Post on 25-Jun-2015
Ingeniería EconómicaMatemáticas FinancierasIngeniería EconómicaMatemáticas Financieras
Profesor: Pablo Diez BennewitzDepto de Industrias – UTFSM
Profesor: Pablo Diez BennewitzDepto de Industrias – UTFSM
Son herramientas matemáticas de decisión
para comparar racionalmente alternativas
económicas, de modo de seleccionar la
más conveniente
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Se evalúan aspectos
económicos de diferentes
opciones, las que cumplir
un mismo objetivo
Es el traspaso del derecho al uso de un bien por
parte de una persona natural o jurídica que goza
de tal derecho y que renuncia a ese uso, a favor
de otra persona natural o jurídica, la cual lo
adquiere por un plazo específico o no
CRÉDITO
Bien o recurso económico circulable, cuyo uso o
posesión, ocasiona un costo o un beneficio,
cuya magnitud depende tanto de la valoración
que se le dé, como del tiempo de usufructo de
dicho bien
DINERO
Supóngase el problema de decidir entre
dos alternativas mutuamente excluyentes:
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
• Recibir hoy día $100.000
• Recibir $100.000 dentro de un año más
¿ Cuál alternativa preferiría usted ?
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Los motivos para preferir la primera alternativa son:
• La pérdida del poder adquisitivo
Debido a la existencia de inflación, con $100.000
disponibles hoy, es posible adquirir más bienes
y servicios que con $100.000 dentro de un año
• El riesgo
Más vale tener $100.000 seguros hoy que poseer
una promesa de recibir $100.000 en un año más
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Los motivos para preferir la primera alternativa son:
• Los usos alternativos del dinero
Con $100.000 colocados a trabajar hoy, es
posible tener más de $100.000 dentro de un año
Es la renta que se paga por el uso del dinero
tomado en crédito (punto de vista del deudor), o
bien, es la renta que se cobra por renunciar al
uso del dinero otorgado en préstamo (punto de
vista del acreedor)
INTERÉS
INTERÉS
Por lo tanto:
Interés = Monto Final – Monto Inicial
Por ejemplo, si se solicita
un préstamo de $100.000
y se devuelven $105.000,
entonces el interés
pagado es de $5.000
Es el porcentaje del monto inicial de un crédito,
en un instante de tiempo específico
TASAS DE INTERÉS
Por ejemplo, con un monto inicial de $100.000
e intereses de $5.000, se desprende que:
Tasa de Interés (%) =Monto del crédito
Interésx 100
Es la ganancia o rentabilidad de la mejor
alternativa desechada o sacrificada al asignar
un bien o recurso a un uso específico,
existiendo usos alternativos rentables para
ese mismo bien o recurso
COSTO DE OPORTUNIDAD
Existen tres únicas y mutuamente excluyentes
alternativas para invertir $250.000 a un mes
plazo, todas ellas con el mismo nivel de riesgo
EJEMPLO 1
• Realizar el depósito en un banco, que ofrece
pagarle a fin de mes un interés de $2 por cada
$100 depositados
• Colocar el dinero en una alternativa que
reporta un interés de $4.750 al final del mes
EJEMPLO 1
• Colocar el dinero en un fondo que reporta, a fin
del mes, un interés de $0,25 por cada $100 del
depósito previamente reajustado por inflación
1.Determine cuál sería la mejor alternativa, si se
estima una tasa de inflación mensual del 1,6%
2.Obtenga la ganancia (en $), la tasa de
rentabilidad (sobre $) de cada alternativa y el
costo de oportunidad relevante (en $ y en tasa),
al seleccionar cada una de las alternativas
3.Encuentre a partir de cuál tasa de inflación
(mínima o máxima) se entraría a modificar la
respuesta en 1.
