Prof. Jenner Huamán Callirgos

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo realizado enlápiz y tinta por Leonardo da Vinci alrededor del año1492. Mide 34,2 x 24,5 cm y está acompañado de notasanatómicas realizadas por el propio Leonardo.Representa una figura masculina desnuda en dosposiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscritaen un círculo y un cuadrado. También se conoce como elCanon de las proporciones humanas.Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpohumano, realizado a partir de los textos del arquitecto dela antigua Roma Vitruvio de arquitectura, del que el dibujotoma su nombre. El cuadrado está centrado en losgenitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre ellado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea.Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dosmitades por los órganos sexuales, mientras que elombligo determina la sección áurea. En el recién nacido,el ombligo ocupa una posición media y con el crecimientomigra hasta su posición definitiva en el adulto.

Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus hijos de la siguiente forma: la mitad para el primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta que el jeque sólo tenía once camellos, con lo que el reparto se hizo realmente difícil, pues no era cosa de cortar ningún animal. Los tres hermanos estaban discutiendo, cuando ven llegar a un viejo beduino famoso por su sabiduría montando en su camello. Le pidieron un consejo y éste dijo: -si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en vez de once no habría problemas. - Cierto, pero sólo tenemos once -respondieron los hermanos, a lo que el beduino contestó: tomad mi camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en la operación.¿En qué se basa el beduino para afirmar tal cosa?

El testamento del jeque

RAZÓN

Es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética (sustracción o división)

Clase de razón

RAZÓN ARITMÉTICA RAZÓN GEOMÉTRICA

Comparación de dos cantidades (a; b) mediante la sustracción.

a – b = r

Donde:a: antecedenteb: consecuenter: valor de la razón aritmética

Comparación de dos cantidades (a; b) mediante la división.

Donde:a: antecedenteb: consecuentek: valor de la razón geométrica

𝒂𝒂𝒃𝒃

= 𝒌𝒌

PROPORCIÓN

Es la igualdad de 2 razones de una misma clase(aritmética o geométrica) que tenga el mismo valor de la razón.

Clase de proporción

PROPORCIÓN ARITMÉTICA:Es la igualdad entre 2 razones aritméticas.

DISCRETA

a – b = c - d

d: Cuarta diferencial de a, b y c

CONTINUA

a – b = b - c

b: Media diferencial de a y cc: Tercera diferencial de a y b

Extremos

Medios

Extremos

Medios

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:Es la igualdad de 2 razones geométricas.

DISCRETA

d: Cuarta proporcional de a, b y c

CONTINUA

b: Media proporcional de a y cc: Tercera proporcional de a y b

𝑎𝑎𝑏𝑏

=𝑐𝑐𝑑𝑑

𝑎𝑎𝑏𝑏

=𝑏𝑏𝑐𝑐

En toda proporción geométrica se cumple:

Producto de términos extremos = Producto de términos medios

a x d = b x c

Propiedad general de la proporción geométrica

𝑎𝑎𝑏𝑏

=𝑐𝑐𝑑𝑑

Sea la proporción:

Propiedad I

𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏

=𝑐𝑐 − 𝑑𝑑𝑑𝑑

o𝑎𝑎

𝑎𝑎 − 𝑏𝑏=

𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑑𝑑

Propiedad II

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏

=𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑

o𝑎𝑎

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏=

𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑

Propiedad III

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

=𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑐𝑐 − 𝑑𝑑

<

Serie de razones geométricas equivalentes

Propiedad I

Propiedades

𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4+. . . . . +𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3 + 𝑏𝑏4+. . . . . +𝑏𝑏𝑛𝑛

= 𝑘𝑘

vxp d gh dqwhf hghqwhvvxp d gh f r qvhf xhqwhv

= 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟ó𝑛𝑛

𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑎𝑎2𝑥𝑥𝑎𝑎3𝑥𝑥𝑎𝑎4x. . . . x𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏1x𝑏𝑏2x𝑏𝑏3x𝑏𝑏4x. . . . . x𝑏𝑏𝑛𝑛

= 𝑘𝑘𝑛𝑛

sur gxf wr gh dqwhf hghqwhvsur gxf wr gh f r qvhf xhqwhv

= 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟ó𝑛𝑛 𝑛𝑛

Propiedad II

Serie de razones geométricas equivalentes continuasS.R.G.E.C

𝑎𝑎𝑏𝑏

=𝑏𝑏𝑐𝑐

=𝑐𝑐𝑑𝑑

= kSea:

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑘𝑘3 𝑏𝑏 = 𝑑𝑑𝑘𝑘2 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑𝑘𝑘

En general:

S.R.G.E.C

𝑎𝑎1𝑏𝑏1

=. . . =𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛

= 𝑘𝑘 ⇒ 𝑎𝑎1 = 𝑏𝑏𝑛𝑛.𝑘𝑘𝑛𝑛

“n” razones

APLICACIONES

1. En una reunión se observa que por cada tres varones hay cuatro mujeres. Si en total han participado 91 personas, ¿cuántos varones y mujeres hay en dicha reunión?a) 39 y 52 b) 37 y 54 c) 28 y 63 d) 42 y 39e) N.A

