Post on 14-Feb-2016
𝐎
𝐫
𝐫 ′
𝚫𝐭
𝑿
𝒀
𝒁
𝐓
𝐀
𝐁
𝐭
𝐭+ 𝚫𝐭
𝚫𝐫
𝜽
CINEMATICA
El estudio del movimiento de los cuerpos data desde tiempos antiguos, los
científicos de la antigüedad se preguntaban cómo concebir una manera o un
concepto de naturaleza física y matemática a la vez que permita cuantificar el
movimiento de los cuerpos, por su puesto ellos no conocían los aparatos
matemáticos que manejamos hoy en día los llamados humanos del futuro, pero aun
a pesar de sus limitaciones, ellos fueron capaces de desarrollar el método científico
que tantos frutos nos han dado a nosotros los científicos, el método científico un
método tan potente que estos grandes hombres descubrieron y utilizaron comienza
con la observación, la partícula o cuerpo en estudio se dispone a ser observada
respecto a un sistema de referencia que por lo general es un sistema inercial de
referencia, es decir, un observador no acelerado, de acuerdo con sus
observaciones ellos lograron caracterizar el movimiento de las partículas por medio
de un concepto que inventaron espontáneamente, el concepto de velocidad, por
supuesto ellos creían en la absolutez del tiempo, más dramática aun la definición
del tiempo de newton: “el tiempo matemático y físico, de su naturaleza y de sí
mismo fluye de forma espontánea sin relación a nada externo”, estos hombres
reconocían el movimiento como una constante cambiatura de la posición del
cuerpo en estudio, tal y como se puede analizar en las siguientes disertaciones.
VECTOR POSICIÓN, VECTOR DEZPLAZAMIENTO
Cuando una partícula es dispuesta para ser observada ésta generalmente se
dispone respecto a un sistema , donde y son las tres dimensiones en las
que la partícula tiene libertad de moverse, una ilustración de la partícula en
movimiento podría ser la siguiente
La ilustración nos muestra un cuerpo que se mueve a través de una trayectoria , el
cuerpo en todo momento es referenciado con respecto al observador , por lo tanto
el vector de posición de la partícula en el punto respecto al observador viene
dado por , como es un vector en el espacio tridimensional, vendrá determinado
por las coordenadas , y , de hecho se podrá escribir
( )
+ +
Observemos que la partícula tiene un vector de posición con respecto al
observador en el instante , en su afán de cambiar de posición la partícula ahora
se mueve a la posición en el instante + , y su vector de posición respecto al
observador vendrá dado ahora por ′, y se podrá escribir
′ ( ′ ′ ′)
Donde ′ ′ ′ son las nuevas coordenadas de la partícula, debemos indicar que
′ ′ ′ no representan las coordenadas de la partícula en otro sistema de
referencia ′, sino coordenadas en el mismo sistema de referencia pero actuales,
de la posición actual, dado que la partícula cambio de posición, de acuerdo a esto
podemos tener
′ ′ + ′ +
′
El vector que une el vector y el vector ′ es como se ve en la ilustración , que
según el teorema de la adición vectorial escrito para el triangulo , podremos
escribir
+ ′
′
Luego reemplazando ′ y tenemos
′ + ′ +
′ ( + + )
( ′ ) + ( ′ ) + (
′ )
El vector se conoce como el vector desplazamiento de la partícula en el
intervalo de a y su módulo es la longitud del desplazamiento | |, el vector
desplazamiento para el caso que nos ocupa será
( ′ ) + ( ′ ) + (
′ )
Y la longitud del desplazamiento para este caso será
𝐎
𝐫 (𝒕)
𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝚫𝐭
𝐗
𝐘
𝐙
𝐓
𝐀
𝐁
𝐭
𝐭+ 𝚫𝐭 𝚫𝐫
| | √( ′ ) + ( ′ ) + ( ′ )
Si nuestro interés es calcular el ángulo que forman y ′ en cualquier instante, se
podrá hacer calculando el producto escalar entre los vectores y ′, lo que se hará
en la siguiente forma
′ | || ′|
Despejando queda
′
| || ′|
Que sería la forma de calcular el ángulo .