EJEMPLO 1
FACTORES DE LOS QUE DEPENDE EL INTERÉS
• Capital: Es la suma de dinero originalmente
prestada o la parte de ella que aún resta por
pagar (capital insoluto o impago). El capital
insoluto depende, a su vez, de la forma de pago
• Tiempo (n): Extensión donde se calcula el interés
• Tasa de interés (i): El interés por unidad de
tiempo, expresado como tanto por ciento o tanto
por uno, del capital sobre el cual se devenga
TIPOS DE INTERÉS
Interés
Nominal
Interés
Real
Se devenga sobre el capital
no reajustado por inflación
Se devenga sobre el capital
reajustado por inflación
TIPOS DE INTERÉS
Interés
Vencido
Interés
Anticipado
Se cobran los intereses al
final del período en que se
ha usado el capital
Implica el cobro de los
intereses de un período, a
inicios de dicho período
TIPOS DE INTERÉS
Interés
Simple
Interés
Compuesto
Los intereses se calculan
sólo sobre el capital
insoluto o saldo de capital
Los intereses se calculan
sólo sobre el saldo insoluto
o saldo de la deuda
Es el saldo de deuda vigente en un instante
específico, conformado por el capital insoluto
vigente y la totalidad de los intereses
devengados y no pagados hasta ese momento,
de acuerdo a la modalidad del crédito
SALDO INSOLUTO
De esta manera, en el
interés compuesto se
devengan intereses
sobre intereses
2 ahorrantes depositan a un mes plazo su dinero
en un banco, quien se compromete al cabo de un
mes, mediante un pagaré, a devolverles a cada
ahorrante el capital y los intereses respectivos
EJEMPLO 2
El ahorrante A depositó $180.000 y tras un mes
retiró los intereses, volviendo a depositar sólo el
capital por otro mes. El ahorrante B depositó
$180.000 y al cabo de un mes depositó por otro
mes todo el dinero retirado del primer depósito
En los dos meses (de 30 días) relevantes, el banco
aplica tasa de interés del 1% mensual para ahorros
EJEMPLO 2
1.Calcule el capital insoluto de la deuda del banco
con el ahorrante A y con el ahorrante B, al cabo
de los primeros 15 días y al comienzo de la
última semana del lapso relevante
2.Calcule el saldo insoluto a favor del ahorrante A
y del ahorrante B, al final del primer mes y al
final del segundo mes, respectivamente
Es la representación gráfica de los flujos de
efectivo trazados en una escala de tiempo
DIAGRAMAS ECONÓMICOS
Consta de una línea horizontal, dividida en
intervalos de tiempo, además de flechas
verticales que representan los ingresos y
egresos
GRÁFICO REPRESENTATIVO DE MOVIMIENTOS ECONÓMICOS
Tiempo
Egresos
Valor Presente
Ingresos
0 1 2 3 n ………….....
El valor futuro (VF) alcanzado por un capital (valor
presente – VP) al final de un período dado, a una
tasa de interés conocida, es ese capital más los
intereses devengados a esa tasa de interés y
acumulados sobre él en ese período
VALOR FUTURO
Se tiene que:VF VP + Intereses=
VALOR FUTUROA INTERÉS SIMPLE
Tiempo
VF
0 1 2 n – 2 n – 1 n ……….
VP • Interés en 1ª unidad de tiempo: VP ● i• Interés en 2ª unidad de tiempo: VP ● i
• Interés en nª unidad de tiempo: VP ● i
…..
…..
i
VALOR FUTUROA INTERÉS SIMPLE
Por ende, el interés simple acumulado a una
tasa de interés fija sobre un capital fijo, es:
Intereses = n ● VP ● i
Luego, el valor futuro a interés simple es:
VF = VP + Intereses = VP + ( n●VP●i )
VF = VP ● ( 1 + i ● n )
VALOR FUTUROA INTERÉS COMPUESTO
Tiempo
VF
0 1 2 n – 2 n – 1 n ……….
VP • VF en 1ª unidad tiempo: VP + (VP●i)• VF en 2ª unidad tiempo: VP(1+i) + VP(1+i)i• VF en 3ª unidad tiempo: VP(1+i)2 + VP(1+i)2i
• VF en nª unidad tiempo: VP(1+i)n-1 + VP(1+i)n-1i
… …
i i i i i
VALOR FUTUROA INTERÉS COMPUESTO
Tiempo
VF
0 1 2 n – 2 n – 1 n ……….
