La unidad SI de tiempo es el segundo, que es el tiempo requerido

para que el átomo de de cesio-133 tenga 9192631770 vibraciones.

Longitud

La unidad SI de longitud es el metro, que es la distanca que viaja la

luz en el vacío durante un tiempo de 1/2999792458 segundo.

Sistema de unidades

Sistema Internacional de unidades SI):

Longitud: metro (m), masa: kilogramo (kg), tiempo: segundo (s) *Este sistema se basó en el denominado sistema mks para metro-kilogramo-

segundo.

Unidades gaussianas

longitud: centímetro (cm), masa: gramo (g), tiempo: segundo (s) *Este sistema también es denominado cgs por centímetro-gramo-segundo.

Sistema inglés o británico:

Longitud: pie, masa: slugs (, fuerza en libras), tiempo: segundos.

(Para longitud utilizan además pulgada, yarda, milla)

Usaremos el sistema SI y tendremos que convertir de un sistema a otro de manera adecuada.

El sistema SI es de uso obligatorio en República Dominicana

¿Cuáles de estas cantidades son derivadas?

•Densidad•Longitud•Fuerza•Area•Volumen

Conversión de unidadesNecesitamos que las unidades sean consistentes (de un mismo sistema

de unidades) o convertirlas a otro sistema de unidades.

Las unidades se pueden tratar como cantidades algebraicas ordinarias.

1 milla = 1609 m = 1.609 km

1 pie = 0.3048 m = 30.48 cm

1m = 39.37 pulgada = 3.281pie

1pulgada= 0.0254 m = 2.54 cm

1 milla = 5280 pie

Ejemplo: Convierta millas por hora a metros por segundo:

s

m

2

1

s

m447.0

s 3600

hora 1

28.3

m 1

milla

pie 5280

hora

milla 1

hora

milla1

pie

Preguntas:

1. Convierta 500 milimetros a metros.

2. Convierta 1litro a mililitros.

3. Convierta 1.45 metros a pulgadas.

4. Convierta 65 millas por hora a

kilómetros por segundo

Procedimiento de conversión de unidades

El procedimiento de conversión consiste en:– Determine los factores de conversión necesarios

– Plantee la igualdad

– Multiplique por el factor de conversión (éste, siempre es igual a la 1) apropiado

– Cancele unidades y haga los cálculos correspondientes.

1 milla = 5280 pie

1m = 3.281pie

1hora = 3600 s

hora

milla 1

hora

milla1

s

m

2

1

s

m447.0

s 3600

hora 1

28.3

m 1

milla

pie 5280

hora

milla 1

hora

milla1

pie

s

m

2

1

s

m447.0

s 3600

hora 1

28.3

m 1

milla

pie 5280

hora

milla 1

hora

milla1

pie

1 milla1

5280pie

5280pie1

1milla

11

3.281

m

pie 3.281

11

pie

m

11

3600

hora

s

36001

1

s

hora

PrefijosPrefijos corresponden a potencias de 10

Cada proefijo tiene un nombre y abreviatura específica

Potencia Prefijo Abrev.

1015 peta P

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

10-2 centi c

10-3 mili m

10-6 micro m

10-9 nano n10-12 pico p

10-15 femto f

Distancia desde la Tierra a la estrella más cercana 40 Pm

Radio promedio de la Tierra 6 Mm

Tamaño de una célula viva 10 mm

Tamaño de un átomo 0.1 nm

http://physics.nist.gov/cuu/Units/prefixes.html

Dimension[L]=L

[M]=M[T]=T

CantidadLongitudMasaTiempo

[A] = L2Área

[V]=L3Volume

[v]= L/TVelocidad

[a] = L/T2

[f]=M L/T2

AcceleraciónFuerza

Análisis dimensional

Definición: La Dimension is la naturaleza cualitativa de una cantidad

física (longitud, masa, tiempo). Las dimensiones pueden ser tratadas

como cantidades algebraicas.

Los corchetes [ ] denotan la dimension o unidades de una cantidad física.

