Post on 04-Jul-2015
1
Factorización
Raíz Cuadrada
Completar Cuadrado
Fómula Cuadrática
Ejercicios
Fin
2
Objetivos:Objetivos:
1.1. Conocer la forma general de una ecuaciConocer la forma general de una ecuacióón n cuadrcuadrááticatica
2.2. Resolver ecuaciones cuadrResolver ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:
a. Método de factorizaci factorizacióónnb. Método de raíces cuadradasc. Método de completar el cuadrado completar el cuadradod. Método de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica
3Ecuaciones CuadrEcuaciones Cuadrááticasticas
Definición Una ecuación con variable x que se puede reducir a la forma 02 =++ cbxax
0con constantesson y , donde ≠acbase conoce como ecuación cuadrática.
Podemos resolver las ecuaciones cuadrPodemos resolver las ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:Método de factorizaci factorizacióónnMétodo de raíces cuadradasMétodo de completar el cuadrado completar el cuadradoMétodo de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica
4
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
0910 )1 2 =+− xx
3319 2 )2 2 += xx
259 )3 2 =x
( ) 205 )4 2 =−x
0148 )5 2 =++ xx26) 7 0x =
5
El procedimiento para el El procedimiento para el Método de Método de Factorización es:Factorización es:
1.1. Iguale la ecuación a cero.Iguale la ecuación a cero.
2.2. Factorice el polinomio que forma la ecuación.Factorice el polinomio que forma la ecuación.
3.3. Use la propiedad del producto nulo para reducir a Use la propiedad del producto nulo para reducir a ecuaciones lineales.ecuaciones lineales.
4.4. Resuelva las ecuaciones lineales.Resuelva las ecuaciones lineales.
Empezar
1. Método de Factorización1. Método de Factorización
Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticasMétodos de solución de las ecuaciones cuadráticas
6Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de Resuelve las ecuaciones usando el método de factorización.factorización.
910 )1 2 −=− xx
09102 =+− xx
( ) ( ) 019 =−− xx
09 =−x ó 01 =−x
9=x 1=x
{ }C. S.= 9, 1
73319 2 )2 2 += xx
033192 2 =−− xx
( ) ( ) 01132 =−+ xx
032 =+x ó 011 =−x
32 −=x
2
3−=x
11=x
3C.S.= , 11
2
−
823) 2 18x x=22 18 0x x− =
( )2 9 0x x − =
2 0x = ó 9 0x − =
0
2x =
0x =
9x =
{ }C.S.= 0, 9
924) 9 36x =29 36 0x − =
2 4 0x − =
2 0x + =
ó
2 0x − =
( ) ( )2 2 0x x+ − =
2x = − 2x =
{ }C. S.= 2, 2−
29 36 0
9 9 9
x − =
10
2Si entonces ó .
Teorema:
x p x p x p= = = −
2. El método de raíz cuadrada2. El método de raíz cuadrada
2Recordar que x x x= = ± =0
0
x si x
x si x
≥ − <
11
El procedimiento para el Método de Raíz Cuadrada
1. Despeje la variable cuadrática
2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación
3. Simplifique
Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el coeficiente del término lineal es cero.
Empezar
Método de Raíz Cuadrada
12
21) 9 25x =
9
25
9
9 2
=x
9
252 =x
2 25
9x =
3
5±=x
5 5C. S.= ,
3 3
−
5
3x± =
Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de la Resuelve las ecuaciones usando el método de la raíz cuadrada.raíz cuadrada.
13( ) 22) 5 20x − =
( ) 25 20x − =
205 ±=−x
5 4 5x − = ± ×
525 ±=−x
525 ±=x
{ }C. S.= 5 2 5, 5 2 5+ −
14
Procedimiento para completar el cuadrado
1. Deje a un lado los términos con variables.
2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática.
3. Encuentre el término que completa el cuadrado.El término que completa el cuadrado se encuentra dividiendo el coeficiente del términolineal por 2 y elevando al cuadrado.
4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación.
5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.