VELOCIDAD MEDIA
Cuando una partícula se mueve respecto a algún sistema de referencia esta
no deja de cambiar de posición con respecto a este sistema, tal afán de cambio de
posición de la partícula respecto al sistema se puede evidenciar mediante la
ilustración:
En esta ilustración podemos ver que la partícula está cambiando de posición, la
misma se mueve siguiendo una trayectoria la posición de la partícula viene dada
por el vector de posición ( ) donde ( ) viene determinado por las coordenadas ,
y dado que el movimiento de la partícula evoluciona con el tiempo su vector de
posición ( ) también evoluciona con éste, y como ( ) viene determinado por ,
y , entonces tanto , y evolucionan con el tiempo y son funciones de éste, por
lo tanto se podrá escribir
( )
( )
( )
Y el vector de posición vendrá dado por la expresión funcional
( ) ( ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) + ( ) + ( )
analizaremos lo que sucede en el intervalo de a en la ilustración, notemos que
en un instante particular la partícula se encuentra en la posición de la trayectoria
del movimiento, la posición de la partícula en el instante con respecto al
observador viene dada por el vector de posición ( ) y en un instante posterior
+ la partícula se encuentra en la posición de la trayectoria del movimiento, la
posición de la partícula en el instante + con respecto al observador viene
dada por el vector de posición ( + ), es obvio que la partícula ha cambiado de
posición respecto al observador desde ( ) hasta ( + ), este cambio de
posición respecto al observador puede representarse justamente por una variación
de ( ) ( ), es decir
( ) ( + ) ( )
De hecho escribiendo la suma vectorial en el triangulo , tenemos
( ) + ( ) ( + )
De aquí podemos despejar ( ) para tener
( ) ( + ) ( )
Este cambio del vector de posición de la partícula representa solo eso, un cambio
en la posición de la partícula, sin embargo para caracterizar el movimiento de la
partícula debemos conocer cómo evoluciona el vector de posición ( ) de la
partícula con respecto al tiempo, a saber, debemos calcular el ritmo de cambio de la
posición de la partícula ( ) con respecto al tiempo, tal ritmo de cambio o tal
evolución temporal de la posición ( ) se podría calcular por medio de la expresión
( )
A esta expresión también se le llama intensidad de la cambiatura de posición, esta
expresión nos mide el ritmo de cambio medio de la posición con respecto al tiempo
𝐗 𝑿𝟎(𝒕𝟎)
𝐗(𝒕)
𝐎
𝚫𝐗 𝐗(𝐭) 𝑿𝟎(𝒕𝟎)
y constituye la definición de velocidad media de una partícula, la notación de
velocidad media viene dada por el símbolo y por lo tanto tendremos que
( )
Se dice que el movimiento de una partícula es a velocidad constante cuando la
velocidad de ésta es una constante a lo largo de su movimiento, en cuyo caso se
podrá escribir que
( )
Si el movimiento es en una sola dimensión, tenemos
En esta figura podemos ver una partícula que se mueve en una sola dimensión, la
dimensión ( ), por lo tanto las otras dimensiones ( ) y ( ) son cero, en el
instante inicial la partícula se encuentra en la posición inicial ( ) y después de
un incremento de tiempo la partícula se encuentra en la posición ( ) en el
instante .
Una variación en el vector de posición ( ) para una situación en la que la velocidad
de la partícula no es constante implicará también una variación en las dimensiones
( ) , ( ) y ( ), y por lo tanto la variación en el vector de posición ( ) será el
vector desplazamiento de la partícula que vendrá dada en la siguiente forma
( ) ( ) + ( ) + ( )
Por lo tanto el vector de posición que describe la evolución del movimiento de la
partícula que se mueve en una sola dimensión, como una evolución del movimiento
de la misma en las tres dimensiones espaciales ( ) , ( ) y ( ), se reduce a ser
determinado por solo una dimensión que es ( ), y por lo tanto
( ) ( ( ) ( ) ( )) se puede reducir en la siguiente forma
( ) ( ( ))
( ) ( )
Luego una variación en ( ) será igual a una variación en ( ) y por lo tanto
tendremos ( ) ( ) , luego reemplazando en la ecuación
( )
( )
Lo que nos dice que para una partícula que se mueve unidimensionalmente su
velocidad puede calcularse como la razón entre un incremento en la dimensión en
la que tiene libertad de moverse y un incremento respectivo en el tiempo, en la
figura de arriba podemos reconocer que un incremento en la dimensión de libertad
de movimiento de la partícula viene dada por , además el incremento de
tiempo respectivo viene dado por , por lo tanto reemplazando en la
expresión
( )
Tenemos
( ) ( )
Con esto reconocemos que la velocidad media de una partícula que se mueve
unidimensionalmente es un vector en la dirección de la dimensión , cuyo modulo
se calcula como
| | ( ) ( )
Finalmente reemplazando estas validaciones podemos tener
( )
Tomando el modulo en cada miembro de esta ecuación tenemos
( ) | |
La que finalmente nos conduce a
( ) ( ) | |
( ) ( ) + | |
La velocidad media de una partícula es una caracterización del movimiento de la
partícula muy buena sobre todo cuando ésta describe un movimiento a velocidad
𝐎
𝐫 (𝒕)
𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝚫𝐭
𝐗
𝐙
𝐓
𝐀
𝐁
𝐭
𝐭+ 𝚫𝐭 𝚫𝐫
𝐘
constante porque la velocidad media es igual justamente a esa velocidad constante,
pero existen situaciones más comunes en las que la velocidad de la partícula no es
constante es por eso que se hace necesario calcular la velocidad instantánea de la
partícula, eso es lo que nos ocupará en la siguiente sección.