También se denota la dimensión por dim. Es decir, [x]=dim x

El análisis dimensional se utiliza para verificar si las fórmulas están correctas

revisando las dimensiones como cantidades algebraicas. Las cantidades

pueden ser pueden ser sumadas o restadas sólo si tienen las mismas

dimensiones, y las cantidades de ambos miembros de una ecuación deben

tener las mismas dimensiones.

Ejemplo :

Usando el análisis dimensional verfique que la ecuación x = ½ at2

Es correcta, donde x es la distancia, a es la aceleración y t es el tiempo.

L]x[ Miembro izquierdo

LTT

L]at

2

1[ 2

2

2 Miembro derecho

Esta ecuación es correcta porque la dimensión del miembro derecho

es igual a la dimensión del miembro izquierdo.

Solución

Ejercicio:

1. Demuestre que la expresión x = vt +1/2 at2 es dimensionalmente

consistente, donde x es la coordenada y tiene unidades de longitud,

v es velocidad, a es aceleración y t es el tiempo.

2. Verifique que el período T de un péndulo simple se mide en

unidades de tiempo dado por:, siendo l longitud y g aceleración.

g

lT 2

Cifras significativas

• Las mediciones tienen incertidumbre que depende del instrumento de medición, las condiciones ambientales, el proceso de medición.

• La medida de la incertidumbre se denomina error. Error puede ser absoluto o relativo.

• El error es la máxima diferencia probable entre el valor medido y el valor real.

• La exactitud de una medición es el valor medido que estima el valor real.

• La precisión de una medición se refiere al nivel de error de la medición y del instrumento de medida.

Cifras significativas

• Son aquellos dígitos seguros y uno aproximado de una medida directa.

• Siempre se debe expresar un número indicando sólo las cifras significativas.

• Al multiplicar o dividir número el resultado tiene igual número de cifras significativas que el menos preciso de ellos.

• Cuando sumamos o restamos, los lugares decimales del resultado debe ser igual que el que tenga el menor número de éstos.

• Una medida se denota por:

mm02.047.56

mm

mm

)21(6454.1

0021.06454.1

%1047.56

• Ejercicio: cuántas cifras significativas tiene:

• A) 5.65 mm

• B) 2.340 x105 m

• C) 2.31 kg /1.6 m3

• D)2.345 s + 23.5 s + 1.345 s

• E) 1.00 x 106 kg

• Ejemplo. Un rectángulo tiene una longitud de (21.3 ±0.2)cm y un ancho de (9.80 ±0.1)cm. Encuentre el área y la

incertidumbre del área.

Solución:

2

2

)4209(

)80.92.01.03.2180.93.21(

)1.080.9()2.03.21(

cm

cm

cmcmbhArea

Precisión y exactitud

• Exactitud: se refiere a cuán cerca está un valor del valor verdadero.

• Precisión: se refiere al grado de dispersión de los valores respecto a un valor medio.

Ejemplo, Medición de tiempo:a) Reloj exacto y poco precisob) Reloj exacto pero precisoc) Reloj exacto y precisod) Reloj poco exacto y poco preciso

Estimaciones y orden de magnitud

• Orden de magnitud: es la potencia de 10 más cercana al número. Se denota por o(x), x ~.

• Estimaciones: a partir de informaciondisponible, planteando premisas razonables y calculos sencillos. Tambien se denominanproblemas de Fermi, en honor a Enrico Fermi.

• Ejemplo:

• Estime el numero de respiraciones durante la vida promedio de una persona.

Solución:

Premisas:1. Una persona vive aproximadamente 70 años.2. Una persona unas 10 veces por minuto.

min106min

60254001 5hdia

h

año

diasaño

Número de minutos de un año:

nesrespiracionesrespiracio

años 85 104min

10min)106)(70(

Número de respiraciones

Cómo resolver problemas de física

• Identificar– Modelo idealizado– Tipo de problema– Variables, datos, supuestos– Construir diagrama, gráfico, marco de referencia, de la situación física

• Plantear– Estrategias u opciones de solución– Fórmulas

• Ejecutar– Realizar los cálculos, despeje de variables, etc.– Control de unidades de medida, análisis dimensional, cifras significativas

• Evaluar– ¿es razonable la solución?– Comprobación rápida por otro camino u opción identificada en

Planteamiento.– Buscar el orden de magnitud y comparar con los resultados.

