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Método Descripción
Eliminación Gaussiana
Es el más práctico para encontrar
soluciones exactas a un sistema
lineal. Requiere pocas operaciones en
comparación con el método de Gauss-
Jordan. Se producen errores almanejar fraccionarios con cierto
nmero de cifras decimales.
Eliminación de Gauss-Jordan
Requiere muc!as más operaciones
que en la Eliminación Gaussiana.
"ermite resol#er !asta $%-&'
ecuaciones simultáneas con (-$'
d)*itos si*ni+cati#os.
Metodo de Gauss-Seidel
Es mu, práctico para la ma,or)a de
prolemas relacionados con la
in*enier)a ,a que en estos existe una
#ariale dominante en las ecuaciones.o siempre con#er*e a una solución o
en su defecto lo !ace mu, lentamente
2¿
0.1 x1 +7.0 x2 −0.3 x33.0 x
1 −0.1 x
2 −0.2 x
3
0.3 x1 −0.2 x2 −10.0 x3
¿−19.30 (1)¿7.85
¿71.40
Eliminación Gaussiana
/tili0ando la ecuación 1$2 como pi#ote otenemos3
x1+70 x
2−3 x
3=−193.0
210.1 x2−8.98 x3=−586.85( 4)
21.2 x2+9.1 x
3=−129.3
/tili0ando la ecuación 142 como pi#ote se otiene
− x1+0.008091 x
3=−2.4069
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x2+ 0.42925 x
3=−6.09905
0+98.985425 x3=−694.910405
donde podemos despejar facilmente a x3 , y asi hallar los otrosvalores delas incognitas
x3=
−694.91040598.985425
=−7.020330≅−7.0
luego x2=−3.0854≅−3.0
x1=−4.0
Eliminacion de Gauss−Jordan
Simplificando las ecuaciones para un mejor manejo , nosquedan de lasiguiente manera :
[1 70 −3.03 −0.1 −0.23 −2.0 −100.0]
−193.07.85
714.0
Hallaremosla matriz identica, y asila soluciondel sistemade ecuaciones .
f 2 :3 f 1− f 2
f 3=3 f 1−f 3
[1 70 −3.00 210.1 −8.80 212 91
] −193.0−586.85−1293
f 2 : 3 f 1−f 2
[1 70 −3.00 1 −0.00418850 212 91
] −193.0−2.79319
−1293
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f 2= f 3
212−f 2
[1 70 −3.00 0 0.47113
0 212 91
] −193.0−3.305866−1293
Vemos queaqui podemos determinar facilmente el valor de x3
x3=
−3.3058660.47113
=−7.016888 −7.0
!oneste valor , hallamoslas otras dos incognitas
x2=−3.094 −3.0
x1=−4.0
"etodo de Gauss−Seidel
3.0 x1 −0.1 x2 −0.2 x30.1 x
1 +7.0 x
2 −0.3 x
3
0.3 x1 −0.2 x2 −10.0 x3
¿7.85(1)¿−19.3
¿71.40
#signemos valores razona$les para x2=−2.7 % x
3=−7.1
despejando las vari$alesdominantes de cada ecuacion, nos queda:
x1=
7.85+0.1 x2+0.2 x
3
3
x2=
0.3 x3−0.1 x
1−19.3
7
x3=
0.3 x1−0.2 x
2−71.4
10
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Hallemos el valor de x1
, conlos valores asignados de x2
, x3
x10=2.05 3́
con los valores de x1 , x3hallamos el valor de x2
x20=−3.0907619
x30=−7.00024763
x11=2.046958093
x21=−3.086395728 −3.0
3=−¿1 7.02259 −7.0 x¿
luego, utilizando los valores de x1
, x3
aproximados , determinamos el valor de x2
x2=−4.0
Conclusión:
El método de eliminación *ausssiana requiere menos operaciones que en el
método de *auss jordan5 amos métodos presentan prolemas si se eli*e
cierto nmero de cifras decimales5 , en el método de *auss-Seidel #emos que
unas de las incó*nitas no parec)a con#er*er a la solución dada5 aunque s)
deer)a !acerlo ,a que cada una de las ecuaciones presentaa una #ariale
dominante respecto a las otras
4 ¿
El polinomio de interpolacion de &agrange de grado3 , esta dado por :
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8emos que el polinomio5 no da una uena aproximación a los puntos dados.
