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Ing. Mario Carranza Liza Anlisis de Fuerzas Internas - 1

En unidades anteriores se estudiaron dos problemas bsicos que involucraban estructuras:

a) Determinacin de las fuerzas externas que actan sobre una estructura (anlisis del cuerpo rgido).

b) Determinacin de las fuerzas que mantienen unidos a los distintos elementos que constituyen a una estructura (an-lisis de estructuras).

En esta unidad se analizar el problema de la determinacin de las fuerzas internas que mantienen unidas a las distintas par-tes de un elemento dado. Analizaremos dos tipos de estructura:

a) Vigas: las cuales usualmente son elementos prismticos rectos y largos diseados para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento.

b) Cables: son elementos flexibles capaces de soportar slo tensin y estn diseados para soportar cargas concentra-das o distribuidas. Los cables se utilizan en muchas aplicaciones de la ingeniera, como en puentes colgantes y lneas de transmisin.

1. FUERZAS INTERNAS EN ELEMENTOS

Para disear un elemento estructural o mecnico es necesa-rio conocer la carga que acta dentro de l para asegurar-nos de que el material puede resistir esta carga. Las cargas internas pueden determinarse por el mtodo de las seccio-nes. Para ilustrar este mtodo, considere la viga en voladizo que se muestra en la Fig. 1. Si se deben determinar las car-gas internas que actan en la seccin transversal en el pun-to B, entonces se debe pasar por la viga una seccin imagi-naria a-a, perpendicular al eje de la viga a travs del punto B, que separa la viga en dos segmentos.

Fig. 1 Viga en voladizo

Las cargas internas que actan en B quedarn expuestas y se volvern externas en el diagrama de cuerpo libre de cada segmento Fig. 2.

Fig. 2 Fuerzas internas desarrollada en la viga

Las componentes de fuerza NB que acta perpendicular a la seccin transversal se denomina fuerza normal. La compo-nente de fuerza VB que es tangente a la seccin transversal se llama fuerza cortante y el momento de par MB se conoce como momento flexionante. Las componentes de fuerza evitan la traslacin relativa entre los dos segmentos, y el momento de par evita la rotacin re-lativa. De acuerdo con la tercera Ley de Newton, estas car-gas pueden actuar en direcciones opuestas sobre cada seg-

mento, como se aprecia en la Fig. 2. stas pueden determi-narse al aplicar las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre de cualquier segmento. Sin embargo, en este caso el segmento derecho es la mejor opcin debido a que no involucran las reacciones de soporte desconocidas en A. En dos dimensiones hemos demostrado que existen tres cargas resultantes internas, Fig. 3.

Fig. 3 Fuerzas internas en dos dimensiones

En tres dimensiones actuarn una fuerza interna general y un momento de par resultante en la seccin. Las componen-tes x, y, z de estas cargas se muestran en la Fig. 4 Aqu N es la fuerza normal, y Vx y Vz son componentes de fuerza cortante. My es un momento de torsin o de giro y Mx y Mz son componentes de momento flexionante. Para la mayora de las aplicaciones, estas cargas resultantes actuarn en el centro geomtrico o centroide (C) del rea de seccin trans-versal.

Fig. 4 Fuerzas internas en tres dimensiones


2. VIGAS

Un elemento estructural diseado para soportar cargas que sean aplicadas en varios puntos a lo largo del ele-mento se conoce como viga. En la mayora de los casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga y nica-mente ocasionarn corte y flexin sobre sta. Cuando las cargas no forman ngulo recto con la viga, tambin pro-ducirn fuerzas axiales en ella. Por lo general, las vigas son barras prismticas rectas y largas. El diseo de una viga para que soporte de la ma-nera ms efectiva las cargas aplicadas es un procedi-miento de involucra dos partes:

a) Determinar las fuerzas cortantes y momentos flecto-res producidos por las cargas, y

b) Seleccionar la seccin transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes y a los momentos flectores que se determinaron en la pri-mera parte.

En la asignatura se estudiar la primera parte del pro-blema de disear vigas, la segunda parte lo desarrollan en cursos posteriores.

2.1. TIPOS DE CARGAS

Una viga puede estar sujetas a: cargas concentradas P1, P2, , expresadas en New-tons, libras o sus mltiplos.

Fig. 5 Cargas concentradas

cargas distribuidas w, expresada en N/m, kN/m,

lb/pie o kip/pie

Fig. 6 Cargas distribuidas

Cuando la carga w por unidad de longitud tiene un valor constante sobre una parte de la viga (como entre A y B en la Fig. 6 se dice que la carga est uniformemente dis-tribuida a lo largo de esta parte de la viga. La determinacin de las reacciones en los apoyos se sim-plifica considerablemente si se remplazan las cargas dis-tribuidas por cargas concentradas equivalentes.

o a una combinacin de ambas cargas Fig. 9.

2.2. TIPOS DE APOYOS

Las vigas se clasifican de acuerdo a la forma como estn apoyadas. La distancia L existente entre los apoyos reci-be el nombre de claro.

A. VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS

Se debe sealar que las reacciones se determinarn siempre y cuando los apoyos involucren nicamente tres incgnitas.

Fig. 7 Vigas estticamente determinadas

B. VIGAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS

Si se tienen ms de tres apoyos, las reacciones son est-ticamente indeterminadas.

Fig. 8 Vigas estticamente indeterminadas

Algunas veces dos o ms vigas estn conectadas por medio de articulaciones para formar una sola estructura continua. En la figura 9 se muestran dos ejemplos de vi gas articuladas en un punto H.

Fig. 9 Vigas conectadas por medio de articulaciones

a) Viga simplemente apoyada

b) Viga con voladizo

c) Viga en voladizo

a) Viga contina

b) Viga fija en un extremo y simplemente apoyada en el otro

c) Viga fija


2.3. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR DE UNA VIGA

Considere una viga AB, se desea determinar la fuerza cortante y momento flector en cualquier punto de la viga.

Fig. 10 Viga sujeta a diversas cargas

Primero se determinan las reacciones, seleccionando a toda la viga como un cuerpo libre. Para determinar las fuerzas internas en C, se corta la vi-ga en C y se dibujan los diagramas de cuerpo libre co-rrespondiente a las partes AC y CB.

Fig. 11 Secciones de la viga AC y CB

Foto 1. Las fuerzas internas en el paso a desnivel varan conforme el camin lo cruza

Foto 2. Para ahorrar material y por tanto producir un diseo eficiente, estas vigas, est ahusadas, ya que el mo-

mento interno en la viga ser mayor en los apoyos, que en el centro.

2.4. CONVENCIN DE SIGNOS

Fig. 12 Convencin de signos


1. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cortante y

el momento flexionante en el punto C de la viga de doble saliente.

H_12 7.10

2. Para el sistema mostrado kg/mP 1800 , calcular:

A) La tensin en el cable BC. B) Las reacciones en los apoyos A y D. C) Las fuerzas internas en el punto medio de la barra

AB.

V_1 5.7

3. En la viga mostrada, determine las fuerzas y el momento interno en B.

BF_5 eje 10.2

4. Una viga est cargada y apoyada segn se indica en la

figura. Escribir las ecuaciones de la fuerza cortante V y el momento flector M para toda seccin del intervalo 0.6m x 2.4m de la viga sometida a la carga distri-

buida que se indica.

R pro eje 8.4

5. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cortante y

el momento flexionante en el punto B de la viga en vola-dizo.

H_12 7.16

6. Determinar las fuerzas y el momento interno en el punto

A.

BF_5 10.4

7. La siguiente viga tiene una componente de reaccin en el

apoyo B igual a 1002 N, se pide determinar:

a) El valor de W. b) Las fuerzas o acciones internas a 2 m a la derecha

del apoyo A.

V_1 5.1


8. Si piesx 3 en la figura, qu valor tienen las fuerzas y

el momento interno en A?

BF_5 10.9

9. La columna est empotrada en el suelo y es sometida a

las cargas mostradas. Determine la fuerza interna nor-mal, la fuerza cortante y el momento en los puntos A y B.

H_10 7.1

10. Modele el peldao de escalera mostrado como una viga

apoyada simplemente (soporte de pasador), y suponga

que la carga de 750 N ejercida por el pie de la persona

est uniformemente distribuida. Determine las fuerzas y el momento interno en A.

BF_5 10.7

11. En la siguiente barra dobla ABC, las componentes de reaccin en el apoyo C es igual a 2000 kgf. Determinar:

a) El valor de W. b) Las fuerzas internas a 2 m a la derecha de B.

V_1 5.4

12. La flecha est soportada por una chumacera lisa en A y una chumacera de empuje en B. Determine la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento en una seccin que pasa por:

A) El punto C, que est justo a la derecha de la chuma-cera en A, y

B) El punto D, el cual est justo a la izquierda de la fuer-za de Q lb.

H_10 7.5

13. Para el sistema mostrado en equilibrio:

a) Determinar el valor de la tensin en el cable AB y las componentes de reaccin en el apoyo D sabiendo que la barra doblada ADC rgida es recto en D y es homognea con un peso de 400 N.

b) Determinar la fuerza axial, fuerza cortante y momen-to flector en el punto medio de la barra AD.

V_1 5.6


2.5. DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

Para disear una viga, un ingeniero debe conocer las fuerzas y los momentos a travs de toda su longitud. Son importantes los valores mximo y mnimo de la fuerza cortante y del momento flector, y los puntos en que ocu-rren. Considere una viga simplemente apoyada y cargada con una fuerza Fig. 12.

Fig. 13 Vigas cargada con una fuerza F y su DCL

En vez de cortar la viga en una seccin especfica para determinar las fuerzas y el momento interno, se corta en una posicin arbitraria x entre el extremo izquierdo y la carga F Fig. 13. Aplicando las ecuaciones de equilibrio a este diagrama de cuerpo libre, se tiene

0 < x <

N 0

1 2V F L3 3

1M F.x3

Fig. 14 Corte de la viga en una posicin x arbitraria a la iz-quierda de F.

Para determinar las fuerzas y el momento interno para

valores de x mayores a 2 L3

, se obtiene un DCL cortan-

do la viga en una posicin arbitraria x entre la carga F y

el extremo de la viga, los resultados son

2 L < x < L3

N 0

2V F3

2M F L x3

Fig. 15 Corte de la viga en una posicin x arbitraria a la de-recha de F

Los diagramas de fuerza cortante y momento flector son las grficas de V y M, respectivamente, como funciones de x . Estos diagramas permiten ver los cambios en la fuerza cortante y el momento flector a lo largo de la viga, as como sus valores mximo y mnimo (mximo significa la menor cota superior de la fuerza cortante o el momen-to flector y mnimo significa la mayor cota inferior.

Fig. 16 Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector indi-can los valores mximo y mnimo de V y M


1. En la figura:

A) Determine la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x.

B) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen-to flector.

BF_5 10.23

2. Para la viga acotada en la figura, NP 800 se pide:

A) Determinar las componentes de las reacciones. B) Graficar los diagramas de fuerza cortante y momento

flector debidamente acotados.

V_1 5.12

3. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento

flector de la viga cargada y determinar el momento m-ximo M y su posicin x respecto al extremo izquierdo.

Considere kN.mP 1 .

M_3 Tipo 5.13

4. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento

flector para la viga distribuida de 40 lb/in se extiende so-bre 12 in de la viga, desde A hasta C, y la carga de 400 lb se aplica en E. Considere lbP 400 .

B_9 Eje. 7.3 5. Una viga est cargada y apoyada segn se indica en la

fig. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y momento flector de dicha viga.

R Pro Eje. 8.5

6. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento

flexionante para la flecha que se muestra en la figura. El soporte en A es una chumacera de empuje y el soporte en C es una chumacera lisa.

H_12 7.6

7. En la fig. se tiene las cargas NF 200 y N.mC 800 .

A) Determine las fuerzas y el momento interno como funciones de x.

B) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen-to flector.

BF_5 10.29

8. Para la viga mostrada, TP 6 se pide:

A) Calcular las reacciones en los apoyos. B) Graficar los diagramas de fuerza cortante y momento

flector debidamente acotados.

V_1 5.20


9. Dibujar los diagramas de fuerza cortante momento flector de la viga cargada y hallar el valor mximo Mmax del momento flector. Considere kN/mm 4

M_3 5.121

10. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga y las condiciones de carga que se muestran en la figura. Considere kNP 20 .

B_9 Ejem. 7.2

11. Una viga est cargada y apoyada segn se indica en la fig. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y momento flector de dicha viga.

R Pro Eje. 8.6

12. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la viga

a) En trmino de los parmetros mostrados. b) Considere N.mMo 500 y mL 8 .

H_12 5.6

13. Modele el peldao de la escalera mostrada como una viga simplemente apoyada (soporte de pasador), y su-ponga que la carga de 750 N ejercida por el pie de la persona est uniformemente distribuida. Dibuje los dia-gramas de fuerza cortante y de momento flector.

BF_5 10.31

14. Grafique los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y

momento flector para la estructura mostrada en la figura.

Considere: kN.mP 45 .

V_1 5.23

15. La viga en voladizo soporta la carga repartida (fuerza por

unidad de longitud) O

xp p sen

l

. Determinar la fuer-

za cortante V y el momento flector M como funciones del

cociente x

l.

M_3 Tipo 5.12


16. Para la viga y las cargas mostradas en la figura.

A) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen-to flector.

B) Determine los valores absolutos mximos de la fuerza cortante y del momento flector.

Considere kipsP 12 .

B_9 7.37

17. La fig. es el diagrama de momento flector. Dibujar los

diagramas de carga y de fuerza cortante de las vigas co-rrespondientes.

R 8.51

18. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento

flexionante para la viga en voladizo.

H_12 7.56

3. BIBLIOGRAFA

a) BEDFORD, Anthony y FOWLER, Wallace (2008). Me-cnica para Ingeniera - Esttica (5 edicin). Mxico: Pearson Educacin.

b) BEER, Ferdinand P. y otros (2010). Mecnica vectorial para ingenieros Esttica (9 edicin). China: Mc Graw Hill Educacin.

c) BEER, Ferdinand P. y otros (2011). Esttica (1 edi-cin). Mxico: Mc Graw Hill Educacin.

d) HIBBELER, Russell C. (2010). Ingeniera Mecnica- Esttica (12 edicin). Mxico: Pearson Educacin.

e) MERIAM, J.L y KRAIGE, L.G. (Reimpresin 2010). Me-cnica para ingenieros Esttica (3 edicin). Espa-a: Editorial Reverte S.A.

f) RILEY, William y STURGES, Leroy (Reimpresin 2004). Ingeniera Mecnica Esttica. Espaa: Edito-rial Reverte S.A.