Derivada direccional

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de direccin de un vector unitario arbitrario superficie con ecuacin

en el punto

en la

. Para esto consideramos la ) y sea .

(la grfica de

Entonces el punto est sobre . El plano vertical que pasa por el punto en la direccin del vector interseca a la superficie en la curva . La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es la tasa de cambio de en la direccin de . En la liga [Ver en 3D-LG3D] de la figura1, se puede arrastrar con el mouse el punto y/o el vector para observar como vara la tasa de cambio en en la direccin de

Figura 1: derivada direccional en P en la direccin de u

Si sobre el plano

es otro punto sobre la curva

, y si

y

son las proyecciones es paralelo al

de los vectores y , entonces el vector vector , y por consiguiente

Figura 2: derivada direccional en P en la direccin de u

para algn escalar

. As pues,

y la razn de cambio est dada por

y al tomar el lmite cunado obtenemos la tasa de cambio instantanea de (con respecto a la distancia) en la direccin de , la cual se llama derivada direccional de en la direccin de .

Definicin (derivada direccional)

Sea

una funcin escalar y sean un vector unitario, entonces la derivada direccional de

y en

en la direccin del vector

, est dada por :

Observacin: al comparar la definicin de derivada parcial con la de derivada direccional (1), podemos notar que si entonces y si

, es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales en la direccin de los vectores cannicos. Ejemplo 1 Calcule la derivada direccional de direccin del vector Solucin Usando la definicin (1), tenemos que : en el punto en la

y usando la regla de L'Hpital

Esto nos dice que la razn de cambio de en en la direccin del vector es , es decir, que en esta direccin esta decreciendo. En la figura 1 se ilustra esta situacin.

Figura 2: derivada direccional en P en la direccin de u

Observacin: la definicin de derivada direccional es vlida en general para funciones de variables .

Con propsitos de clculo, la definicin no es muy til, por lo que en general se usa la siguiente frmula.

Teorema

Sea una funcin escalar diferenciable en , entonces tiene derivada direccional en la direccin de cualquier vector unitario y (2)

Observacin: recuerde que la componente de cual es la longitud de la proyeccin vectorial de

en la direccin de es sobre el vector unitario

, la

. Con lo cual la frmula

Nos dice que la derivada direccional es la componente del vector gradiente la direccin del vector .

en

Ejemplo 2 Calcule la derivada direccional si

y es el vector unitario dado por Solucin Usando la frmula (2)

. Cunto es

?

De donde

Ejemplo 3 Calcule la derivada direccional vector Solucin . si en el punto en la direccin del

El vector gradiente de la funcin

esta dado por

evaluando en , tenemos que en la direccin de es:

. Por otro lado un vector unitario

Por tanto

Suponga que tenemos una funcin posibles derivadas direccionales de cambio de

de dos o de tres variables y consideramos todas las en un punto dado. Esto proporciona las tasas de

en todas las posibles direcciones. De modo que podemos plantear la

siguiente pregunta : en cul de estas direciones cambia con mayor velocidad?, y cul es la mxima razn de cambio? Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema.

Teorema (direccin de mximo cambio)

Sea direccional

una funcin escalar. El valor mximo de la derivada es y se presenta cuando . tiene la

misma direccin que el vector gradiente

Ejemplo 4 Suponga que la temperatura en un punto en el espacio est dada por

donde est medida en grados centgrados y estn en metros. En qu direccin aumenta ms rpido la temperatura respecto al punto(1, 1, -2)? Cul es la mxima tasa de incremento ? Solucin El gradiente de es

Evaluando en el punto

obtenemos

Por tanto, respecto a , la temperatura se incrementa con mayor rapidez en la direccin del vector gradiente

La tasa mxima de incremento es la longitud del vector gradiente

Observacin: el valor mnimo de la derivada direccional es cuando tiene la direccin opuesta al gradiente .

y ocurre

Ejemplo 5 Considere la placa rectangular que se muestra en la figura siguiente. La temperatura en un punto de la placa est dada por

Determine la direccin en la que se debe mover un insecto que est en el punto para que se enfre lo ms rpido posible.

,

Solucin Para que el insecto se enfre ms rpidamente, respecto al punto una direccin opuesta al gradiente, es decir , debe seguir

O sea debe ir en la direccin del vector Ejemplo 6

.

Considere el ejemplo anterior, observe que es el punto ms fro de la placa. Encuentre la trayectoria que el insecto (que busca el fro) debe seguir hacia el origen, partiendo del punto Solucin .

Si entonces

es la ecuacin vectorial de la trayectoria

de donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

y las condiciones inciales

El sistema de ecuaciones diferenciales (3) se resuelve fcilmente integrando, pues cada ecuacin diferencial es en variables separadas.

y usando las condiciones inciales (4) tenemos que

Simplificando

despejando obtenemos que la trayectoria que debe seguir el insecto es figura 3).

(vea la

Figura 3: mejor trayectoria

Ejemplo 7 La altura de una montaa, en metros sobre el nivel del mar, est dada por

Si un alpinista comienza su ascenso al nivel del mar en

y

Cul

es la trayectoria en el plano montaa?

que corresponde a la ruta ms empinada de ascenso a la

Solucin Sabemos que en cada punto de la montaa, la direccin de ascenso con mayor pendiente esta dada por el gradiente

Esto significa que este vector es tangente a la proyeccin de la trayectoria de ascenso en el plano , es decir, si es dicha trayectoria, entonces

De donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

Para resolverlo podemos observar que

cuya solucin es

Y usando las condiciones inciales debe seguir es

, la trayectoria que

En la siguiente figura se muestra la curva de nivel

y la trayectoria

.

Figura 4: mejor trayectoria

Ejemplo 8 Cul es la razn de cambio de a lo largo de la curva

en el punto que corresponde a (cuando decimos a lo largo de la curva, queremos dar a entender en la direccin del vector tangente a la curva.) Solucin Primero, el punto en la curva es

Un vector tangente a la curva est dado por

y por tanto un vector unitario tangente es

Evaluando en

Figura 5: derivada direccional en P en la direccin de u

Por otro lado, el gradiente de

es

Evaluando en

Y as la derivada direccional es

v