Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

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INSTITUTO TECNOLOGICO De Lzaro Crdenas

ECUACIONES DIFERENCIALES

INVESTIGACION 4SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NOMBRE DEL ALUMNO: APELLIDO PATERNOAPELLIDO MATERNONOMBRE(S)

Garcia HurtadoSantos Uriel

SEMESTRE: ENERO-JUNIO DE 2014

GRUPO: 42S

SALON: M2

FECHA DE ENTREGA: 4 de junio del 2014

ndice 4.1 Teora preliminar..3

4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales..3

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogneos...6

4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L8

4.2 Mtodos de solucin para sistemas de EDL9

4.2.1 Mtodo de los operadores10

4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace.12

4.3 Aplicaciones.14

4.1 Teora preliminar4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales

REPASO DE MATERIALEn esta unidad se usar la notacin matricial y sus propiedades se usarn con mucha frecuencia a lo largo del mismo. Es indispensable que repase un texto de lgebra lineal si no est familiarizado con estos conceptos

Recuerde que en las unidades pasadas se ilustr cmo resolver sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales con n incgnitas de la forma

Donde las eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D. Este captulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son casos especiales de sistemas que tienen la forma normal

Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama sistema de primer orden

SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones en (2) es lineal en las variables dependientes se obtiene la forma normalde un sistema de ecuaciones lineales de primer orden.

Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un sistema lineal. Se supone que los coeficientes as como las funciones son continuas en un intervalo comn I. Cuando se dice que el sistema lineal (3) es homogneo; de otro modo es no homogneo.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si denotan matrices respectivas

Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se pueden escribir como

Si el sistema es homogneo, su forma matricial es entonces

EJEMPLO 1 Sistema escrito en notacin matricialEntonces la forma matricial del sistema homogneo

Entonces la forma matricial del sistema homogneo

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogneos

Comenzaremos estudiando el sistema homogneo La linealidad del operador garantiza el principio de superposicin, que asegura que toda combinacin lineal con coeficientes constantes de soluciones del sistema homogneo es tambin solucin del mismo:

Por consiguiente, el conjunto de soluciones del sistema lineal homogneo es un subespacio vectorial del espacio de funciones vectoriales regulares x(t) definidas en el intervalo considerado I, donde la independencia lineal de un sistema de vectores xi se define, en la forma habitual, como la imposibilidad de hallar ms combinacin lineal que se anule en todo el intervalo que la que tiene coeficientes nulos. Si el sistema es linealmente dependiente, existe solucin no trivial del sistema lineal homogneo

Siendo la fila nmero i del vector columna En consecuencia, el determinante del sistema, que es el wronskiano del conjunto de vectores,

se anula en todo el intervalo I. En general, el recproco de este resultado no es cierto, pero si los vectores son solucin del sistema homogneo, y el wronskiano se anula en un cierto punto del intervalo, W ()=0, el sistema lineal homogneo

tiene una solucin no trivial para los con la que podemos construir para todo el vector Por el principio de superposicin este vector es solucin del sistema diferencial homogneo y satisface condiciones iniciales nulas en t= por la forma en que se han elegido los El teorema de existencia y unicidad asegura entonces que el vector x tiene que ser el elemento nulo, que satisface las mismas ecuaciones y condiciones, por lo que

y los vectores son linealmente dependientes, lo que a su vez implica que el wronskiano se anula en todos los puntos del intervalo. Vemos, por tanto, que para un conjunto de n soluciones del sistema de orden n las condiciones de dependencia lineal, anulacin del wronskiano en un punto y anulacin del mismo en todo el intervalo son completamente equivalentes, como ya sucediera con la ecuacin lineal homognea de orden n.

4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L.

Que el espacio de soluciones tiene al menos dimensin n se sigue del teorema de existencia y unicidad que garantiza la existencia de las n soluciones linealmente independientes correspondientes a las condiciones iniciales

O cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en no sea nulo. Existen, por tanto, sistemas fundamentales de soluciones, que estn formados por definicin por n soluciones linealmente independientes. Que un sistema fundamental es una base del espacio de soluciones, que tiene, por tanto, dimensin n, se sigue del hecho de que toda solucin x de la homognea, Lx = 0, puede expresarse como combinacin lineal de las del sistema fundamental con coeficientes constantesque pueden calcularse resolviendo en un punto el sistema.