VELOCIDAD INSTANTANEA
Como lo afirmamos en la sección anterior, la velocidad media de una partícula es
una caracterización del movimiento de la partícula muy buena sobre todo cuando la
partícula describe un movimiento a velocidad constante, cuando el movimiento de
la partícula describe un movimiento diferente se hace necesario calcular la
velocidad instantánea de la partícula en cualquier instante de su trayectoria, dado
que ahora su velocidad puede variar a lo largo de su trayectoria.
En la sección anterior se demostró que la velocidad media de la partícula entre y
, viene dada por el cociente incremental
( )
( + ) ( )
La cual se definió como la intensidad de la cambiatura de posición
Ahora, notemos en la figura que conforme el incremento de tiempo va tendiendo
a cero , el vector de posición ( + ) de la partícula en el instante + , se
aproxima al vector de posición de la partícula ( ) en el instante , tal como se
observa en la figura, los vectores de posición con líneas discontinuas son los
vectores de posición de la partícula conforme el incremento de tiempo va
tendiendo a cero , por lo tanto se infiere que cuando se aproxima cada vez
más a cero, la partícula se aproxima cada vez más al punto , luego en el límite
cuando el cociente incremental ( ) ( )
debe seguir significando una
velocidad, y como al hacer la partícula tiende hacia la posición , entonces el
cociente incremental ( ) ( )
cuando debe ser la velocidad de la partícula
en el punto cuando .
Luego si tenemos interés en calcular la velocidad instantánea de la partícula en el
punto , debemos calcular el límite del cociente incremental ( ) ( )
cuando
, así de esta forma podemos definir la velocidad instantánea de la partícula en
cualquier punto de su trayectoria, por el límite de su velocidad media ( ) ( )
cuando , lo que se escribe rigurosamente en la forma
( )
( ( + ) ( )
)
La representación de la velocidad instantánea es simplemente , así que tenemos
( )
( ( + ) ( )
)
( ( + ) ( )
)
El tiempo no es una magnitud de naturaleza vectorial, más bien es de naturaleza
escalar, por lo tanto la expresión ( ( ) ( )
) es de naturaleza vectorial,
dado que el límite se aplica sobre el cociente incremental de una variación vectorial
y una escalar, esa es la razón de que la velocidad instantánea sea una magnitud
vectorial, y por lo tanto se justifica el haber escrito la velocidad instantánea
( ( + ) ( )
)
Como un vector .