VP • Valor futuro en 1ª unidad tiempo: VP ● (1 + i)• Valor futuro en 2ª unidad tiempo: VP ● (1 + i)2
• Valor futuro en 3ª unidad tiempo: VP ● (1 + i)3
• Valor futuro en nª unidad tiempo: VP ● (1 + i)n
… …
i i i i i
VALOR FUTUROA INTERÉS COMPUESTO
En definitiva,
Valor futuro en nª unidad de tiempo:
VP(1+i)n-1 + VP(1+i)n-1i = VP(1+i)n
VF = VP ● ( 1 + i )n
Una persona A deposita $250.000 durante 6
meses, a una tasa de interés simple del 6%
trimestral y retira todo el dinero al final de ese
lapso
EJEMPLO 3
Otra persona B coloca $90.000 a
interés simple durante 6 meses y
retira todo el dinero (exactamente
$101.880) al fin de ese lapso
1.Calcule el monto retirado por la persona A, a fin
de los 6 meses
2.Obtenga la tasa de interés mensual simple para
la persona B durante los 6 meses
3.Determine cuál ahorrante consigue una mejor
tasa de interés
EJEMPLO 3
Se requiere obtener en préstamo un capital de
$800.000, a 2 años plazo, con un pago único al
vencimiento. Se tiene para ello 3 alternativas de
tasas de interés mutuamente excluyentes
EJEMPLO 4
A. 60% Anual con capitalización anual
B. 60% Anual con capitalización semestral
C. 60% Anual con capitalización mensual
Halle el monto a pagar al vencimiento del crédito
en cada alternativa y determine la mejor opción
A mayor frecuencia de capitalización de la tasa
de interés dentro del período relevante, mayor es
el interés que se devenga
FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN
En el ejemplo anterior se tiene que en A) la
frecuencia anual es 1, en B) es 2 y en C) es 12
Obs: si hay un solo período de capitalización, no
existe diferencia entre interés simple y compuesto
Una persona tenía un depósito a interés, cuyo
monto alcanzaba a $630.000 en el momento de la
última capitalización. Esa cantidad fue colocada
luego durante 27 meses, a una tasa de interés del
40% anual compuesto con capitalización semestral
EJEMPLO 5
Obtenga el valor futuro
devengado al final del
mes número 27
INTERÉS EFECTIVO Y NOMINAL
La tasa de interés nominal (r) significa aparente o
pretendida, pues si hay interés compuesto con
más de un período de capitalización, no se
condice con el interés efectivo del crédito
La tasa de interés efectiva (i)
es aquella que mide en
concreto el interés otorgado
o cobrado
INTERÉS EFECTIVO Y NOMINAL
Por ejemplo, $1000 depositados al 10% anual
con capitalización semestral (nominal)
Tasa de interés en cada semestre = 0,1 / 2 = 0,05
1.000 1.050
5%
1.102,5
5%
Equivalente a una tasa de interés anual del 10,25%
En general, es posible calcular una tasa de
interés efectiva a partir de una tasa de interés
nominal, por medio de la siguiente ecuación:
CONVERSIÓN DE UNA TASA DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVA
i = 1 +rm
– 1
Donde m: Número de capitalizaciones que ocurren
dentro del período que dice la tasa nominal
m
CONVERSIÓN DE UNA TASA DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVA
En el ejemplo anterior:
i = 1 +rm
– 1 = 1 +m 0,1
2
2
i
– 1
= 0,1025
CONVERSIÓN DE TASAS EFECTIVAS
(1 + iA) = (1 + iS)2 = (1 + iT)4 = (1 + iM)12 = (1 + iD)365
Donde:
• iA : Interés anual efectivo
• iS : Interés semestral efectivo
• iT : Interés trimestral efectivo
• iM : Interés mensual efectivo
• iD : Interés diario efectivo
Se sabe que la ecuación:
INTERÉS EFECTIVO PARA CAPITALIZACIONES
CONTINUASi = 1 +
rm
– 1 m
Sirve para convertir una tasa
de interés nominal en efectiva
Sin embargo, cuando hay capitalizaciones
continuas, es decir cuando m tiende al infinito,
sirve la siguiente estimación:i = er – 1
Por ejemplo, un banco aplica a los préstamos una
tasa de interés del 15% anual con capitalización
en segundos
¿ Cuál sería la tasa de interés efectiva ?
