Teoremas de Tales:

1° explica una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos

2°desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa)

Primer teorema

Es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría:

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolarioSegundo teorema

Es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

Teselaciones y Mosaicos:

Los distintos movimientos que existen en el plano: traslaciones, giros y simetrías.

Estos movimientos permiten construir mosaicos (o Teselaciones), y nos hemos propuesto confeccionar mosaicos.

Mosaico: técnica artística que consiste en encajar sobre una superficie pequeñas piezas de materiales diversos cuyo conjunto forma un dibujo.

 Dentro de un mosaico se pueden realizar diferentes cosas como son las traslaciones, giros, simetrías respecto a un punto y simetría respecto a un eje.

TIPOS DE MOVIMIENTOS 

Traslaciones: una traslación de vector   v   transforma cualquier punto P en otro P´ de forma que PP´ tiene el mismo modulo, dirección y sentido que v. Se representa una T→v.

Giros: un giro de centro O y un ángulo (alfa)  es el movimiento que asocia a cada punto P otro punto P´ situado a la misma distancia de O que P y de forma que P´OP= (alfa).

Simetría respecto a un punto: simetría respecto a un punto O ( centro de simetría) es el movimiento que asocia a cada punto P del plano otro punto P´, tal  que   P,O y P´ están alineados, es decir, en línea recta, y O es el punto medio del segmento PP´. Se suele representar por S(O)

Simetría respecto a un eje e: es el movimiento que asocia a cada punto Potro punto P´, tal que el segmento PP´ es perpendicular a e y además las distancias desde P y P´ a e son iguales; es decir, que el eje e es la mediatriz del segmento PP´.

Razón Aurea.

El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:[2]

También se lo representa con la letra griega Tau (Τ τ),[3] por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como cohetes, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

Sólidos de revolución:

Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, la cual puede o no intersectar a la región. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones.

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

Método de discos.

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

Método de cilindros o capas.

Teorema del centroide de Pappus

El teorema del centroide de Pappus o teorema de Pappus–Guldinus, afirma que el área A de una superficie de revolución generada por rotación de una curva C alrededor de un eje en el mismo plano es igual al producto de la longitud del arco s de C y la distancia d hasta su centro geométrico.

Por ejemplo, el área superficial de un toroide con radio menor r y mayor R es

Botella de Klein

Es una superficie no orientable cerrada de Característica de Euler igual a 0 que no tiene interior ni exterior. Otros objetos no-orientables relacionados son la banda de Möbius y el plano proyectivo real. Mientras que una banda de Möbius es una superficie con borde, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Félix Klein

La botella de Klein es el cociente del cuadrado [0,1] × [0,1] con sus bordes identificados por la relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1, y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:

Este cuadrado es el polígono fundamental de la botella de Klein.

Nótese que éste es un pegado "abstracto" en el sentido de que al tratar de hacerlo en tres dimensiones resulta una botella de Klein que se autointersecta. La botella de Klein, propiamente dicha, no tiene autointersecciones. No obstante,

hay un modo de visualizar la botella de Klein como figura en cuatro dimensiones.

Banda de Möbius

Es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. en 1858 Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing

La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

Tiene sólo una cara:

Tiene sólo un borde

Esta superficie no es orientable

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de es mediante la parametrización:

Donde y .

Representa una banda de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en . El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico