Ing. Mario Carranza Liza Anlisis de Fuerzas Internas - 1

En unidades anteriores se estudiaron dos problemas bsicos que involucraban estructuras:

a) Determinacin de las fuerzas externas que actan sobre una estructura (anlisis del cuerpo rgido).

b) Determinacin de las fuerzas que mantienen unidos a los distintos elementos que constituyen a una estructura (an-lisis de estructuras).

En esta unidad se analizar el problema de la determinacin de las fuerzas internas que mantienen unidas a las distintas par-tes de un elemento dado. Analizaremos dos tipos de estructura:

a) Vigas: las cuales usualmente son elementos prismticos rectos y largos diseados para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento.

b) Cables: son elementos flexibles capaces de soportar slo tensin y estn diseados para soportar cargas concentra-das o distribuidas. Los cables se utilizan en muchas aplicaciones de la ingeniera, como en puentes colgantes y lneas de transmisin.

1. FUERZAS INTERNAS EN ELEMENTOS

Para disear un elemento estructural o mecnico es necesa-rio conocer la carga que acta dentro de l para asegurar-nos de que el material puede resistir esta carga. Las cargas internas pueden determinarse por el mtodo de las seccio-nes. Para ilustrar este mtodo, considere la viga en voladizo que se muestra en la Fig. 1. Si se deben determinar las car-gas internas que actan en la seccin transversal en el pun-to B, entonces se debe pasar por la viga una seccin imagi-naria a-a, perpendicular al eje de la viga a travs del punto B, que separa la viga en dos segmentos.

Fig. 1 Viga en voladizo

Las cargas internas que actan en B quedarn expuestas y se volvern externas en el diagrama de cuerpo libre de cada segmento Fig. 2.

Fig. 2 Fuerzas internas desarrollada en la viga

Las componentes de fuerza NB que acta perpendicular a la seccin transversal se denomina fuerza normal. La compo-nente de fuerza VB que es tangente a la seccin transversal se llama fuerza cortante y el momento de par MB se conoce como momento flexionante. Las componentes de fuerza evitan la traslacin relativa entre los dos segmentos, y el momento de par evita la rotacin re-lativa. De acuerdo con la tercera Ley de Newton, estas car-gas pueden actuar en direcciones opuestas sobre cada seg-

mento, como se aprecia en la Fig. 2. stas pueden determi-narse al aplicar las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre de cualquier segmento. Sin embargo, en este caso el segmento derecho es la mejor opcin debido a que no involucran las reacciones de soporte desconocidas en A. En dos dimensiones hemos demostrado que existen tres cargas resultantes internas, Fig. 3.

Fig. 3 Fuerzas internas en dos dimensiones

En tres dimensiones actuarn una fuerza interna general y un momento de par resultante en la seccin. Las componen-tes x, y, z de estas cargas se muestran en la Fig. 4 Aqu N es la fuerza normal, y Vx y Vz son componentes de fuerza cortante. My es un momento de torsin o de giro y Mx y Mz son componentes de momento flexionante. Para la mayora de las aplicaciones, estas cargas resultantes actuarn en el centro geomtrico o centroide (C) del rea de seccin trans-versal.

Fig. 4 Fuerzas internas en tres dimensiones

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2. VIGAS

Un elemento estructural diseado para soportar cargas que sean aplicadas en varios puntos a lo largo del ele-mento se conoce como viga. En la mayora de los casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga y nica-mente ocasionarn corte y flexin sobre sta. Cuando las cargas no forman ngulo recto con la viga, tambin pro-ducirn fuerzas axiales en ella. Por lo general, las vigas son barras prismticas rectas y largas. El diseo de una viga para que soporte de la ma-nera ms efectiva las cargas aplicadas es un procedi-miento de involucra dos partes:

a) Determinar las fuerzas cortantes y momentos flecto-res producidos por las cargas, y

b) Seleccionar la seccin transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes y a los momentos flectores que se determinaron en la pri-mera parte.

En la asignatura se estudiar la primera parte del pro-blema de disear vigas, la segunda parte lo desarrollan en cursos posteriores.

2.1. TIPOS DE CARGAS

Una viga puede estar sujetas a: cargas concentradas P1, P2, , expresadas en New-tons, libras o sus mltiplos.

Fig. 5 Cargas concentradas

cargas distribuidas w, expresada en N/m, kN/m,

lb/pie o kip/pie

Fig. 6 Cargas distribuidas

Cuando la carga w por unidad de longitud tiene un valor constante sobre una parte de la viga (como entre A y B en la Fig. 6 se dice que la carga est uniformemente dis-tribuida a lo largo de esta parte de la viga. La determinacin de las reacciones en los apoyos se sim-plifica considerablemente si se remplazan las cargas dis-tribuidas por cargas concentradas equivalentes.

o a una combinacin de ambas cargas Fig. 9.