Empezar
3. El método de completar el cuadrado
150148 )1 2 =++ xx
1482 −=+ xx
=
2
2
8 ( ) =24 16
14 82 −=+ xx 16+ 16+
21682 =++ xx
16
21682 =++ xx
( ) ( ) 244 =++ xx
( ) 24 2 =+x
( ) 24 2 =+x
24 ±=+x
17
24 ±−=x
24 ±=+x
{ }. 4 2, 4 2C S = − + − −
18014129 )2 2 =−− xx29 12 14
=9 9 9
x x−
2 4 14
3 9x x− =
2 4 14
3 9− =x x
4
9+ 4
9+
( ) 9
4
3
2
23
422
=
−=
−
19
2 2 18
3 3 9x x
− − = ÷ ÷
2 4 14
3 9− =x x
4
9+ 4
9+
22
23
x − = ÷
22
23
− = ÷ x
20
22
3x − = ±
22
23
− = ÷ x
22
3x = ±
2 2. . 2, 2
3 3C S = + −
21Ejemplo:Ejemplo:Resuelva para Resuelva para x x completando el cuadradocompletando el cuadrado
2 0ax bx c+ + =
2 + = −a b cx x
a a a
2 + = −b cx x
a a
2 b c
x xa a
+ = −2
24
b
a+
2
24
b
a+
2 22
2 24 4
b b b cx x
a a a a+ + = −
2 2
2
4
2 4
b b acx
a a
− + = ÷
4a
4a
2
22
42 a
b
a
b =
222 2
2
4
2 4
b b acx
a a
− + = ÷
2
2
4
2 4
b b acx
a a
−+ = ±
2
2
4
2 4
b b acx
a a
−+ = ±
2 4
2 2
b b acx
a a
−+ = ±
2 4
2 2
b b acx
a a
−= − ±
2 4
2
b b acx
a
− ± −=
2 2
2
4
2 4
b b acx
a a
− + = ÷
23
Teorema: Las soluciones de una ecuación cuadrática 02 =++ cbxaxdonde , y son constantes y 0a b c a ≠
están determinadas por la fórmula:
aacbbx 2
42 −±−=La misma es llamada la fórmula cuadrática.
Empezar
4. La Fórmula Cuadrática
24
aacbbx 2
42 −±−=2Al número se le llama el discriminante d
Definición
e la ecuacb ón.4 iac−
Aclaración:Aclaración:1. Si el discriminante es un número positivo; la Si el discriminante es un número positivo; la ecuación tendrá dos soluciones reales.ecuación tendrá dos soluciones reales.2. Si el discriminante es un2. Si el discriminante es un número negativo; la número negativo; la ecuación tendrá dos soluciones complejasecuación tendrá dos soluciones complejas conjugadas.3.Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una solución real de multiplicidadsolución real de multiplicidad dos.
25Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
018248 )1 2 =+− xx
8, b 24 y c 18a = = − =
aacbbx 2
42 −±−=
268, b 24 y c 18a = = − =
( ) ( ) ( )( )82
18842424 2 −−±=x
16
57657624 −±=x
( ) ( ) ( ) ( )( )
24
2x
− ± −= 24− 24− 8
8
18
27
16
57657624 −±=x
16
024 ±=x
24 0
16x
±=
24
16x =
2
3=
=
2
3..SC
280523 )2 2 =+− xx
3, b 2 y c 5a = = − =
aacbbx 2
42 −±−=
2 4 60
6
± −=
( ) ( ) ( ) ( )( )
22 2 3 54
32x
− ± −− −=
29
2 4 60
6x
± −=
6
562 −±=
2 4 14 1
6
± −=
2 2 14
6
ix
±=
302 2 14
6
ix
±=
2 2 14
6 6i= ±
±= iSC3
14
3
1..
