Post on 11-Apr-2016
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Ing. Jorge González Díaz
MODELOS MATEMATICOS
SISTEMA
Combinación de componentes que actúan
conjuntamente para alcanzar un objetivo
específico
Una parte del universo, conceptualmente
aislada, que es objeto de estudio
Colección de elementos que interactúan, y en
los cuales existen relaciones de causa-efecto
entre sus variables
SISTEMA
Colección de elementos que interactúan, y en
los cuales existen relaciones de causa-efecto
entre sus variables
MODELOS
• Herramienta que permite describir y analizar
un sistema
• Representación abstracta de un sistema
• Descripcion simplificada de un sistema y sus
elementos
MODELOS
AL DIBUJAR UNA CAJA CON LINEAS Y
FLECHAS PARA LA ENTRADA Y SALIDA SE
DIBUJA UN MODELO PARA EL SISTEMA,
DONDE LAS RELACIONES QUE SE
TRANSFIEREN DEL SISTEMA REAL AL
DIBUJO SON LAS RELACIONES ENTRADA-
SALIDA
MODELOS MATEMATICOS
UN MODELO MATEMATICO ES UNA
REPLICA DE LAS RELACIONES ENTRE LA
ENTRADA Y LA SALIDA DEL SISTEMA
EXPRESADA MATEMATICAMENTE.
MODELO MATEMATICO
G I O
MODELOS MATEMATICOS
• Permiten realizar simulaciones
• Evita el método ensayo y error
• Cambiar parámetros equivale a cambiar los
coeficientes
• Facilita el desarrollo de controladores
CONDICION DE ESTADO ESTABLE
• SE DA CUANDO EL SISTEMA HA TENIDO
SUFICIENTE TIEMPO PARA ASENTARSE
ANTE CUALQUIER CAMBIO EN LA
ENTRADA
CIATRANSFERENDEFUNCIONI
OG
ESTABLEESTADO
ESTABLEESTADO
_
_
PARA ANALIZAR Al insertar una moneda en una maquina de
chocolates se obtiene una salida de una barra
de chocolate (G=1barra/moneda). Se supone
que el sistema es lineal: si entrada: 2 Monedas;
Salida: 2 chocolates. En muchos casos tales
sistemas son lineales si la señal de entrada se
encuentra dentro de ciertos limites. Por
ejemplo: el sistema de la maquina de chocolate
es lineal siempre no se inserte un mayor
numero de monedas que barras de chocolate
que tiene la maquina
• Representa la razón de cambio entre el valor
de la función (variable dependiente) respeto
a su parámetro (variable independiente)
DERIVADA
• Es la suma de infinitos sumandos,
infinitamente pequeños.
• Es el área de la región del Plano xy limitado
por la grafica de f, el eje x y las lineas x=a y
x=b
Integral
• Es una ecuación en donde intervienen la
derivada de una o mas funciones
desconocidas
Ecuación diferencial
• Es un artificio o herramienta matemática que
provee un método sistemático y
relativamente sencillo de resolución de
ecuaciones diferenciales.
Transformada de Laplace
• Este método transforma una ecuación
diferencial en una ecuación algebraica en la
que una variable compleja s sustituye al
tiempo como variable independiente.
• Llevando a cabo la transformación inversa
(anti transformada) se obtiene la solución de
la ecuación diferencial original
Transformada de Laplace
FUNCION DE TRANSFERENCIA • 1. La función de transferencia de un sistema
es un modelo matemático porque es un
método operacional para expresar la
ecuación diferencial que relaciona la variable
de salida con la variable de entrada
FUNCION DE TRANSFERENCIA • 2. La función de transferencia es una
propiedad del sistema, independiente de la
magnitud y naturaleza de la entrada o
función de excitación.
FUNCION DE TRANSFERENCIA • 3. La función de transferencia incluye las
unidades necesarias para relacionar la
entrada con la salida; sin embargo, no
proporciona información acerca de la
infraestructura física del sistema.
FUNCION DE TRANSFERENCIA • 4. Si se conoce la función de transferencia de
un sistema, se estudia la salida o respuesta
para varias formas de entrada, con la
intención de comprender la naturaleza del
sistema
FUNCION DE TRANSFERENCIA • 5. Si se desconoce la función de
transferencia de un sistema, puede
establecerse experimentalmente
introduciendo entradas conocidas y
estudiando la salida del sistema. Una vez
establecida una función de transferencia,
proporciona una descripción completa de las
características dinámicas del sistema, a
diferencia de su descripción física.
