Post on 28-Jun-2015
FLINCIONES TRIGON OM ETRICAS CIRCULARES
Llamamos ángulo a la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común.
A dicho orisen se le llama vértice.
Si del vértice, O, del ángulo, como centro, trazamos
una circunferencia de radio R cualquiera, llamaremos
medida del ángulo ü (en radianes, (sistema de
numeración decima$ a la proporción entre la longitud
del arco de circunferencia limitado por los lados del
ángulo y el radio de la misma.
Evidentemente la medida del ángulo no depende del radio elegido; (la proporción entre la longitud
de la circunferencia y el radio de la misma es siempre constante y vale 2n).
Según lo visto, el ángulo completo medirá 2n radianes, el llano n y el recto f .
La medida del ángulo tendrá signo positivo si el arco es recorrido en sentido contrario al de las
agujas del reloj y tendrá signo negativo si el arco es recorrido en el sentido de las agujas del reloj.
En el primer giro completo, los cuartos de vuelta (principio y fin de los distintos cuadrantes)
tendrán va lores respect ivos: 0 ,1%, n,3/ r ,Zn.
tgl L
/ l ' i
Í , / | \- -1---r-- ' l\ /\ r , r /''-----1---"
.$1
A la circunferencia de radio unidad, tratada desde el vértice del ángulo, se le
goniométrica. En ella, la medida del ángulo coincide con la longitud del arco
lados.
Razones trigonométricas. Definición. Relaciones principales:
lx-
Cuando el contexto en el que trabajamos es de tipo geométrico
o cartográfico (mapas) la medida de los ángulos se puede
realizar siguiendo el sistema sexagesimal (un giro completo
serán 360").
La equivalencia entre sistemas vendrá dada por la proporción ;
1800- nradia
llama circunferencia
que comprenden sus
Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas
y, con centro en su origen, la circunferencia de radio
unidad.
f- Si tomamos como fijo el lado 0 r, los distintos giros a
partir de é1, del lado 0 s, definirán los distintos ángulos
c I , .
2
Cada uno de los valores de cr determina el punto P (x, y) sobre la circunferencia goniométrica.
Se define como seno del ángulo a (sencr ) al valor de la ordenada del punto P que dicho ángulo
define en la circunferencia goniométrica.
El coseno del ángulo cr (coscr ) es Ia abscisa del punto P que define el lado móvil del ángulo en la
c ircunferencia goniométri ca.
Al cociente, si existe, entre el seno y el coseno del mismo ángulo o se le llama tangente del
ángulo(tgc¿),esdecir : l r to : senü' l
fo lI cos0, I
La tangente del ángulo cr será pues,la ordenada y' del punto P' que define el lado móvil del
ángulo con la recta tangente a la circunferenciatrazada desde A (origen del sistema de ángulos).
En cualquier triángulo rectángulo, de ángulo agudo ü , y por semejanza de triángulos, obtenemos
S inmediatamente:
Por semejanza de triángulos:
I + c o t s ' c r : c o s e c ' o
t l !=g=p 'A : tgc r : r r .
OM OA
AABtscx. : tE L : : =
AC
A AB "
(cateto opuesto a a )S e n U . : S e n L : : = - ¡ - l
C B a ( h i P o t e n u s a )
A A C b ( c a t e t o c o n t i s u o a a )C O S ú : ü O S L : : = - | - - - - - - - - - - - - - - - - l
B C a \ h i p o t e n u s a )
/ \f cateto opuestoao l
\ cateto contrguo a cr /
f r " n ' . r =1 -cos2 '=J" . (1)l c o s ' c r = 1 - s e n ' c l
x2+y2=l - - - - - - - ) s e n ' ü * c o s ' s : l , V c r
A los inversos, si existen, del senü, cosü y tgcr
(coseco ), secante de o (seco ) y cotangente de cr
cosec cx, - I
(si sen cr * o)sen ü,
I
cotg crtg cr
Si dividimos los miembros de la ecuación (1) por
I + ts ' cx : sec' c¿
b
Además, y por aplicación del teorema de Pitágoras, vemos que si P (x, y),
se les llama, respectivamente: cosecante de
(cotgo ), es decir:
1I ,
seco : (s i coso +0)cos c{.