…. m es muy grande !!! m tiende a
Luego: i = e0,15 – 1 = 0,16183 = 16,183%
INTERÉS EFECTIVO PARA CAPITALIZACIONES
CONTINUAS
∞
Calculando la tasa efectiva con precisión:
m = 365●24●60●60 = 31.536.000
Se llega a:
i = 1 +0,15
31.536.000– 1
31.536.000
= 0,16196
La diferencia entre la estimación y el valor preciso
empieza en el 4° decimal (2° si es con porcentaje)
INTERÉS EFECTIVO PARA CAPITALIZACIONES
CONTINUAS
VALORES EQUIVALENTES
Dos o más cantidades de dinero, expresadas en
una misma unidad monetaria, son equivalentes
entre sí, dada una tasa de interés, si y sólo si en
una fecha común llamada fecha focal, sus valores
capitalizados (montos) y/o sus valores
descontados (valores actuales) a esa tasa de
interés, resultan iguales entre sí
FECHA FOCAL
Es una fecha común de referencia, ubicada dentro
del lapso en que se considera pertinente la tasa de
interés usada en el cálculo de las equivalencias
Por lo tanto, la elección de la
fecha focal no debiese alterar
las equivalencias
ECUACIÓN DEVALORES EQUIVALENTES
Es una ecuación financiera que, en una fecha y a
una tasa de interés conocidas, involucra sólo a
los valores equivalentes de distintas sumas de
dinero
A una empresa le resta por pagar las dos últimas
cuotas de un crédito: $12.000 dentro de 3 meses y
$18.000 dentro de 9 meses
EJEMPLO 6
Si quisiera liquidar anticipadamente la deuda, hay
dos opciones mutuamente excluyentes:
1. Pagar $29.500 dentro de 5 meses
2. Pagar $31.400 dentro de 7 meses
Si en cada mes de los próximos tres trimestres,
los fondos de esta empresa tendrían una tasa de
rentabilidad del 2% mensual compuesto,
entonces decida cuál sería la opción más
conveniente para esta empresa
EJEMPLO 6
Una empresa a la que le restaba pagar sólo dos
cuotas de un crédito, renegoció la deuda con su
acreedor, sustituyéndose las dos cuotas de
$15.000 y $25.000, con vencimiento dentro de 3 y
5 meses respectivamente, por otras dos cuotas de
$R, con vencimiento dentro de 4,5 y 7,5 meses
respectivamente
EJEMPLO 7
La renegociación se hizo de una forma tal, que la
situación final es equivalente a la situación
original, dada una tasa de interés del 2,1%
mensual compuesto
EJEMPLO 7
Calcule $R mediante cálculo teórico en las
fracciones de período de capitalización, usando:
1. Fecha focal en el instante 5 (final del mes 5)
2. Fecha focal en el instante 7,5 (mitad del mes 8)
PAGOS PERIÓDICOS (PAYMENT)
Con frecuencia se reconocen pagos o ingresos de
tipo periódicos, tales como sueldos y salarios,
imposiciones, pensiones de jubilación, pagos de
arriendos, cuotas mensuales de créditos, etc
Payment es una sucesión de
valores monetarios de igual signo
e igual monto, por lo que los
pagos periódicos son constantes
PAGOS PERIÓDICOS (PAYMENT)
Con una ecuación de valor equivalente al inicio:
Tiempo
0 1 2 3 n …………..
VP≈
PMT PMT PMT PMT…….....
PMT
(1 + i)1+
PMT
(1 + i)2+
PMT
(1 + i)3+
PMT
(1 + i)n+VP = ……..
PAGOS PERIÓDICOS (PAYMENT)
PMT(1 + i)
jVP = ∑●
1= PMT
j = 1
n
(1 + i)n i●
●
(1 + i)n – 1
Despejando PMT se obtiene:
VP=PMT(1 + i)n i
●●
(1 + i)n – 1
FRC: Factor de recuperación del capital
PAGOS PERIÓDICOS (PAYMENT)
Recordando que VF = VP ● ( 1 + i ● n )
Es posible relacionar PMT con el valor futuro:
VF=PMTi
●(1 + i)n – 1
SFF: Factor de amortización del capital
Se depositan $50.000 cada fin de período mensual,
en una cuenta que paga una tasa de interés del
24% anual compuesto con capitalización mensual
EJEMPLO 8
Calcule el monto acumulado en la cuenta, en
cada uno de los siguientes casos:
1. Inmediatamente después del depósito n° 4
2. Inmediatamente después del depósito n° 36,
junto con hallar los intereses devengados en el
conjunto de los 36 meses involucrados
Sea una determinada cuenta que otorga
una tasa de interés constante del 36%
anual con capitalización mensual, a lo
largo de un período de 120 meses
EJEMPLO 9
Encuentre el monto acumulado en
la cuenta al final del mes n° 120,
en cada uno de los siguientes
casos:
1.El primer depósito se efectuó por $200 a inicios
del primer mes y posteriormente se depositan
$10 al comienzo de cada mes, desde el 2° mes
2.El primer depósito se realizó por $150 al término
del primer mes y posteriormente se depositan
$15 al final de cada mes, a contar del 2° mes
3.El primer depósito se hizo por $200 al empezar
el primer mes y posteriormente se depositan
$10 al final de cada mes, desde el mes n° 16
EJEMPLO 9
El primer depósito se realizó por $150 al término
del primer mes y posteriormente se depositan
$15 al principio de cada mes, desde el mes n° 16
EJEMPLO 9
4.
