Series y Sucesiones Objetivo: Comprender las progresiones aritméticas y

geométricas y sus aplicaciones en inversiones, amortizaciones y prestamos.

Definición de Sucesión

Una sucesión o progresión es una lista ordenada de números.◦2,5,8,11…◦3,6,12,24,48…◦0,1,1,2,3,5,8,13,21,… Fibonacci

Puede ser finita o infinita.Los términos de la sucesión se denominan

T1, T2,…, Tn

Tn es el término general

Progresiones Aritméticas y el Interés simple

El señor Muñoz pide prestado $5,000. al banco a un interés del 1% mensual. Esta de acuerdo en pagar $200. al capital cada mes, mas los intereses del balance.

Una sucesión es una progresión aritmética si la diferencia entre cualquier termino es la misma y de denomina d

a=250, d=248-250=-2 a, a+d, a+2d, a+3d Tn=a+(n-1)d

Capital Intereses Abono

5,000 50 250

4,800 48 248

4,600 46 246

Ejercicios

Calcule la formula para la serie:◦1,5,9,13…◦Calcule el termino 15 y el 20.

Una empresa tiene un equipo que costo $1,700. el cual se deprecia $150. anualmente. El valor de desecho es $200. Cual es la vida del equipo?◦a=1,550◦d=1,400-1,550=-150◦Tn=a+(n-1)d, Tn=1,550+(n-1)(-150)

Ejercicios

Los pagos mensuales de un préstamo que debe Alicia forman una serie aritmética. Si los pagos sexto y decimo fueron de $345 y $333 respectivamente. De cuanto será el decimo quinto?

Suma de n términos

En ocasiones es importante saber cuanto suman cada uno de los términos, para saber cuanto se ha pagado o cuanto he ganado. Esto se hace con la siguiente formula:

Calcule cuanto ha pagado el Sr. Muñoz al termino del primer año, cuando termina de pagar y cuanto pago de intereses en total.

dnan

Sn )1(22

Tarea

1. Encuentre Tn para:1. 5,3,1,-1…2. 2,3.5,5,6.5,…3. Si el tercero y el séptimo son 18 y 30

encuentre el Termino 15.4. Una maquina con un costo de $1500, al cabo

de 9 años vale $420. Calcule la depreciación anual.

Definición de Progresiones Geométricas

Si la razón de cada termino de una progresión, es siempre la misma con respecto al termino anterior, se tiene una progresión geométrica y esta razón constante se denomina Razón común.

El interés compuesto es un ejemplo de una progresión geométrica.

M=C(1+i)n C=1000, i=10% calcule… Encuentre la razón común en: 2,6,18,54…

Formula y ejemplos

Los términos en una serie geométrica están dados por la formula: Tn=arn-1

Encuentre los términos 5 y 10 de la serie anterior:

Una maquina se deprecia a una tasa del 20% de su valor anualmente. Su costo original fue de $10,000. y su valor de deshecho es $3,000. encuentre la vida efectiva de la maquina.◦a=10,000. r=4/5

Suma de terminos

Para sumar los términos de una serie se utiliza la formula (si r<1)

Si r>1

rra

Sn

n 1

)1(

1)1(

rra

Sn

n

Ejercicio planes de ahorro

Cada año una persona invierte $1000 en un fondo de ahorro que le brinda 8% anual. Cual es la cantidad que tiene ahorrada después de 10 años?

1)1(

rra

Sn

n

645,16108.1

)108.1(1000 11

S

Cada mes una persona invierte $1000 en un fondo de ahorro que le brinda 2% mensual. Cual es la cantidad que tiene ahorrada a fin de año?

a=1000r=1.02n=13

Ejercicio planes de ahorro

33.680,14102.1

)102.1(1000 13

S

Ejercicios

1. Una maquina se deprecia al 25% de su valor anual. Su costo fue de $10,000. cuando valdrá menos del 10% en libros?

2. Alfredo hipoteca su casa a 5 años con una deuda de 19,500. Planea ahorrar una determinada cantidad cada mes con una tasa del 10% anual. Con capitalizaciones mensuales. Cuanto debe de ahorrar cada mes para lograr pagar el adeudo en la fecha de pago de la hipoteca.

Valor presente

Valor actual del dinero cuyo monto se considera equivalente a un ingreso o egreso futuro de dinero.

Ejemplo: Un estudiante decide vender su auto. Tiene 2 compradores uno le da $66,000 ahorita y el otro le da $6,000. al mes a una tasa del 1.5% mensual arriba de la inflación. A quien le conviene mas vendérselo?