2.2. TIPOS DE APOYOS

Las vigas se clasifican de acuerdo a la forma como estn apoyadas. La distancia L existente entre los apoyos reci-be el nombre de claro.

A. VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINADAS

Se debe sealar que las reacciones se determinarn siempre y cuando los apoyos involucren nicamente tres incgnitas.

Fig. 7 Vigas estticamente determinadas

B. VIGAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS

Si se tienen ms de tres apoyos, las reacciones son est-ticamente indeterminadas.

Fig. 8 Vigas estticamente indeterminadas

Algunas veces dos o ms vigas estn conectadas por medio de articulaciones para formar una sola estructura continua. En la figura 9 se muestran dos ejemplos de vi gas articuladas en un punto H.

Fig. 9 Vigas conectadas por medio de articulaciones

a) Viga simplemente apoyada

b) Viga con voladizo

c) Viga en voladizo

a) Viga contina

b) Viga fija en un extremo y simplemente apoyada en el otro

c) Viga fija

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2.3. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR DE UNA VIGA

Considere una viga AB, se desea determinar la fuerza cortante y momento flector en cualquier punto de la viga.

Fig. 10 Viga sujeta a diversas cargas

Primero se determinan las reacciones, seleccionando a toda la viga como un cuerpo libre. Para determinar las fuerzas internas en C, se corta la vi-ga en C y se dibujan los diagramas de cuerpo libre co-rrespondiente a las partes AC y CB.

Fig. 11 Secciones de la viga AC y CB

Foto 1. Las fuerzas internas en el paso a desnivel varan conforme el camin lo cruza

Foto 2. Para ahorrar material y por tanto producir un diseo eficiente, estas vigas, est ahusadas, ya que el mo-

mento interno en la viga ser mayor en los apoyos, que en el centro.

2.4. CONVENCIN DE SIGNOS

Fig. 12 Convencin de signos

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1. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cortante y

el momento flexionante en el punto C de la viga de doble saliente.

H_12 7.10

2. Para el sistema mostrado kg/mP 1800 , calcular:

A) La tensin en el cable BC. B) Las reacciones en los apoyos A y D. C) Las fuerzas internas en el punto medio de la barra

AB.

V_1 5.7

3. En la viga mostrada, determine las fuerzas y el momento interno en B.

BF_5 eje 10.2

4. Una viga est cargada y apoyada segn se indica en la

figura. Escribir las ecuaciones de la fuerza cortante V y el momento flector M para toda seccin del intervalo 0.6m x 2.4m de la viga sometida a la carga distri-

buida que se indica.

R pro eje 8.4

5. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cortante y

el momento flexionante en el punto B de la viga en vola-dizo.

H_12 7.16

6. Determinar las fuerzas y el momento interno en el punto

A.

BF_5 10.4

7. La siguiente viga tiene una componente de reaccin en el

apoyo B igual a 1002 N, se pide determinar:

a) El valor de W. b) Las fuerzas o acciones internas a 2 m a la derecha

del apoyo A.

V_1 5.1

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8. Si piesx 3 en la figura, qu valor tienen las fuerzas y

el momento interno en A?

BF_5 10.9

9. La columna est empotrada en el suelo y es sometida a

las cargas mostradas. Determine la fuerza interna nor-mal, la fuerza cortante y el momento en los puntos A y B.

H_10 7.1

10. Modele el peldao de escalera mostrado como una viga

apoyada simplemente (soporte de pasador), y suponga

que la carga de 750 N ejercida por el pie de la persona

est uniformemente distribuida. Determine las fuerzas y el momento interno en A.

BF_5 10.7

11. En la siguiente barra dobla ABC, las componentes de reaccin en el apoyo C es igual a 2000 kgf. Determinar:

a) El valor de W. b) Las fuerzas internas a 2 m a la derecha de B.

V_1 5.4

12. La flecha est soportada por una chumacera lisa en A y una chumacera de empuje en B. Determine la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento en una seccin que pasa por:

A) El punto C, que est justo a la derecha de la chuma-cera en A, y

B) El punto D, el cual est justo a la izquierda de la fuer-za de Q lb.

H_10 7.5

13. Para el sistema mostrado en equilibrio:

a) Determinar el valor de la tensin en el cable AB y las componentes de reaccin en el apoyo D sabiendo que la barra doblada ADC rgida es recto en D y es homognea con un peso de 400 N.

b) Determinar la fuerza axial, fuerza cortante y momen-to flector en el punto medio de la barra AD.

