Diseños factoriales fraccionarios

etapas iniciales de una investigación: interesa estudiar muchos factores

Diseños 2k

cuando crece el número factores (k) aumenta rápidamente el número de experimentos (N)

estrategia: reducir N perdiendo un mínimo de información valiosa

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

una parte de los diseños factoriales completos

basados en la jerarquización de los efectos:

efectos más importantes: efectos principales

seguidos por interacciones dobles, triples, cuádruples, etc.

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

Número de efectos potencialmente de mayor interés para diseños factoriales 2k

diseño 2k total de efectos efectos no ignorables efectos ignorables

22 3 3 0

23 7 6 1

24 15 10 5

25 31 15 16

26 63 21 42

27 127 28 99

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

k < 5: los efectos potencialmente importantes superan en

número a los efectos ignorables a priori

si se fraccionan estos diseños se pierde información que

puede ser relevante

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

k ≥ 5: el número de efectos ignorables supera al número de

efectos potencialmente importantes

se pueden fraccionar sin perder información valiosa

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

al fraccionar un diseño factorial completo:

se pierde información (se espera no poder estimar efectos que se

puedan ignorar, como interacciones de alto orden)

se tienen menos grados de libertad disponibles para el error

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

al fraccionar un diseño factorial completo:

los efectos que se pueden estimar tienen al menos un alias

efectos alias: son dos o más efectos con nombres distintos que

comparten el mismo contraste (cuando se estima uno de ellos se

estima el otro) por lo que no se pueden separar

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

k variables (factores) a 2 niveles

r número de parámetros (coeficientes b) a estimar

p generadores independientes

matriz: 2k - p = N = r

(2r -1) generadores N coeficientes alias (l)

calcular los valores de los l: vector de coeficientes alias

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

I: efecto generador (neutro multiplicativo) llamado identidad

cualquier columna multiplicada por sí misma da I

la relación de definición define la estructura alias

A2 identidad I

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

por ejemplo, para un diseño 23-1:

el efecto menos importante a priori es la interacción ABC sacrificable

Quimiometría

I = ABC

Diseños factoriales fraccionarios

multiplicando cualquier columna por la relación de definición da los alias para esa columna

A. I = A.ABC = A2BC

dado que el cuadrado de cualquier columna es I:A = BC

los alias para B y CB. I = B.ABC = AB2C B = ACC. I = C.ABC = ABC2 C = AB

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

resolución igual al número de elementos del menor generador

resolución II: algunos efectos principales se calculan como alias (b

i + b

j)

resolución III: ningún efecto principal es alias de otro

efectos principales como alias con las interacciones de1º orden

(bi + b

jk)

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

resolución IV: ningún efecto principal es alias de otro, ni de interacción 1º orden

efectos principales como alias con interacciones de2º orden (b

i + b

jkl)

algunas interacciones de primer orden como alias(b

ij + b

kl)

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

resolución V: ningún efecto principal o interacción de 1º orden es alias de otro

efectos principales como alias con interacciones de 3° orden (b

i + b

jklm)

interacciones de 1º orden como alias con las interacciones de 2º orden (b

ij + b

klm)

a > resolución > información

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

para una matriz: 23-1

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

no se puede estimar el efecto X1X

2X

3: no tiene contraste (todos

signos positivos)

4 experimentos 4 coeficientes l

coeficientes alias: l

0= b

0 + b

123

l1= b

1 + b

23

l2= b

2 + b

13

l3= b

3 + b

12

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

matriz: 23-1

vector de coeficientes alias L

y = X L L = y

XT

N

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

vector de coeficientes alias L

l

0 = ¼ (y

1 + y

2 + y

3 + y

4)

l1 = ¼ (y

1 - y

2 - y

3 - y

4)

l2 = ¼ (- y

1 + y

2 - y

3 + y

4)

l3 = ¼ (-y

1 - y

2 + y

3 + y

4)