Resolución

2. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla.Durante el viaje, uno de los pilotos observa que el número de avionesque él ve es al número de barcos como 1 es a 2. Uno de los marinosobserva que el número de barcos que ve es al número de avionescomo 3 es a 2. ¿Cuántas naves son?a) 16 b) 24 c) 18 d) 30 e) 20

Resolución

A B C Dk

a b c d= = = =

2 2 2

2 2 263

AB B C D A B D

ab b c d a b d

+ + + ++ + =

+ + + +

( ) ( ) ( )A a B b D d

a b d

+ − ++ +

3. Si

Además

Calcule

a) 16 b) 20 c) 22 d) 28 e) 30

Resolución

4. Si ,13

6

5

8

−=

++

=++

=C

C

A

A

B

B

B

A

Calcule A+B+Ca) 28 b) 26 c) 25 d) 24 e) 20

64333

333

=+−+−

==fdb

ecay

f

e

d

c

b

a

++++

++++

222

222

222 fdb

ecax

fdb

efcdab

5. Sabiendo que:

Calcule N =

a) 34 b) 64 c) 54 d) 44 e) 84

kc

bc

b

a===

9

2

2519

22

=+

+

c

c

b

6. Si:

Además.

Calcular: “a”a) 18 b) 24 c) 12 d) 10 e) 15

n

c

c

b

b

n

27

125==

cb

cb

−+

7. En la siguiente serie:

Calcule: E =

a) 4 b) 1/2 c) ¼ d) 8 e) 1/8

8. En una serie de cuatro razones geométricas iguales conconstante de proporcionalidad positiva, los antecedentes son 2, 3, 7y 11. Si el producto de los consecuentes es 37 422, halle laconstante de proporcionalidad de la serie.(UNMSM – 2014-I)A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 2/9 E) 2/7

Resolución

EJERCICIOS Y PROBLEMASDE REFORZAMIENTO

1. La razón geométrica de dos números positivos es 3/4 y su producto es 300. Hallar el menor de los números.

a)6 b) 12 c) 15 d) 20 e) 30

2. Las edades de Julio y Wilter son 30 y 42 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años la razón de sus edades será 6/7?

a)12 b) 16 c) 24 d) 36 e) 42

3. Hallar "A + B + C", si:

"A" es la cuarta diferencial de 34; 21 y 18. "B" es la tercera diferencial de 25 y 16. "C" es la media diferencial de 73 y 27.

a)51 b) 62 c) 73 d) 84 e) 99

4. Hallar "A + B + C", si: "A" es la cuarta proporcional de 12; 18 y 28. "B" es la tercera proporcional de 12 y 18. "C" es la media proporcional de 12 y 75.

a) 48 b) 64 c) 73 d) 99 e) 102

5. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 50 625 y uno de los extremos es 3. Hallar la suma de los cuatro términos.

a)35 b) 68 c) 93 d) 108 e) 120

6. En una serie de razones geométricas equivalentes, los consecuentes son 2; 3; 5 y 7 y el producto de los antecedentes es 17 010. Hallar la suma de los antecedentes.

a)17 b) 34 c) 51 d) 68 e) 85

7. Una bolsa contiene 80 bolas, de las cuales 20 son negras y las restantes blancas. ¿Cuántas bolas blancas se deben retirar de la bolsa, para que por cada bola blanca existan 4 negras?

a) 16 b) 25 c) 45 d) 55 e) 70

8. Mi esposa y yo tenemos entre los dos $ 8 400 y gastamos $ 3 300. Si mi dinero es al suyo como 4 es a 3, pero gastamos como 5 es a 6 respectivamente, ¿en qué relación están las cantidades de dinero que nos queda a cada uno?

a)11/ 6 b) 11/ 9 c) 5/6 d) 6/5 e) 7/9

9. Si: a/b = 4/7 y además: 5a – 2b = 30, hallar "a . b".

a)112 b) 252 c) 700 d) 840 e) 2 800

10. Si a los números 12; 27 y 67 se les resta una misma cantidad se podría formar una proporción geométrica continua. ¿Cuál sería la media proporcional?

a) 18 b) 24 c) 32 d) 45 e) 48

11. Si: 𝑎𝑎2

12= 𝑏𝑏2

27= 𝑐𝑐2

48= 𝑑𝑑2

75y además: a + b + c + d = 70, hallar "a".

a)10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 48

12. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5; 3 y 16. Determinar la suma de dichos números.

a)15 b) 20 c) 25 d) 40 e) 48

13. En una proporción geométrica continua, la diferencia entre el mayor y menor término es 25. Si el otro término es 30, hallar el mayor de los términos.

a)36 b) 45 c) 75 d) 80 e) 90

14. Se tienen tres toneles de vino cuyas cantidades son proporcionales a 6; 7 y 11. Si del tonel que tiene más vino se saca 12 litros y se distribuye en los otros dos, resulta que al final los tres toneles poseen la misma cantidad de vino. ¿Cuántos litros de vino hay en total?

a) 48 b) 56 c) 60 d) 96 e) 144