(s i tgo * 0)
cos' cr se obtiene:
(2)
(l) por sent cr se obtiene:Si dividimos los miembros de la ecuación
(3)
Signos de las razones trigonométricas:
Por propia definición se observa que :
Todas las razones trigonométricas son positivas en el 1"' cuadrante
En el 2o cuadrante sólo lo son el seno y la cosecante
En el 3"'cuadrante sólo lo son la tangente y la cotangente
En el 4o cuadrante sólo lo son el coseno y la secante.
s > r 5 > ú )< ¿ O t C 7 ¿
C < . , ¡ b > i )
c < e t c > o
f > o '
b < o
Relación de razones trigonométricas de ángulos distintos. Reducción al l"'cuadrante:
1.- Si dos ángulos son suplementarios (suman n ), sean cL y r - cL :
- Dos ángulos suplementarios tienen senos iguales y cosenos y tangentes opuestos.
2 . - D o s á n g u l o s c u y a d i f e r e n c i a s e a n ( o y n + o ó c r y c r - n ) :
9 Dos ángulos que difieren en n tienen tangentes iguales y senos y cosenos opuestos.
3 . -Angu losquesuman 2z(ángu losopuestos) , (a y 2n-u ó c t y - o ) :I
sen ü : - sen (2 7r - cr ) : - sen (-cr
cos cr, : cos (2 n - a ) : cos (-ct )
tg c r = - tgQl r -ü ) : - tg ( -c¿ )
3 Dos ángulos rdffi-s tienen cosenos iguales y senos y tangentes opuestos.
Es decir, al cambiar de signo a un ángulo, cambian de signo su seno y su tangente, mientras que
goqglg perrnanece constante.
sen cr: sen (n -" ) Icosü , : -cos (n - " ) l =
It g a : - t g ( n - " )
)
sen cx, : - sen (n + cr ) : - sen (" - ^ )l
cosc r , : - cos (n+cr ) : - cos (c t -n ) f
=
t g c r : t g ( n + c t ) : t g ( c r - ¡ ) )
,l
4.- Ángulos cuya suma ",
1 1ángrlos complementarios)
senc r : cos11 -o ¡
coscx , : sen11 -o ¡
t sü , : co te (1 -a )" " ' 2
5.- Ángulos cuya diferencia es i ( aL
( ü
lI
)
o (y
,lI
) )
senc { , : - cos (1ao
cosc { , : sen (1+o )
tg a : - co t s (1+c ,2
1ly --cx, ) :- 2
ri
= Si dos ángulos son complementarios las razones de uno de ellos coinciden con las co-
razones del otro.
t t ,y - - | -o¿ o' 2T
c I - - ) :2 '
senc , : cos lo - ] ¡2 '
cosc r : - sen (c r -+ )2 '
t g c r : - co tg t " - 112 '
Razones trigonométricas de los ángulos I, ! v ! @t',30o y 60o): Se obtienen de la definición" 4 6 ' 3
de las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, al considerar un
triángulo rectángulo isósceles para el primero y la mitad de un triángulo equilátero para los otros.
LJ'1 2 3 L 2
L 2 : h 2 + - > ¡ 2 : -44
L2 +L2 : d2 -> , LJ '=
2d :
t;
tl a
2
r E lsen - : ---;=
a 'lz
n lCOs - : ---v=
a ^lz
Ít s - : l* 4
TcJthsen - - =-:-
3 2 L
it I L/zc o s - : - : -
3 2 L
r r - h1 1 - -t * I n ' - t - / z
r r lsen - : -
62
t;7t {J
cos -62
nlJto " , l : J
Funciones trigonométricas. Definición. Gráfica. Propiedades:
Se define la función f(x): sen x a la función real de variable real que asigna acada valor del
arco, medido en radianes en la circunferencia goniométrica, el valor del seno del ángulo
correspondiente.
q- t t -f lu
. \
t'0
!t.). ot*".-
. ,YL
Los valores de la función (que es
siempre continua Vx e 9? ), están
siempre comprendidos entre - 1
y + 1 .- t
Es una función periódica de periodo 2n .
Su gráfica recibe el nombre de sinusoide.
La función f(x) : cos x asigna a cada valor de x (ángulo medido en radianes) el valor del coseno
de dicho ánqrlo.
Tiene las mismas características
de la función (x) = sen x .
Sus valores se encuentran "ade-
lantados" -l respecto los de la
función f(x) = sen x .
La función real de variable real que asigna a cada x (ángulo medido en radianes) el valor de la
tangente de x, se llama (x): tg x .
