MÓDULO DE ESTADÍSTICA

Medidas de Dispersión

Objetivo:

Al finalizar el módulo de medidas de dispersión, el

estudiante será capaz de:

• hallar el rango, varianza y desviación estándar

de un conjunto de datos.

Medidas de dispersión:

Las medidas de dispersión describen la

variabilidad entre un conjunto de datos. Al

estar cercanos los valores de los datos,

carecen de dispersión. A mayor dispersión,

mayor es la diferencia entre los datos.

Las medidas de dispersión son: rango (alcance), varianza,

desviación estándar.

• Rango (alcance) = La diferencia entre el valor máximo de

un conjunto de datos y el mínimo.

 

Ejemplo 1:

Determinar el rango de las estaturas de seis

estudiantes:

162cm, 176cm, 180cm, 182cm, 178 cm y 175cm

Debemos buscar el valor mayor = 180 cm, el valor

menor = 162 cm.

.

Hay una gran dispersión de datos.

Ejemplo 2:

Determinar el rango de las propinas de un mesero durante

nueve días de labor. Si los datos son:

$20, $21, $24, $24, $23, $28, $24, $36, $28

Hallar el valor mayor = $36, el valor menor = $20, entonces

Entonces hay una dispersión alta de datos.

Ejemplo 3:

Encontrar el rango de los sueldos semanales de once

trabajadores

$350, $280, $450, $373, $470, $450, $300, $500,

$490, y $430

Determinar el valor mayor = $490, el valor menor =

$280, entonces

Hay una dispersión alta de sueldos.

Varianza y desviación estándar

La desviación estándar se determina cuando se ha

encontrado la varianza. Luego, la desviación estándar

indica cómo cada dato se acerca o se aleja de la media.

Si los datos se esta trabajando es una población, la

varianza tiene como fórmula lo siguiente:

= ,

Donde varianza = , el número de datos = n.

Pero si es una muestra sería

=

Cambia el símbolo de la varianza en la muestra y se trabaja con un dato menos.

Donde varianza = , el número de datos = n.

Ejemplo 1:

Determinar la varianza y desviación estándar de las estaturas de seis estudiantes seleccionados aleatoriamente de un grupo. Sus medidas son:

Coloquemos los datos en una tabla, busquemos la media, debemos restar cada dato de la media y a ese diferencia se eleva al cuadrado.

Luego, debemos sumar esos cuadrados y se dividirá por la cantidad de datos menos 1 ya que es una muestra.

Solución:

Media: sumar todas las x y dividirla por 6.

Luego cada dato debe ser restado por esa

Media obtenida.

Cada diferencia debe ser elevado al

cuadrado.

x (x - )

162 -13.5 182.25

176 0.5 0.25

180 4.5 20.25

182 6.5 42.25

178 2.5 6.25

175 -0.5 0.25

1053 251.5

Desviación estándar siempre será la raíz cuadrada

de la varianza.

En el ejemplo anterior la varianza fue:

cm

Entonces la desviación estándar será:

Ejemplo 2:

Determinar la varianza y desviación estándar de las propinas de un mesero por nueve días. Si los

Datos son: $20, $21, $24, $24, $23, $28, $24, $36, $28

20 -5.3 28.09

21 -4.3 18.49

24 -1.3 1.69

24 -1.3 1.69

23 -2.3 5.29

28 2.7 7.29

24 -1.3 1.69

36 10.7 114.49

28 2.7 7.29

228 186.01

Solución:

Como esto no es un muestra se deberá utilizar la siguiente fórmula:

=

= = 20.67

La desviación estándar será

Lo cual implica que cada propina se aleja o se acerca de la media entre $4.55

Ejemplo 4:

Veamos la siguiente información de un estudio

llevado a cabo en un laboratorio. Se recoge la

información de crecimiento de bacterias

sembradas en placas por segundos.

Se desea determinar cuán confiable son los resultados. Se determina la media, mediana, moda y desviación estándar de cada compañía.

Placas Compañía A Compañía B

1 6.5 4.2

2 6.6 5.4

3 6.7 5.8

4 6.8 6.2

5 7.1 6.7

6 7.3 7.7

7 7.4 7.7

8 7.7 8.5

9 7.7 9.3

10 7.7 10

Compañía A:

Media = 7.15 seg.

Mediana = 7.2 seg.

Moda = 7.7 seg.

Desviación Estándar = 0.476678 seg.

Compañía B:

Media = 7.15 seg

Mediana = 7.2 seg

Moda = 7.7 seg

Desviación estándar = 1.821629 seg

La compañía A su desviación estándar es menor que la compañía B. Los datos de la compañía A están más homogéneos. Los datos de la compañía A es más confiable.