Notemos ahora que el límite involucrado en el cálculo de la velocidad instantánea
corresponde a la definición de derivada de ( ) con respecto al tiempo por lo tanto
se podrá decir que la velocidad instantánea de la partícula es la primera derivada
temporal del vector de posición ( ), por lo tanto tendremos
( ( + ) ( )
)
( )
𝐎
𝐫 (𝒕)
𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝚫𝐭
𝐗
𝐘
𝐙
𝐓
𝐀
𝐁
𝐭
𝐭+ 𝚫𝐭 �� (𝒕)
�� (𝐭+ 𝚫𝐭)
El vector velocidad es la primera derivada temporal del vector de posición ( )
entonces se concluye que el vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria
de movimiento de la partícula, tal y como se puede apreciar a continuación
Si somos capaces de conocer la velocidad de la partícula como función del tiempo,
entonces podremos integrar esta ecuación en la siguiente forma
( )
( )
Integrando cada miembro de esta ecuación, el primer miembro desde ( ) hasta
( ) y el segundo miembro desde hasta , tenemos
∫ ( ) ( )
( )
∫
( ) ( ) ∫
Para el caso de un movimiento unidimensional en el eje a velocidad constante
la ecuación se puede reducir a
( ) ( ) ∫
Dado que el vector es constante y v es constante podrán salir del proceso de
integración, para tener
( ) ( ) ∫
( )
( ) ( ) ( )
Dado que el movimiento es unidimensional en el eje a velocidad constante, se
tendrá ( ) ( ) y ( ) ( ) , lo que reduce la ecuación a
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Cancelando los vectores unitarios en cada miembro de la ecuación tendremos
( ) ( ) ( )
Donde ( ) ( )
la cual es la forma de cálculo de la velocidad para un cuerpo que
describe un movimiento a velocidad constante
Ahora supongamos que conocemos la velocidad de la partícula en cualquier
instante de su trayectoria como función del tiempo y que viene dada por la
expresión
+ ( )
Donde y son vectores constantes, podríamos entonces calcular la posición de
la partícula en cualquier instante de su trayectoria utilizando la ecuación
( ) ( ) ∫
∫ ( + ( ))
∫
+∫ ( )
( ) ( ) ∫
+∫ ( )
∫
+∫ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) +
( )
( ) ( ) + ( ) +
( )
Para el caso de un movimiento unidimensional en el eje el vector constante
vendrá dado por y el vector constante vendrá dado por ,
𝐎
𝐫 (𝒕)
𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝚫𝐭
𝐗
𝐘
𝐙
𝐓
𝐀
𝐁
𝐭
𝐭+ 𝚫𝐭 �� (𝒕)
�� (𝐭+ 𝚫𝐭)
también podremos afirmar que para el movimiento unidimensional ( ) ( ) y
( ) ( ) reemplazando en la expresión nos da
( ) ( ) + ( ) +
( )
( ) ( ) + ( ) +
( )
La ecuación se puede reducir a
( ) ( ) + ( ) +
( )
Si el instante inicial es la expresión se reduce a
( ) ( ) + +
Generalmente la posición inicial ( ) en el instante inicial es cero, es decir
( ) ( ) y la partícula comienza su movimiento desde el origen, luego
reemplazando tenemos
( ) +
ACELERACIÓN MEDIA
En secciones anteriores se definió la velocidad como un ritmo de cambio de la
posición con respecto al tiempo, en esta sección veremos que la definición de
aceleración media quedará expuesta después de hacer unos cuantos
razonamientos.
Consideremos la siguiente ilustración
𝐎
𝐫 (𝒕)
𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝚫𝐭
𝐗
𝐙
𝐓
𝐀
𝐁
𝐭
𝐭+ 𝚫𝐭
𝚫𝐫
�� (𝒕)
�� (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝐘
Notemos que en el instante la particula se encuentra en la posición y su
velocidad en ese punto es ( ) de la misma manera en el instante + la partícula
se encuentra en la posición y su velocidad en ese punto es ( + ), notamos
que la naturaleza de una partícula en movimiento es estar cambiando de posición
tal afán de cambio de posición de la misma se cuantifica por medio de su velocidad,
notemos que se define la velocidad por medio de ( )
, ( ) es una función del
tiempo y como la velocidad es la primera derivada del vector de posición con
respecto a tiempo, entonces la velocidad también será una función del tiempo, por
lo tanto es más propio escribir
( ) ( )
Luego notemos que como la velocidad es una función del tiempo, también puede
evolucionar con respecto a este, también puede cambiar, de hecho es lo que
demostraremos a continuación
notemos que en un instante particular la partícula se encuentra en la posición de
la trayectoria del movimiento, la posición de la partícula en el instante con
respecto al observador viene dada por el vector de posición ( ) y en un instante
posterior + la partícula se encuentra en la posición de la trayectoria del
movimiento, la posición de la partícula en el instante + con respecto al
observador viene dada por el vector de posición ( + ), es obvio que la
partícula ha cambiado de posición respecto al observador desde ( ) hasta