SIMULACIÓN
SIMULACIÓN
Una conocida multitienda ofrece para todos sus
clientes vacaciones, las que se permiten cancelar
de dos maneras mutuamente excluyentes: precio
contado y crédito en cuotas fijas
EJEMPLO 10
Determine la tasa de interés compuesta
y el valor que tendría un crédito en 6
cuotas fijas, si es que se opta por las
vacaciones de invierno en Punta Cana
¿ Sería esa una tasa de interés razonable ?
EJEMPLO 10
Otra alternativa es que los flujos de ingresos o
egresos varíen en el tiempo, ya sea en forma fija
(uniforme) o en cierto porcentaje (escalada)
GRADIENTES
Tiempo
0 1 2 3 n ……………
≈
F1…….....F2 F3 F4
Los flujos ya no son iguales en cada período
Tiempo
0 1 2 3 n ……………
≈P
……...
P + G
Se denomina P al valor base (que no cambia) y G
al aumento constante período a período
El aumento en los flujos es constante
P + 2GP + (n-1)G
GRADIENTE UNIFORME
GRADIENTE UNIFORME
Al aplicar una ecuación de valor equivalente que
lleve todos los flujos a valor presente, se llega a:
VP = P(1 + i)n i
●●
(1 + i)n – 1 +
–G
i
(1 + i)n – 1
(1 + i)n i●–
(1 + i)n
n
El primer término
equivale al PMT de
los flujos constantes
Signo positivo si el
gradiente es creciente,
negativo si es decreciente
Considere los siguientes flujos:
EJEMPLO 11
Con una tasa de interés
del 4% en cada período
Período Flujo
1 1.000 2 1.100 3 1.200 4 1.300 5 1.400
¿ Cuánto es el valor presente de los flujos ?
GRADIENTE EN ESCALADA
La variación en los flujos es en algún porcentaje
Tiempo
0 1 2 3 n ……………
≈P
……
..
P (1+E)P (1+E)2
P (1+E)n –
1
Donde E: porcentaje de aumento del flujo
GRADIENTE EN ESCALADA
Llevando a valor presente (instante 0) todos los
flujos, se obtiene la siguiente expresión:
VP =1 + i
●1 + E
E = 0,15
i = 0,1
P
Si se dice que los flujos aumentan
período a período en un 15% y
que la tasa de interés es del 10%
E – i– 1
Considere los siguientes flujos:
EJEMPLO 12
Con una tasa de interés
del 2% en cada período
Período Flujo
1 10.000 2 12.000 3 14.400 4 17.280 5 20.736
¿ Cuánto es el valor equivalente de
los flujos al finalizar el período 5 ?
Considere los siguientes flujos:
EJEMPLO 13
Con una tasa de interés
del 2% en cada período
Período Flujo
1 2.000 2 2.250 3 2.500 4 2.750 5 3.000 6 3.300 7 3.630 8 3.993
¿ Cuánto es el valor
presente de los flujos ?