Que tiene solucin nica porque su determinante, que es el wronskiano del sistema fundamental en es distinto de cero. La unicidad de la solucin correspondiente a condiciones iniciales en garantiza que

Con los coeficientes elegidos en Por tanto, la solucin general del sistema homogneo que incluye todas las soluciones es una combinacin con coeficientes constantes arbitrarios de vectores de un conjunto fundamental X=

4.2 Mtodos de solucin para sistemas de EDL

Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias tcnicas para resolver una ecuacin diferencial lineal, tambin las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el mtodo de eliminacin de Gauss, mtodo separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como,

Entonces, la representacin de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales ser,

4.2.1 Mtodo de los operadores

Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultneas tienen que ver con dos o ms ecuaciones que contienen derivadas de dos o ms variables dependientes (las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El mtodo de eliminacin sistemtica para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminacin de variables. Veremos que la operacin anloga de multiplicar una ecuacin algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta combinacin de derivadas.ELIMINACIN SISTEMTICA La eliminacin de una incgnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se facilita al rescribir cada ecuacin del sistema en notacin de operador diferencial.

Donde las son constantes, puede escribirse como

Se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema

En trminos del operador D, primero se escriben los trminos con variables dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables.

SOLUCIN DE UN SISTEMA Una solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente derivables etctera, que satisface cada ecuacin del sistema en algn intervalo comn I.

MTODO DE SOLUCIN Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden

Operando con D la primera ecuacin de (1) en tanto que la segunda se multiplica por 3 y despus se suma para eliminar y del sistema, se obtieneraces de la ecuacin auxiliar de la ltima ED son se obtiene

Multiplicando la primera ecuacin en (1) por 2 mientras que se opera la segunda con D y despus restando, se obtiene la ecuacin diferencial paraInmediatamente se tiene que:

Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda eleccin de porque el sistema en s pone una restriccin al nmero de parmetros en una solucin que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y y(t) en la primera ecuacin del sistema original (1), despus de simplificar, se obtiene

Puesto que la ltima expresin es cero para todos los valores de t, debemos tener Estas dos ecuaciones nos permiten escribir como un mltiplo de y como un mltiplo de :

Por tanto se concluye que una solucin del sistema debe ser

Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuacin de (1) y comprobar que se cumple la misma relacin (4) entre las constantes.4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace

Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes reales donde son funciones dadas e es la funcin vectorial incgnita. Supongamos Adems las condiciones iniciales

Donde nmeros reales para sea

Entonces, tomando la Transformada de Laplace en (2.15) y teniendo en cuenta (2.16) obtenemos que

De donde, si denota la matriz identidad,

Y de aqu

Una vez calculada de este modo obtendremos y tomando la Transformada inversa. Por ejemplo consideremos el sistema

Junto con las condiciones iniciales

Entonces la solucin del problema viene dada por

4.3 Aplicaciones.

Circuitos elctricos con varias ramasSistemas de ecuaciones diferenciales lineales tambin aparecen cuando consideramos circuitos elctricos con varias ramas, como muestra la siguiente figura:

En este caso debemos aplicar las leyes de Kirchoff para obtener las ecuaciones. La primera de ellas afirma que en cada nudo o punto de ramificacin del circuito, la suma de las intensidades entrantes es igual a la suma de las intensidades salientes. En el circuito de la figura esto nos proporciona la ecuacin

En segundo lugar, consideramos los dos subcircuitos que hay y fijamos un sentido de la corriente, como muestra la siguiente figura

Tomamos el primer subcircuito por separado, que es

Para este subcircuito tenemos la ecuacin

Donde

Donde q1 es la carga que da lugar a la intensidad I1,

Teniendo en cuenta que las intensidades I1 e I2 llevan el sentido que nosotros hemos prefijado, y tomando la derivada primera, tenemos la ecuacin

Tomamos ahora el segundo subcircuito que muestra la figura

Cuya ecuacin ser

Teniendo en cuenta que ahora I2 va en sentido contrario a prefijado por nosotros al principio y de ah el signo negativo. Procediendo como antes obtenemos la ecuacin

y combinando las tres ecuaciones tenemos el sistema

Eliminando I1 tenemos las dos ecuaciones

e introduciendo la variable , el sistema queda

Despejamos y tenemos el sistema en la forma

que en forma matricial es

Donde

Otros circuitos similares sern estudiados en los problemas de este tema.