6) 'arala siguiente ta$la o$tengael 'olinomio de (nterpolaci)n
de diferenciasfinitas de *e+ton e (nterpole enel punto x=−14/15
x 0 1 −1 / −2 /3
y −2 − −8/ −32 /9
El polinomio de tercer grado es :
f ( x )=$0+$
1 ( x− x0 )+$2 ( x− x0 ) ( x− x1)+$3( x− x0 )( x− x1)( x− x2)
donde$ 0= f ( x0)
$1=f [ x1 , x0 ]
f [ x1, x0 ]=−4+ 2
1−0=−2
f [ x2 , x1 ]=
−8
3
+4
−13
−1=−1
f [ x3 , x2 ]=
−329
+8
3
−23+
1
3
=8
3
$2= f [ x2, x1, x0 ]=f [ x2, x1 ]−f [ x1, x0 ]
x2− x
0
=−1+2
−1
3−0
=−3
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f [ x3 , x2 , x1 ]=f [ x3 , x2 ]−f [ x2 , x1 ]
x3− x
1
=
8
3+1
−23
−1=
−115
$3=f [ x3, x 2, x1, x 0 ]=
f [ x3 , x2 , x1 ]−f [ x2 , x1 , x0 ] x
3− x
0
=
−115
+3
−23−0
=−2
luego, f ( x )=−2−2( x−0 )−3 ( x−0 ) ( x−1)−2 ( x−0 ) ( x−1)( x+ 13 )
f ( x )=−2
−2
x−3
x ( x−1
)−2
x ( x−1
)( x +
1
3
)f ( x )=−2+
5
3 x−
5
3 x
2−2 x3
luego f (−1415 )=−3.38137 ¿
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Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5.6) determine los
polinomios de grado 4 5. !ra"i#ar para determinar la #ur$a m%s apro&imada.
" =6
∑i=1
6
x i=−1.7
∑i=1
6
x i2=56.15
∑i=1
6
x i3=−41.579
∑i=1
6
x i4=840.8099
∑i=1
6
x i5=−929.65787
∑i=1
6
x i6=14379.544
∑i=16
x i7
=−20727.47183
∑i=1
6
x i8=260536.6689
∑i=1
6
y i=22.9
∑i=1
6
xi
yi
=24.88
∑i=1
6
x i2 yi=176.886
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∑i=1
6
x i3 yi =324.874
∑i=1
6
x i4
y i=2342.13222
'uego, deemos el resol$er el siguiente sistema de e#ua#iones:
6−1.7 56.15−41.579 840.8099a 1 22.
−1.7 56.15 -41.57 840.80 -2.6578 a2 24.88
56.15 -41.57 840.80 -2.6578 1437.544 a3 176.886
-41.57 840.80 -2.6578 1437.544 -20727.47183 a4 324.874
840.80 -2.6578 1437.544 -20727.47183 260536.668 a5 2342.13222
onde a1=4.6333 . a 2=0.48387, a 3=−0.060175 , a 4=0.0028095, a 5=−0.00069187
porlo tantola ecuacion$uscada es :
f ( x )=0.4633 x4+0.48387 x3−0.060175 x2+0.0028095 x−0.00069187
x 7 9 4 & -4
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y $46
'
:'
(
&7
(
4' -&4&
f ( x )=$0+$
1 ( x− x0 )+$2 ( x− x0 ) ( x− x1)+$3 ( x− x0 )( x− x1 ) ( x− x2 )+$4 ( x− x0 )( x− x1) ( x− x2 )( x− x3)
El polinomio de tercer grado es :
f ( x )=$0+$
1 ( x− x0 )+$2 ( x− x0 ) ( x− x1)+$3( x− x0 )( x− x1)( x− x2)
donde$0=f ( x0 )=1430
$1=f [ x1 , x0 ]=
908−14306−7
=522
$2=f [ x2, x 1, x0 ]=
f [ x2, x1 ]−f [ x1, x0 ] x
2− x
0
=315−522
4−7=69
$3=f [ x3, x2, x1, x0 ]=
f [ x3 , x2 , x1 ]−f [ x2 , x1 , x0 ] x
3− x
0
=49−69
2−7=4
$4=f [ x4 , x3, x2 , x1 , x0 ]=
f [ x4 , x3 , x2, x1 ]−f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] x4− x0 =
4−4
−4−7=0
sustituyendo los valores enel polinomio , tenemos :
f ( x )=1430+522 ( x−7 )+69 ( x−7 ) ( x−6 )+4 ( x−7)( x−6)( x−4)
luego parael punto x=3 % f ( 3 )=122
(2
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