I
l lI
III
llII
I
) t*) = cts"
6
f(x): tg x está definida y es continuapara todo valor de x, excepto para aquellos en los que
cos x : 0 (múltiplos enteros impares d" * Iz
l " lD : 9 i _ 4 x t * = 12k + l )_ : , keZ l
t ' 2
)
Si cos X = 0 , para ese valor de x, f(x) tiene una asíntota vertical .
Es una función periódica de periodo rt .
A partir de la definición de las funciones trigonométricas, podemos extraer las siguientes
conclusiones:
l.- No existen las funciones inversas de las funciones trigonométricas, pues al ser periódicas, distintos
valores de x pueden dar la misma f(x).
2.- a.- f(x): sen x y g(x) : tg x son funciones impares:
En efecto, Vx e D I sen (- x) : - sen x
t tg ( -x )= - tgx
b.- Sin embargo, f(x): cos x es función par pues cos (- x) : - cos x , Vx e D
3 . - a . - S i s e n x : 0 - > x : k n , k e Z
S i s e n x = I - ) * = 1 + 2 k n . k e Z2
S i s e n x : - I - + * : - n + 2 k n . k e Z2
b . - S i c o s x : 0 - + x : ( 2 k + f ) 1 . k e Z¿
S i c o s x : 1 - + x : 2 k x , k e Z
S i c o s x : _ I _ + x : ( 2 k + 1 ) n , k e Z
c . - S i t g x : O - + x : k z , k e Z
Expresiones inversas:
A las correspondeneias inversas de las funciones trigonométricas (que no son funciones) se les
llama funciones-arco .
Así, si x = sen y -+ y: arc sen x
si x: cos y -+ y: arc cos x
s i x = t g y - ) y : a r c t g x
Sus gráficas se obtienen como simétricas de y : sen x y : c o s x
bisectriz del l"'cuadrante :
)>¿u a-
y: tg x, respecto de la
\¿1 a/.4 .^ ><
A
A
Z-- ut-c- teór<
t t lL
& t l
- 3tt/( L
Vectores
Definición: Dos puntos A, B ordenados definen el vector Rd, d" origen en A y extremo en B
El vector RÉ q.reda definido pues por:
* Su or igen A
* Su dirección: recta, r, que pasa por A y B
t Su sentido: el que asigna la orientación de origen hacia extremo
* Su módulo: longitud del segmento e e (por lo tanto, siempre positivo)
Vectores libres: Diremos que dos vectores AB y CD son equipolentes ( AB ,^' CD ) si ambos
vectores tienen direcciones paralelas e iguales sentido y módulo.
Si Á; ,u C;, al unir sus orígenes y sus extremos,
respectivamente, se forma un paralelogramo.
los vectores equipolentes entre sí recibe el nombre de vector libre, y viene
módulo, dirección y sentido de cualquiera de los vectores ligados que lo
+-%
c<{"El conjunto de todos
caracterizado por el
forman.
8
Se representan por una letra minúscula: ; : { * }
= vector libre formado por los vectores--)
e q u i p o l e n t e s a A B . E v i d e n t e m e n t e , s i A B - C D - a = l a g J : 1 C n I¡ - ) + f - l
Si a : t ns l = vC lD t a : tco l , .o q b
> ,./
,rr;a-
./"c
ñ-"----{-- -
Operaciones con vectores libres:
* Suma: Dados dos vectores libres
R
f -+ [ - lI a = lAB fl - l - l + -+ [ - l +{ ' ' de f i n imos a *b= jAC l : sl : tzl I J¡ 6 = lBClt t ll ( . )
I ",
lu diagonal del paralelogramo definido po. i y-)b , llevados a un origen común.
+nl!
- - ) + -
Equivale a trasladar el origen de b al extremo de a y unir el origen de a con el extremo de b .
Propiedades:+ J - + +
l . - ¿ + $ : $ + ¿+ ) -+ + -) --)
r n- +
2 . - a + ( b + c ) : ( a + b ) + c = d + b + c- ) f - l + -+ +
3 . - vec torneut ro : 0 : lBBf - u+0 : at J
4.- vectoropuesto: s i ; : {ñ} -) - ; :
{ú} ysecumpliráque
t i t J
+ + f . - - l l - r l [ - - l - - )a +(-u ) : jeBf + lBAf
: lAAl : 0
I J IJLJDos vectores opuestos tienen iguales módulo y direcciónrpero sentidos contrarios.
