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NUMEROS RACIONALES:
Matemáticamente se define:
a / a b *b
¤ ¢ ¢
1. NUMEROS FRACCIONARIOS
Son aquellos números racionales de la forma ab
que no son enteros
es decir que “a” no sea múltiplo de “b”.
Ejemplos: 8
7;
4
15;
12
3;
7
5
1.1 Fracción:
Son aquellos números fraccionarios, cuyos términos son
positivos.
Ejemplos: 3
8;
41
121;
4
9;
13
12
1.2 Clasificación de las fracciones
A. Por la comparación de su valor respecto de la unidad.
* Propia: Cuando es menor que la unidad.
Impropia: Cuando es mayor que la unidad.
Ejemplos: 11 3 21 8
; ; ;13 4 41 3
a
fb
“f” es fracción a b, a Z+ ; b Z+
numerador
denominador
NUMEROS RACIONALES – RAZONES Y
PROPORCIONES
a
f 1 ; a bb
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B. Por su denominador:
* Decimal:
Cuando el denominador es una potencia de base 10.
* Ordinaria o común:
Cuando el denominador no es una potencia de base 10.
C. Por la cantidad de divisores comunes de sus términos.
* Irreductible:
Cuando sus términos sólo poseen como divisor común a la
unidad.
* Reductible:
Cuando sus términos tienen más de un divisor común.
D. Por grupo de fracciones.
* Homogéneas:
Todos los denominadores son iguales.
15
41;
15
9;
15
8
naf ; b 10 ; n Zb
naf ; b 10 ; n Zb
a
f ; a y b son PESI, MCD(a,b) 1b
no a
f ; a y b son PESI, MCD(a,b) 1b
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* Heterogéneas:
Por lo menos hay un denominador diferente a los demás.
3
4;
16
9;
15
6;
5
18
1.3 MCM Y MCD DE FRACCIONES:
Dadas las fracciones irreductibles: p
c;
n
b;
m
a Se cumple que:
Ejemplos:
-
22
27;
4
45;
11
18MCD
44
9
)22,4,11(MCM
)27,45,18(MCD
-
44
7;
32
21;
20
9MCM
4
63
)44,32,20(MCD
)7,21,9(MCM
( , , ); ;
( , , )
a b c MCM a b cMCM
m n p MCD m n p
( , , ); ;
( , , )
a b c MCD a b cMCD
m n p MCM m n p
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2. NUMEROS DECIMALES
2.1. Número Decimal
Es una expresión en forma lineal de una fracción; la cual posee
una parte entera y otra parte no entera, separados por una coma:
7531, 24
Parte Parte
entera no entera
Coma Decimal
Clasificación de los números decimales
Decimal exacto:
Presenta un número limitado de cifras en la parte no entera.
Observaciones:
* Una fracción propia irreductible, dará origen a un decimal
exacto; cuando el denominador es una potencia de 2 de 5 o
del producto de potencias de 2 y 5 únicamente.
* La cantidad de cifras decimales está dada por el mayor
exponente de 2 ó 5 contenido en el denominador de la
fracción irreductible.
Ejemplo: Las siguientes fracciones propias son irreductibles:
* 22
N; origina 2 cifras decimales: ab,0 .
* 45
N; origina 4 cifras decimales: abcd,0 .
* 2452
N; origina 4 cifras decimales: abcd,0 .
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2.2. Decimal Inexacto:
Posee infinita cantidad de cifras en la parte no entera.
Se presentan dos casos:
A. Periódico Puro:
Presenta el período, inmediatamente después de la coma
decimal.
Observaciones:
* Estos números decimales son originados por fracciones
irreductibles cuyo denominador está formado por factores
primos diferentes a 2 y 5.
* La cantidad de cifras periódicas está dado por el menor
número formado únicamente por cifras “nueve”, que contiene
exactamente al denominador de la fracción irreductible.