Sistema de coordenadas y vectores

Sistemas de coordenadas y marcos de referencia

La ubicacion de un punto en una linea se puede describir por una

coordenada; un punto en el plano se puede describir con dos

coordenadas; un punto en tres dimenensiones se puede describir por

tres coordenadas. En genera, el numero de coordenadas es igual al

numero de dimensiones espaciales. Un sistema de coordenadas

consiste de:

1. Un punto fijo de referencia denominado origen.

2. Un conjunto de ejes con direcciones y escalas especificas

3. Instrucciones que especifican como designar un punto en el espacio

relativo al origen y los ejes.

Sistema de coordenadas cartesianas• También se llama sistema de

coordenadas rectangulares

• Ejes x (abscisas) e y (ordenadas)

• Los puntos se designan por (x,y)

Sistema de coordenada polar

El origen y la linea de referenciase señalan en la figura

un punto se representa comouna distancia r desde origen en la dirección del ángulo

Los puntos se designan por (r,)Línea de referencia

La relación entre las coordenadas polares y

rectangulares es:

x rcos rseny

22 yxr

x

ytan

Por el Teorema de Pitágoras:

Ejercicio: Un punto se localiza en un sistema de coordenadas polares con

direccion y distancia .

Encuentre las coordenadas x e y de este punto, asumiendo que ambos

sistemas de coordenadas tienen el mismo origen.

5.2r 35

Ejemplo :Las coordenadas cartersianas de un punto son

(x,y)= (-3.5,-2.5) metro. Encuentre la coordenada polar de

este punto.

Solución:

21636180

36714.0tan

714.05.3

5.2tan

1

x

y

myxr 3.4)5.2()5.3( 2222

Note que debe utilizar los signos de x y de y para encontrar que se

encuentra en el tercer cuadrante del sistema de coordenadas, es

decir . Lo cual no es 36 216

Escalares y vectores

Los escalares tiene solamente magnitud. Ejemplo de

escalares son la longitud, el tiempo, la masa, la densidad, el

volumen .

Los vectores tienen magnitud y dirección .La magnitud del

vector se escribe como

Son cantidades vectoriales la posición, el desplazamiento, la

velocidad, la aceleración, la fuerza, entre otros.

v

v

Propiedades de Vectores

Igualdad de vectores

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la mismadirección

Movimiento de vectores en un diagrama

Cualquier vector puede moverse de manera paralela a él mismo sin que sea afectado (no cambia la magnitud ni la dirección).

Vectores negativos

Dos vectores son negativos si tienen la misma magnitud perodirección opuesta, es decir, 180°

Multiplicación o división de un vector por un escalar resulta en

un vector en el cual

(a) Sólo cambia la magnitud si el escalar es positivo.

(b) La magnitud cambia y la dirección es opuesta si el escalar es

negativo

Suma de vectores

Métodos para sumar vectores:

Métodos gráficos

• Método del triágulo

• Método del polígono

• Método del paralelogramo

Métodos analíticos o método de componentes

Métodos Gráficos de suma de vectores(Método del triángulo)

Los vectores se dibujan a escala colocando “cabeza” de uno con la “cola” del siguiente, manteniendo lasdirecciones de cada vector.

La resultante R o vector sumase traza del origen de A a la cabeza o extremo final del último vector (B)

Se mide la longitud de R y suángulo.

La suma de vectores se hace a escala

Este vector es el resultado de sumar los tres vectores en cualquier orden.Escala en km

Cuando se tienen variosvectores, se repite el proceso hasta que se incluya al último vector

La resultante es el vector trazado desde el origendel primer vector al extremon final o cabezadel último vector.

Métodos Gráficos de suma de vectores(Método del polígono)

Métodos gráficos(Método del paralelogramo)

Para dos vectores, se puedeutilizar el método del paralelogramo

Todos los vectores, incluyen la resultante, se dibujan desdeun origen común.