* Producto de un número real por un vector: Dados i , o e B, definimos
,¿" it +
/ s e n t i d o : I e l d e a s i c r > 0/ J( \\ Lel contrario de a si o < 0t\ módu lo : l o l ' a
\ l
' - + - ) - t - +
l . - o ( a + b ) : c r a * c r b+ + +
2 . - ( o + F ) a : c r . a + F a+ +
3 . - ( o 0 ) a : 0 ( B a ) ' - - ' i " '
- -4 . - 1 a : a
'\>
Propiedades:
9
Base canónica: Dados dos vectores
diremos que forman una base canónica del conjunto de vectores libres del plano.
+ + - ) -
V a p o d r e m o s e s c r i b i r : a x i * a v j , r e c i b i e n d o d * y t , e l n o m b r e d e
J l +coordenadas de a en la base I i
+ - + - , ) l t + l
i , j quecump lan : . J t i l : l j f : i : j : 1 (módu lo 1 )
Li l-l (ortogonates)
i " i
* Producto escalar de vectores:
+ l) J )
Así, si+ - + - + - ) - + - )& : & * i + a y j y b : b * i + b r j :
-+ -+ -+ -)
a + b = ( a " + b * ) i + ( a y + b r ) j
; f )+ - + -
c t a : ( a a " ) i + ( o a r ) j
Dados i', ü , que forman un ángulo rp, definimos
el producto escalar¿" ivi, (; ;), al número real que se
obtiene de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo
I
-t! .---
Estos resultados tienen interés desde el punto de vista de las operaciones con vectores.
tiJ -,,.t'-
A s í , s i ? : d x i + a , j y b : b , i
-+ -+ -+ -) ,+ -)
a . b = ( a * i + a , j ) ' ( b . i + b , j ) : a
: a" b* * Í Iy by : a b cos <P
Aplicaciones : Dados dos vectores
a ' b : a b c o s g
-+ -) -) -) -) -9 -)
2 . - a ' ( b + c ) : a ' b + a ' c ( D i s t r i b u t i v o r e s p e c t o a l a s u m a )
+ -+ + --) -+ -'il
3 . - ( c , a ) ' b : c r ( a ' b ) = L L ' \ d Y ' - . 1
+ --) + --)
4 . - S i a v b * 0 v a ' b : 0 = a I b
- + - + - -
5 . - i . i : j . j : 1 y
+ - ) - ) --) + -+ b t j
* b " i--)
. i * a * b y) )
* a v b v j . j :- + - ) t - +
i ' j + a r b , j ' i
+ - ) -
& : 2 * i + a y j y b : b " i + b r j :
- - a - 1 )a ' a : a ' c o s 0 : a , 8 * * o y a r = a i + a l
u= rft.*fi
I
l . - Módulo de un vector : como
l 0
, JO\2.- Angulo de r vectorel
3.- Proyección de un vector :
(
-<t +L.
Y43 t' = I l.- -.'., I
; ; : a " b " + a r b r : a b c o s q -
como a ' b :
-) -)
a b c o s r p = b c o s < p : a ' b
a
__) +
"La proyección de b sobre a se obtiene como valor absoluto del cociente del producto escalar de
ambos vectores entre el módulo del vector sobre el que se realiza la proyección".
-t
proya b -
--) -)a ' b
a
a r b * + a r b ,
l ) ){ a ; + a ;
- + ;
Dado el vectora, al vector uu : I se le llama vector unitario dea
4.- Vector unitario :
+
la dirección y sentido de a .