Tabla de los Nueves
9 = 32
99 = 32x11
999 = 33x37
9999 = 32x11x101
99999 = 32x41x271
999999 = 33x7x11x13x37
Las siguientes fracciones son irreductibles; entonces:
* ,33
N origina 2 cifras periódicas (33 está en 99).
* 101
Norigina 4 cifras periódicas (101 está en 9999)
* Si el denominador de la fracción irreductible es el producto
de varios factores primos diferentes, el número de cifras
periódicas está dada por el MCM de la cantidad de cifras de los
menores números formados por cifras 9, que contengan a los
factores primos indicados.
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Ejemplo:
101x11x7
5
Entonces la fracción señalada tendrá:
MCM (6, 2, 4) = 12 cifras periódicas.
B. Periódico Mixto
Presenta el período luego de una cifra o grupo de cifras
después de la coma decimal.
Observaciones:
Las fracciones irreductibles que originan estos números
decimales, poseen en el denominador producto de
potencias de 2 ó 5 y además factores primos diferentes a 2
y 5.
Ejemplo:
* 085365,041x2
7
82
7
* 2954,011x2
13
44
13
2
Para encontrar la cantidad de cifras periódicas y no
periódicas se procede según como se indica en los casos
anteriores.
Ejemplo:
La fracción es irreductible:
41x5x2
N
3
7 6 cifras periódicas
11 2 cifras periódicas
101 4 cifras periódicas
3 cifras no periódicas
5 cifras periódicas
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2.3. Fracción Generatriz
Fracción común e irreductible equivalente a un número decimal.
Para un decimal exacto:
Para un decimal inexacto periódico puro:
Para un decimal inexacto periódico mixto:
2.4. Números Avales
Aval Exacto
Observación:
5432
)n(n
e
n
d
n
c
n
b
n
aabcde,0
0,23(8) = (8)
(8)
23
100 =
2
2(8) 3
1.(8) 0 8 0
=
19
64
O también
0,23(8) = 2
2 3
8 8 =
19
64
10000
abcdabcd,0
¼ abcd0,abcd
9999
¼ abxyz - ab0,ab xyz =
99900
)n(
)n()n(
1000
abcabc,0
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Aval Periódico Puro:
º(5)0,32 =
8
8
32
77 =
3 8 2
7 8 7
=
26
63
Aval Periódico Mixto:
70,143)
=
7 7
7
143 14
600
=
2
2
1 7 4 7 3 1 7 4
6 7 0 7 0
=
69
294
RAZONES Y PROPORCIONES
1. RAZÓN:
Es la comparación que se establece entre dos cantidades, mediante
las operaciones de sustracción o división.
En general: Sean las cantidades a y b.
RAZÓN
ARITMÉTICA
RAZÓN
GEOMÉTRICA
RAZÓN
ARMÓNICA
Determina en
cuanto excede
una cantidad
a la otra.
a – b = r
Determina cuantas
veces cada una de
las cantidades está
en la unidad de
referencia.
Kb
a
Determina la razón
aritmética de las
inversas de dos
cantidades
1 1- =h
a b
¼ (n)(n)
(n)
abc0,abc
(n 1)(n 1)(n 1)
¼ (n)(n)(n)
(n)
abxyz ab0,ab xyz
(n 1)(n 1)(n 1)00
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Donde:
a y b términos de la razón
a Antecedente
b Consecuente
r Valor de la razón aritmética
k Valor de la razón geométrica
h Valor de la razón armónica
Observación:
Sean “a” y “b” cantidades tal que: 5
3
b
a
Significa que:
“a” es como 3 y “b” es como 5
“a” y “b” están en relación de 3 a 5.
Por cada 3 unidades de a, hay 5 unidades de b;
Nota:
Cuando se mencione solamente razón o relación se debe entender
que se hace referencia a la razón geométrica.
