COORDINACIÓN ACADEMICA Año Lectivo 2009

ASIGNATURA : Educación Matemática ASIGNATURA

PROFESOR : Ariel Vásquez ABREVIACION CODIGO

ALUMNO : M A T 1 4 0INSTRUMENTO MODULAR PEDAGÓGICO

MODULO Nº 2 CURSO

Relaciones proporcionales

NOMBRE CODIGO

OctavoBásico

1 8 1

LETRA

A

Contenido 1: Razones

En un cumpleaños hay 40 niños y 20 niñas, de esto se podría deducir que:• hay más niños que niñas;• hay 20 niños más que niñas;• el número de niños es el doble que el número de niñas.

La primera y segunda afirmación se pueden obtener de la comparación entre el número de niños y de niñas. La tercera afirmación se obtiene dividiendo el número de niños por el número de niñas. Este último tipo de comparación es lo que se denomina razón entre dos cantidades.

En el ejemplo anterior, la razón entre la cantidad de niños y de niñas es:

40 : 20 o en donde 2 es el valor de la razón

se lee "40 es a 20" y se puede interpretar como “por cada 2 niños hay 1 niña”

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1:   3 : 4 (se lee 3 es a 4 ), donde el 3  es el antecedente y el 4,  el consecuente. Esta razón también

puede escribirse como .

Ejemplo 2: Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?

Solución:La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.

La razón pedida es:

Simplificando por 8, la razón queda en , lo que significa que la mezcla está conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada 8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.

Ejemplo 3: Repartir $ 125.000 entre Pedro  y Patricio en razón 2 : 3, respectivamente.

Solución:La repartición debe ser en el orden dado, o sea, Pedro  ---> 2 partes y Patricio ---> 3 partes.Esto significa que: 2 partes + 3 partes = $125.000.Algebraicamente:

2p + 3p = 125.0005p = 125.000p = 25.000

O sea, cada parte es de $25.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde:Pedro  = 2 partes = 2 · 25.000 = $ 50.000Patricio = 3 partes = 3 · 25.000 = $ 75.000

Ejemplo 4: Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números?

Solución:5p - 2p = 603p = 60p = 20

Los números son: 5p = 5 ·20 = 100 y 2p = 2 ·20 = 40

En una razón se tiene:

Antecedente Consecuente

Dos razones son equivalentes si su valor es el mismo, por ejemplo la

Actividad Nº1: Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno2) En una caja hay 10 fichas rojas, 7 fichas verdes y 4 fichas azules. Determina la razón entre las fichas rojas y las fichas

azules. ¿Qué significado le das a ese valor?

3) En una competencia deportiva se puede participar en tenis, fútbol o natación. Cada niño puede participar en una competencia, y hay 20 inscritos en tenis, 24 en fútbol y 12 en natación. ¿Cuál es la razón entre los inscritos en natación y los inscritos en fútbol? Interpreta el resultado.

4) En un colegio hay 1.000 alumnos, 600 son mujeres:¿En que razón están las mujeres del total de alumnos?¿Cuál es la razón entre hombres y mujeres?

Preparado por Marco Pitriqueo 2

5) Claudio hizo una fiesta para su cumpleaños, invitó a sus compañeros y compañeras de colegio y la asistencia fue de 12 mujeres y 20 hombres:

a) ¿Cuál es la razón entre hombres y mujeres que participaron en la fiesta?b) ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el total de asistentes a la fiesta?c) ¿Cuál es la razón entre el número de hombres y el total de asistentes a la fiesta?d) ¿Cuál es la razón entre las mujeres y hombres que asistieron a la fiesta?

Preparado por Marco Pitriqueo 3

6)

7)

8)

15) La suma de dos números es 91 y están en la razón 4.3. Calcula el valor de cada número.16) La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kilos y están en la razón 7:4. calcula el peso de cada vehículo.17) Las edades de Ana y Julia están en la razón 3:2. ¿Qué edad tiene cada una, si la suma de sus edades es 80 años?

21) Se desea repartir $56.000 entre cuatro personas en la razón 1:2:3:4. ¿Cuánto recibe cada una?22) La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcula los números.23) Hallar x, y, z, si x+ y + z = 50 y x:y:z = 3:5:2.