Un vector a que forme un ángulo a
porcoordenadas en la base {;,1} :I J
con I tendrá
-)a ' i
+ - )
a ' j
Iu.J\ u '
: a c o s c x , =
: a sencr :
--, )a ' b
c o s ( D :ab
a r b " + a r b ,r - f i l
r / u í * a ' , I b i +b i
l l
Transformaciones tri gonométricas :
Sean uy v vectoresunitar ios(u:v:1), que formancon iángulos a y b respect ivamente
-) -+ -) -) -)
u : u , i * u v j : c o s a i + s e n a j
L ( + - + - + - + )' , ' l V = v * i * v v j = c o s b l + s e n b j
. , -- .vu Simult ipl icamosescalarmente uyv:
\ : b , . - -
Sabiendo que cos (- b): cos b y
cos (a + b) : cos (a- (- b)) = cos a
u ' v : 1 ' l ' c o s ( a - b ) : c o s a c o s b * s e n a s e n b :
cos (a - b): cos a cos b * sen a sen b ( 1 )
sen (-b) : - sen b, podremos escribir:
cos ( -b )+ sena sen ( -b ) : cosa cosb -sen a sen b :
cos (a+ b) = cos a cos b- sen a sen b (1 ' )
Sab iendoque sen o : cos11 -a ) yque cos o , =sen ( | - " 1 :
sen (a + b) : cos (( n - (a + b) ) : cos (;- ^) - b) : cos (1 - a ) cos b + sen (;- ^) sen b :
sen (a+ b) : sen a cos b *cos a sen b (2',)
sen (a - b) : sen ( a + (- b)) : sen a cos (- b) + cos a sen (- b) : sen a cos b * cos a sen b :
sen (a-b) : sen a cos b-cos a sen b (2)
Dividiendo las expresiones (2') y (1') podemos escribir:
sen(a+b) - sena cosb+cosa senb , div idiendonumeradorydenominadorpor cosa cosb:
cos(a + b) cos a cos b - sen a sen b
s e n a c o s b *
c o s a s e n b
t e ( a + b ) : c o s a c o s b c o s a c o s b t g a + t g b- o \ - '
c o s a c o s b _ s e n a s e n b l - t g a t g b
cos a cos b cos a cos b
t g (a+b )=t g a + t g b
I - t g a t g b
t g ( a - b ) =t g a - t g b
I + t g a t g b
(3')
Haciendo lo propio con las expresiones (2) V (t) obtendríamos:
(3)
t2
Funciones trigonométricas de los ángulos doble y mitad:
s e n 2 a : s e n a c o s a * c o s a s e n a : 2 s e n a c o s a
c o s 2 a = c o s a c o s b - s e n a s e n b = c o s t a - s e n t a
t g a + t g a _ 2 t g atg2a = tg (a + a)
l - f g a t g a l - t g 2 a
De (l') y (2'):
sen 2a :2 sen a cos a
cos 2a: cos'a - sen'a
(4)
(s)
(6)t g 2 a :2 t g a
1 - t g 2 a
Para obtener las razones del ángulo mitad, tendremos en cuenta:
1 3 1 d \cos - - + sen - I22r
>I
De (5) "o r t
1 - sen2 I : "o ,
u )
a l + c o s a- = -2 2
1 z l - c o s as e n - - = -
Luego:
(1 ) :
(8)
El signo + ó - será el correspondiente alsigno de la función trigonométrica que
corresponda al cuadrante al que pertenece I
sen (a + b) + sen (a - b):2 sen a cos b
sen (a + b) *sen (a - b):2 cos a sen b
cos (a + b) + cos (a - b):2 cos a cos b
cos (a + b ) -cos (a - b ) : -2 sen a sen
y b: +
y las transformadas
(7)
(8)
(e)
Transfonnaciones de sumas en productos: Del cuerpo de fórmulas anteriormente vistas:
sen (a+ b) : sen a cos b * cos a sen b J
s e n ( a - b ) : s e n a c o s b - c o s u , . n U l : +
c o s ( a + b ) : c o s a c o s b - s e n a s e n b )>:>cos (a-b) : cos a cos b * sen a sen bJ
hemos transformado las sumas en productos.
S i l l a m a m o s a + b : A v a - b : B . e n t o n c e s a
de las sumas en productos podrán expresarse como:
l,)
s e n A * s e n B : 2 r " n A * B
2
s e n A - s e n B : 2 " o , A * B
, " n A - B
cosA+cosB :2 "o , A *B
"o , o - "
22
cosA-cosB : - 2sen A+B , . n
A -B22
A-B2
A+B
( ro)
13
Dado un triángulo cualquiera ABC, y llamando {ÁEt } : ;,
f +l ' f - ----->l +
iACi : b y iBCi : a
vemosqu" {Ád} . { * } : {Áé} = ; :d - ;
-Si multiplicamos escalarmente a consigo mismo:
+ + + + + + + + ) + + +
a . a : ( b - c ) . ( b - c ; = b . b + c . c - 2 b . c
a ' : b ' + c ' - 2 b c c o s A ( t )
"Dado un triángulo cualquiera, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados, menos el doble producto de los mismos por el coseno del ángulo que
comprenden"
Nota.- Si A : 90" ( el triángulo es rectángulo), ( I ) se convierte en el teorema de Pitágoras, ya que
cos A : 0, a sería lahipotenusay bys los catetos del triángulo.