𝐎
�� (𝒕)𝑨
�� (𝒕)𝑩
𝜟𝒕
𝐗
𝐙
𝑻
𝑨
𝑩
𝐭
𝒕𝑩 𝒕𝑨 + 𝚫𝒕 𝜟��
�� (𝒕)𝑨
�� (𝒕)𝑩
𝐘
( + ), este cambio de posición respecto al observador puede representarse
justamente por una variación de ( ) ( ), luego si indicamos los vectores de
posición con respecto al observador de la partícula en las posiciones y por
( ) y por ( ) y sus instantes respectivos por y donde es igual al instante
inicial más un incremento de tiempo , es decir, + , la ilustración se
reconfigura en la forma
La propiedad de adición vectorial nos da
( ) + ( )
Luego aplicando el operador diferencial con respecto al tiempo tenemos
( )
+
( )
De aquí tenemos que
( )
( )
Ya se ha probado que ( )
( ), por lo tanto se podrá escribir
( )
( ) y
( )
( ) , las que reemplazando nos da
( ) ( )
En una sección anterior demostramos que el vector desplazamiento viene definido
por lo que nos dice que el vector desplazamiento es la variación vectorial de
la posición respecto al observador entre dos puntos específicos y de la
trayectoria y su primera derivada temporal es una variación vectorial del vector
velocidad entre dos puntos específicos y de la trayectoria, tal y como se
observa en la ecuación anterior, por lo tanto se podrá escribir
( ) ( )
Luego tenemos que una variación vectorial del vector de velocidad de la partícula
vendrá dado en la forma
( ) ( )
Dado que + la variación de velocidad se reescribe en la forma
( + ) ( )
Si indicamos que el instante es un instante particular , entonces tenemos
( + ) ( )
Esta ecuación es la prueba más lógica de que la velocidad también puede cambiar
con respecto al tiempo, también puede evolucionar, he ahí la necesidad de medir
esa cambiatura de velocidad con respecto al tiempo, es así que si medimos la
cambiatura del vector velocidad con respecto al tiempo tenemos
( + ) ( )
Este ritmo de velocidad constituye la definición de aceleración media, se define
entonces la aceleración media como el ritmo de cambio de la velocidad con
respecto al tiempo, la aceleración entonces es el ritmo de cambio del vector
velocidad con respecto al tiempo, la aceleración se representa por el símbolo , por
lo tanto tendremos
( + ) ( )
Respecto a la aceleración, se observa en la naturaleza que siempre la aceleración
es constante por tramos, es bastante improbable definir un cambio de aceleración
con respecto al tiempo, aunque hay estudios que sugieren que se puede definir un
cambio de aceleración con respecto al tiempo que se asociaría con una magnitud
física que se llamaría celeridad, pero a estas alturas en que la mayoría de los
científicos rara vez piensan en la física clásica desarrollar un concepto como tal
resultaría ser un esfuerzo infructuoso.
𝐎
𝐫 (𝒕)
𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝚫𝐭
𝐗
𝐙
𝐓
𝐀
𝐁
𝐭
𝐭+ 𝚫𝐭
𝚫𝐫 �� (𝒕)
�� (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝐘
ACELERACIÓN INSTANTANEA
En cálculos anteriores se definió la velocidad instantánea como el límite de la
velocidad media cuando el incremento de tiempo tendía a cero, de igual forma se
definirá aquí la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media
cuando el incremento de tiempo tiende a cero
Como lo afirmamos en la sección anterior, la aceleración media de una partícula es
una caracterización del cambio de velocidad de la partícula muy buena, cuando el
movimiento de la partícula describe un movimiento arbitrario en el cual la partícula
experimenta tramos de movimiento acelerado, se hace necesario calcular la
aceleración instantánea de la partícula en cualquier instante de su trayectoria
En la sección anterior se demostró que la aceleración media de la partícula entre
y , viene dada por el cociente incremental
( )
( + ) ( )
La cual se definió como la intensidad de la cambiatura de la velocidad de la
partícula.
Ahora, notemos en la figura que conforme el incremento de tiempo va tendiendo
a cero , el vector velocidad ( + ) de la partícula en el instante + , se
aproxima al vector de velocidad de la partícula ( ) en el instante , tal como se
observa en la figura, los vectores de velocidad con líneas discontinuas son los
vectores de velocidad de la partícula conforme el incremento de tiempo va
tendiendo a cero , por lo tanto se infiere que cuando se aproxima cada vez
más a cero, la partícula se aproxima cada vez más al punto , luego en el límite
cuando el cociente incremental ( ) ( )
debe seguir significando una
aceleración, y como al hacer la partícula tiende hacia la posición , entonces
el cociente incremental ( ) ( )
cuando debe ser la aceleración de la
partícula en el punto cuando .
