Clase:Clase:Razones, Proporciones y

Proporcionalidad

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Aplicar las propiedades de razones y proporciones.

• Reconocer y distinguir entre una proporción directa y una proporción inversa.

• Resolver problemas de planteo aplicando el concepto de proporción compuesta.

Contenidos

1.Razones y Proporciones

1.1 Definiciones: razón y proporción

1.2 Teorema fundamental de la proporciones

1.3 Serie de Razones

1.4 Proporcionalidad directa

1.5 Proporcionalidad inversa

1.6 Proporcionalidad compuesta.

1. Razones y proporciones

• Razón: Es la comparación entre dos cantidades cualesquiera.Su notación es:

ab

ó a : b

y se lee: “a es a b”

1.1 Definiciones

a : antecedente, b : consecuente

Nota: Es importante el orden de nombramiento en una razón.

Por lo tanto:

= 9,94…179.450

18.051Densidad Poblacional =

Km2 viven aproximadamente 10 personas.

Ejemplo:

La razón entre “población” y “superficie”, se conoce como Densidad Poblacional.

Por ejemplo, la población de la ciudad de Concepción es de 179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051 km2.

(Según los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadística).

En cada

• Proporción: Es la igualdad de dos razones:

b

a

d=

c ó a : b = c : d

y se lee: “ a es a b como c es a d ”

Además, a y d : extremos

c y b : medios

Ejemplo:

4

3

20= 15

1.2 Teorema fundamental de las proporcionesEl producto de los medios es igual al producto de los extremos.

b

a

d=

c ⇔ ad = bc

ad = bc⇔a : b = c : d

Ejemplo 1:

4

5

20= 25

Es una proporción ya que 5∙20 = 4∙25 = 100

Ejemplo 2:

La razón entre el número de dulces que tiene Agustín y el número de dulces que tiene su hermano es 2 : 3.Si Agustín tiene 12 dulces, ¿cuántos dulces tiene su hermano? Solución:Si x es el número de dulces del hermano, entonces:

Dulces de Agustín

x 3=

2

x

12

3=

2

2x=36

x=18

Por lo tanto, su hermano tiene 18 dulces.

1.3 Serie de razonesEs la igualdad de 2 o más razones.

b

a=

d

c=

f

e= ……… = k

2

1=

4

2=

6

3= ……… = 0,5=

8

4=

10

5

ó

a : c: e: … = b : d: f : …

Ejemplo 1:

k: valor de la razón o constante de proporcionalidad

k ∈ IR

(Valor de la razón)

Ejemplo 2:

a : b : c = 3 : 5 : 6

a + b + c = 42

Si , determinar a, b y c.

Solución: a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces: Si

=5

b =6

c = k3

a

Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k

Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42

14k = 42k = 42

14

k = 3

Por lo tanto: a = 9, b = 15 y c = 18

(Constante de proporcionalidad)

1.4 Proporcionalidad directaDos variables son directamente proporcionales, si al aumentar (disminuir) una de ellas, la otra también aumenta (disminuye), en la misma proporción.

y es directamente proporcional a x si x

y= k, k: constante

Ejemplo:La siguiente tabla representa la relación entre el número de fotocopias y su costo en pesos:

N° de fotocopias(x)

$ (y) K =

x

y

1 20 20

2 40 20

3 60 20

4… 80… 20…

Gráficamente:

El gráfico de una proporción directa es una recta con pendiente positiva.

1.5 Proporcionalidad inversaDos variables son inversamente proporcionales, si al aumentar una de ellas, la otra disminuye (y viceversa) en la misma proporción.

y es inversamente proporcional a x si y∙x= k, k: constante

Ejemplo:Para construir una piscina en 20 días se requiere de 4 obreros. Entonces se puede inferir que para demorar 10 días se requieren 8 obreros, y para demorar 5 días se requieren 16 obreros, y así sucesivamente.

Si tabulamos: N° de obreros(x)

Días (y) k = y∙x

4 20 808 10 8016 5 80

40… 2… 80…

Gráficamente:

El gráfico de una proporción inversa es una hipérbola.

1.6 Proporcionalidad compuestaEs aquella en que intervienen más de dos variables inversamente proporcionales y/o directamente proporcionales.

Ejemplo:

Si 5 pasteleros producen en 7 días 400 tortas, ¿cuántas tortas pueden producir 14 pasteleros en 9 días?

Solución:

Un método práctico es el siguiente:

1° Se ordenan los datos dejando la incógnita (tortas), en el centro:

N° pasteleros N° tortas Días

5 400 7

14 x 9

• N° de Pasteleros y N° de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras más pasteleros mayor es la cantidad de pasteles

producidos.

• Días y N° de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras más días, mayor es la cantidad de pasteles producidos.

2° Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, esto es:

N° pasteleros N° tortas Días

5 400 7

14 x 9

Entonces: 5 ∙ x ∙ 7 = 14 ∙ 400 ∙ 9

x = 14 ∙ 400 ∙ 95∙7

x = 1.440

Por lo tanto, 14 pasteleros en 9 días, pueden producir 1.440 tortas.