EMPLO:
La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4; la razón entre las
edades de B y C es 3/7. SI la suma de las edades de las tres
personas es 165. La diferencia entre la edad del mayor y la del menor
es:
Resolución:
Por dato:
A 5.3 15
= =B 4.3 12
B 3.4 12
= =C 7.4 28
Luego: A = 15k ; B = 12k; C = 28k
15k + 12k + 28k = 165
k = 3
Diferencia entre la mayor y menor de las edades: 28k - 12k = 16k = 48
La diferencia es 48 años
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2. PROPORCIÓN:
Es la igualdad en valor numérico, de dos razones de la misma clase.
En general:
Donde:
* a y d Términos extremos
* b y c Términos medios
Observación:
Una proporción dependiendo de sus términos medios puede ser:
Discreta o Continua
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Discreta Continua
Extremos
a – b = c – d
Medios
d: Cuarta diferencial de
a, b y c.
Extremos
a – b = b – c
Medios
b: Media diferencial o media
aritmética de a y c
c: Tercera diferencial de a y b.
Proporción
Aritmética
a – b = c –
d
a + d = b + c
Suma de Suma de
Extremos Medios
Proporción
Geométrica d
c
b
a
a x d = b x c
Medios
de
oducto
Extremos
de
oducto PrPr
Proporción
Armónica
1 1 1 1- = -
a b c d
1 1 1 1+ = +
a d c b
Medios
de
Suma
Extremos
de
Suma
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PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Discreta Continua
d
c
b
a
d: Cuarta proporcional
de a, b y c.
c
b
b
a
b: Media proporcional o media
geométrica de a y c.
acb
c: Tercera proporcional de a y b.
EJEMPLO
Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; “n” es la cuarta proporcional
de 8, m y 12. El valor de “m + n” es:
Resolución:
* 9 m
=m 4
m2 = 36 m=6
* 8 12
=6 n
n = 9
m + n = 15
PROPIEDAD DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:
Cualquier variación de suma y/o resta en los términos de la primera
razón será igual a la misma variación respectiva con los términos de
la segunda razón.
d
dc
b
ba
Si: d
c
b
a
dc
c
ba
a
dc
dc
ba
ba
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3. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
9
18
4
8
5
10
3
62
Donde:
6, 10, 8 y 18 Antecedentes
3, 5, 4 y 9 Consecuentes
2 Constante de
Proporcionalidad (k)
Propiedades Generales:
P.1. Si:
Kd
D
c
C
b
B
a
A
P.2. Si: Kd
D
c
C
b
B
a
A , entonces:
Kdcba
DCBA
P.3. Si: Kd
D
c
C
b
B
a
A , entonces:
4Kd.c.b.a
D.C.B.A
Donde: “n” es el numero de razones geométricas que se multiplican.
A = ak
B = bk
C = ck
D = dk
Antecedente = Consecuente x k
KesConsecuentdeSuma
esAntecedentdeSuma
Producto de Antecedentes
Producto de Consecuentes
nk
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Observación:
En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes:
81
54
54
36
36
24
24
16
Se observa que el primer consecuente (24) es igual al segundo
antecedente, el segundo consecuente (36) es igual al tercer
antecedente y así sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina
Serie de razones geométricas continuas equivalentes.
En general:
Si: ke
d
d
c
c
b
b
a
EJEMPLO:
Si: N A T Y 4
= = = =972 N A T Y
el valor de “N + A + T + Y” es:
Resolución:
Sea: N A T Y 4
= = = =972 N A T Y
=k N.A.T.Y .4
972. N.A.T.Y
5=k
51 1=k k=
243 3
Vemos que en cada razón, el antecedente es la tercera vez del
respectivo consecuente.