Los lados que restan del paralelogramo se dibujan para determinarla diagonal, que es el vector suma, R

Resta de vectores

Es un caso especial de la suma de vectores

A – B, es equivalente a

A+(-B)

Y se suma con el procedimiento estándarde suma vectorial

Relaciones importantes en la suma de vectores

• Ley de los senos

• Ley de los cosenosA

B

C

b a

c

Sea el triangulo ABC de angulos A, B y C y lados a, b y c, como se muestraen la Figura.

a b c

sen A sen B sen C

2 2 2 2 cosc a b ab C

Componentes de un vector

Son las proyecciones del vector en los ejes x e y.

La componente -x- de un vector es la proyección en dirección al eje x

La componente –y de un vector es la proyección en dirección del eje y

entonces

cosxA A

x yA A A

x

y

yxA

AyAAA 122 tan

AsenAy

Donde es el vector componente horizontal y es el vector componente vertical. xA yA

Suma de vectores por el método analítico o método de componentes

(1) Elija el sistema de coordenadas y dibuje los vectors

(2)Encuentre los componentes x e y de todos los vectores

(3) Sume todas las componentes x

Así resulta Rx: xx vR

yy vR

(4)Sume todas las componentes y

Esto da a Ry

(5) Encuentre la magnitud de la Resultante

(6) Busque la tangente inversa para encontrar la dirección de R:

2

y

2

x RRR

x

y1

R

Rtan

• Es conveniente crear un cuadro para facilitar la suma de las componentes:

Vector Magnitud Dirección Componente x Componente y

A

B

C

…

Total Rx= Ry=

2

y

2

x RRR

x

y1

R

Rtan

Vectores unitarios

• Un vector unitario es un vector con magnitud igual a 1 y sin unidades

• Se utiliza para especificar la dirección.• Un vector u apunta en la dirección de U

– Se denota por un “sombrero“: u = û o bien , para el vector A, el vector unitario es

U = |U| û

û

x

y

z

i

j

k

Ejemplos de vectores uintarios son los vectores unitarios cartesianos i, j, k

Apuntan en la dirección de los ejes x, y z.

R = rx i + ry j + rz k

Ae

Ejemplo :

Una partícula realiza tres desplazamientos consecutivos dados por:

,cm)kj3i(d1 cm)k3ji2(d2 cm)ji(d3

Encuentre el desplazamiento resultante de la partícula.

cm)k4j3i2(R

k)031(j)113(i)121(dddR 321

cm4R,cm3R,cm2R zyx

cm39.5RRRR z2

y2

x2

Solución:

El desplazamiento resultante tiene las componentes

La magnitud es

Problema 1: Encuentre la suma de los vectores A y B ubicados en el plano

xy y dados por

Problema 2: Una partícula ejecuta tres desplazamientos consecutivos :

Encuentre las componentes del desplazamiento resultante ,y la magnitud y

dirección

mjiBmjiA )42(,)22(

cmjid

cmkjidcmkjid

)1513(

,)51423(,)123015(

3

21

Propiedades de operaciones con vectores

• Suma de vectores

– Ley conmutativa de la adición:

– Ley asociativa de la adición:

a b b a

( ) ( )a b c a b c a b c

Marco de referencia

• El marco de referencia es un sistema de coordenadas y un reloj para medir el tiempo

Cómo resolver problemas de física

• Método general de resolución de problemas

– Identificar

– Plantear

– Ejecutar y controlar

– Evaluar

• Plantilla de resolución de problemas

Plantilla para resolver problemas de física

1. Identificar•Situación física•Pregunta (s)•Tipo de problemas (tema)•Modelo del problema (represente la situación física mediante uno o varios de los siguientes: dibujo, diagrama, gráfico, marco de referencia, esquema, mapa)

2. Plantear•Definición de variables •Clasificar variables en dependiente e independiente, si es necesario•Datos conocidos•Incógnitas•Premisas o suposiciones•Opciones de solución (estrategias distintas para resolver el problema)•Elección de opción de solución•Método matemático a utilizar

4. Evaluar•¿La solución es razonable?•Compare resultados con la pregunta del paso 1. Identificación, ¿se respondieron las preguntas?•Haga comprobación rápida, aproximada, por otra de las estrategias identificadas en el paso 2.

3. Ejecutar •Resolver con la estrategia seleccionada•Controlar: a) consistencia de dimensiones, b) consistencia de unidades de medida, c) cifras significativas, d) escribir número y unidad de medida si es escalar, y además dirección si es vector.