V_1 5.6

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2.5. DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

Para disear una viga, un ingeniero debe conocer las fuerzas y los momentos a travs de toda su longitud. Son importantes los valores mximo y mnimo de la fuerza cortante y del momento flector, y los puntos en que ocu-rren. Considere una viga simplemente apoyada y cargada con una fuerza Fig. 12.

Fig. 13 Vigas cargada con una fuerza F y su DCL

En vez de cortar la viga en una seccin especfica para determinar las fuerzas y el momento interno, se corta en una posicin arbitraria x entre el extremo izquierdo y la carga F Fig. 13. Aplicando las ecuaciones de equilibrio a este diagrama de cuerpo libre, se tiene

0 < x <

N 0

1 2V F L3 3

1M F.x3

Fig. 14 Corte de la viga en una posicin x arbitraria a la iz-quierda de F.

Para determinar las fuerzas y el momento interno para

valores de x mayores a 2 L3

, se obtiene un DCL cortan-

do la viga en una posicin arbitraria x entre la carga F y

el extremo de la viga, los resultados son

2 L < x < L3

N 0

2V F3

2M F L x3

Fig. 15 Corte de la viga en una posicin x arbitraria a la de-recha de F

Los diagramas de fuerza cortante y momento flector son las grficas de V y M, respectivamente, como funciones de x . Estos diagramas permiten ver los cambios en la fuerza cortante y el momento flector a lo largo de la viga, as como sus valores mximo y mnimo (mximo significa la menor cota superior de la fuerza cortante o el momen-to flector y mnimo significa la mayor cota inferior.

Fig. 16 Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector indi-can los valores mximo y mnimo de V y M

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1. En la figura:

A) Determine la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x.

B) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen-to flector.

BF_5 10.23

2. Para la viga acotada en la figura, NP 800 se pide:

A) Determinar las componentes de las reacciones. B) Graficar los diagramas de fuerza cortante y momento

flector debidamente acotados.

V_1 5.12

3. Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento

flector de la viga cargada y determinar el momento m-ximo M y su posicin x respecto al extremo izquierdo.

Considere kN.mP 1 .

M_3 Tipo 5.13

4. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento

flector para la viga distribuida de 40 lb/in se extiende so-bre 12 in de la viga, desde A hasta C, y la carga de 400 lb se aplica en E. Considere lbP 400 .

B_9 Eje. 7.3 5. Una viga est cargada y apoyada segn se indica en la

fig. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y momento flector de dicha viga.

R Pro Eje. 8.5

6. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento

flexionante para la flecha que se muestra en la figura. El soporte en A es una chumacera de empuje y el soporte en C es una chumacera lisa.

H_12 7.6

7. En la fig. se tiene las cargas NF 200 y N.mC 800 .

A) Determine las fuerzas y el momento interno como funciones de x.

B) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen-to flector.

BF_5 10.29

8. Para la viga mostrada, TP 6 se pide:

A) Calcular las reacciones en los apoyos. B) Graficar los diagramas de fuerza cortante y momento

flector debidamente acotados.

V_1 5.20

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9. Dibujar los diagramas de fuerza cortante momento flector de la viga cargada y hallar el valor mximo Mmax del momento flector. Considere kN/mm 4

M_3 5.121

10. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga y las condiciones de carga que se muestran en la figura. Considere kNP 20 .

B_9 Ejem. 7.2

11. Una viga est cargada y apoyada segn se indica en la fig. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y momento flector de dicha viga.

R Pro Eje. 8.6

12. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la viga

a) En trmino de los parmetros mostrados. b) Considere N.mMo 500 y mL 8 .

H_12 5.6

13. Modele el peldao de la escalera mostrada como una viga simplemente apoyada (soporte de pasador), y su-ponga que la carga de 750 N ejercida por el pie de la persona est uniformemente distribuida. Dibuje los dia-gramas de fuerza cortante y de momento flector.

BF_5 10.31

14. Grafique los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y

momento flector para la estructura mostrada en la figura.

Considere: kN.mP 45 .

V_1 5.23

15. La viga en voladizo soporta la carga repartida (fuerza por

unidad de longitud) O

xp p sen

l

. Determinar la fuer-

za cortante V y el momento flector M como funciones del

cociente x

l.

M_3 Tipo 5.12

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16. Para la viga y las cargas mostradas en la figura.

A) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momen-to flector.

B) Determine los valores absolutos mximos de la fuerza cortante y del momento flector.

Considere kipsP 12 .

B_9 7.37

17. La fig. es el diagrama de momento flector. Dibujar los

diagramas de carga y de fuerza cortante de las vigas co-rrespondientes.

R 8.51

18. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento

flexionante para la viga en voladizo.

H_12 7.56

3. BIBLIOGRAFA

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