Luego si tenemos interés en calcular la aceleración instantánea de la partícula en el
punto , debemos calcular el límite del cociente incremental ( ) ( )
cuando
, así de esta forma podemos definir la aceleración instantánea de la partícula
en cualquier punto de su trayectoria, por el límite de su aceleración media ( ) ( )
cuando , lo que se escribe rigurosamente en la forma
( )
(
)
( ( + ) ( )
)
( )
(
)
( ( + ) ( )
)
Realizaremos a continuación un tratamiento similar al realizado en una sección
anterior, el tiempo no es una magnitud de naturaleza vectorial, más bien es de
naturaleza escalar, por lo tanto la expresión
( ( + ) ( )
)
Es de naturaleza vectorial, dado que el límite se aplica sobre el cociente incremental
de una variación vectorial de la velocidad, que dicho sea de paso es una magnitud
vectorial, y una escalar como es el tiempo, esa es la razón de que la aceleración
instantánea sea una magnitud vectorial, y por lo tanto se justifica el haber escrito la
aceleración instantánea
( ( + ) ( )
)
Como un vector .
Notemos ahora que el límite involucrado en el cálculo de la aceleración instantánea
corresponde a la definición de derivada de ( ) con respecto al tiempo por lo tanto
se podrá decir que la aceleración instantánea de la partícula es la primera derivada
temporal del vector de velocidad ( ), por lo tanto tendremos
( ( + ) ( )
)
( )
𝐎
𝐫 (𝒕)
𝐫 (𝐭+ 𝚫𝐭)
𝚫𝐭
𝐗
𝐘
𝐙
𝐓
𝐀
𝐁
𝐭
𝐭+ 𝚫𝐭 �� (𝒕)
�� (𝐭+ 𝚫𝐭)
( )
El vector aceleración es la primera derivada temporal del vector de velocidad ( ),
sabemos que la velocidad viene definida por ( ) ( )
, la que reemplazando en la
definición de aceleración nos da
( )
( ( )
)
( )
Por lo tanto la aceleración también se define como la segunda derivada del vector
de posición con respecto al tiempo
Si somos capaces de conocer la aceleración de la partícula como función del
tiempo, entonces podremos integrar la ecuación
( )
En la siguiente forma
( )
Integrando cada miembro de esta ecuación, el primer miembro desde ( ) hasta
( ) y el segundo miembro desde hasta , tenemos
∫ ( ) ( )
( )
∫
( ) ( ) ∫
Para el caso de un movimiento unidimensional en el eje a aceleración constante
la ecuación se puede reducir a
( ) ( ) ∫
Dado que el vector es constante y es constante podrán salir del proceso de
integración, para tener
( ) ( ) ∫
( )
( ) ( ) ( )
Dado que el movimiento es unidimensional en el eje a aceleración constante, se
tendrá ( ) ( ) y ( ) ( ) , lo que reduce la ecuación a
( ) ( ) ( )
La que se reduce
( ) ( ) ( )
El término ( ) constituye ser la velocidad en el instante inicial , el término se
puede escribir más sencillamente como ( ) , y se lee simplemente: es la
velocidad inicial de la partícula, así tenemos
( ) ( )
( ) + ( )
Haremos un tratamiento más riguroso, a partir de la expresión
( ) ( ) ∫
Para el caso de un movimiento en el que la aceleración es constante tanto en
magnitud como en dirección, en tal caso el vector aceleración es un vector
totalmente constante y puede salir fuera del proceso de integración para tener
( ) ( ) ∫
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) + ( )
Luego, sabemos que ( ) ( )
, la que reemplazando da
( )
( ) + ( )
Separando variables e integrando tenemos
( ) ( ) + ( )
∫ ( ) ( )
( )
∫ ( )
+∫ ( )
( ) ( ) ∫ ( )
+∫ ( )
El vector ( ) corresponde al vector velocidad inicial el cual se supone que es
totalmente constante, además dijimos que el vector aceleración es totalmente
constante, considerando estas afirmaciones tenemos
( ) ( ) ( ) ( ) + ∫ ( )
( ) ( ) + ∫ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) + ∫ ( ) ( )
( ) ( ) +
( )
( ) ( ) + ( ) ( ) +
( )
Para el caso en que el instante inicial es cero tenemos
( ) ( ) + ( ) +
Esta expresión representa el vector de posición en función del tiempo en cualquier
instante del movimiento de la partícula.