1

RESPUESTA DINÁMICA Y ESTABILIDAD DE SISTEMAS

Tiempo continuo Tiempo discreto

Función de

transferencia

Función de

transferencia

Polos y ceros

(reales o

complejos)

Salida para una

entrada escalón,

expansión en

fracciones y

antitransformada.

Polos reales

Salida para una

entrada escalón,

expansión en

fracciones y

antitransformada.

Polos complejos

( )( ) ( ) ; ( )

( )

Y zH z h k H z

X z

1 2

0 1 2 1

1 2

1 2 1

( )( )

( )

m m m

m m

n n n

n n

b s b s b s b s b B sH s

s a s a s a s a A s

1 2

0 1 2 1

1 2

1 2 1

( )( )

( )

n n n

n n

n n n

n n

b z b z b z b z b B zH z

z a z a z a z a A z

1

1

( )

( )

( )

n polos de valores: m ceros de valores:

m

j

j

n

i

i

i j

K s c

H s

s p

p c

1

1

( )

( )

( )

n polos de valores: n ceros de valores:

n

j

j

n

i

i

i j

K z c

H z

z p

p c

1( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )Y s H s X s y t L Y s 1( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )Y z H z X z y k Y z

1 2

1 2

( ) e n

n

d dd dY s

s s p s p s p

1 2

0

1 2

( )1

e n

n

d z d zd z d zY z d

z z p z p z p

1 2

1 2 1( ) np tp t p t

e ny t d d e d e d e u t

0 1 1 2 2 1( ) ( ) k k k

e n ny k d k d d p d p d p u k

1 2

1 2

*

( )( )

( )

e l

l nl dl

l n

l nl dl n

d dd dY s

s s p s p s j

d d

s j s p

1 2

0

1 2

*

( )1

+

l

l

e l

j

l

l n

j

nl

d z d zd z d zY z d

z z p z p z e

d z d z

z pz e

0 1 1 2 2( ) ( ) cos( )

0

k k k

e l l l l

k

n n

y k d k d d p d p D k

d p

k

1 2

1 2( ) cos( )

0

l nl

n

tp t p t

e l dl l

p t

n

y t d d e d e D e t

d e

t

( )( ) ( ) ; ( )

( )

Y sH s h t H s

X s

2

Desde el punto de vista de la variación de la respuesta, se

distinguen dos etapas: transitoria y permanente

DEMO “Exploring the s-plane”: Orden 1 y variaciones. Orden 2

y variaciones. Orden superior y polos dominantes

3

4.3 Sistemas de primer orden

Figura 4.4 a) Sistema de primer orden b) Patrón de polos y ceros

1

1 1( ) ( ) ( )

( )

( ) 1 ( )at

aC s R s G s

s s a s s a

c t e u t

ssR

1)(

Ecuación de sistema de primer orden con entrada escalón unitario

4

Constante de tiempo

esta definida como el

tiempo que le toma a

la respuesta a escalón

alcanzar el 63% de su

valor final.

Características dinámicas de la respuesta de un sistema de primer orden a un escalón unitario

Figura 4.5

1

a

5

4.4 Sistemas de segundo orden: introducción

Figura 4.7

6

4.4 Sistemas de segundo orden: introducción

Figura 4.7

7

Figura 4.10

Respuestas escalón para casos de amortiguamiento en

sistemas de segundo orden

8

Sistema de 2° orden subamortiguado, dos polos complejos

conjugados.

Función de transferencia normalizada y sus parámetros

Frecuencia natural, ωn, que es la frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguamiento, en rad/seg.

Factor de amortiguamiento, ζ es la cantidad que surge de la comparación de la frecuencia a la cual disminuye la envolvente de la exponencial con respecto de la frecuencia natural.

La función normalizada de este tipo de sistemas es:

Ej. Encontrar ζ y ωn para la siguiente función de

transferencia :

2

36( )

4.2 36G s

s s

2

2 2( ) 0 1

2

n

n n

G ss s

9

Figura 4.17

Patrón de polos para un sistema de segundo orden

subamortiguado

10

Figura 4.11

Respuesta de segundo orden en función del factor de amortiguamiento

Figura 4.11

2

2

2 1

1( ) 1 ( )

1

11 ; tan

nt

d

d n

y t e sen t

Solución analítica

11

Figura 4.11

Respuesta de segundo orden en función del factor de amortiguamiento

Figura 4.11

12

Ejercicio 4.4 Para cada uno de los sistemas mostrados a

continuación halle los valores de ζ y y diga que tipo de

respuesta es de esperarse

Figura 4.12

n

13

4.6 Sistemas de segundo orden subamortiguados

Figura 4.13

Respuestas

subamortiguadas

de segundo orden

para diferentes

valores de ζ

Al disminuir el factor de amortiguamiento hace mas

oscilatoria la respuesta y la frecuencia natural solo escala

en el tiempo la respuesta.

Figura 4.13

14

Figura 4.14

Parámetros de

especificación de

sistemas

subamortiguados

1.- Tiempo de levantamiento

2.- Tiempo sobrepaso

3.- Sobrepaso

4.- Tiempo de asentamiento

-1 ; =cosr

d

t

p

d

t

4s

n

t

21Mp OS e

15

Figura 4.15

Figura 4.16

Figura 4.15

Porcentaje de

sobrepaso vs ζ

Figura 4.16

Tiempo de

levantamiento

normalizado vs ζ

21Mp OS e

16

Figura 4.19

Regiones de

parámetros constantes

a) parte real constante

b) parte imaginaria

constante

c) factor de

amortiguamiento

relativo constante

17

Regiones de parámetros constantes en Matlab

18Figura 4.23

Polos dominantes

En los sistemas de orden superior, alguno o algunos de los

polos se encuentran más cerca del eje imaginario. A dichos

polos se les llama polos dominantes porque determinan en

mayor medida el comportamiento y respuesta del sistema.

complejos.