1 14
3 3x i= ±
3123) 3 2x x= −
1, b 3 y c 2a = = − =
aacbbx 2
42 −±−=( ) ( ) ( ) ( )
( )
23 3 4 1 2
2 1
− − ± − −=
2 3 2 0x x− + =
32
( ) ( ) ( ) ( )( )
23 3 4 1 2
2 1x
− − ± − −=
3 9 8
2x
± −=
3 1
2x
±=
3 1
2x
±=
3 1 3 1
2 2x ó x
+ −= =
2x = 1x =
{ }. . 2,1C S =
33Ejercicios:Resuelve la ecuación por el método de factorización.
ddd
nn
dd
y
mm
dd
dd
163215.7
4.6
01617.5
04936.4
0124.3
0144.2
012144.1
23
3
24
2
2
2
2
−=+=
=+−
=−=+
=+−=++ Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar
34Ejercicios:Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
2
2
2
2
4
1. 4 16 0
2. 1 0
3. 4 32 0
4. 36 49
5. 16 0 *
d
d
m
y
d
− =− =
− ==
− =
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar
35Ejercicios:Resuelva la ecuación completando el cuadrado.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 12 0
3. 2 4
4. 17 16 0
5. 3 1
d d
m m
y y
d d
d d
+ + =+ =+ =
− + =+ = −
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar
36Ejercicios:Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
2. 4 4 1 0
3. 4 12 0
4. 36 49 0
5. 17 16 0
d d
d d
m m
y
d d
+ + =− + =+ =− =
− + =
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Empezar
37Resuelve la ecuación usando factorización.
012144.1 2 =++ dd2
2 2
4 14 2
2
0
2
1d d+ + =
22 7 6 0d d+ + =( ) ( )2 3 2 0d d+ + =
( ) ( )2 3 0 2 0d ó d+ = + =Ejercicios
38
2 3 0d + =
2 3d = −
3
2d
−=
2d = −
2 0d − =
3. , 2
2C S = − −
Ejercicios
39
22. 4 4 1 0d d− + =
( ) ( )2 1 2 1 0d d− − =
2 1 0 2 1 0− = − =d ó d
2 1d =
1
2d =
1
2d =
1. .
2C S
=
Ejercicios
40
23. 4 12 0m m+ =
( )4 3 0m m + =
4 0 3 0= + =m ó m0
4m =
0m =
3m = −
{ }. . 0. 3C S = −Ejercicios
4124. 36 49 0y − =
( ) ( )6 7 6 7 0y y+ − =
6 7 0 6 7 0y ó y+ = − =
7
6y = 7
6y
−=
7 7. . ,
6 6C S = −
6 7 6 7y ó y= − =
Ejercicios
424 25. 17 16 0d d− + =
( ) ( )2 216 1 0d d− − =
4 0 4 0 1 0 1 0d ó d ó d ó d− = + = − = + =
4d = 4d = − 1d =
{ }. . 4, 4,1, 1C S = − −
( ) ( ) ( ) ( )4 4 1 1 0d d d d− + − + =
1d = −
Ejercicios
4336. 4n n=
( )2 4 0n n − =
0 2 0 2 0n ó n ó n= + = − =
0n = 2n =2n = −
{ }. . 0, 2 2C S = −
3 4 0n n− =
( ) ( )2 2 0n n n+ − =
Ejercicios
443 27. 15 32 16 0d d d− + =
( )215 32 16 0d d d− + =
0 5 4 0 3 4 0d ó d ó d= − = − =
0d =4
5d = 4
3d =
4 4. . , ,0
5 3C S
=
( ) ( )5 4 3 4 0d d d− − =
Ejercicios
45
21. 4 16 0d − =
Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.