INTERÉS INTERPERIÓDICO
Si es que algunos pagos se efectúan al interior
de los períodos de capitalización, deben
definirse las condiciones para los períodos de
capitalización
Por ejemplo, asumiendo capitalización anual:
Años
0
35 40
15
10
125
INTERÉS INTERPERIÓDICO
Condiciones para los períodos de capitalización:
1.No se paga interés sobre el dinero depositado
(o retirado) entre los períodos de capitalización
2.El dinero depositado (o retirado) entre períodos
de capitalización gana interés simple
INTERÉS INTERPERIÓDICO
A través del siguiente ejemplo, se reconocerá
cómo se hace el cálculo para ambas modalidades
El siguiente diagrama de flujos muestra
los depósitos y giros que realizó Jorge en
su cuenta de ahorros durante 12 meses
Calcule la cantidad de dinero que tiene Jorge al
final de los 12 meses, si el banco paga un interés
del 3% trimestral; para cada uno de los dos casos
INTERÉS INTERPERIÓDICO
Depósitos Giros
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
90 90 50 5030 30
50 20 70 70 40
Tasa de interés = 3% trimestral
INTERÉS INTERPERIÓDICO
Condición 1 para los períodos de capitalización:
1.No se paga interés sobre el dinero depositado
(o retirado) entre los períodos de capitalización
Los depósitos se consideran como si se
hiciesen al inicio del siguiente período de
capitalización, mientras que los giros se
consideran como efectuados al final del
período de capitalización anterior
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
90 90 50 5030 30
50 20 70 70 40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
90 90 + 50 50
50 20 + 70 70 + 40
30 + 30
INTERÉS INTERPERIÓDICO
INTERÉS INTERPERIÓDICO
Ahora se calcula la cantidad de dinero que, en
el caso 1., tendría Jorge al final de los 12 meses
VF12 40●(1 + 0,03)4 – 90●(1 + 0,03)3 + 140●(1 + 0,03)2 –
– 50●(1 + 0,03)1 + 50 94=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
40 140 50
90 50
=
INTERÉS INTERPERIÓDICO
Condición 2 para los períodos de capitalización:
Los depósitos realizados en un inter – período
ganan interés simple, llevando el monto al inicio
del siguiente período de capitalización. Los
giros, al igual que en el caso 1. se consideran al
final del período de capitalización anterior
El dinero depositado (o retirado) entre períodos de capitalización gana interés simple
2.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
90 90 50 5030 30
50 20 70 70 40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
90 50 + 90(1 + 0,03 ) 50
50 20 + 70 70 + 40
INTERÉS INTERPERIÓDICO
30(1 + 0,03 ) + 30(1 + 0,03 )23
23
13
INTERÉS INTERPERIÓDICO
VF12 40●(1 + 0,03)4 – 90●(1 + 0,03)3 +
+ 50 97=
+ [ 30●(1 + 0,03 ) + (30●(1 + 0,03 ) – 110 ]●(1 + 0,03) +
=+ [ 50 + ( 90●(1 + 0,03 ) ]●(1 + 0,03)2 + 2
323
13
Luego se obtiene la cantidad de dinero que, en
el caso 2., tendría Jorge al final de los 12 meses
EJEMPLO 14
Calcule la cantidad de dinero al final de los 12
meses, si el banco paga un interés del 5%
cuatrimestral, si es que se paga interés inter –
periódico a los depósitos aunque no a los giros
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
100 10 40 20 10
20 50 30 30 20
AMORTIZACIÓN
Es aquella parte de la cuota de pago de
una deuda correspondiente a abonos
que disminuyen el capital insoluto
Cada cuota en que se cancela una deuda
contiene pagos de amortización (abonos
al capital insoluto) y de intereses
El pago de intereses es, en cada
pago, proporcional al capital insoluto
CRÉDITOS
El crédito principal es el monto que se adeuda,
que al final del plazo debe ser igual a cero
Es el monto periódico para cancelar la deuda,
que se compone de la amortización (pago de una
parte de la deuda) y los intereses (pago de los
servicios de la deuda)
CUOTA DEL CRÉDITO
Existen dos modalidades de
cuotas para pagar la deuda:
cuota fija (que es lo usual) o
amortización fija
CUOTA FIJA DEL CRÉDITO
¡¡ Es la ecuación de payment !!