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

Diseños de Plackett y Burman (2º guerra mundial)

el número de puntos del diseño no es necesariamente potencia de 2, pero sí es múltiplo de 4

matrices de Hadamard

matrices cuadradas XN : (N x N)

N es múltiplo de 4, si N es potencia de 2, son diseños 2k-p

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

Matrices de Hadamard

matrices cuadradas XN : (N x N)

la inversa de la matriz es la matriz transpuesta/número de experimentos

XT X = N x IN

(XT X)-1 = 1/N x IN

X-1 =

Quimiometría

XT

N

Diseños factoriales fraccionarios

Matrices de Hadamard

número de experimentos: N = múltiplo de 4, N ≠ 2q (q > 3)

N= 12, 20, 24, 28, 36, ..... 404

N= 12 + + - + + + - - - + - (11 signos)N= 20 + + - - + + - + - + - + - - - - + + - (19 signos)N= 24 + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - -

Quimiometría

1 + + + - + + + - - - + -

2 + - + + - + + + - - - + 3 + + - + + - + + + - - -

⁞

12 + - - - - - - - - - - -

columna de +

Quimiometría

Diseños factoriales fraccionarios

Matrices de Hadamard

Diseños factoriales fraccionarios

efecto de (N-1) factores con N experimentos, p parámetros a determinar N ≥ p

factores, Uj: variables naturales cuyos valores se pueden controlar

(cualitativos o cuantitativos) → variables codificadas (reducidas y centradas)

efecto, b

j: cambio en la respuesta ocasionado por un cambio en el

nivel del factor

nivel: categoría de un factor

Quimiometría

Un ejemplo: experimento exploratorio

Estudiar el efecto de 10 factores sobre la reacción:

Quimiometría

Factores:

U1: porcentaje de NaOH 40% 50%

U2: temperatura 80°C 110°C

U3: catalizador TBAB cetil-TMAB

U4: agitación sin con

U5: tiempo 90 min 3430 min

U6: volumen de solvente orgánico 100 ml 200 ml

U7: volumen de agua 30 ml 60 ml

U8: relación S/NaOH 1 2

U9: relación k/S 0,25 4

U10

: relación R/S 1 5

-1 +1

Quimiometría

Diseño

Xij → U

ij

¿Se pueden hacer todos los experimentos?

Hacer los experimentos al azar

Obtener yi (respuesta): % de rendimiento

Calcular bj (efecto sobre la variable i)

Control

Quimiometría

matriz experimental

matriz del modelo (Hadamard 12x12): X

promedio de las medidas

error

vector de respuestas

Quimiometría

efecto de (N-1) factores

notación vectorial: B =

p: número de coeficientes (efectos) incluyendo b0

p = N

Quimiometría

modelo: y = X B

B = X-1 y

X-1 =

B = XT y

y = 47 + 8,3 x1 – 2,3x

2 + 0,5x

3 + 8,8x

4 – 8,2x

5 – 2,2x

6 + 1,3 x

7 +

4,2x8 + 7,7x

9 + 9,0x

10 + 4,8 x

11

1

N

XT

N

Quimiometría

y = 47 + 8,3 x

1 – 2,3x

2 + 0,5x

3 + 8,8x

4 – 8,2x

5 – 2,2x

6 + 1,3 x

7 +

4,2x8 + 7,7x

9 + 9,0x

10 + 4,8 x

11

b0 = 47 → promedio

b11

(factor dummy) ≈ error = 4,8

b2 (T), b

3 (catalizador), b

6 (Vsol), b7

(Vagua), b8 (S/OH-) < 4,8

despreciables

< T, catalizador más barato, menores V

Quimiometría

y = 47 + 8,3 x

1 – 2,3x

2 + 0,5x

3 + 8,8x

4 – 8,2x

5 – 2,2x

6 + 1,3 x

7 +

4,2x8 + 7,7x

9 + 9,0x

10 + 4,8 x

11

b10

= relación R/S (5) es el factor más importante

b1 = % NaOH (50%)

b4 = agitación (con)

b5 = tiempo (90 min)

b9 = relación k/S (4)

Quimiometría