* Teorema del seno: Dado un triángulo cualquiera ÁBC . si trazamos la altura
desde un vértice cualquiera (por ejemplo C), vemos
que:
h . : b s e n A : a s e n B =sen A sen B
Si repetimos la operación con la altura h s, tendríamos
q u e h s : a s e n C : c s e n A =sen A sen C
TRIÁNGULOS. RESOLUCIÓN :
* Teorema del coseno:
Podemos, por tanto, escribir:a - b : c
sen A sen B sen C(2)
"Dado un triángulo cualquiera, la proporción entre la medida de un lado y el seno del ángulo opuesto a
ese lado es siempre constante"
Puede demostrarse fácilmente que el valor de dicha constante coincide con el diámetro de la
circunferencia circunscrita al triánsulo.
l 4
En efecto, sea el triángulo
luego,
ser ángulos inscritos que abarcan el
- - ^ ( p o r e l T . d e l s e n o )sen B sen C
-+ 3 Alr", Ó y Ó' iguales porsen C'
mismo arco:>2R - c
sen C
ABC y la circunferencia circunscrita a dicho triángulo:
Si trazamos el diámetro que pasa por B y consideramosA -/':}r
triángulos ABC y ABC' :
EnABC ' =sen A
- - - \ ?R
En ABC' : - " -
sen 90o
siendo R el radio de la circunferencia
Dado el triánsulo ABC trazando una altura desde un vértice
cualquiera (p. e. desde B), podemos escribir:
A: bh "
2
("Area : base por altura partido por dos")
\ ¡ c o m o h s : c s e n A
semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que
del triángulo) , y basándonos en las relaciones
(3) (Fórmula de Herón)
los
a - b : c = 2 Rsen A sen B sen C
.¿>circunscrita al triángulo ABC
* Área de un triángulo:
,f '*
"El área de un triángulo cualquiera es el
forman éstos"
( l )
l ' ¡
Si llamamos p : *+- (semiperímetro
trigonométricas, podemos demostrar :
A - p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )
a-:-
EJERCICIOS
Trigonometría
1 . - S i c o s * = a y s e n x < 0 : ¿ s e n x y t g x ? R e p r e s e n t a e l á n g u l o .
2 . - S i t g x : - i y c o s x < 0 : ¿ s e n x y c o s x ? R e p r e s e n t a e l á n g u l o .
3.- MANEJO DE CALCULADORA. FORMA DECIMAL DEL ÁNGULO. FORMA SEXAGESIMAL
4. - , "n * : f cos x = - ' {1 . te " :
-€ i2 2 - 3 u V a l o r e s d e x ?
5 . - s e n x : 0 , c o s x : 0 , t g x : 0 , s e n x : l , c o s x : - 1 , t g x : 1 ¿ x ?
6.- s i ; : ] i * * i É : 9?* nl¿valores de m y n r i iyÉ son uni tar ios? ¿Retación2 " 2
entre myn si iy Ü ,onortogonales?
7.- Dados i :z i * j v t : i - j , sep ide:l + l l + l + + + +
a ) l a l V l b l b ) cosq (<p fo rmadopo ray b ) c )p royecc iónde a sob re b yde+ +
b sobre a .+ + + + + + - ) )
8. - a= i+ j , b :2 i+m j ¿mparaque a y b seanor togona les?¿paraqueformen45o?
9. - S i fga : + n .a< + ¿ tg (a++) y tg ( I -a )? ¿sen (a+ ] ) y cos ( I -ü t" 4 2
- - ' 6 4 " 6
' 4
10.- teu: -9 y cosa( 0 ¿sen2a , cos2a , tg2 , , "n 1?" 5 - 2 2
l 1 r 5 n 7 ÍI l.- ¿,cos !1?. Razones trigonométricas de # (zs') | t rs') . I Qz' lo')" 8 " t 2 ' t 2 8
1 2 . - C o m p r o b a r s i c o s * * - s e n o x - 2 c o s 2 x * I : 0
a13. - tg ;
: t expresar en lunc ión de t , tg a . sen a . cos az
14.- Conocidos sen a y cos a ¿sen 3a y cos 3a?