Implica un desembolso constante a lo largo de
los años en que se pacta el crédito
VP=Cuota(1 + i)n i
●●
(1 + i)n – 1
EJEMPLO DE CRÉDITO
Valor del crédito = $ 4.000
Plazo = 4 años
Tasa de interés = 10 %
Obténgase el valor de las cuotas
para pagar el crédito: tanto en el
caso de amortización fija como en
el caso de cuota fija
Flujo de pagos amortización fija: (4.000/4) = $ 1.000
Año 1 2 3 4
Capital Insoluto 4.000 3.000 2.000 1.000
Intereses 400 300 200 100
Amortización 1.000 1.000 1.000 1.000
Cuota del crédito 1.400 1.300 1.200 1.100
AMORTIZACIÓN FIJA
AMORTIZACIÓN FIJA - CRÉDITO
En cada período se paga un monto fijo de
amortización, mientras que el pago de intereses
disminuye con cada sucesivo pago
Pago del créditoen el tiempo
Cuota del crédito
Fijo
Amortización
Intereses
Flujo de pagos con cuota fija:
Año 1 2 3 4
Capital Insoluto 4.000 3.138 2.190 1.147
Intereses 400 314 219 115
Cuota del crédito 1.262 1.262 1.262 1.262
Amortización 862 948 1.043 1.147
Valor futuro: VF = (4.000 (1,10 4) = $ 5.856,4
Cuota = (5.856,4 0,10) / ([1,10 4] – 1) = $ 1.261,9
• •
CUOTA FIJA
CUOTA FIJA DEL CRÉDITO
En los períodos iniciales (finales) se paga una
mayor (menor) proporción de intereses y una
menor (mayor) proporción de amortización
Pago del créditoen el tiempo
Intereses
Amortización
Cuota
Cuota del crédito
Pago del créditoen el tiempo
Intereses
Amortización
Cuota
El primer pago tiene altos intereses y
baja amortización
El último pago tiene bajos intereses y alta amortización
CUOTA FIJA DEL CRÉDITO
Cuota del crédito
PERÍODOS DE GRACIA
Independiente del método de pago, son períodos
en los que solamente se cancelan intereses, sin
abonos que reduzcan el capital insoluto
Se pacta un crédito de $1.000.000, a pagar en un
período de 3 años en cuotas anuales, con una
tasa de interés del 10% anual y 2 años de gracia
EJEMPLO 15
Calcule el pago de intereses y de
amortización, en cada cuota, tanto
con el método de cuota fija como
con el método de amortización fija
BONOS
Es un instrumento de deuda a largo plazo, emitido
por una corporación o entidad gubernamental,
con el propósito de conseguir el capital necesario
para financiar algún proyecto de inversión
BONOS
Se utilizan frecuentemente debido al mayor
atractivo que posee para el deudor y el acreedor,
pues la tasa de interés de los bonos suele
ubicarse dentro del margen de ganancia (spread)
que maneja el sistema financiero
SPREAD
icolocación
icolocación
icaptación
Tasa de interés
Spread
: es la tasa de interés
que cobran los bancos
cuando prestan dinero
donde:
icaptación : es la tasa de interés
que pagan los bancos
cuando reciben dinero
CONDICIONES DE PAGO
Se especifican al emitir los bonos e incluyen:
• Valor nominal del bono
• Tasa de interés del bono
• Fecha de vencimiento
Los intereses se pagan periódicamente
En la fecha de vencimiento se paga el interés
correspondiente más el valor nominal del bono
FLUJOS DE PAGO DE UN BONO
Tiempo
0 1 2 3 n ……………≈
I …..….........
I + Valor nominal
I I
Valor nominal
BONOS – MERCADO ABIERTO
Son documentos pagaderos al portador. Luego,
es posible comprarlos y venderlos en el mercado
abierto. Tanto el acreedor actual como el deudor
actual de un bono, quizás no lo sean mañana
BONOS – MERCADO ABIERTO
Por ejemplo, a usted le ofrecen un bono de $10.000
cuya tasa de interés es del 3% semestral y paga
los intereses semestralmente
Si la fecha de vencimiento es en 15 años,
¿ Cuánto pagaría hoy por el bono si desea
ganar un 4% de interés semestral ?
El pago de intereses semestral
es de: 10.000●0,03 = 300
Tiempo
0 1 2 3 30 ……………≈
300 …….........
300 + 10.000
300 300
VP
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO
Para resolver el ejemplo, debe hallarse VP
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO
Luego:
VP = Intereses(1 + i)n i
●●
(1 + i)n – 1
+(1 + i)
n
Valor nominal
VP = 300(1 + 0,04)30 i
●●
(1 + 0,04)30 – 1
+(1 + 0,04)
30
10.000
Obteniéndose 8.271VP =
BONOS DE MERCADO
Un ejemplo es un bono emitido por el Banco de
Chile, con las siguientes características:
• Valor nominal: 10.000 UF
• Tasa de interés: 6,5% anual
• Moneda de pago: el monto equivalente en pesos
• Reajuste: UF, unidades de fomento
• Período de maduración: 5 años
• Emisión: 5.000.000 UF en 2 series de 250 bonos de
• Transferencia: al portador 10.000 UF c/u
BONOS DE MERCADO
BONOS DE MERCADO
A usted le ofrecen un bono de valor nominal de 18
UF, con tasa de interés del 6% anual capitalizable
trimestralmente. Se pagan los intereses cada 6
meses y el plazo de maduración pendiente del
bono es de 15 años
EJEMPLO 16
Si usted compra hoy el bono, en 5
años más, después de retirar el 10°
interés devengado, usted estima que
es posible vender el bono en 26 UF
¿ Cuál es el monto máximo que usted pagaría
hoy por el bono si su tasa de descuento (costo de
oportunidad) es del 14,5% anual y lo vendería en
el año 5 inmediatamente después de retirar el 10°
interés devengado ?