Ejercicios
24 16d =24 16
4 4
d =
2 4d =2 4d =
2d = ±{ }. . 2, 2C S = −
46
{ }
2
2
2
2. 1 0
1
1
1
. . 1, 1
− ==
== ±
= −
d
d
d
d
C S
Ejercicios
47
{ }
2
2
2
2
2
3. 4 32 0
4 32
4 32
4 4
8
8
4 2
2 2
. . 2 2, 2 2
− ==
=
=
=
=
= ±
= −
m
m
m
m
m
m
m
C SEjercicios
482
2
2
2
4. 36 49
36 49
36 3649
36
49
367
67 7
. . ,6 6
=
=
=
=
= ±
= −
y
y
y
y
y
C SEjercicios
49
{ }
4
4
4
2
2 2
2 2
5. 16 0 *
16
16
4
4 o 4
4 o 4
2 o 2
. . 2, 2, 2 , 2
− ==
== ±= = −
= = −= ± = ±
= − −
d
d
d
d
d d
d d
d d i
C S i i
Ejercicios
50
2
2
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12
4 14 12
4 4 47
347 49 49
34 16 16
7 48 49
4 16 16
+ + =+ = −
−+ =
+ = −
+ + = − +
+ = − + ÷
d d
d d
d d
d d
d d
d
Resuelva la ecuación completando el cuadrado.2
7 1
4 16
7 1
4 47 1
4 46 8
o 4 43
o 22
3. . , 2
2
+ = ÷
+ = ±
= − ±
= − = −
= − = −
= − −
d
d
d
d d
d d
C S
Ejercicios
512
2
2
2
2
2. 4 12 0
4 12 0
4 4 4
3 0
9 93
4 4
3 9
2 4
+ =
+ =
+ =
+ + =
+ = ÷
m m
m m
m m
m m
m { }
3 3
2 23 3 3 3
o 2 2 2 23 o 0
. . 3,0
+ = ±
= + = −
= ==
m
m m
m m
C S
Ejercicios
522
2
2
2
2
3. 2 4
2 4
2 2 21
221 1 1
22 16 16
1 32 1
4 16 16
+ =
+ =
+ =
+ + = +
+ = + ÷
y y
y y
y y
y y
y
1 33
4 16
1 33
4 4
1 33.
4 4
+ = ±
= − ±
= − ±
y
y
C S
Ejercicios
53
2
2
2
2
2
4. 17 16 0
17 16
289 28917 16
4 4
17 64 289
2 4 4
17 225
2 4
− + =− = −
− + = − +
− = − + ÷
− = ÷
d d
d d
d d
d
d { }
17 15
2 217 15
2 217 15 17 15
o 2 2 2 2
16 o 1
. 16,1
− = ±
= ±
= + = −
= ==
d
d
d d
d d
C S
Ejercicios
54
2
2
2
2
5. 3 1
9 93 1
4 4
3 4 9
2 4 4
3 5
2 4
+ = −
+ + = − +
+ = − + ÷
+ = ÷
d d
d d
d
d
3 5
2 4
3 5
2 2
3 5 3 5 o
2 2 2 2
3 5.
2 2
+ = ±
= − ±
= − + = − −
= − ±
d
d
d d
C S
Ejercicios
55Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
1. 4 14 12 0
4 14 12 0
2 2 2 2
2 7 6 0
7 7 4 2 6
2 2
7 49 48
4
7 1
4
+ + =
+ + =
+ + =
− ± −=
− ± −=
− ±=
d d
d d
d d
d
d
d
7 1
47 1 7 1
o 4 4
6 8 o
4 43
o 22
3. . , 2
2
− ±=
− + − −= =
− −= =
−= = −
= − −
d
d x
d x
d x
C S
Ejercicios
56
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2
2. 4 4 1 0
4 4 4 4 1
2 4
4 16 16
8
4 0
84 0
84 1
8 21
. .2
− + =
− − ± − −=
± −=
±=
±=
= =
=
d d
d
d
d
d
d
C S
Ejercicios
57
( ) ( ) ( ) ( )( )
{ }
2
2
3. 4 12 0
12 12 4 4 0
2 4
12 144
812 12
812 12 12 12
o 8 8
0 24 o
8 80 o 3
. . 0, 3
+ =
− ± −=
− ±=
− ±=
− + − −= =
−= =
= = −= −
m m
m
m
m
m m
m m
m m
C SEjercicios
58
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
2
2
4. 36 49 0
0 0 4 36 49
2 36
2 6 7
2 6 6
7
67 7
o y6 6
7 7. . ,
6 6
− =
− ± − −=
= ±
= ±
= − =
= −
y
y
y
y
y
C S
Ejercicios
59
( ) ( ) ( ) ( )( )
{ }
2
2
5. 17 16 0
17 17 4 1 16
2 1
17 289 64
2
17 225
217 15
232 2
o 2 2
16 o 1
. . 1,16
− + =
− − ± − −=
± −=
±=
±=
= =
= ==
d d
d
d
d
d
d d
d d
C SEjercicios