Preparado por Marco Pitriqueo 4

12)

13)

14)

19)

20)

9)

10)

11)

Método de la constante k

Ejemplos de aplicación - 1.- Encontrar el valor de x, para que las proporciones sean verdaderas:

a.- Solución:

b.- Solución: Escribimos como fracción: luego:

2.- La suma de dos números es 15. Si ambos están en la razón 4:1, el valor de cada uno de estos números es:Solución: Designamos cada número por las letras x e yComo están en la razón 4:1,

x = 4ky = 1k

la suma de ellos debe ser 15, luego,

Luego la constante de proporcionalidad k vale 3, así

3.- Las edades de Natalia y Macarena están en la razón 3:2, si la diferencia entre sus edades es 6 años, sus edades son:Solución: Designamos cada edad por las letras x (Natalia) e y (Macarena)Como están en la razón 3:2,

Edad de Natalia: x = 3k mayorEdad de Macarena: y = 2k menor

la diferencia entre sus edades debe ser 6, luego,

Luego la constante de proporcionalidad k vale 6, así

Natalia tiene 18 años y Macarena 12 años

4.- Jorge tiene 14 años y su hermano 10 años. La razón entre sus edades es:Solución:

La razón entre sus edades es: Luego la razón entre sus edades

es:

5.- Alejandro tiene 15 años. Si la razón entre su edad y la de su padre es 3:8, la edad del padre es:Solución:

Alejandro = 3·kPadre = 8·k

Pero, Alejandro tiene 15 años, así:Alejandro = 3·k=15 de donde se desprende que:

k=5Así la edad de padre es:

Padre = 8·k = 8·5=40 años

Preparado por Marco Pitriqueo 5

ACTIVIDAD Nº 2:     Resolviendo problemas de razones con el método de la constante k  1. Juan tiene 24 años y la razón entre su edad y la de su hermano es 3:4. ¿Cuál es la edad de su hermano?

a)    32     b)    18     c)     28     d)    48    e)    16

2. La diferencia de dos números es 48 y su razón es 9:5. ¿Cuál es el número mayor? a)    108     b)    60     c)     88     d)    40     e)    102

3. Dos personas se reparten $ 25.000 en la razón 2:3. ¿Cuál es la diferencia entre lo que recibe cada una de ellas?

a)    $ 10.000     b)   $ 15.000     c)    $ 5.000     d)    $ 20.000     e)    $ 500

4.  Calcular x, tal que (5x + 5) : 5 = (6x + 4) : 7a)     3     b)    10     c)     11     d)    -3     e)    -10

5. Si A : B : C = 4 : 6 : 5  y  A + B + C = 45. El valor de A + B - C es: a)    60     b)    45     c)     30     d)    15     e)    12

6. En un curso hay 36 alumnos, si 24 son mujeres, la razón entre hombres y mujeres es: a)   36 : 12     b)   24 : 12     c)   36 : 24     d)   2 : 3     e)    1 : 2

7. En una fiesta hay 12 mujeres y la razón entre hombres y mujeres es 2 : 3. ¿Cuántas personas hay en la fiesta?

a)    8     b)    16     c)   18     d)   20     e)    24

8. La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 5 : 7. ¿Cuál es el menor de ellos? a)    48     b)    42     c)     96     d)    60     e)    84

9. Las edades de Juan y Pedro están en la razón 1 : 3. Si Juan tiene 10 años, ¿cuántos años suman sus edades?

a)   20     b)   30     c)  40     d)   50     e)  60

10. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3 : 8. Si su perímetro es 110 cm, entonces su lado mayor mide:

a)    30 cm.      b)    80 cm.      c)     15 cm.      d)    40 cm.      e)   90 cm.  

11. Un cordel mide 24 metros. Se deben hacer dos nudos de modo que los tres segmentos en que queda dividido sean entre sí como 3 : 4 : 5. ¿Cuál es la medida que debe tener el segmento mayor?

a)   6 m.      b)    8 m.     c)    10 m.     d)   12 m.     e)   14 m.

12. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2 : 3. Si para llenarlo se necesitan 15 litros, ¿cuál es la capacidad del estanque?

a)    15 litros     b)  20 litros     c)   25 litros     d)    30 litros     e)   45 litros

13. Dos ángulos interiores de un rombo deben sumar 180 grados. Si estos ángulos interiores del rombo están en la razón 1 : 3, entonces la medida del ángulo agudo del rombo es:

a)   60º     b)    45º      c)     50º     d)   30º     e)    20º14. En una granja hay patos y gallinas en razón 9 : 10. Si la diferencia entre gallinas y patos es 5. El doble de la cantidad de gallinas es:

a)    45     b)   90     c)   50     d)    100     e)  ninguna

15. Dado el conjunto D = {x / x es divisor positivo de 12} ¿Cuántas parejas de números que estén en la razón 1 : 2, de este conjunto se pueden formar?

a)    5     b)    4     c)     3     d)    2     e)   1

16. Las edades de un hijo y un padre están en la razón 1 : 5. Si el doble de la edad del padre es equivalente a ocho veces la edad del hijo aumentada en 20. ¿Qué edad tiene el hijo?

a)   5     b)   6     c)    8     d)   10     e)   15

17. Los ángulos de un triángulo están en la razón 9:5:4. El ángulo menor mide:a)   50 º     b)   60 º     c)    40 º     d)   45 º    e)   35 º

Soluciones:

Preparado por Marco Pitriqueo 6

Contenido 2: Proporcionalidad.