EJEMPLO 16
INFLACIÓN
Con $1.000 de hoy no alcanzo a comprar la misma canasta de
bienes y servicios como lo hice en el año 2008 .....
Es debido a la inflación,ya que el valor del dinerodisminuye con el paso del tiempo, entregándose más dinero por menos bienes
CÁLCULOS DE VALOR FUTURO CONSIDERANDO INFLACIÓN
Se reconocen 4 diferentes posibilidades para la
cantidad de dinero futuro:
1. Cantidad real de dinero
2. Poder adquisitivo
3. Número de pesos de entonces requeridos
4. Ganancia de interés sobre inflación
No toma en cuenta la existencia de inflación
CANTIDAD REAL DE DINERO
Se limita sólo a calcular la cantidad de dinero que
se alcanzaría con un interés específico
El cálculo del valor futuro es de forma tradicional:
VF VP ● ( 1 + i ) n=
Usted deposita $100.000 en una cuenta de
ahorros con un 10% anual de interés por 8 años
CANTIDAD REAL DE DINERO
¿ Cuál sería la cantidad de dinero
que obtendría al finalizar los 8 años ?
VF = VP ● ( 1 + i ) n
VF = 100.000 ● ( 1 + 0,1 ) 8
VF = 214.359
PODER ADQUISITIVO
En el ejemplo de la diapositiva anterior, al cabo
de 8 años usted tendría más del doble del dinero
que depositó inicialmente
Sin embargo, probablemente no será posible
comprar el doble de bienes y servicios en
comparación con la situación inicial
Desde luego, en los 8 años los precios de los
bienes y servicios aumentan por la inflación
¿ Cómo es posible comparar el poder de compra
del presente con el poder de compra del futuro ?
Una solución es construir una ecuación de valor
equivalente que lleve a valor presente (V),
mediante la tasa de inflación (f), el valor futuro
(VF) obtenido con la tasa de interés (i)
PODER ADQUISITIVO
Llevando a valor futuro el depósito:
VF VP ● ( 1 + i ) n
Ahora el valor futuro (VF) se actualiza a su valor
presente (V) equivalente en el poder de compra
VP ● ( 1 + i ) n
( 1 + f ) n=
=
=( 1 + f )
n
VFV
PODER ADQUISITIVO
Representa la tasa (ir) a la cual el dinero presente
posee un poder adquisitivo equivalente al del
dinero futuro
TASA DE INTERÉS REAL
Tasa de interés real( 1 + f )
( i – f )ir =
Llegándose a
la ecuación:VP ● ( 1 + i )
n
( 1 + f ) n=V = VP ● ( 1 + ir )
n
Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros
con un 10% anual de interés por 7 años
EJEMPLO 17
Se espera que la tasa de inflación sea un 8% anual
Encuentre, a través de dos formas de cálculo
distintas, la cantidad de dinero que es posible
acumular con el poder de compra actual
NÚMERO DE PESOS DE ENTONCES REQUERIDOS
Comprar algo en una fecha futura necesita más
pesos de los requeridos ahora para dicha compra
Se calcula el valor futuro (VF) según:
VF VP ● ( 1 + f ) n=
Reconociéndose que los precios crecen
durante los períodos inflacionarios
GANANCIA DE INTERÉS SOBRE INFLACIÓN
Mantiene el poder de compra, añadiéndose la
ganancia de interés
Se utiliza la ecuación del caso número de pesos
de entonces requeridos, a la que posteriormente
se le agrega la ganancia de interés
VF VP ● ( 1 + f ) n
● ( 1 + ir ) n=
TASA INFLADA
Se define la tasa inflada (if):
if ir + ( ir ● f ) + f=
Cumpliéndose que:
VF VP ● ( 1 + f ) n
● ( 1 + ir ) n VP ● ( 1 + if )
n= =