Luego, la serie es:
324 108 36 12 4 1= = = = =
972 324 108 36 12 3
N = 324 ; A = 108; T = 36 ; Y = 12
N + A + T + Y = 480
a = ek4
b = ek3
c = ek2
d = ek
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PPRROOMMEEDDIIOOSS
1. MEDIA ARITMÉTICA (MA)
En general:
2. MEDIA GEOMÉTRICA (MG)
En general:
3. MEDIA ARMONICA (MH)
M.A.(a1; a2; ...; an)=n1 2a +a +…+a
n
MA (a; b) = a+b
2
MA (a;b;c) = a+b+c
3
MG(a;b)= a×b
MG(a; b; c;) = 3 a×b×c
M.A. (a1; a2; ...;an)= 1 2na .a …an
MH(a;b)=2 2ab
=1 1 a+b
+a b
MH (a; b y c) = 3 3abc
=1 1 1 ab+ac+bc
+ +a b c
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En general:
4. PROPIEDADES:
1. Para una limitada cantidad de números diferentes entre sí, se
cumple siempre que:
(MA) > (MG) > (MH)
2. Sólo para dos números reales se cumple:
(MG)2 = (MA) (MH)
3. En el caso de cometer el error de reemplazar la MA (a y b) por su
MG (a y b se tiene):
ERROR =2(a - b)
4(MA+ MG)
Observación:Las medias aritméticas, geométricas y armónicas son
iguales, si los números son también iguales.
Ejemplo:
La diferencia entre a y b es 10, además la suma de las medias
aritméticas y geométricas es 25. El error se comete al tomar la media
aritmética de a y b por su media geométrica es:
Resolución:
Por dato: a – b =10 y MA + MG = 25
Entonces por la propiedad (3):
ERROR =210
4(25) =1
M.H.(a1;a2;...;an) =
n1 2
n
1 1 1+ +…+
a a a
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PROBLEMAS DE APLICACION
1. Para cuántos valores de +n n Ζ la expresión: 5n+17
3n-8
representan número fraccionarios mayores que 7?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución
Se tiene
5n+177<
3n-8 ⟹ 16 n<73
n 4,...
Además
3n 8 0 ⟹ 8
n3
Luego n = 3 ó n = 4
CLAVE: B
2. Si la fracción: 3n n+5
280F=
40 ×34; genera 72 cifras en la parte no
periódica. La suma de cifras del período que genera la fracción:n-3
n
es.
A) 31 B) 30 C) 27 D) 29 E) 28
Resolución
3n n+5
280F=
40 ×34 ⟹
3
3n3 n+5 n+5
7×2 ×5F=
2 ×5 g17 g 2
10n+2 3n-1 n+5
7F=
2 ×5 ×17
n > 2,6
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Dato:
10 n+2=72 ; n =7
Suma de cifras: 27
CLAVE: C
3. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que
el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su
numeración, ha disminuido en 361. El número de tipos de imprenta
que se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron
es:
A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769
D) 2 772 E) 2 774
Resolución
En total de páginas =100
Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en
total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que
algunas páginas son de 3 cifras.
Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la
cantidad de tipos disminuye en 1.
Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39
La última página de 3 cifras es la 999
La última página de 3 cifras que quedaron es =999-39=960
Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 772
Total de tipos = 2 772
CLAVE: D
4. La suma y el producto de los cuatro términos de una proporción
continúa. Son respectivamente 192 y 194481. La diferencia de los
extremos es:
A) 75 B) 86 C) 104 D) 144 E) 156
n 3 4F 0,571428
n 7
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Resolución
2a ba c b
b cg
a + 2b + c = 192
2a b c 194481g g
4 4b 21 b² = 21²
a c 441g a = 3
a c 150 c = 147
147 – 3 = 144
CLAVE.: C
5. Sabiendo que: a b c
= =m n p
y además: (a+b+c) . (m+n+p) = 7225
El valor de T = 16 ( am+ bn+ cp ) es:
A) 1300 B) 1320 C) 1360 D) 1400 E) 1460
Resolución:
Sea: a b c
= = =km n p
De: (a + b + c) . (m +n + p) = 7225
mk nk pk 2k .(m+n+p) =7225
Þ k (m+n+p)=85 ........... (1)
En:
T=16 am+ bn+ cp
mk nk pk
T=16(m k+n k+p k) ⟹
85
T=16. k .(m+n+p)1 44 2 4 43
T= 16 . 85 = 1360
CLAVE:C
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