Variaciones proporcionales y no proporcionales

Martín va a ampliar unas fotografías de sus vacaciones, pero se da cuenta de que algunas están "un poco extrañas", es

decir que las imágenes no están como en la fotografía inicial.

Si observas bien las fotografías te darás cuenta de que la razón entre el largo y el ancho se mantiene constante en las

fotografías 1 y 2, por eso se ven bien ampliadas. En la fotografía 3, en cambio, la razón entre sus lados cambia, esto

hace que se vea deformada.

Como las razones de la fotografía 1 y 2 son equivalentes, diremos que forman una proporción, lo que no ocurre entre

las fotografías 1 y 3 o entre las fotografías 2 y 3, diremos que son no proporcionales.

Si la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variables son proporcionales.

La igualdad de dos razones se denomina proporción

Preparado por Marco Pitriqueo 7

fotografía inicial

Actividad Nº1: Realiza los siguientes ejercicios de proporcionalidad en tu cuaderno

Determina si las siguientes magnitudes son proporcionales.

1. El peso de una encomienda y su valor.

2. Superficie de una habitación y costo de embaldosarla.

Lee y resuelve los siguientes problemas.

3. El hermano de Pablo nació cuando él tenía 25 años. Determina, completando la tabla, si la edad de

Pablo y la edad de su hermano son proporcionales o no. Justifica tu respuesta.

A. Proporcionalidad directa.

Además, podemos observar que al aumentar los litros de combustibles, aumenta la distancia que puede recorrer

el auto, de manera proporcional. Entonces, podemos decir que ambas variables se relacionan de manera

directamente proporcional.

Preparado por Marco Pitriqueo 8

¿Cuánto combustible utilizará el auto para recorrer 100 km?

Actividad Nº2: Proporcionalidad directa, realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno

Lee y resuelve los siguientes problemas.

7. Juan camina 20 metros en un minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en caminar 40 metros?

8. Si 10 dulces cuestan $ 200, ¿cuánto cuestan 12 dulces?

9. Beatriz necesita 8 metros de tela para confeccionar las cortinas del living. Al cotizar descubre que el

precio de 1 metro vale $ 3.500. ¿Cuánto le costarán los metros que necesita?

Para pintar 5 m2 de superficie necesitamos 2 tarros de pintura. Según estos datos responde:

10. Calcula el número de tarros necesarios para pintar tu sala de clases.

Compara con tus compañeros.

11. Calcula el número de tarros necesarios para pintar 30 m2 de superficie.

12. Calcula qué superficie se podría pintar con 20 tarros.

Preparado por Marco Pitriqueo 9

Completar tablas

13. A y B son dos variables directamente proporcionales. Completa la tabla.

A 16 58 40B 2 3

Constante 8

14. Un grupo de 3 amigos ha decidido comprar una bebida para cada uno. Cada bebida cuesta $500. Completa la tabla considerando que el número de bebidas varía, luego grafica.

Cantidad de bebidas 1 2 3 4 5Precio total ($)

Problema de dificultad avanzada

15. Un padre desea repartir un premio de $15.000.000 entre sus hijos Samuel, María y Claudio, en cantidades directamente proporcionales a los hijos que éstos tienen, que son 2, 3 y 5, respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a Samuel, a María y a Claudio?

B. Proporcionalidad inversa.

En un puerto, para descargar un barco mercante, se necesita 1 grúa, la que descarga en 36 horas. ¿Si cada grúa demora el mismo tiempo en descargar, en cuánto tiempo descargarán 2 grúas la misma cantidad de mercadería?

En la siguiente tabla se muestra cómo varía el tiempo utilizado en la descarga a medida que varía el número de grúas.

Observa que al aumentar la cantidad de grúas disminuye el tiempo que se demora en cargar toda la mercadería. Además, podemos ver que el producto entre la cantidad de grúas y el tiempo es constante, es decir:

1x 36 = 36 2 x18 = 36 3 x12 = 36 4x9 = 36

Entonces, podemos decir que la cantidad de grúas y el tiempo necesario para descargar se relacionan de manera inversamente proporcional.

Dos variables son inversamente proporcionales si el producto entre las cantidades correspondientes se mantiene constante. Además, al aumentar o disminuir una de ellas cierto número de veces, la otra disminuye o aumenta, respectivamente en la misma proporción.

Actividad Nº 3: Proporcionalidad inversa, realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno

Plantea la proporción correspondiente y luego resuelve.

Diego se demora 10 minutos en llegar caminando al colegio a una velocidad constante. ¿Cuánto se demorará si un día decide ir a la mitad de la velocidad que de costumbre?

Un estanque demora 6 horas en llenarse, usando 4 grifos. ¿En cuánto tiempo se llenará con 12 grifos iguales a los anteriores?