• Un sistema de medición de temperatura tiene
una entrada de 10 °C y produce una salida
en estado estable de 5.0 mV
• Si se supone el sistema lineal se puede
predecir que si la entrada es 20 °C entonces
la salida en estado estable sería de 10.0 mV
0.5 mV/°C 10 °C 5.0 ,mV
FUNCION DE TRANSFERENCIA
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• Un motor tiene una función de transferencia
de 500 rev/min por volt. ¿Cuál es la
velocidad de salida en estado estable para
tal motor cuando la entrada es de 12 V?
min/600012500
,
revxO
IxGO
Entonces
I
OG
estableEstado
estableEstadoestableEstado
estableEstado
estableEstado
DIAGRAMA DE BLOQUES
• Es una representación grafica de las
funciones que lleva a cabo cada componente
y el flujo de señales (Relaciones)
• A diferencia de una representación
matemática puramente abstracta, un
diagrama de bloques tiene la ventaja de
indicar en forma mas realista el flujo de las
señales del sistema real.
DIAGRAMA DE BLOQUES
DIAGRAMA DE BLOQUES
Punto de Suma
Un circulo con una cruz es el símbolo que indica la operación de suma.
El signo de mas o de Menos en cada punta de flecha indica si la señal
debe sumarse o restarse
DIAGRAMA DE BLOQUES
DIAGRAMA DE BLOQUES
MODELOS MATEMATICOS
PARA SISTEMAS EN LAZO ABIERTO
G3 Ɵi
G2 G1 Ɵ1 Ɵ2 Ɵo
Ɵi G1 x G2 x G3
Ɵo
21
21321
O
II
O xxGxGxGG
Ɵi G
Ɵo
MODELOS MATEMATICOS
PARA SISTEMAS EN LAZO ABIERTO
• Un sistema de medición empleado en un
sistema de control consta de dos elementos,
un sensor y un acondicionador de señal en
serie. Si el sensor tiene una F.T : 0.1 mA/Pa
y el acondicionador de señal una FT : 20.
¿Cual es la función de transferencia del
sistema de medición?
A. DE SEÑAL
20
SENSOR
0.1 Ma/Pa
Ɵo
PamAxG /2201.0
MODELOS MATEMATICOS
PARA SISTEMAS EN LAZO
CERRADO
Ɵi G
Ɵo
H
e
f
GH
G
i
1
0
MODELOS MATEMATICOS PARA
SISTEMAS EN LAZO CERRADO
Un motor de velocidad controlada tiene un
sistema con una función de transferencia 600
rev/min por volt y un sistema de medición en el
lazo de retroalimentación con una función de
transferencia de 3 mV por rev/min ¿Cuál es la
función de transferencia global?
MODELOS MATEMATICOS PARA
SISTEMAS EN LAZO CERRADO
Un motor de velocidad controlada tiene un
sistema con una función de transferencia 600
rev/min por volt y un sistema de medición en el
lazo de retroalimentación con una función de
transferencia de 3 mV por rev/min ¿Cuál es la
función de transferencia global?
MODELOS MATEMATICOS PARA
SISTEMAS EN LAZO CERRADO
voltporrev
GH
G
i
i
min/214003,0*6001
600
1
0
0
Ɵi 214 rev/min por volt
Ɵo
MODELOS MATEMATICOS SISTEMAS
LAZO CERRADO ELEMENTOS
MULTIPLES Ɵi
G1
Ɵo
H
e
f
G1 G1
HGGG
GGG
i )**(1
**
321
3210
MODELOS MATEMATICOS SISTEMAS
LAZO CERRADO ELEMENTOS
MULTIPLES
Un sistema de control de posición tiene un
amplificador (FT=20 mA/V) en serie con una
Actuador (válvula FT=12mm/mA) y un lazo de
retroalimentación con un sistema de medición
de desplazamiento (FT=30 mv/mm). ¿Cuál es
la función de transferencia global para el
sistema de control?
MODELOS MATEMATICOS
SISTEMAS LAZO CERRADO
ELEMENTOS MULTIPLES
Ɵi Amplificador
20 mA/V
Ɵo
Medición
30 mV/mm
e
f
Válvula
Corrediza
12 mm/mA
MODELOS MATEMATICOS
SISTEMAS LAZO CERRADO
ELEMENTOS MULTIPLES
Vmmi
/29030,0)12*20(1
12*200
GRACIAS