NÚMEROS PRIMOS EN ZNÚMEROS PRIMOS EN Z++

Observación: Se tiene el conjunto numérico:

Z+ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

I.I. NÚMEROS SIMPLESNÚMEROS SIMPLES Son aquellos que tienen a lo más dos divisores.

I.A. La unidadEs el único entero positivo que pose un solo divisor, el mismo.

I.B. Número primoTambién llamado “Primo absoluto”, es aquel que posee exactamente dos

divisores; _____________________ y

___________________.

Ejm:Divisores

______ : 1, 2

______ : 1, 3

______ : ______ , _____

______ : ______ , _____

II.II. NÚMEROS COMPUESTOSNÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos que poseen más de dos divisores.Ejm:

Divisores______ : 1, ____ , ____ , ____ , …

______ : 1, ____ , ____ , ____ , …

______ : ____, ____ , ____ , ____

______ : ____, ____ , ____ , ____

Observación :1. La unidad es un divisor universal.2. El número 2 es el único primo

absoluto par.3. El 2 y el 3 son los únicos primos

consecutivos.

III.III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) (PESI)También denominados primos relativos o “coprimos”, y son aquellos números que poseen como único divisor común a la unidad.

Ejm: ¿12, 10 y 15 son PESI?

Divisores

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 ,

12

10 : 1 , 2 , 5 , 10

15 : 1 , 3 , 5 , 15

El único divisor común de 12, 10 y 15 es la unidad, por lo tanto son PESI.

¿20, 14 Y 8 son PESI?

Divisores

12 : ___ , ___ , ___ , ___ , ___, ___

14 : ___ , ___ , ___ , ___

8 : ___ , ___ , ___ , ___

IV.IV. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICADESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Descomponer canónicamente el número 40.

Paso 1: Empiezo a dividir el número por los números primos (2; 3; 5; 7; …)

40 220 210 2 5

Paso 2: Analizo:5 no tiene divisor 2, entonces pruebo con 3 y luego con 5, 7 y 11 sucesivamente.

40 220 210 2 5 5 1

Z+

Números Simples

Números Primos entre sí

(PESI)

La Unidad

Primos absolutos

Descomposición Canónica

NúmerosCompuesto

s

Teorema fundamental de la Aritmética

Se obtiene 1, entonces la descomposición llega a su fin

40 = = 23 x 51 = 23

x 5

Descomponer canónicamente 315:

315 3105 3 35 5 7 7 1

315 = 3 x 3 x 5 x 7 = 32 x 51 x 71 = 32 x 5 x 7

Descomponer canónicamente

- 360 =

- 145 =

- 210 =

Hallar el número de divisores de 18

Divisores

18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisor universal : 1

Divisores primos : 2, 3

Divisores compuestos : 6, 9, 18

Total de divisores = 6

Pero ¿Qué hacer si el número tiene más divisores? ¿Cómo calcular el número exacto de divisores de un número?

OBSERVAOBSERVA

Paso 1: Descomposición canónica

18 2 9 3 3 3 1

18 = 2 x 3 x 3 = 21 x 32 = 2 x 32

Paso 2: Extracción de los exponentes.

2 x 3

1 2

Paso 3: A cada exponente se le suma la unidad y luego se multiplican.

1 2

(1 + 1) (2 + 1)x

(2) x (3) = 6

18 tiene 6 divisores

Hallar el número de divisores compuestos de 100.

Hallar el número de divisores de 200 y el número de divisores compuestos.

1. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda.

I. 2, 3, 5, 7, 8, 11, 13 son números primos.

II. El único número primo par es 2III. 21 tiene 3 divisores

a) FFF b) FVF c) FFVd) VVV e) VFV

2. Indique la relación correcta:

I. 12A) Tiene 2 divisoresII. 15B) Tiene 4 divisoresIII. 19C) Tiene 6 divisores

a) IA – II B – IIIC b) IA – IIC – IIIB c) IB – IIA – IIICd) IB – IIC – IIIA e) IC – IIB – IIIA

3.i) Un número primo tiene

______________ únicamente en Z+

Descomposicióncanónica

DivisoresPrimos

DivisoresPrimos

(2 en total)

1 2

+1

+1

6 divisores =

Número de divisores primos

Número de divisores compuestos

+ + 1

6 = Número de divisores compuestos

+ + 12

6 - 3 = Número de divisores compuestos

3 = Número de divisores compuestos

Ejercicios de Ejercicios de AplicaciónAplicación

Ejercicios de Ejercicios de AplicaciónAplicación

ii) Dos números con PESI si tienen

como único divisor

___________________

4. ¿Cuántos de los siguientes números son primos?

21, 13, 28, 41, 15, 18, 23

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Calcular el número de divisores de:

i) N = 360

a) 6 b) 12 c) 18d) 24 e) 30

ii) N = 240

a) 4 b) 8 c) 20d) 16 e) 18

6. Calcular el número de divisores de.

i ) N = 23 x 52 x 72

a) 12 b) 7 c) 36d) 32 e) 16

ii) N = 113 x 134

a) 20 b) 12 c) 7d) 6 e)

7. Calcular el valor de si:

i) N = 32 x 2 x 5 tiene 24 divisores

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 22 x 52 x 7 tiene 45 divisores

a) 16 b) 9 c) 6d) 4 e) 3

8. ¿Cuántos divisores primos tiene:

i) N = 154 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 40 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. ¿Cuántos divisores primos tiene:

i) N = 14 x 15 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 21 x 22?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. ¿Cuántos divisores primos tiene:

i) N = 28 x 12 x 5 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 5 x 10 x 4 ?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:

i) N = 23 x 7 x 132

a) 20 b) 21 c) 23d) 24 e) 3

ii) N = 53 x 72

a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 2

12. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:

i) N = (23 x 3)2

a) 21 b) 20 c) 19d) 12 e) 18

ii) N = (72 x 5)2

a) 15 b) 12 c) 10d) 8 e) 6

13. ¿Cuántos divisores primos tiene: (, , 1)?

i) N = 2 x 7 x 3 x 5 +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

ii) N = 2 + x 7 x 13

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

14. Dos números primos suman 14. Calcular el producto de estos dos números.

a) 22 b) 26 c) 33

d) 34 e) 35

15. Indicar la pareja de números PESI :

a) 8 y 24 b) 21 y 44c) 42 y 14

d) 15 y 70 e) 20 y 18