Un ciclista que corre un camino a 16 km/h demora 2 horas en llegar hasta una ciudad. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer el mismo trayecto a una velocidad de 24 km/h? (Considera una velocidad constante).

Con 7 llaves abiertas se llenan unas botellas en 1 hora. Si se dispusiera de 28 llaves abiertas iguales a las anteriores, ¿en cuánto tiempo se llenarían todas las botellas?

Preparado por Marco Pitriqueo 10

Dos albañiles terminan un trabajo en 28 días. ¿En cuánto tiempo terminarán el mismo trabajo 7 albañiles, si todos tienen el mismo ritmo de trabajo?

Un curso de 36 alumnos va de paseo a la playa. Antes de irse deciden recoger la basura. Si 9 estudiantes limpian la playa en 2 horas, ¿cuánto demorarían si cooperaran en esta tarea todos los integrantes del curso, si tienen un mismo ritmo de trabajo?

Lee y resuelve las siguientes situaciones:

a) Se tiene un rectángulo de 24 cm de largo por 1 de ancho. Encuentra una familia de rectángulos que tengan la misma área.

Determina el área del primer rectángulo:

Busca otros rectángulos que tengan la misma área que éste y dibújalos.

Completa una tabla como la siguiente con las medidas de los diferentes rectángulos encontrados:

Determina un criterio para ordenar los valores encontrados (por ejemplo, de mayor a menor largo, dividiendo sucesivamente por 2; o dividiendo el largo original por 2; 3; 4 sucesivamente, etc.) y, si es necesario, rehacen la tabla considerando ese criterio.

b) Discute:

Manteniendo constante el área (es decir, 24 cm 2 ), ¿cuánto tendría que medir el ancho del rectángulo si el largo original (de 24 cm) se multiplicara por 2?

10. 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

 

Actividad Nº4: Identificar proporcionalidad directa e inversa

Indica cuál de las siguientes situaciones relacionan variables directamente proporcionales o inversamente proporcionales:a) Cantidad de género y cantidad de abrigos.b) Litros de bencina y kilómetros que puede recorrer un auto.c) Tiempo empleado en recorrer una distancia y velocidad.d) Cantidad de árboles y cantidad de oxígeno producido.

Si 12 perros comen 36 kg de alimento en 6 días. ¿Cuántos kg comen 15 perros en 8 días?. Identificar que variables son directas e inversa

Preparado por Marco Pitriqueo 11

Francisco tiene una estufa a parafina que gasta 2 litros cada 7 horas de encendida. Completa la tabla, grafica y escribe las características.

Litros 1 2 3 5 6Horas 0 7 14 24,5

Gráfico

a) Características del gráfico:b) ¿Qué proporcionalidad es?

Una máquina fotocopia 80 páginas en 4,2 minutos.

a) ¿Representa esta situación una variación directamente proporcional? Justifica tu respuesta.

b) Calcula el cuociente y = tiempo = k

cantidad de páginas

c) ¿Qué representa el valor k en este problema?

d) ¿Cuánto demora la página en fotocopiar una página?

e) Calcula, utilizando el valor k, cuánto se demoraría la máquina en fotocopiar 4 páginas, 40 páginas y 100 páginas.

f) Escribe la ecuación y = ____ · x que describe la variación entre el número de páginas (x) y el tiempo que demora la máquina (y).

Completa la siguiente tabla con los posibles valores del largo y ancho de un rectángulo, considerando que el área del rectángulo debe ser constante e igual a 32 cm2.

a) Si el largo del rectángulo se duplica, ¿cómo varía su ancho?

b) Si el ancho del rectángulo se divide por tres, ¿cómo varía su largo?

c) ¿Qué representa el valor de la constante en el contexto del problema?

d) Completa la tabla y confecciona el gráfico

Largo (cm) Ancho (cm)32168421

Preparado por Marco Pitriqueo 12

Grafico:

Resumen

Dos variables y y x son proporcionales si se cumplen una y sólo una de las siguientes relaciones: Su razón y/x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son directamente

proporcionales.(Proporción directa) Es decir, si una variable aumenta, la otra también lo hace y en la misma proporción

Su producto y·x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son inversamente proporcionales.(Proporción inversa) Es decir, si una variable aumenta, la otra disminuye y en la misma proporción que aumentó la otra.

Nota: En resumen, diremos que es directamente proporcional a si se cumple:

con constante de proporcionalidad.

Nota: En resumen, diremos que es inversamente proporcional a si se cumple:

con constante de proporcionalidad.

Fuentes de Información

- Álgebra de Baldor

-Matemática I Medio - Editorial Arrayán

-Matemática I Medio – Editorial Santillana

-www.sectormatematica.cl

-www.math-online.cl

-Educarchile.cl

Preparado por Marco Pitriqueo 13