15.- Comprobar s i #:
cos "- *
16- Simplif icar ",
sen (a + b) sen (a - b) b) .
ttn 21c o s a + c o s b
' l + c o s 2 a
16'.- Expresar como producto: cos 60o * cos 40o sen 40o * sen 20o cos 48o * sen 58o
1 7 . - E x p r e s a r c o m o s u m a : s e n 3 x s e n x s e n 3 x c o s x c o s 3 x s e n x c o s 6 x c o s 2 x
lg.- Demostrar sen 5a + sena : I + 2 coszasen 3a - sen a
19.- comprobar: a) tg I = . t"n u
u; J9!9 3I9 s = sec 2a' " 2 l + c o s a c o t g a - s e n a
x x t g ac) tg _ : cotg : -2 cotg x d) -- ^L : cos 2a- 2 - 2
t g 2 a - t g a
2
2 0 . - D e m o s t r a r q u e s i A B C e s u n t r i á n g u l o y s e n B + s e n C : c o s B * c o s C , e l t r i á n g u l o e s
rectángulo.
21 . - Seconoceque cos : : - i yque x esde l3" 'cuadrante ¿senx , cosx?¿ J
22.- Si A , B y C son ángulos de un triángulo, demuestra que "-#tt
: cos B
I
23.- Si sen x : - y x es del 2o cuadrante ¿sen 3x - sen x?z
24.- Demuestra que tg + : cosec A - cotg Az
25.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a ) c o s 2 x * s e n x : 4 s e n 2 x
b ) s e n 2 x c o s x : 6 s e n ' ' x
c ) c o s 2 x : 5 - 6 c o s 2 x
d) cos 2x - cos 6x : sen 5x * sen 3x
e ) 4 s e n 1 * 2 c o s x : 3
fl sen x * sen 3x: cos x
Triángulos
1.- Un globo está sujeto al suelo mediante una cuerda de 80 m de largo, de modo que forma con el
suelo un ángulo de 45o. ¿Altura del globo?
2.- Desde un faro colocado a 140 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión desde el que se
ve un barco es de 30o. ¿A qué distancia del faro se encuentra el barco?
3.- Las ramas de un compás miden 12 cm y el ángulo que forman es de 45o. ¿Áreadel círculo que
define el compás?
4.- Los lados de un paralelogramo miden 7 y 4 cm y el ángulo cx que comprenden cumple que
A ,
t ga : l ¿A rea?J
5.- Halla el lado y el apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio R: 8
6.- Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo si b = 75 cm y la bisectriz del ángulo agudo C
mide 94 cm.
7.- Doble observación
l "
: i ¿h'{L ¿h ,
tt i , t ¡s,.", I I ¿h, paraelcasogeneral Á t ñ? Rf
8.- Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15 cm . Hallar el coseno y seno del ángulo menor y el
área del triángulo.
g . - Reso lvere l t r iángu lo ABC s i A :30o, B =45o y b : " [ ,
10 . - En un para le logramo ABCD : ne :6 cm . Ro: 8 cm y A:30 ' . ¿Diagona les : á rea?
ll.- Las diagonales de un paralelogramo miden l0 y 6 cm y el ángulo que forman es de 60o.
¿Lados; área?
12.- Dos caminantes que andan arazón de 5 km / h y 4 km / h. Se separan en un cruce tomando
caminos que forman 30'. ¿A qué distancia se encuentran al cabo de dos horas?
13.- A, B y C están unidos por carreteras rectas: eS : O km . BC : 9 km V nA V AC forman
120' ¿Distancia entre A y C?
1 4 . - Á r e a d e u n t r i á n g u l o s i a = 8 m , B : 3 0 o y C : 4 5 o
15.- Uno de los lados de un triángulo mide el doble de otro y el ángulo comprendido es de 60o ¿los
otros dos ángulos del triángulo?
16.- De ABC se conóce a= 20 cm , b :22 cm y sen 2C : 0'96 ¿sen C? ¿cos C?
17.- Calcular los lados de un triángulo sabiendo su área (18 cm2) y los ángulos A: 20' y B :45o
f 8 . - Resue lve e l t r iángu lo ABC s i n = z ü . u : " [1y b : I
19.- Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen por radios 9 y 12 cm . Halla el ángulo que
forman sus tangentes comunes
A
s i A :45 " y B :30 '?
A A
s i A : 6 0 o y B = l 5 o ?
4
20.- Un triángulo tiene por lados a , a"[i y 2a . Demostrar que el ángulo opuesto al lado intermedio
mide 60'
21.- El ánguloC de un tr iángulomide60'. Halla AyB sabiendo que sen A* sen B : +